BOOK IN PROGRESS GEOMETRIA STATISTICA DESCRITTIVA CALCOLO DELLE PROBABILITA INDICE GEOMETRIA

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1 ITE Enico Tosi OOK IN PROGRESS GEOMETRI STTISTI DESRITTIV LOLO DELLE PROILIT INDIE GEOMETRI PITOLO 1: L GEOMETRI DEL PINO 11 Genealità pag 1 12 ngoli paticolai pag 11 PITOLO 2: POLIGONI E TRINGOLI 21 I poligoni pag I tiangoli pag lassificazione dei tiangoli pag 18 ESERIZI RELTIVI I PITOLI 1 e 2 pag 22 PITOLO 3: PERPENDIOLRIT E PRLLELISMO 31 Rette pependicolai pag Le poiezioni otogonali pag Mediane, altezze e bisettici di un tiangolo pag Le ette paallele pag Il citeio di paallelismo e le popietà delle ette paallele pag Popietà dei tiangoli pag Somma degli angoli inteni ed esteni di un poligono pag I luoghi geometici pag 51 ESERIZI RELTIVI L PITOLO 3 pag 52

2 PITOLO 4: I QUDRILTERI 41 Genealità pag Il tapezio pag Il paallelogamma pag Il ettangolo pag Il ombo pag Il deltoide pag Il quadato pag Peimeti e aee pag 86 ESERIZI RELTIVI L PITOLO 4 pag 87 STTISTI DESRITTIV PITOLO 5: ELEMENTI DI STTISTI DESRITTIV 51 Intoduzione pag Elementi di base pag Rappesentazioni gafiche pag Indici di sintesi pag Indici di vaiabilità pag 121 ESERIZI RELTIVI L PITOLO 5 pag 125 LOLO DELLE PROILIT PITOLO 6: LOLO DELLE PROILIT 60 Una stoia d amoe pag Intoduzione pag Eventi pag Pobabilità di un evento pag Teoemi sulla pobabilità pag Esempi pag Definizione fequentistica della pobabilità pag Definizione soggettiva della pobabilità pag Possibili isposte al poblema dell aeeo pag 144 ESERIZI RELTIVI L PITOLO 6 pag 145

3 PITOLO 1 L GEOMETRI DEL PINO 11 Genealità Nello studio della geometia euclidea (da Euclide, matematico geco del III secolo a) assume un uolo fondamentale il disegno delle vaie figue tale scopo, useemo sempe squada e compasso e costuiemo le noste figue con la massima attenzione e pecisione ominciamo il nosto lavoo ponendo l attenzione su quelli che sono gli oggetti, gli enti, che si studiano in geometia Pe desciveli utilizzeemo delle definizioni Una definizione è una fase nella quale viene associato un nome a un ente e vengono elencate le sue caatteistiche Esempio: Un paallelogamma è un quadilateo che ha i lati opposti paalleli Pe dae una definizione è necessaio conoscee il significato di alcuni temini Nell esempio pecedente, pe stabilie che cos è un paallelogamma si deve sapee cosa significano le paole quadilateo, lati, opposti, paalleli Se i temini usati non sono conosciuti, si devono dae alte definizioni utilizzando alti enti che a loo volta dovanno essee definiti e così via Pe inteompee questo pocedimento «a itoso» che non può, ovviamente, continuae all infinito è necessaio che di alcuni concetti, detti concetti o enti pimitivi, non venga data alcuna definizione Essi costituianno la base sulla quale costuie, poi, l edificio di tutte le alte definizioni In geometia consideiamo come enti pimitivi: - il punto; - la etta; - il piano L idea di punto ci è suggeita dal segno lasciato dalla punta della matita o dal foellino paticato con un sottile spillo su un foglio di cata, da un ganellino di sabbia, da una stella lontanissima, etc Il punto è la più semplice figua geometica e l immagine che di essa danno i ifeimenti appena indicati è piuttosto impefetta In ealtà il punto è un ente geometico pivo di dimensioni; esso indica solo una posizione (Euclide, nei suoi Elementi, definisce il punto come ciò che non ha pati) Pe distinguee un punto dall alto, si pone accanto a ciascuno di essi una lettea maiuscola dell alfabeto; diemo peciò: punto ; punto ; punto ; etc 1

4 Un insieme qualsiasi di punti costituisce una figua geometica; lo spazio è l insieme di tutti i punti e contiene quindi tutte le figue Una figua che appatiene ad un piano si chiama figua piana, altimenti si chiama figua solida ome modello intuitivo di etta possiamo pensae al bodo di una iga da disegno, idealmente illimitata da entambe le pati La etta geometica si deve, infatti, pensae illimitata e senza spessoe: è costituita da infiniti punti ed ha un unica dimensione (si estende solo in lunghezza, illimitatamente) Pe distinguee una etta dall alta, si pone accanto a ciascuna di esse una lettea minuscola dell alfabeto; diemo peciò: etta ; etta s ; etta t ; etc t s ome modello intuitivo di piano possiamo pensae ad un sottile foglio di cata o alla supeficie dell acqua stagnante di un lago Si tatta, natualmente, di immagini molto appossimative peché il piano geometico, olte a non avee spessoe, si deve pensae indefinitamente esteso in lunghezza e laghezza: ha, cioè, due dimensioni I piani si indicano genealmente con le lettee dell alfabeto geco; diemo peciò: piano α ; piano β ; piano γ ; etc α β γ Nella geometia azionale si vogliono icavae, mediante deduzioni 1, delle popietà da alte popietà ome pe gli enti pimitivi, bisogna, quindi, accettae che alcune popietà vengano assunte come pimitive, ossia non siano dedotte ma accettate come vee (postulati o assiomi) Le popietà (o poposizioni) che si possono desumee dagli assiomi si dicono teoemi; un teoema è quindi una poposizione di cui bisogna contollae la veità mediante un agionamento (dimostazione) Una dimostazione è, petanto, una sequenza di deduzioni che, patendo da affemazioni consideate vee (ipotesi), fa giungee ad una nuova affemazione (tesi) In seguito sciveemo spesso l enunciato dei teoemi mediante la stuttua linguistica se, alloa 1 pocedimenti logici consistenti nel deivae, da una o più pemesse date, una conclusione come conseguenza logicamente necessaia 2

5 La fase che segue il se è l ipotesi, ossia ciò che supponiamo veo; quella dopo alloa è la tesi, ossia l affemazione da dimostae Dimostazione dietta Una dimostazione è dietta quando, patendo dall ipotesi ed utilizzando eventualmente postulati e/o popietà dimostate in pecedenza, si peviene, attaveso una sequenza di deduzioni logiche, alla tesi Dimostazione indietta o pe assudo Una dimostazione è indietta o pe assudo quando, patendo dalla negazione della tesi ed utilizzando eventualmente postulati e/o popietà dimostate in pecedenza, si peviene, attaveso una sequenza di deduzioni logiche, a qualche popietà che è in contasto con l ipotesi data o con postulati o con teoemi già dimostati (contaddizione) isogna, quindi, concludee che l ave supposto falsa la tesi è sbagliato e che, di conseguenza, la tesi è vea (pincipio di non contaddizione: una poposizione non può contempoaneamente essee vea e falsa) Se in un teoema vengono scambiate l ipotesi e la tesi, si ottiene la poposizione invesa che pende il nome di teoema inveso Un teoema che è immediata conseguenza di un alto teoema viene chiamato coollaio Ripotiamo oa di seguito alcuni postulati che caatteizzano i punti, le ette e i piani Dati due qualunque punti distinti e, esiste una ed una sola etta che li contiene entambi (fig 1) (fig 1) Questo postulato ci assicua che due punti sono sempe allineati, cioè appatengono ad una stessa etta La etta individuata dai due punti e (fig 1) viene detta anche etta congiungente i punti e, o etta passante pe e o, ancoa, etta Il pecedente postulato si suole anche enunciae dicendo che pe due punti distinti passa una ed una sola etta Dal pecedente postulato discende il seguente coollaio: Due ette distinte non possono avee più di un punto in comune Infatti, se avesseo due punti in comune, esse coincideebbeo 3

6 Pe un punto passano infinite ette Detto P un punto del piano, l insieme delle infinite ette passanti pe P è chiamato fascio di ette popio o, anche, fascio di ette di cento P (fig 2) P (fig 2) Una etta può essee pecosa in due vesi, l uno opposto all alto (fig 3) (fig 3) I punti di una etta si possono, quindi, pensae odinati in due vesi, uno opposto all alto, in coispondenza dei due vesi secondo cui la etta può essee pecosa Fissato su uno dei due vesi di pecoenza (etta oientata) e consideati due punti e su, è possibile die se pecede o se segue nel veso assegnato In fig 4 si ha che pecede (o segue ): (fig 4) Su di un piano esistono infiniti punti ed infinite ette (fig 5) α (fig 5) Se una etta ha due punti in comune con un piano α, alloa appatiene ad α (fig 6) α (fig 6) 4

7 Te punti distinti che non appatengono ad una medesima etta individuano uno ed un solo piano (fig 7) α (fig 7) o Due ette si dicono complanai se appatengono a uno stesso piano, sghembe se appatengono a piani divesi o Due ette ed s del piano si dicono incidenti se hanno in comune uno ed un solo punto P che pende il nome di punto di incidenza (o di inconto, o di intesezione) delle ette ed s (fig 8) α s P P s (fig 8) o Due ette ed s del piano si dicono paallele se coincidono (fig 9a) oppue se non hanno alcun punto in comune (fig 9b) α s s (fig 9a) α s Ø s (fig 9b) Pe indicae che due ette ed s sono paallele sciviamo // s, dove il simbolo // è detto simbolo di paallelismo [Osseviamo che abbiamo assunto come paallele anche due ette coincidenti in quanto esse hanno in comune infiniti punti e non uno solo, così come ichiesto pe le ette incidenti] Paleemo ampiamente del paallelismo in alta unità 5

8 Seguono le definizioni di nuovi enti, a patie dagli enti elementai: o Semietta - Data una etta e un suo punto, si dice semietta, di oigine, ciascuna delle due pati in cui imane divisa da, compeso lo stesso punto (fig 10) semietta semietta (fig 10) o Segmento - Un segmento è la pate di etta limitata da due suoi punti che si dicono estemi del segmento Il segmento di estemi e si indica con o con, cioè scivendo una di seguito all alta le lettee che indicano i suoi estemi (fig 11) segmento (fig 11) Se i due estemi coincidono il segmento è nullo ed è costituito da un solo punto quindi, punti inteni) (non ci sono, o Segmenti consecutivi - Due segmenti si dicono consecutivi se hanno solo un estemo in comune (fig 12) e segmenti consecutivi (fig 12) o Segmenti adiacenti - Due segmenti si dicono adiacenti se sono consecutivi ed appatengono alla stessa etta (fig 13) e segmenti adiacenti (fig 13) 6

