FILA A D B. La retta per AB ha equazione y = x - 4, quella per CD y = x + 2. Risolvendo il sistema fra la retta per AB e la circonferenza otteniamo

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1 FILA A C D B - - A 1) Dato il grafico in figura, scrivere l equazione della circonferenza e le equazioni delle rette per AB e per CD. Scrivere e risolvere i due sistemi fra circonferenza e retta e verificare che i punti di intersezione ottenuti corrispondono con quanto si legge dal grafico. Classificare il poligono ABCD, calcolarne perimetro e area, Infine calcolare l area della regione colorata delimitata dal segmento AD e dall arco di circonferenza. SOL: Il centro della circonferenza è in H, 1L e il raggio vale 3. L equazione è allora, ricordando la formula Hx - x0 L + Hy - y0 L = R, Hx - L + Hy - 1L 9 x + y - x - y - 0. La retta per AB ha equazione y = x -, quella per CD y = x +. Risolvendo il sistema fra la retta per AB e la circonferenza otteniamo SolveA9x + y - x - y - 0, y x - =, 8x, y<e 88x, y - <, 8x 5, y 1<< che sono proprio i punti cercati. Il sistema fra la retta per CD e la circonferenza restituisce

2 Mat-SOL.nb SolveA9x + y - x - y - 0, y x + =, 8x, y<e 88x - 1, y 1<, 8x, y << Il poligono ABCD è un quadrilatero. E un rombo, perché le diagonali si incontrano ad angolo retto, ma sono anche uguali, quindi si tratta di un quadrato. L area si ottiene come semiprodotto delle diagonali: AreaABCD = 18 da cui si deduce che il lato è lato = 3 AreaABCD di conseguenza il perimetro: perabcd = lato 1 Per il calcolo dell area richiesta, basta prendere l area del cerchio di raggio 3, che è AreaC = Π 3 9Π sottrarre l area del qudrato e dividere per : AreaC - AreaABCD 1 H ΠL il cui valore numerico è circa AreaC - AreaABCD.5858 N ) Data l equazione y - x + x - 8 = 0 individuare il tipo di curva, trovare le sue intersezioni con gli assi coordinati, l equazione dell asse e il vertice. Disegnare il grafico. SOL: Si tratta di una parabola con asse verticale. L equazione in forma normale è y = x - x + 8 Le intersezioni con gli assi si trovano mettendo a sistema. Prima con l asse delle ordinate (basta porre x = 0): SolveA9y x - x + 8, x 0=, 8x, y<e 88x 0, y 8<< Poi con l asse delle ascisse:

3 Mat-SOL.nb 3 SolveA9y x - x + 8, y 0=, 8x, y<e 88x, y 0<, 8x, y 0<< Le intersezioni con l asse delle ascisse sono in H, 0L e H, 0L. Quindi per l asse vale l equazione x = 3. Allora l ordinata del vertice si trova risolvendo il sistema fra la parabola e l asse: SolveA9y x - x + 8, x 3=, 8x, y<e 88x 3, y - 1<< Dunque il vertice ha coordinate H3, -1L. Si può disegnare il grafico: asse: x= 3 - V H,-1L 3) Un urna contiene 8 gettoni numerati da 1 a 8. Si estrae un gettone e si constata che è un numero pari. Senza reinserire il primo gettone, se ne estrae un secondo. Qual è la probabilità di estrarre un numero dispari? SOL: Al momento della seconda estrazione, nell urna ci sono 7 gettoni, di cui 3 pari e dispari. La 7 probabilità di estrarre un gettone dispari a questo punto è. ) Sono dati la conica di equazione y = x - e il fascio di rette di equazione y = x + k. Per quale valore di k la retta risulta tangente alla conica? SOL: SI trova il valore di k mettendo a sistema la conica con il fascio di rette e iponendo che il D risulti uguale a zero: SolveA9y x -, y x + k=, 8x, y<e 99x 1-5+k, y +k- SI ottiene la tangenza per k = k =, 9x k, y +k+ 5 + k == 5) Due numeri naturali consecutivi hanno per prodotto. Trovare i due numeri risolvendo un equazione.

4 Mat-SOL.nb SOL: Se indichiamo con x il più piccolo dei due numeri, abbiamo l equazione x Hx + 1L Expand x + x che possiamo risolvere, trovando SolveAx + x - 0, xe 88x - 3<, 8x << La sola radice x = è accettabile in quanto, come indicato nel testo, stiamo parlando di numeri naturali.