9 PROV TU In elazione alla fig 14, stabilisci quali ta le seguenti affemazioni sono vee e quali false e sono adiacenti e DE sono consecutivi e D sono consecutivi D e sono adiacenti D e DE sono adiacenti V V V V V F F F F F D E (fig 14) o Spezzata (o poligonale) - Si dice spezzata o poligonale una figua geometica fomata da più segmenti, a due a due consecutivi e non adiacenti Una spezzata può essee (fig 15): non intecciata (o semplice), se i segmenti della spezzata non hanno punti inteni in comune; intecciata, se almeno due segmenti hanno punti inteni in comune; apeta, se l ultimo estemo non coincide con il pimo; chiusa, se l ultimo estemo coincide con il pimo E M O Q D spezzata non intecciata apeta P N spezzata intecciata apeta M O F G Q L I H spezzata non intecciata chiusa P spezzata intecciata chiusa N (fig 15) (I segmenti,, sono i lati della spezzata; i punti,,, sono i vetici della spezzata) 7

10 o Semipiano - Data una etta di un piano α, si dice semipiano ciascuna delle due pati in cui divide α (fig 16) α semipiano semipiano fig 16: la etta è l oigine di ciascuno dei due semipiani o Figua convessa - Una figua F si dice convessa se, consideati due suoi qualsiasi punti, il segmento che li unisce è completamente contenuto in F (fig 17) F (fig 17) o Figua concava - Una figua G si dice concava se esistono almeno due punti pe i quali il segmento che li unisce non è completamente contenuto in G (fig 18) G P Q fig 18: il segmento PQ non è completamente contenuto in G o ngolo - L angolo è ciascuna delle due pati in cui un piano viene diviso da due semiette aventi l oigine in comune (fig 19) s O fig 19: Le semiette ed s sono dette lati dell angolo; l oigine comune O è detto vetice dell angolo 8

11 o Un angolo si dice convesso se non contiene i polungamenti dei suoi lati (fig 20) s O (fig 20) o Un angolo si dice concavo se contiene i polungamenti dei suoi lati (fig 21) s O (fig 21) Quando nel seguito paleemo di angolo senza ulteioe specificazione, intendeemo sempe angolo convesso Pe indicae l angolo convesso della fig 22 useemo una delle seguenti notazioni: s, s, Os, so, O, O, α, e, se non ci sono ambiguità di intepetazione, O s O α (fig 22) Se si vuole fae ifeimento ad un angolo concavo lo si deve espimee in maniea esplicita; così, nel caso della fig 21, diemo angolo s concavo (taluni indicano tale angolo con la scittua s) Gli aggettivi convesso e concavo sono in accodo con le definizioni date di figua convessa e di figua concava o Si dice coda di un angolo convesso un qualsiasi segmento i cui estemi appatengono ai lati dell angolo (fig 23) O s coda (fig 23) 9

12 o ngoli consecutivi - Due angoli si dicono consecutivi se hanno lo stesso vetice, un lato in comune e gli alti due lati situati da pate opposta ispetto al lato comune (fig 24) O V O e O angoli consecutivi (fig 24) o ngoli adiacenti - Due angoli si dicono adiacenti se, olte ad essee consecutivi, hanno i lati non comuni appatenenti ad una stessa etta (fig 25) O e O angoli adiacenti O (fig 25) o ngoli opposti al vetice - Due angoli si dicono opposti al vetice se i lati dell uno sono i polungamenti dei lati dell alto (fig 26) ' O ' O e 'O' angoli opposti al vetice; O' e 'O angoli opposti al vetice (fig 26) Due angoli opposti al vetice sono conguenti Q N Hp: MOQ opposto al vetice di PON O Th: MOQ PON M P (fig 56) 10

13 PROV TU Veo o falso? a) Due angoli consecutivi sono anche adiacenti b) Due angoli adiacenti sono anche consecutivi c) Due angoli consecutivi possono essee entambi acuti d) Due angoli adiacenti possono essee entambi acuti V V V V F F F F isettice di un angolo Si dice bisettice di un angolo la semietta che ha oigine nel vetice dell angolo e lo divide in due angoli conguenti (fig 45) s b bisettice O (fig 45) In simboli: Ob bos 15 NGOLI PRTIOLRI: o ngolo piatto - Un angolo si dice piatto se i suoi lati sono semiette opposte [Si può pensae ottenuto facendo uotae la semietta O, intono ad O, di mezzo gio, così da assumee la posizione O (fig 46)] L angolo piatto si suole indicae con la lettea geca π (scopiai il peché nel coso dei tuoi studi) π O π (fig 46) ngolo piatto 180 o ngolo gio - Un angolo concavo i cui lati sono semiette sovapposte si dice angolo gio [Si può pensae ottenuto facendo uotae la semietta O, intono ad O, di un gio completo, descivendo così tutto il piano (fig 47)] 11

14 O (fig 47) ngolo gio 360 o ngolo nullo - Un angolo convesso i cui lati sono semiette sovapposte si dice angolo nullo [Si può pensae ottenuto quando la semietta O imane nella posizione iniziale, cioè se ha una otazione nulla (fig 48)] O (fig 48) ngolo nullo 0 o ngolo etto - Un angolo si dice etto se è la metà di un angolo piatto (fig 49) ngolo etto 90 angolo etto O angolo etto (fig 49): O è la bisettice dell angolo piatto O o ngolo acuto - Un angolo si dice acuto se è minoe di un angolo etto (fig 50) O angolo acuto ngolo acuto < 90 O (fig 50) o ngolo ottuso - Un angolo si dice ottuso se è maggioe di un angolo etto (fig 51) O angolo ottuso ngolo ottuso > 90 O (fig 51) 12

15 o ngoli complementai - Due angoli si dicono complementai quando la loo somma è un angolo etto (fig 52) O e O angoli complementai (O angolo etto) O (fig 52) (Ovviamente i due angoli non devono essee necessaiamente consecutivi) o ngoli supplementai - Due angoli si dicono supplementai quando la loo somma è un angolo piatto (fig 53) O e O angoli supplementai O angolo piatto O (fig 53) (Ovviamente i due angoli non devono essee necessaiamente adiacenti) o ngoli esplementai - Due angoli si dicono esplementai quando la loo somma è un angolo gio (fig 54) O (fig 54) (Ovviamente i due angoli non devono avee necessaiamente gli stessi lati) PROV TU ompleta le seguenti affemazioni: 13

16 o il supplementae di un angolo di 85 è ampio ; o il complementae di un angolo di 89 è ampio ; o il complementae di un angolo di 2 è ampio ; o il supplementae di un angolo di 112 è ampio ; o l esplementae di un angolo di 60 è ampio ; o il supplementae di un angolo di 120 è ampio ; o l esplementae di un angolo di 107 è ampio PROV TU In elazione alla figua 57, stabilisci quali ta le seguenti affemazioni sono vee e quali false: α β δ γ (fig 57) a) α e γ sono supplementai b) γ e δ sono complementai c) α e γ sono conguenti d) β e γ sono supplementai e) α e γ sono opposti al vetice f) γ e β sono conguenti g) β e δ sono complementai V V V V V V V F F F F F F F PITOLO 2 I TRINGOLI 21 I poligoni Si chiama poligono la figua fomata da una poligonale (chiusa non intecciata) e dalla pate finita di piano da essa delimitata In un poligono chiamiamo: vetici del poligono i vetici della poligonale; lati del poligono i lati della poligonale; contono del poligono la poligonale stessa; punti inteni i punti del poligono non situati sul contono; 14

17 punti esteni tutti gli alti punti del piano, esclusi quelli del contono; peimeto del poligono il segmento somma dei lati del poligono Pe indicae un poligono fissiamo un pimo vetice e sciviamo odinatamente, una accanto all alta, le lettee dei successivi vetici pocedendo in senso antioaio In fig 1 è appesentato il poligono DEF D E F (fig 1) Faemo sempe la distinzione ta poligono convesso e poligono concavo, in accodo con le definizioni date di figua convessa e di figua concava (pag 10, unità 1) La fig 2 ti dovebbe pemettee, comunque, di icavae le definizioni di poligono convesso e di poligono concavo (PROV TU) P1 P2 Poligono convesso Poligono concavo (fig 2) Quando nel seguito paleemo di poligono senza ulteioe specificazione, intendeemo sempe poligono convesso In un poligono convesso chiamiamo: o angolo inteno o angolo del poligono ognuno degli angoli che ha vetice in un vetice del poligono e pe lati le semiette che contengono i lati uscenti da quel vetice (fig 3a); o angolo esteno ciascun angolo adiacente ad un angolo inteno (fig 3b) ngolo esteno ngolo esteno ngoli inteni ngolo esteno ngolo esteno ngolo esteno (fig 3a) (fig 3b) 15

18 Osseva che ad ogni angolo inteno si possono associae due angoli esteni, conguenti ta di loo peché opposti al vetice (fig 4) ngolo esteno ngolo inteno ngolo esteno (fig 4) Inolte (fig 5) definiamo: coda ogni segmento che unisce due qualsiasi punti del contono del poligono che non appatengono allo stesso lato; diagonale ogni coda che unisce due vetici non consecutivi D F E coda G diagonale (fig 5) I poligoni hanno nomi divesi a seconda del numeo di lati (o dei vetici o degli angoli) di cui sono costituiti e che non possono essee meno di te Nella seguente tabella sono ipotati i nomi di alcuni poligoni: Numeo dei lati Nome del poligono 3 tiangolo 4 quadilateo 5 pentagono 6 esagono 7 ettagono 8 ottagono 9 ennagono 16

19 10 decagono 11 endecagono 12 dodecagono In geneale, se i lati sono n si paleà di poligono di n lati Un poligono si dice: equilateo se ha tutti i lati conguenti ta loo; equiangolo se ha tutti gli angoli inteni conguenti ta loo; egolae se è equiangolo ed equilateo PROV TU o Quante diagonali ha un tiangolo? 2 1 nessuna 3 o Quante diagonali puoi tacciae dal vetice di un poligono di 5 lati? n o Dimosta che il numeo delle diagonali di un poligono convesso di n lati è pai a n 3 2 o Disegna un ettagono e individua gli angoli inteni, gli angoli esteni e le diagonali o Disegna un poligono con nove diagonali 22 I tiangoli o Un tiangolo è un poligono con te lati (fig 6) (fig 6) Rifeendoci al tiangolo della fig 6, distinguiamo: - te vetici: i punti,, ; - te lati: i segmenti,, ; - te angoli: gli angoli convessi,, 17

20 I lati e gli angoli vengono detti elementi del tiangolo L unione dei te lati, cioè l insieme dei loo punti, costituisce il contono del tiangolo; il segmento somma dei te segmenti è il peimeto del tiangolo Si dicono inteni i punti del tiangolo che non appatengono al suo contono, esteni i punti che non appatengono al tiangolo In un tiangolo, ogni lato si dice opposto all angolo il cui vetice non appatiene al lato stesso e adiacente agli alti due angoli; analogamente, ogni angolo si dice opposto al lato che non contiene il suo vetice e adiacente agli alti due lati Relativamente alla fig 6 si ha, ad esempio, che: - il lato è opposto all angolo ed è adiacente agli angoli e ; - l angolo è opposto al lato ed è adiacente ai lati e PROV TU Rifeendoti sempe alla fig 6, completa le fasi seguenti: a) il lato è opposto all angolo ed è adiacente agli angoli e ; b) l angolo è opposto al lato ed è adiacente ai lati e ; c) il lato è opposto all angolo ed è adiacente agli angoli e ; d) l angolo è opposto al lato ed è adiacente ai lati e 23 lassificazione dei tiangoli ispetto ai lati Un tiangolo si dice: equilateo se ha tutti i te lati conguenti (fig 7a); isoscele se ha due lati conguenti (fig 7b); scaleno se non ha alcuna coppia di lati conguenti (fig 7c) (fig 7a) 18

21 F D I E (fig 7b) G H (fig 7c) Soffemiamoci un po sul tiangolo isoscele onsideiamo il tiangolo isoscele in cui (fig 8): o i due lati conguenti, e, vengono detti lati obliqui; o il tezo lato,, si chiama base; o l angolo, opposto alla base, è detto angolo (fig 8) al vetice; o gli angoli e, adiacenti alla base, si dicono angoli alla base PROV TU Rifeendoti alla fig 9, completa le seguenti fasi: R P Q (fig 9) o Il tiangolo PQR è isoscele sulla base ; o L angolo al vetice è l angolo ; o I lati obliqui sono ; o Gli angoli adiacenti alla base sono gli angoli 19

22 TEOREM Se un tiangolo è isoscele, alloa gli angoli alla base sono conguenti Hp: Th: TEOREM INVERSO: Se un tiangolo ha due angoli conguenti, alloa è isoscele Hp: Th: onsideiamo oa gli angoli 1) Ogni tiangolo può avee al massimo un angolo etto; gli alti due angoli sono acuti 2) Ogni tiangolo può avee al massimo un angolo ottuso; gli alti due angoli sono acuti 3) Gli angoli alla base di un tiangolo isoscele sono acuti Quanto detto pemette la classificazione dei tiangoli ispetto agli angoli Un tiangolo si dice: 20 acutangolo se ha tutti i te angoli acuti (fig11a); ettangolo se ha un angolo etto (fig11b); ottusangolo se ha un angolo ottuso (fig11c)

23 γ α β (fig 11a) γ α β (fig 11b) 90 γ 90 α β (fig 11c) In un tiangolo ettangolo, i due lati che fomano l angolo etto vengono detti cateti, il lato opposto all angolo etto viene detto ipotenusa cateto ipotenusa cateto PROV TU Fa le seguenti affemazioni una è falsa Quale? Un tiangolo può avee: a) tutti e te gli angoli acuti; b) più di un angolo esteno ottuso; c) un angolo acuto e due ottusi; d) due angoli acuti e uno etto; e) due angoli acuti e uno ottuso; f) un angolo ottuso 21

24 La geometia del piano I tiangoli onoscenza e compensione 1) osa si intende con l espessione concetti o enti pimitivi? 2) Quali sono i concetti pimitivi della geometia euclidea? 3) he cos è un assioma o postulato? 4) he cos è un teoema? E un coollaio? 5) Quali sono le pati di un teoema? 6) osa vuol die dimostae un teoema? 7) Qual è la diffeenza fa una dimostazione dietta ed una indietta? 8) Scivi almeno te postulati della geometia euclidea 9) he cos è un fascio di ette popio? 10) osa vuol die oientae una etta? 11) he cos è una semietta? Ed un segmento? 12) Quando due segmenti si dicono consecutivi? E quando adiacenti? 13) Rifeendoti alla seguente figua: D E F quale delle seguenti poposizioni è vea? a) e D sono segmenti consecutivi, DE e EF sono segmenti adiacenti b) e sono segmenti consecutivi, D e DE sono segmenti adiacenti c) e sono segmenti consecutivi, D e EF sono segmenti adiacenti d) e D sono segmenti adiacenti, e sono segmenti adiacenti e) e sono segmenti consecutivi, e D sono segmenti adiacenti 22

25 14) he cos è una spezzata? 15) Spiega la diffeenza fa una spezzata chiusa ed una spezzata apeta 16) Quando una spezzata si dice intecciata? 17) Una sola delle seguenti poposizioni è vea Quale? a) Due segmenti sono consecutivi se la loo intesezione è almeno un punto b) Due segmenti consecutivi sono sempe adiacenti c) Se l intesezione di due segmenti è estemo sia di un segmento che dell alto, alloa i due segmenti sono consecutivi d) L intesezione di due segmenti è sempe un segmento nullo e) Se l intesezione di due segmenti è l estemo di un segmento, alloa i due segmenti sono consecutivi 18) Stabilisci quali ta le seguenti affemazioni sono vee e quali false: a) due ette si dicono complanai se appatengono a piani divesi V F b) pe un punto del piano passano due sole ette V F c) pe un punto del piano passano almeno te ette V F d) pe un punto del piano passano infinite ette V F e) su una etta vi sono almeno 10 punti V F f) due segmenti adiacenti non sono consecutivi V F g) due segmenti consecutivi non sono mai adiacenti V F h) se due ette ed s sono tali che s = Ø, alloa le due ette sono coincidenti V F i) un piano è individuato da te punti distinti e allineati V F l) un piano è individuato da due ette incidenti V F m) un piano è individuato da una etta e da un punto su di essa V F n) un piano è individuato da una etta e da un punto non appatenente ad essa V F o) due ette possono avee almeno due punti in comune V F p) pe te punti distinti del piano può passae una sola etta V F 23

26 19) ompleta le seguenti affemazioni, aiutandoti con le oppotune figue: a) se P è un punto non appatenente ad una etta, le ette passanti pe P ed incidenti sono ; b) un punto O di una etta individua su due ; c) pe un punto passano ette, il cui insieme si dice di di ; d) due punti e di una etta individuano su due e un ; e) due segmenti e si dicono se hanno in comune solo l estemo ; f) due segmenti e si dicono adiacenti se e ; g) su una etta vi sono punti; h) una etta di un piano lo divide in 20) Stabilisci se sono vee o false le seguente affemazioni: a) Una semietta è la metà di una etta V F b) Due ette possono avee più di due punti in comune V F c) Due ette che hanno almeno due punti in comune sono paallele V F d) Pe te punti passano sempe almeno due ette V F e) Due ette sono sghembe se appatengono allo stesso piano V F f) Un segmento è un insieme infinito di punti V F g) Se l intesezione di due segmenti è un segmento non nullo, alloa V F i due segmenti appatengono alla stessa etta h) L unione di due semiette aventi la stessa oigine è una etta V F i) Se l intesezione di due semiette è un segmento nullo, alloa le V F semiette appatengono alla stessa etta l) L intesezione di due ette complanai è sempe divesa dall insieme vuoto V F 24

27 21) Una sola delle seguenti poposizioni è vea Quale? a) Due segmenti appatenenti a semiette opposte sono adiacenti b) Due segmenti che hanno un punto in comune sono adiacenti d) Due segmenti sono adiacenti se la loo intesezione è un segmento non nullo e) Se due segmenti appatengono alla stessa etta e hanno un solo punto in comune, alloa sono adiacenti f) Due segmenti appatenenti alla stessa semietta sono adiacenti 22) Siano R, S, T te punti di una etta oientata ; se S pecede R e T segue S, quale delle seguenti affemazioni è sicuamente vea? a) T pecede R b) R segue T c) T segue R d) R coincide con T e) Nessuna delle pecedenti poposizioni è vea 23) Osseva la seguente figua: D e completa le scittue date, inseendo al posto dei puntini, il temine pecede o segue E E D D E E D 24) Facendo ifeimento alla figua dell esecizio pecedente, stabilisci se se seguenti affemazioni sono vee o false: a) è inteno al segmento E V F b) D è esteno al segmento V F c) è inteno al segmento D V F d) è esteno al segmento V F 25

28 25) on ifeimento alla seguente figua, stabilisci se le seguenti affemazioni sono vee o false: D F R a) F segue D V F b) pecede D V F c) R pecede F V F d) segue R V F e) R segue D V F f) pecede F V F g) D segue F V F 26) osa vuol die che una figua è convessa? E che è concava? 27) he cos è un angolo? Quando due angoli si dicono consecutivi? E quando si dicono adiacenti? 28) Data la seguente figua: β b O α a ompleta le seguenti scittue, sostituendo al posto dei puntini i temini coetti: O degli angoli α e β; a e b : degli ; α angolo ; β 26

29 29) Osseva la seguente figua e completa: α β D a) L angolo si indica con oppue con ; b) L angolo si indica con oppue, ma si indica con D; γ c) D indica l angolo ; d) D indica l angolo ; e) D indica l angolo, ma indica l angolo 30) Una sola delle seguenti affemazioni è falsa Quale? a) Un angolo acuto è una figua convessa b) L intesezione di due figue convesse è sempe una figua convessa c) L intesezione di due figue concave è sempe una figua concava d) Una semietta è una figua convessa e) Un angolo piatto è una figua convessa 31) Dato un angolo, esiste sempe il suo complementae? E il suo supplementae? E il suo esplementae? Motiva le isposte 32) ompleta: a) Due angoli si dicono consecutivi se hanno il e un in comune b) Due angoli si dicono adiacenti se sono e i lati appatengono alla etta c) Due angoli sono opposti al vetice se i di uno sono i dei dell alto d) Due angoli sono quando la loo somma è un angolo etto e) Due angoli sono supplementai quando la è un angolo f) Due angoli sono quando la loo è un angolo gio 27

30 33) Stabilisci quali ta le seguenti affemazioni sono vee e quali false: a) due angoli adiacenti sono anche consecutivi V F b) due angoli consecutivi sono anche adiacenti V F c) un angolo i cui lati sono coincidenti e che contiene tutti punti del piano V F è l angolo nullo d) un angolo si dice concavo se contiene i polungamenti dei suoi lati V F e) la somma di due angoli acuti è un angolo ottuso V F f) la somma di due angoli acuti può essee un angolo ottuso V F g) il doppio di un angolo acuto può essee ancoa un angolo acuto V F h) il complementae di un angolo acuto è un angolo ottuso V F i) il supplementae di un angolo acuto è un angolo ottuso V F l) due angoli che hanno il vetice in comune sono consecutivi V F 34) Osseva la figua: β γ δ α Una sola delle seguenti affemazioni è vea Quale? a) b) è complementae di c) è supplementae di d) > e) è complementae di 28