5 Mat-SOL.nb 5 FILA B C D B - 8 A 1) Dato il grafico in figura, scrivere l equazione della circonferenza e le equazioni delle rette per AB e per CD. Scrivere e risolvere i due sistemi fra circonferenza e retta e verificare che i punti di intersezione ottenuti corrispondono con quanto si legge dal grafico. Classificare il poligono ABCD, calcolarne perimetro e area, Infine calcolare l area della regione colorata delimitata dal segmento AD e dall arco di circonferenza. SOL: Il centro della circonferenza è in H, 1L e il raggio vale 3. Il problema è identico a quello della fila A dopo la traslazione di vettore vh, 0L. Tutte le misure restano confermate mentre le coordinate dei punti vanno cambiate conformemente. L equazione della circonferenza è, Hx - x0 L + Hy - y0 L = R, Hx - L + Hy - 1L 9 x + y - 8 x - y La retta per AB ha equazione y = x -, quella per CD y = x. Risolvendo il sistema fra la retta per AB e la circonferenza otteniamo SolveA9x + y - 8 x - y + 8 0, y x - =, 8x, y<e 88x, y - <, 8x 7, y 1<< che sono proprio i punti cercati. Il sistema fra la retta per CD e la circonferenza restituisce SolveA9x + y - 8 x - y + 8 0, y x=, 8x, y<e 88x 1, y 1<, 8x, y << Il poligono ABCD è un quadrilatero. E un rombo, perché le diagonali si incontrano ad angolo retto, ma sono anche uguali, quindi si tratta di un quadrato. L area si ottiene come semiprodotto delle diagonali:

6 Mat-SOL.nb Il poligono ABCD è un quadrilatero. E un rombo, perché le diagonali si incontrano ad angolo retto, ma sono anche uguali, quindi si tratta di un quadrato. L area si ottiene come semiprodotto delle diagonali: AreaABCD = 18 da cui si deduce che il lato è lato = 3 AreaABCD di conseguenza il perimetro: perabcd = lato 1 Per il calcolo dell area richiesta, basta prendere l area del cerchio di raggio 3, che è AreaC = Π 3 9Π sottrarre l area del qudrato e dividere per : AreaC - AreaABCD 1 H ΠL il cui valore numerico è circa AreaC - AreaABCD.5858 N ) Data l equazione x - y + 8 y - 15 = 0 individuare il tipo di curva, trovare le sue intersezioni con gli assi coordinati, l equazione dell asse e il vertice. Disegnare il grafico. SOL: Si tratta di una parabola con asse orizzontale. L equazione in forma normale è x = y - 8 y + 15 Le intersezioni con gli assi si trovano mettendo a sistema. Prima con l asse delle ascisse (basta porre y = 0): SolveA9x y - 8 y + 15, y 0=, 8x, y<e 88x 15, y 0<< Poi con l asse delle ordinate: SolveA9x y - 8 y + 15, x 0=, 8x, y<e 88x 0, y 3<, 8x 0, y 5<< Le intersezioni con l asse delle ascisse sono in H0, 3L e H0, 5L. Quindi per l asse vale l equazione y =. Allora l ordinata del vertice si trova risolvendo il sistema fra la parabola e l asse:

7 Mat-SOL.nb SolveA9x y - 8 y + 15, y =, 8x, y<e 88x - 1, y << Dunque il vertice ha coordinate H-1, L. Si può disegnare il grafico: V H-1,L asse: y= - 3) Un urna contiene 8 gettoni numerati da 1 a 8. Si estrae un gettone e si constata che è un numero pari. Senza reinserire il primo gettone, se ne estrae un secondo. Qual è la probabilità di estrarre un numero pari? SOL: Al momento della seconda estrazione, nell urna ci sono 7 gettoni, di cui 3 pari e dispari. La 3 7 probabilità di estrarre un gettone pari a questo punto è. ) Sono dati la conica di equazione y = x - 3 e il fascio di rette di equazione y = x + k. Per quale valore di k la retta risulta tangente alla conica? SOL: SI trova il valore di k mettendo a sistema la conica con il fascio di rette e iponendo che il D risulti uguale a zero: SolveA9y x - 3, y == x + k=, 8x, y<e 99x - 7+k, y 8+k- SI ottiene la tangenza per k = k =, 9x + 7+k, y 8+k+ 7 + k == 5) Due numeri naturali consecutivi hanno per prodotto 1. Trovare i due numeri risolvendo un equazione. SOL: Se indichiamo con x il più piccolo dei due numeri, abbiamo l equazione x Hx + 1L 1 Expand x + x 1 che possiamo risolvere, trovando 7

8 8 Mat-SOL.nb SolveAx + x - 1 0, xe 88x - <, 8x 3<< La sola radice x = 3 è accettabile in quanto, come indicato nel testo, stiamo parlando di numeri naturali.