31 35) Osseva la figua: β α γ ω δ Una sola delle seguenti affemazioni è falsa Quale? a) è complementae di b) > c) d) è il supplementae di + e) è il complementae di 36) Quale delle seguenti affemazioni è vea? a) Il supplementae di un angolo acuto è ancoa un angolo acuto b) Due angoli opposti al vetice sono supplementai c) L esplementae di un angolo etto è l angolo piatto d) Il supplementae di un angolo ottuso è sempe un angolo ottuso e) Due angoli opposti al vetice sono conguenti 37) he cos è un poligono? 38) he cosa si intende pe diagonale di un poligono? 39) Quando un poligono si dice egolae? 40) lassifica i tiangoli ispetto ai lati 29

32 41) Rifeendoti alla seguente figua, completa le scittue seguenti distinguendo i vai elementi: a) i punti,, sono i del tiangolo; b) i segmenti,, sono i te lati del tiangolo; c) gli angoli convessi,, sono gli 42) Quando due figue si dicono conguenti? 43) Peché la elazione di conguenza fa figue è una elazione d equivalenza? 44) Stabilisci quali ta le seguenti affemazioni sono vee e quali false: a) Pe ogni lato di un tiangolo vi è un solo angolo adiacente V F b) Ogni tiangolo equilateo è isoscele V F c) Se un tiangolo non è isoscele, alloa è scaleno V F d) Ogni tiangolo ha te vetici V F e) Un tiangolo isoscele non può essee ottusangolo V F f) Un tiangolo acutangolo è sempe scaleno V F g) Ogni segmento che ha pe estemi due punti inteni di un tiangolo è V F sempe inteno al tiangolo (osa significa?) h) Un tiangolo ettangolo può anche essee ottusangolo V F i) Un angolo di un tiangolo e l angolo esteno adiacente ad esso sono V F supplementai l) Un tiangolo isoscele può avee un solo angolo acuto V F m) Un tiangolo ettangolo non può essee isoscele V F 30

33 Esecizi La geometia del piano 1) ompleta, utilizzando i simboli oppotuni (,,,,,, //, ), le elazioni ta gli enti geometici appesentati in ciascuna delle seguenti figue: s P s = P} = } s s ; = Ø * * M M M α α β β 31

34 2) Disegna, nel piano, le seguenti figue geometiche: a) due semiette tali che la loo intesezione sia un segmento; b) due ette ed s incidenti in un punto P; c) le ette che passano pe due punti distinti e ; d) le ette che passano pe un punto D; e) una etta oientata s e su di essa te punti O, P, Q, tali che Q pecede O e Q segue P; f) due semiette aventi la stessa oigine ; g) due segmenti consecutivi; h) due segmenti adiacenti; i) una spezzata non intecciata chiusa di 6 lati; j) una spezzata intecciata apeta di 5 vetici; k) quatto punti, a te a te non allineati, e tutte le possibili ette da essi individuate; l) quatto punti di cui te allineati e tutte le possibili ette da essi individuate 3) ompleta, ossevando la seguente figua: E D s t = E t D t ED = = = s t = t = ED = D = D s t 32

35 4) Riconosci quali delle seguenti figue sono convesse e quali concave: 5) Osseva la figua e completa come nell esempio: G 2 1 PQ; PQ; 6 5 PQ; HR DI; DI PQ; SN HR; G DI; SN G; 5 2 E; FM 6 7 ; E 7 ;

36 Esecizio guidato 6) In un tiangolo, isoscele sulla base, i lati e supeano ciascuno di 6 cm la base Sapendo che il peimeto del tiangolo è 36 cm, calcola le misue dei lati OMPLET: * * Hp: + 6 cm + + = 36 cm ( ) * Th: =? ; =? ; =? [(* ) pe la misua della lunghezza dei segmenti utilizziamo il segno di uguaglianza] È oppotuno il seguente ausilio gafico: base 6 cm lato lato 6 cm Si ha quindi: 3 = 36 ( + ) = 12 = = : 3 = cm = + 6 = cm 7) Una spezzata apeta di quatto lati è lunga 84 cm Il pimo lato misua 36 cm, il secondo è la quata pate del pimo e il tezo è conguente alla diffeenza dei pimi due alcola la misua del quato lato [12 cm] 8) In un tiangolo, isoscele sulla base, ciascuno dei lati supea di 12 cm la base Sapendo che il peimeto del tiangolo è 72 cm, calcola la misua dei lati [16 cm; 28 cm; 28 cm] 34

37 9) Disegna le seguenti figue: a) un angolo concavo e un angolo convesso b) due angoli consecutivi c) due angoli adiacenti d) due angoli opposti al vetice e) un angolo convesso O e la sua bisettice O f) due angoli complementai g) due angoli supplementai h) due angoli esplementai 10) Rappesenta le seguenti figue: a due angoli consecutivi complementai b due angoli consecutivi supplementai (come si chiamano?) c due angoli consecutivi esplementai d un angolo tiplo di un angolo etto 11) Utilizzando squada e compasso, costuisci la bisettice dei seguenti angoli: R O P Q F M L I E D G H I 35

38 12) Individua, ta gli angoli delle figue seguenti, l angolo nullo, l angolo acuto, l angolo etto, l angolo ottuso, l angolo piatto, l angolo gio s O O s O O s O O 36

39 13) ompleta, se possibile, la seguente tabella: angolo complementae supplementae esplementae Disegna le figue coispondenti alle seguenti descizioni: 14) Due segmenti e D si intesecano nel loo punto medio S; unisci con e con D 15) Due segmenti e D si intesecano in un punto M; unisci il punto con il punto medio N di MD e polunga N di un segmento NF conguente a N Taccia il segmento FD e, poi, il segmento G, passante pe il punto medio T di M, tale che T sia conguente a TG Unisci con G 16) Gli angoli e DE sono opposti al vetice; la semietta s di oigine è intena a D, mente la semietta t di oigine è intena a E; taccia il segmento FG con F appatenente a s e G appatenente a t 17) FKH è un angolo piatto, FK KH, MKH < 90, T appatiene al semipiano di oigine FH contenente M TKF > 90 e TK esteno a MKH 18) Due semiette s e m, aventi la stessa oigine, fomano un angolo etto D appatiene alla semietta s e F alla semietta m, inolte F è il tiplo di D; taccia il segmento DF 19) Dal vetice di un tiangolo, isoscele sulla base, ed estenamente ad esso, conduci due semiette che fomino con i lati del tiangolo due angoli conguenti Le due semiette incontano il polungamento della base, dalla pate di, nel punto E e dalla pate di nel punto F 37

40 20) al telefono Mata: Lucia, mi puoi die quali sono i compiti di matematica pe domani? Lucia: Il pof ha disegnato una figua alla lavagna e ha detto di completae alcune elazioni Mata: Mandamela pe Lucia: Non posso, ho poblemi con intenet; è da iei sea che non iesco a connettemi Mata: Spiegala pe telefono; io povo a disegnala Lucia: Va bene; ci povo! Il pof ha disegnato due segmenti consecutivi e in modo che sia il doppio di e che fomino ta loo un angolo etto; poi dal punto medio H di ha disegnato un segmento HE conguente ad e che foma con un angolo etto; infine ha disegnato un segmento che unisce con il punto medio S di HE e un segmento che unisce con E Mata: Gazie! E le elazioni da completae? Lucia: h, dimenticavo Devi inseie i simboli di conguenza, maggioe o minoe, appatiene, non appatiene Scivi: H; ES ; H ; HS 90 ; E = ; SH 90 ; HE 90 ; H HE; E H Quale figua avà disegnato Mata? ome avà completato le elazioni? Pova a falo tu! 21) il giono dopo Lucia: Mata, mi fai vedee la tua figua? ontolliamo le elazioni? Mata: Subito! Guada Lucia: Ma sono divese! Eppue pensavo di essee stata molto pecisa E poi, nella mia figua E e non si incontano, invece nella tua figua sì nche pe l angolo HE abbiamo scitto due cose divese: pe me è etto, invece pe te è un angolo acuto osa avebbe dovuto die Lucia affinché Mata, disegnando la figua, completasse le elazioni nello stesso modo? 38

41 I tiangoli Disegna le seguenti figue: 22) un tiangolo, isoscele sulla base 23) un tiangolo, etto in 24) un tiangolo acutangolo 25) un tiangolo, ottusangolo in 26) un tiangolo equilateo Veifica, con un goniometo, che i te angoli sono conguenti 27) un tiangolo scaleno acutangolo 28) un tiangolo scaleno ottusangolo ostuisci un tiangolo isoscele che abbia come base il segmento indicato 29) 30) D 31) E F 39

42 ostuisci un tiangolo equilateo che abbia come base il segmento indicato 32) 33) D 34) E F 40

43 PITOLO 3 PERPENDIOLRIT E PRLLELISMO 31 Rette pependicolai Nell unità 1 abbiamo visto che due ette ed s del piano si dicono incidenti se hanno in comune uno ed un solo punto P In paticolae, due ette incidenti si dicono pependicolai se dividono il piano in quatto angoli conguenti, cioè etti (fig 1) s P (fig 1) pependicolae ad s Pe indicae che la etta è pependicolae alla etta s si scive s (si legge pependicolae ad s ) In ealtà, pe stabilie che s è sufficiente sapee che uno dei quatto angoli è etto PERHE? Due ette incidenti che non sono pependicolai si dicono oblique Teoema dell esistenza e dell unicità della pependicolae Pe un punto P del piano passa una ed una sola etta pependicolae ad una data etta 32 Le poiezioni otogonali Data una etta, si chiama piede della pependicolae, o poiezione otogonale, di P su, il punto in cui la pependicolae pe P ad inteseca la etta data - In fig 61, il piede della pependicolae condotta da P ad è il punto P stesso; - in fig 62, il piede della pependicolae condotta da P ad è il punto H Il segmento di pependicolae PH (fig 62) appesenta la distanza del punto P dalla etta (nel caso della fig 61 tale distanza è nulla) 41

44 PROV TU Rifeendoti alla seguente figua: P H dimosta che il segmento PH è minoe di ogni segmento obliquo condotto da P alla etta OSSERVZIONE: Quanto sopa ti pemette di dedue che il segmento di pependicolae PH è il segmento di minima lunghezza che congiunge P con URIOSIT FIUME RUME Punto ditto veso il piede della pependicolae condotta da me all agine del fiume Ho sete! 42 Ho sete!

45 PROV TU Indica la distanza punto etta nelle seguenti figue: O P s Q t Dati un segmento PQ ed una etta, siano P' e Q' le poiezioni otogonali ispettivamente di P e Q su Il segmento P'Q' si dice poiezione otogonale di PQ su Si hanno i casi illustati nelle seguenti figue: P Q (fig 7a) Q (fig 7b) P' Q' P P' Q' P Q (fig 7c) Q (fig 7d) P' Q' P' P Q' Q P P' Q' (fig 7e) 43

46 La elazione di pependicolaità ci pemette di dae nuove definizioni: Si chiama asse di un segmento la pependicolae ad passante pe il suo punto medio M (fig 8): asse di * M * (fig 8) Paleemo compiutamente dell asse di un segmento al temine della pesente unità 33 Mediane, altezze e bisettici di un tiangolo Dato un tiangolo si dice: - mediana elativa al lato il segmento M che unisce il vetice con il punto medio M del lato opposto (fig 9) M: mediana elativa al lato * M * (fig 9) - altezza elativa al lato il segmento di pependicolae H condotto dal vetice alla etta (fig 10) H: altezza elativa al lato H (fig 10) 44

47 - bisettice elativa al vetice, o all angolo inteno di vetice, il segmento della bisettice dell angolo compeso fa il vetice e il punto D di intesezione con il lato opposto (fig 11) D: bisettice elativa al vetice D (fig 11) OSSERVZIONE: In ogni tiangolo vi sono quindi: te mediane (ciascuna elativa ad un lato); te altezze (ciascuna elativa ad un lato); te bisettici (ciascuna elativa ad un angolo inteno) PROV TU Taccia le mediane elative a ciascun lato di un tiangolo, nei te divesi casi di un tiangolo acutangolo, ettangolo, ottusangolo Taccia le altezze elative a ciascun lato di un tiangolo PQR, nei te divesi casi di un tiangolo acutangolo, ettangolo, ottusangolo Taccia le bisettici degli angoli inteni di un tiangolo STU, nei te divesi casi di un tiangolo acutangolo, ettangolo, ottusangolo OMPLET le seguenti affemazioni mettendo al posto dei puntini la paola sono o non sono : Le mediane sempe intene al tiangolo; Le altezze sempe intene al tiangolo; Le bisettici sempe intene al tiangolo questo punto dimostiamo un alta popietà del tiangolo isoscele, pemettendo la seguente OSSERVZIONE: Quando in un teoema (o in un poblema) viene dato un tiangolo isoscele, nell ipotesi indicheemo la conguenza dei due lati (obliqui), in figua segneemo tali lati con uno stesso simbolo e analogamente faemo pe gli angoli alla base (pagg 32 e 33, fascicolo 1, geometia) 45

48 Teoema In un tiangolo isoscele la bisettice dell angolo al vetice, è anche altezza e mediana elativa alla base Hp: D D Th: D D D D Possiamo quindi concludee che in un tiangolo isoscele, la bisettice dell angolo al vetice, l altezza e la mediana elative alla base coincidono 34 Le ette paallele bbiamo già palato (pag 5, fascicolo 1, geometia) delle ette paallele Ricodiamo che: // s s s = Ø Non sempe, peò, è possibile vedee ette che si incontano o meno, dal momento che non possiamo seguile, essendo infinite POSTULTO DELLE PRLLELE (o V POSTULTO DI EULIDE) Dati nel piano una etta ed un punto P, esiste ed è unica la etta s, paallela ad, passante pe P (fig 15) P s (fig 15) Se P, si ha che s (fig 16): P s (fig 16) 46

49 35 Il citeio di paallelismo e le popietà delle ette paallele bbiamo già detto della difficoltà di stabilie se due ette ed s sono paallele ta loo Si ceca, quindi, di isolvee il poblema icecando una condizione geneale pe affemae che due ette sono paallele tale scopo consideiamo due ette distinte ed s e una etta t, detta tasvesale, che le inconta entambe fomando otto angoli (fig 18) t s (fig 18) Le coppie di angoli ( 3 ; 5 ) e ( 4 ; 6 ) si dicono angoli alteni inteni [gli angoli di ogni coppia si tovano da pate opposta ispetto alla tasvesale t e all inteno della egione di piano delimitata dalle due ette ed s] Le coppie di angoli ( 1 ; 7 ) e ( 2 ; 8 ) si dicono angoli alteni esteni [gli angoli di ogni coppia si tovano da pate opposta ispetto alla tasvesale t e all esteno della egione di piano delimitata dalle due ette ed s] Le coppie di angoli ( 1 ; 5 ), ( 2 ; 6 ), ( 3 ; 7 ) e ( 4 ; 8 ) si dicono angoli coispondenti [gli angoli di ogni coppia si tovano dalla stessa pate ispetto alla tasvesale t e sono uno inteno e uno esteno alla egione di piano delimitata dalle due ette ed s] Le coppie di angoli ( 3 ; 6 ) e ( 4 ; 5 ) si dicono angoli coniugati inteni [gli angoli di ogni coppia si tovano dalla stessa pate ispetto alla tasvesale t e sono entambi inteni alla egione di piano delimitata dalle due ette ed s] Le coppie di angoli ( 1 ; 8 ) e ( 2 ; 7 ) si dicono angoli coniugati esteni [gli angoli di ogni coppia si tovano dalla stessa pate ispetto alla tasvesale t e sono entambi esteni alla egione di piano delimitata dalle due ette ed s] 47

50 Teoema Se due ette tagliate da una tasvesale fomano angoli alteni inteni conguenti, alloa le due ette sono paallele (fig 19) t Si può genealizzae il teoema pecedente dimostando il seguente: iteio geneale di paallelismo Se due ette tagliate da una tasvesale fomano: angoli alteni (inteni o esteni) conguenti; oppue angoli coispondenti conguenti; oppue α α' angoli coniugati (inteni o esteni) supplementai; alloa le due ette sono paallele s Hp: α α' Th: // s (fig 19) Quanto detto pemette di concludee che se due ette ed s, tagliate da una tasvesale t, fomano due angoli alteni (inteni o esteni) conguenti, o due angoli coispondenti conguenti, o due angoli coniugati (inteni o esteni) supplementai, alloa: tutte le coppie di angoli alteni ((inteni o esteni) sono conguenti; tutte le coppie di angoli coispondenti sono conguenti; tutte le coppie di angoli coniugati (inteni o esteni) sono supplementai Teoema inveso Se due ette sono paallele, alloa, tagliate da una tasvesale, fomano con essa angoli alteni inteni conguenti (fig 23) t s α α' Hp: // s Th: α α' 48

51 Teoema (inveso del teoema del citeio geneale di paallelismo) Se due ette sono paallele e distinte, alloa, tagliate da una tasvesale, fomano con essa: angoli alteni (inteni o esteni) conguenti; angoli coispondenti conguenti; angoli coniugati (inteni o esteni) supplementai 36 Popietà dei tiangoli Teoema (secondo teoema dell angolo esteno) In ogni tiangolo, ciascun angolo esteno è conguente alla somma degli angoli inteni ad esso non adiacenti Hp: Th: D angolo esteno del tiangolo D + D Teoema sulla somma degli angoli inteni di un tiangolo La somma degli angoli inteni di ogni tiangolo è conguente ad un angolo piatto 37 Somma degli angoli inteni ed esteni di un poligono Quanto vale la somma degli angoli inteni di un poligono di n lati? Pe ispondee a questa domanda, fai ifeimento al pentagono della figua seguente: D E e OMPLET: Unisci i vetici del pentagono con il punto P (un qualsiasi punto inteno del pentagono): D E P 49

52 Il poligono esta diviso in tiangoli, cioè in tanti tiangoli sono i lati del poligono Segna gli angoli inteni di tutti i tiangoli Poiché la somma degli angoli inteni di ogni tiangolo è conguente a, la somma degli angoli inteni di tutti i tiangoli, in cui esta diviso il pentagono, è conguente a Quindi la somma degli angoli inteni del poligono è conguente alla diffeenza fa la degli angoli inteni di tutti i tiangoli e la degli angoli di vetice che vale Indicando con S i la somma degli angoli inteni del pentagono, si ha: S i = 5 2 e, applicando la popietà distibutiva, S i = ( 2) = In geneale, pe un poligono di n lati, si ha: S i = ( - 2) [= n 2 ] Vale, quindi, il seguente: Teoema La somma degli angoli inteni di un poligono convesso di n lati è conguente ad (n 2) angoli piatti (cioè a tanti angoli piatti quanti sono i lati meno un angolo gio) E ancoa osseva la seguente figua, dove la lettea e indica l angolo esteno e OMPLET: E e e D e e e Ogni angolo esteno è ad un angolo inteno che ha lo stesso vetice, quindi la somma di un angolo esteno e dell angolo inteno con lo stesso vetice vale Indicando con: S i = somma degli angoli inteni del pentagono; S e = somma degli angoli esteni del pentagono, si ha: S i + S e =, e poiché, pe il pentagono isulta che: S i = 3, puoi concludee che: S e = 50

53 Ripeti lo stesso agionamento pe: un poligono di 4 lati; un poligono di 6 lati; un poligono di 7 lati; un poligono di 8 lati Oa genealizza il agionamento pe un poligono di n lati, così da dimostae che: S e = 2, qualunque sia il numeo dei lati del poligono Vale, dunque, il seguente: Teoema La somma degli angoli esteni di un poligono convesso di n lati è conguente ad un angolo gio, qualunque sia il numeo dei lati del poligono 38 I luoghi geometici Si dice luogo geometico, o semplicemente luogo, la figua costituita da tutti e soli i punti (del piano) che godono di una deteminata popietà Quindi, una figua F è un luogo, definito da una popietà P, se: 1 ogni punto di F gode della popietà P; 2 ogni punto, che gode della popietà P, appatiene ad F Vediamo due esempi di luoghi : la bisettice di un angolo; l asse di un segmento La bisettice di un angolo è il luogo dei punti del piano equidistanti dai lati dell angolo L asse di un segmento è il luogo geometico dei punti equidistanti dagli estemi del segmento stesso 51

54 ESERIZI PITOLO 3 Pependicolaità e paallelismo onoscenza e compensione 1) Quando due ette si dicono incidenti? 2) Quando due ette si dicono pependicolai? 3) Quando due ette si dicono oblique? 4) osa si intende pe distanza di un punto P da una etta? 5) Rifeendoti alla seguente figua, completa le seguenti affemazioni: s P H il punto H è la di su ; il punto H è il della condotta da P su ; il segmento PH si dice di P da ; il segmento PH si dice il segmento di condotto da ad ; la etta s è la pependicolae alla etta, passante pe ; le ette ed s dividono il piano in angoli ; la etta è la pependicolae alla etta, passante pe 52

55 6) Una sola delle seguenti affemazioni è vea Quale? L asse di un segmento è: a) la etta che passa pe un qualsiasi punto del segmento ed è pependicolae al segmento stesso; b) la etta che passa pe il punto ed è pependicolae al segmento ; c) la etta che passa pe il punto ed è pependicolae al segmento ; d) la etta che passa pe il punto medio del segmento ed è pependicolae al segmento stesso; e) una etta passante pe il punto medio del segmento ; f) un segmento con un estemo nel punto medio di, pependicolae e conguente ad stesso 7) Dato un tiangolo, definisci: la mediana elativa al lato ; l altezza elativa al lato ; la bisettice elativa al vetice ; l asse del segmento 8) Osseva la figua e completa le poposizioni elative al tiangolo : H * M * D D è la elativa all angolo ; a M è il del lato ; è elativo al lato ; H è il della condotta da alla etta ; H è elativa al lato ; M è la elativa al 53

56 9) Indica il nome degli angoli indicati in ognuna delle seguenti figue: a) s t b) s c) t s t d) s t e) s 54 t

57 10) Nella figua a lato, le ette ed s sono paallele t s ompleta: angoli angoli angoli angoli angoli ) ompleta le seguenti affemazioni: in un tiangolo, ciascun angolo è conguente alla somma degli ad esso non la somma degli angoli inteni di ogni tiangolo è ad un angolo gli angoli acuti di un tiangolo ettangolo sono in un tiangolo ettangolo isoscele, ciascun angolo acuto è di un angolo etto ciascun angolo di ogni tiangolo equilateo è conguente alla pate di un angolo piatto la somma degli angoli inteni di un pentagono è conguente a angoli piatti la somma degli angoli inteni di un ottagono è conguente a angoli piatti la somma degli angoli inteni di un poligono di n lati è conguente a angoli piatti 55

58 la somma degli angoli esteni di un esagono è conguente a piatti la somma degli angoli esteni di un decagono è conguente a piatti la somma degli angoli esteni di un poligono di n lati è conguente a angoli piatti 12) Uno dei seguenti enunciati è falso Quale? a) Un angolo esteno di un tiangolo può essee conguente ad un angolo inteno ad esso adiacente b) La somma degli angoli inteni di un tiangolo è conguente alla somma dei suoi angoli esteni c) Ogni angolo esteno di un tiangolo è maggioe di ciascun angolo inteno, ad esso non adiacente d) Un tiangolo può essee contempoaneamente isoscele e ettangolo e) In un tiangolo, due angoli esteni sono sempe ottusi f) Ogni angolo esteno di un tiangolo equilateo è conguente al doppio dell angolo inteno adiacente g) La somma degli angoli inteni di un quadilateo è conguente ad un angolo gio 13) ompleta le seguenti affemazioni: un luogo geometico è la figua costituita da i punti del piano che godono di una deteminata popietà la bisettice di un angolo è il luogo dei punti dai dell angolo l asse di un segmento è il luogo dei punti dagli del il luogo geometico dei punti aventi una fissata distanza h da una data etta sono due paallele ad, ciascuna a distanza da 56

59 pplicazioni 1) Segui e OMPLET la costuzione di una etta s pependicolae alla etta data in figua Sia data una etta : Pendi un punto qualsiasi P sulla etta : P Facendo cento con il compasso in P, con apetua a piacee, detemina su due punti e : P Si ha che: P Punta, oa, il compasso in e, con apetua maggioe di P, taccia un aco nalogamente, dal punto, con la stessa apetua, taccia un secondo aco che inconteà il pimo in un punto Q [Peché l apetua del compasso deve essee maggioe di P (o di P)?] Q P onduci la etta s passante pe i punti P e Q: Q P Si ha che le ette ed s sono (VERIFI le tue conclusioni, utilizzando il goniometo) 57

60 2) Ripoduci sul quadeno le ette della seguente figua e taccia, pe ognuna, secondo l esecizio pecedente, la pependicolae in un loo punto a tua scelta: s OSTRUZIONE, ON RIG E SQUDR, DELL PERPENDIOLRE D UN RETT DT: Osseva la costuzione della pependicolae alla etta assegnata, passante pe un suo punto P, con l utilizzo di iga e squada: P P P 58

61 PROV TU Puoi facilmente pocedee con la stessa costuzione nel caso della pependicolae alla etta data, passante pe un punto Q qualsiasi del piano 3) Pe ogni etta della figua, taccia una qualsiasi etta pependicolae ad essa s t u 4) Pe ogni etta della figua, taccia la etta passante pe il punto indicato e pependicolae alla etta data P s Q N O v u 59

62 5) Rappesenta la distanza dalla etta di ciascuno dei punti indicati nella seguente figua: P Q 6) Disegna la poiezione otogonale P'Q' del segmento PQ sulla etta, nei casi indicati dalle figue seguenti: P Q Q P Q P Q P 7) Taccia le poiezioni otogonali dei punti,, e dei segmenti DE e FG sulla etta D E F G 60

63 ltezze, mediane, bisettici e assi di un tiangolo Ripoduci sul quadeno i tiangoli in figua e taccia le altezze elative a ciascun lato Veifica che le te altezze, o i loo polungamenti, si incontano in uno stesso punto (otocento del tiangolo) 8) 9) F D E 10) I G H OMPLET: L otocento è al tiangolo, se il tiangolo è ; coincide con il vetice dell angolo, se il tiangolo è ettangolo; è al tiangolo, se il tiangolo è 61

64 Ripoduci sul quadeno i tiangoli in figua e taccia le mediane elative a ciascun lato Veifica che le te mediane si incontano in uno stesso punto (baicento del tiangolo) 11) 12) F D E 13) I G H OMPLET: Il baicento è sempe al tiangolo Veifica con la squadetta che il baicento divide ciascuna mediana in due pati, delle quali quella che contiene il vetice è doppia dell alta 62

65 Ripoduci sul quadeno i tiangoli in figua e taccia le bisettici elative a ciascun lato Veifica che le te bisettici si incontano in uno stesso punto (incento del tiangolo) 14) 15) F D E 16) I G H OMPLET: L incento è sempe al tiangolo Veifica con il compasso che l incento è il cento della ciconfeenza inscitta nel tiangolo ( tocca, cioè, i te lati del tiangolo) 63

66 Ripoduci sul quadeno i tiangoli in figua e taccia gli assi elativi a ciascun lato Veifica che i te assi, o i loo polungamenti, si incontano in uno stesso punto (cicocento del tiangolo) 17) 18) F D E 19) I G H OMPLET: Il cicocento non è sempe al tiangolo Veifica con il compasso che il cicocento è il cento della ciconfeenza cicoscitta al tiangolo ( passa, cioè, pe i te vetici del tiangolo) 64

67 OSTRUZIONE, ON RIG E SQUDR, DELL PRLLEL D UN RETT DT Osseva la costuzione di una etta s paallela alla etta data: s Quindi: s s // 65

68 20) ostuisci, con iga e squada, una paallela a ciascuna etta data: a) b) s c) t d) u 66

69 21) Pe ogni etta della figua, taccia la paallela passante pe il punto indicato a) b) s c) t d) D u 67

70 22) In ifeimento alla seguente figua, sapendo che // s, OMPLET le elazioni indicate t s = 74 ; 4 = = ; 3 = 3 5 angoli 1 = ; 7 = = ; 8 = 2 8 angoli 1 = ; 5 = = ; 6 = = ; 7 = = ; 8 = 4 8 angoli = = 4 5 angoli = = 2 7 angoli 23) Due ette paallele a e b sono tagliate da una tasvesale t che foma con la etta a un angolo di 53 alcola le ampiezze di tutti gli angoli fomati da a e da b con la tasvesale t 24) Due ette paallele p e q sono tagliate da una tasvesale t che foma con la etta q un angolo di ' alcola le ampiezze di tutti gli angoli fomati da p e da q con la tasvesale t

71 ngoli di un tiangolo alcola l ampiezza degli angoli indicati con il simbolo x 25) x = x 32 26) x x = ) R 40 P x 28 Q x = 28) L 30 x M 107 x = N 69

72 29) Q 36 x = O x P 30) T x * * 62 x = R S 31) Z 31 * * x = x U V 32) ' x * * x = ' * ' 70

73 33) F' x 125 x = D' E' G' 34) L' 48 * * x x = H' I' 35) P' O' 134 * * x x = M' N' 36) S' * x x = Q' * R' T' 71

74 OHIO LLE OLIMPIDI! UN OHIT LLE OLIMPIDI NZI, NEL MIO SO, DUE OHITE! 1) Nel tiangolo le semiette N e M sono le bisettici di e e si intesecano in P Sapendo che P = 140, quanto misua l angolo in? D 120 E 130 [Olimpiadi Matematica, Giochi di chimede 2000] [D] 2) Nella figua qui a fianco, quanto misua l angolo α? D 90 E Non può essee deteminato con i soli dati foniti [Olimpiadi Matematica, Giochi di chimede 2005] α [] 72

75 3) Nel pentagono egolae disegnato a fianco, il tiangolo è equilateo Quanto vale l angolo convesso FD? 120 E D 168 E 170 F [Olimpiadi Matematica, Giochi di chimede 1996] D [D] 4) Quanto vale l angolo x in figua? γ α β δ x 180 α + γ 180 β + γ α + δ D β + δ E 180 δ γ [Olimpiadi Matematica, Giochi di chimede 1995] [] 5) Si sa che nella figua seguente E = 60, E = 20, D = 25 I punti E, D e sono allineati Qual è la misua di D? E D D 105 E Le infomazioni sono insufficienti [Olimpiadi Matematica, Giochi di chimede 1996] [] 73

76 6) In un tiangolo, pe ogni coppia di lati consecutivi, i due assi dei lati e la bisettice dell angolo fomato dai due lati si incontano in uno stesso punto Possiamo affemae che: non esiste un tiangolo con questa popietà; il tiangolo è equilateo; il tiangolo ha un angolo di 30 ; il tiangolo è ettangolo; il tiangolo ha un angolo di 45 [Olimpiadi Matematica, Giochi di chimede 2005] [] 7) Nel tiangolo le semiette N e M sono le bisettici di e e si intesecano in P Sapendo che P = 140, quanto misua la misua dell angolo in? ) 90 ) 100 ) 110 D) 120 M P E) 130 N [Olimpiadi Matematica, Giochi di chimede 2000] [] 8) D è un quadato ed E è un tiangolo equilateo Quanto misua in gadi l angolo ED? ) 120 E ) 135 ) 150 D) 160 E) Nessuno dei pecedenti D [Olimpiadi Matematica, Giochi di chimede 1994] [] 9) Quanti angoli maggioi di 90 può avee un quadilateo (non intecciato)? ) Ne ha sempe almeno uno ) Ne ha al più uno ) Ne ha al più due D) Ne ha al più te E) Può avene quatto [Olimpiadi Matematica, Giochi di chimede 1995] [D] 74

77 PITOLO 4 I QUDRILTERI 41 Genealità Ricodiamo che un quadilateo è un poligono che ha quatto lati (pag 25 e successive, fascicolo 1, geometia) Le figue che seguono sono state ottenute pendendo nel piano quatto punti,,, D (indicati volutamente sempe con lo stesso nome ), uniti con i segmenti,, D, D: D D fig 1 fig 2 D fig 3 In fig 1 è appesentato un quadilateo convesso (la etta di ogni lato lascia il poligono tutto da una stessa pate) In fig 2 è appesentato un quadilateo concavo (la etta di qualche lato in figua la etta D e la etta D non lascia il poligono tutto da una stessa pate) In fig 3 è appesentato un quadilateo intecciato (due lati si tagliano in un punto) [Pe quanto detto a pag 25, fascicolo 1, geometia, non appesenta un poligono] Quando nel seguito paleemo di quadilateo senza ulteioe specificazione, intendeemo sempe quadilateo convesso 75

78 onsideiamo il quadilateo D di fig 4: D e osseviamo quanto segue: fig 4 o i punti,, e D sono i vetici del quadilateo; o i vetici e, e, e D, D e si dicono vetici consecutivi del quadilateo (vetici che sono estemi di uno stesso lato); o i vetici e, e D si dicono vetici opposti del quadilateo (non sono estemi di uno stesso lato); o i segmenti,, D e D sono i lati del quadilateo; o i lati e, e D, D e D, D e si dicono lati consecutivi del quadilateo (ogni coppia di lati ha un vetice in comune); o i lati e D, e D si dicono lati opposti del quadilateo (ogni coppia di lati non ha alcun vetice in comune); o gli angoli, D, D e D sono gli angoli inteni del quadilateo; o gli angoli e D, D e D, D e D sono gli angoli adiacenti del quadilateo (ogni coppia di angoli ha i vetici consecutivi); o gli angoli e D, D e D sono gli angoli opposti del quadilateo (ogni coppia di angoli ha i vetici opposti); o i segmenti e D sono le diagonali del quadilateo (uniscono vetici non consecutivi) Ogni quadilateo può essee scomposto (da ciascuna delle due diagonali) in due tiangoli [fig 5]: D fig 5 76

79 La somma S i degli angoli inteni di un quadilateo è alloa conguente alla somma degli angoli inteni di due tiangoli, cioè a 2 angoli piatti ( = = 360 ) La somma degli angoli esteni di un quadilateo è conguente ad un angolo gio (= 360 ) 42 Il Tapezio Il tapezio è un quadilateo che ha due soli lati opposti paalleli 1 (fig 6): D fig 6 I lati paalleli vengono detti basi; i lati non paalleli vengono detti lati obliqui Relativamente alla fig 8, si ha che: e D sono le basi: la base maggioe, D la base minoe; D e sono i lati obliqui Il tapezio si può pensae ottenuto dall intesezione di una stiscia di piano e di un angolo convesso con i lati che incontano la stiscia (fig 7): D fig 7 La distanza ta i due lati paalleli si dice altezza del tapezio e può essee tacciata indiffeentemente a patie da un qualsiasi punto della base minoe (o della base maggioe) E comunque consuetudine tacciae l altezza da uno dei due estemi della base minoe o da entambi (fig 8): D H altezza; DK altezza K H fig 8 1 vedi fine paagafo 77

80 Si ha: o i punti K e H sono i piedi ispettivamente delle altezze DK e H; o i segmenti K e H sono le poiezioni ispettivamente dei lati obliqui D e sulla base maggioe ; o le coppie (D, D) e (, D) isultano fomate da angoli ta loo supplementai, peché coniugati inteni ispetto alle paallele e D tagliate ispettivamente dalle tasvesali D e Vale, petanto, il seguente teoema: in ogni tapezio gli angoli adiacenti allo stesso lato obliquo sono supplementai lassificazione dei tapezi Un tapezio si dice: isoscele se i lati obliqui sono conguenti (fig 9); ettangolo se uno dei due lati non paalleli è pependicolae alle due basi (fig 10) D * * D tapezio isoscele fig 9 S R PQRS tapezio ettangolo (si dice che ha un solo lato obliquo) SP altezza del tapezio P Q fig 10 OSSERVZIONE: Molti autoi palano anche di tapezio scaleno cioè di un tapezio i cui lati obliqui non sono conguenti (fig 11): Z V // TUVZ tapezio scaleno (un tapezio che non è né isoscele né ettangolo) T U fig 11 78

81 PROPRIET DEL TRPEZIO ISOSELE In un tapezio isoscele: gli angoli adiacenti a ciascuna base sono conguenti le poiezioni dei lati obliqui sulla base maggioe sono conguenti gli angoli opposti sono supplementai le diagonali sono conguenti la etta che passa pe i punti medi delle basi è asse di simmetia del tapezio 1 La pecisazione che il tapezio ha due soli lati opposti paalleli e dovuta al fatto che, senza di essa, il paallelogamma può essee visto come un tapezio e, in paticolae, come un tapezio isoscele, pe cui dovebbe godee di tutte le popietà di tale quadilateo ma, come vedemo in seguito, questo non e veo [pecisamente, in un geneico paallelogamma, le diagonali non sono conguenti, così come isulta, invece, nel tapezio isoscele (tale popietà vale solo in paticolai paallelogammi: ettangoli e quadati)] Sempe pe evitae che un paallelogamma sia intepetato come un paticolae tapezio, si può dae la seguente definizione: Si dice tapezio un quadilateo convesso con due lati opposti paalleli e non conguenti 43 Il paallelogamma Si dice paallelogamma un quadilateo avente i lati opposti paalleli (fig 12): D fig 12 Quindi: // D e D // 79

82 OSSERVZIONE: Il paallelogamma può essee visto come intesezione di due stisce di piano [icodiamo che una stiscia è la pate di piano limitata da due ette paallele] (fig 13): t D u fig 13 s Si definisce altezza del paallelogamma la distanza di un vetice dal lato opposto, che viene detto base (fig 14): D H H altezza elativa al lato D; DK altezza elativa al lato K (fig 14) PROPRIET DEL PRLLELOGRMM In ogni paallelogamma: 1 ciascuna diagonale lo divide in due tiangoli conguenti; 2 i lati opposti sono conguenti; 3 gli angoli opposti sono conguenti; 4 gli angoli adiacenti a ciascun lato sono supplementai; 5 le diagonali si tagliano scambievolmente pe metà Paallelogammi paticolai Esistono paallelogammi paticolai il ettangolo, il ombo e il quadato che, olte alle caatteistiche del paallelogamma, godono di paticolai popietà 80

83 44 Il ettangolo Il ettangolo e un paallelogamma che ha i quatto angoli conguenti D D OSSERVZIONE: Si poteva dae la seguente definizione: Il ettangolo è un quadilateo che ha i quatto angoli conguenti Infatti, un tale quadilateo, avendo gli angoli opposti conguenti, isulta un paallelogamma e in più tutti gli angoli isultano etti, essendo la somma degli angoli inteni di ogni quadilateo conguente a due angoli piatti D = = = D = π 2 Un quadilateo può, ovviamente, avee un angolo etto senza essee un ettangolo D Un paallelogamma che ha, invece, un angolo etto, ha etti tutti gli alti angoli, cioe e un ettangolo PERHE'? Da qui ancoa un alta possibile definizione: Il ettangolo è un paallelogamma che ha un angolo etto 81

84 Nel ettangolo D D qualunque lato può essee consideato come base ed il lato ad esso pependicolae come altezza La base e l altezza si dicono dimensioni del ettangolo Il ettangolo, essendo paallelogammi un paticolae paallelogamma, gode di tutte le popietà dei Vediamo oa una popietà popia del ettangolo In un ettangolo le diagonali sono conguenti Quindi se un paallelogamma ha le diagonali conguenti, alloa è un ettangolo OSSERVZIONE: Il ettangolo ha due assi di simmetia appesentati dalle ette che passano pe i punti medi dei lati opposti: D s * M * 45 Il ombo Il ombo (o losanga) è un paallelogamma con i quatto lati conguenti D * * * * 82

85 OSSERVZIONE: Si poteva dae la seguente definizione: Il ombo è un quadilateo con i quatto lati conguenti Infatti, (OMPLET) un tale quadilateo, avendo i lati opposti L ossevazione ci pemette di affemae che ogni ombo è un paallelogamma e, quindi, gode di tutte le sue popietà Quindi se in un paallelogamma due lati consecutivi sono conguenti, alloa il paallelogamma è un ombo Vediamo oa alte popietà popie del ombo In un ombo: 1 le diagonali sono pependicolai; 2 le diagonali sono bisettici degli angoli inteni OSSERVZIONE: + Il ombo ha due assi di simmetia appesentati dalle ette delle diagonali D * s // O // * 83

86 46 Il deltoide on il temine deltoide si indica un quadilateo che ha coppie di lati consecutivi conguenti / // D / // Pe la sua foma, il deltoide è uno dei pimi quadilatei conosciuti dai bambini (costuzione degli aquiloni) nche nel deltoide le diagonali sono pependicolai 84

87 47 Il quadato Il quadato è un quadilateo egolae, cioè ha tutti i lati e tutti gli angoli conguenti: D * * * * Il quadato è petanto un paticolae paallelogamma con tutti i lati conguenti (è quindi e un ombo) e con tutti gli angoli conguenti (dunque etti e quindi è un ettangolo) Il quadato gode, petanto, di tutte le popietà del paallelogamma, del ombo e del ettangolo In un quadato: 1 le diagonali sono pependicolai; 2 le diagonali sono bisettici degli angoli; 3 le diagonali sono conguenti e vicevesa Un paallelogamma è un quadato se: oppue 1 le diagonali sono conguenti e pependicolai; 2 le diagonali sono conguenti e bisettici degli angoli inteni D PROV TU a appesentae con un diagamma di Venn la elazione ta i paallelogammi studiati 85

88 OSSERVZIONE: + ( OMPLET) Il quadato, in quanto ettangolo e ombo, ha quatto assi di simmetia: le ette D u t s 48 ee e peimeti Oa compila la seguente tabella elativa alle fomule che ti consentono di calcolae aea e peimeto delle pincipali figue geometiche FIGUR PERIMETRO RE Tiangolo Paallelogamma Tapezio Rettangolo Rombo Deltoide Quadato 86

89 ESERIZI UNIT 4 I quadilatei onoscenza e compensione 1) Stabilisci se le seguenti poposizioni sono vee o false: a) Siano,,, D quatto punti del piano a due a due non allineati; V F il quadilateo D è sicuamente convesso b) Se D è un quadilateo convesso la somma degli angoli inteni V F è conguente alla somma degli angoli esteni c) lcuni quadilatei non sono poligoni V F d) In un quadilateo convesso, due angoli adiacenti hanno un lato in comune V F e) In un quadilateo convesso, due vetici opposti possono essee estemi di V F uno stesso lato f) Una diagonale divide un quadilateo convesso in due tiangoli conguenti V F g) In un quadilateo convesso la somma di due lati qualsiasi è sempe V F maggioe della somma degli alti due h) Non esiste un quadilateo nel quale te lati, ta loo conguenti, sono V F la teza pate del quato lato i) Un quadilateo può avee te angoli etti V F 2) Quanti e quali sono i citei di conguenza dei poligoni? 3) Definisci il tapezio 4) Una sola delle seguenti poposizioni è vea; quale? a) Un tapezio ha almeno due lati paalleli b) In un tapezio gli angoli opposti possono essee conguenti c) In un tapezio gli angoli opposti possono essee supplementai d) Un tapezio può avee te angoli etti e) In un tapezio due lati opposti possono essee conguenti 87

90 5) Osseva la seguente figua: D 30 * * K Qual è l ampiezza di D? E quella di DK? 6) Le seguenti poposizioni sono vee o false? a) Se un tapezio ha un asse di simmetia, alloa è isoscele V F b) In un tapezio le poiezioni dei lati obliqui sulla base minoe V F sono sempe conguenti c) In un tapezio isoscele gli angoli opposti sono supplementai V F d) Se gli angoli adiacenti alla base minoe sono conguenti, il V F tapezio è isoscele e) L altezza di un tapezio è sempe intena al tapezio stesso V F f) In un tapezio ettangolo, le diagonali sono conguenti V F g) In un tapezio gli angoli adiacenti ad un lato obliquo sono V F supplementai h) In un tapezio isoscele le diagonali sono conguenti V F i) Se un tapezio ha soltanto una coppia di angoli consecutivi V F conguenti, alloa è ettangolo 7) Definisci il paallelogamma 8) Enuncia le popietà del paallelogamma 9) he cosa si intende pe altezza di un paallelogamma? 88

91 10) Una sola delle seguenti poposizioni è falsa; quale? a) Un quadilateo con i lati a due a due conguenti, è un paallelogamma b) Le diagonali di un paallelogamma possono essee conguenti c) In un paallelogamma due angoli consecutivi sono supplementai d) Il paallelogamma ha un cento di simmetia e) In un paallelogamma le diagonali possono essee pependicolai f) In un paallelogamma i lati possono essee conguenti 11) Il quadilateo D della seguente figua è un paallelogamma: D F E Qual è l ampiezza di F? E l ampiezza di D? E quella di DE? 12) Il quadilateo PSRQ della seguente figua è un paallelogamma: Q R 35 P 38 T 60 S Qual è l ampiezza di PRS? E quella di PQR? 13) Definisci il ettangolo 89

92 14) Il quadilateo D è un ettangolo: D 65 Q Qual è l ampiezza di DQ? E quella di DQ? Il segmento Q misua 2,8 cm; qual è la misua di D? 15) Definisci il ombo 16) Definisci il quadato 17) Stabilisci se le seguenti poposizioni sono vee o false: a) Se in un quadilateo le diagonali sono conguenti, esso è un ettangolo V F b) Un ettangolo ha soltanto due assi simmetia V F c) Un quadilateo con le diagonali pependicolai è sicuamente un ombo V F d) Un quadilateo con quatto assi di simmetia è un quadato V F e) Un quadilateo con quatto lati conguenti è un quadato V F f) Un quadilateo con te angoli conguenti è un ettangolo V F g) Un paallelogamma con due assi di simmetia è un ettangolo V F h) Se le diagonali di un paallelogamma sono bisettici degli angoli V F inteni, il paallelogamma è un ombo i) Un paallelogamma ha, al massimo, quatto assi di simmetia V F j) Se un ettangolo ha te lati conguenti, alloa è un quadato V F k) Se una diagonale divide un quadilateo in due tiangoli ettangoli, V F il quadilateo è un ettangolo 90

93 ostuzione e classificazione di quadilatei: 18) Dato il tapezio D (fig 1), taccia dal vetice la paallela al lato obliquo D In quali figue isulta suddiviso il tapezio? D fig 1 19) Disegna un tapezio isoscele di base maggioe lunga 13,5 cm, di base minoe D lunga 5,5 cm ed altezza 4 cm Taccia dai vetici e D le altezze H e DK; in quali figue esta suddiviso il tapezio? 20) ostuisci il paallelogamma D di cui sono dati te vetici,, (fig 2): Ạ fig 2 21) Dato il paallelogamma D: D conduci: l altezza DH elativa al lato ; l altezza DK elativa al lato ; l altezza S elativa al lato ; l altezza T elativa al lato D 91

94 22) Disegna un ettangolo D con la base conguente al doppio dell altezza Polunga la base, dalla pate di, di un segmento E Unisci i punti ed E e classifica il quadilateo ED 23) Disegna un ombo in cui la diagonale minoe è conguente alla teza pate della diagonale maggioe onduci, poi, da uno stesso vetice del ombo, le altezze elative a due lati consecutivi 24) Disegna un ombo D in cui un angolo misua 60 Di quali figue puoi pensae sia fomato il ombo? (suggeimento: manda le diagonali ) 25) Disegna un segmento lungo 7 cm e costuisci il quadato di lato Pendi, poi, i punti medi dei lati del quadato e veifica che il quadilateo ottenuto congiungendo tali punti è un quadato Ripoduci sul quadeno le figue degli esecizi seguenti e costuisci le loo simmetiche ispetto al lato indicato lassifica, poi, le figue ottenute 26) * * Simmetica ispetto a La figua ottenuta è 27) // Simmetica ispetto ad * La figua ottenuta è 92

95 28) D Simmetica ispetto a La figua ottenuta è 29) D * * * Simmetica ispetto ad D * La figua ottenuta è 30) * * Simmetica ispetto a La figua ottenuta è 31) Simmetica ispetto ad D La figua ottenuta è 93

96 Negli esecizi che seguono, tenendo conto dei dati ipotati (lati e/o angoli conguenti segnati con uno stesso simbolo), specifica in base a quale/i teoema/i (o popietà/definizione) è vea l affemazione enunciata: 32) D Il quadilateo D è un tapezio ettangolo PERHE? 33) D 32 * * Il quadilateo D è un tapezio isoscele 32 PERHE? 34) D / * * Il quadilateo D è un paallelogamma / 94 PERHE?

97 35) S R Il quadilateo PQRS è un paallelogamma P Q PERHE? 36) D 72 Il quadilateo D è un paallelogamma PERHE? 37) Il quadilateo D non è (o, D almeno, non è detto) che sia un paallelogamma [Non fati ingannae dalla figua!] PERHE? 95

98 38) S R Il quadilateo PQRS è un paallelogamma P Q PERHE? 39) H E // // G F Il quadilateo EFGH è un ettangolo PERHE? 40) D Il quadilateo D è un ombo PERHE? 96

99 41) D * * Il quadilateo D è un ombo * * PERHE? 42) D * Il quadilateo D è un * quadato PERHE? 43) D Il quadilateo D è un quadato PERHE? 97

100 ngoli di un quadilateo alcola le ampiezze degli angoli incogniti: 44) x = x 85 45) x 120 x = 70 y y = ) x y 82 x = y = 98

101 47) D x = // D y = x y 48) y 60 x x = y = 49) d x 108 a c y z b a // c b // d x = y = z = 50) y / 47 z / x // // 48 x = y = z = 99

102 51) 75 t y * * s t x x = y = * * s 52) * * x = x * x * ) 28 * x * y * * x = y = 54) * * 36 x * * x = 100

103 55) In un tapezio gli angoli adiacenti alla base maggioe misuano 52 e 67 Qual è la misua degli alti due angoli? 56) In un tapezio gli angoli adiacenti alla base minoe misuano 131 e 108 Qual è la misua degli alti due angoli? 57) In un tapezio ettangolo un angolo misua 45 Qual è la misua degli alti angoli? 58) In un tapezio ettangolo un angolo misua ' Qual è la misua degli alti angoli? 59) In un tapezio ettangolo gli angoli adiacenti al lato obliquo sono uno il doppio dell alto Qual è la misua degli angoli del tapezio? 60) In un tapezio isoscele un angolo misua 58 Qual è la misua degli alti angoli? 61) In un tapezio isoscele un angolo misua 98 58' Qual è la misua degli alti angoli? 62) In un tapezio isoscele la diffeenza di due angoli è 40 Detemina le ampiezze degli angoli del tapezio 63) In un paallelogamma un angolo misua 52 Qual è la misua degli alti angoli? 64) In un paallelogamma un angolo misua 42 Qual è la misua degli alti angoli? 65) In un paallelogamma un angolo esteno misua 82 12' Qual è la misua degli angoli del paallelogamma? 66) In un paallelogamma un angolo esteno è tiplo dell angolo inteno ad esso adiacente Qual è la misua degli alti angoli? 67) In un ombo un angolo misua 66 Qual è la misua degli alti angoli? Di seguito sono ipotate le ampiezze di quatto angoli Indica, pe ciascun esecizio, se tali ampiezze possono essee le misue degli angoli di un quadilateo e, in caso affemativo, pova a disegnalo 68) 72 ; 72 ; 72 ; 72 69) 95 ; 140 ; 41 ;

104 70) 70 ; 90 ; 110 ; 90 71) 60 ; 60 ; 120 ; ) 52 ; 96 ; 120 ; 92 73) 110 ; 59 ; 79 ; 82 74) 90 ; 90 ; 90 ; 90 Poblemi numeici Detemina, sulla base dei dati indicati, gli elementi incogniti nei seguenti poblemi: 75) * D 20 cm * D D 5 D 2 2 D 2p =? 76) D 10 cm D 2 D H D 4 D H 2p =? ) 77) D D 2 K * * 12 cm K H 1 D (D + K) 2 2p =? 102

105 78) D 12 cm * * K H K 3 D 2 2p = 108 cm D =? 79) D // D 2 3 2p =? // 24 cm 80) D * * E 5 6 2p DE =? 12 * cm 81) D * * 2p = 42 cm * 2p D =? * * 103

106 PER QUEST NNO E FINIT?! HI LO DIE! OLIMPIDI E QULHE PROLEM! HE FTI! 1 Quanti angoli maggioi di 90 può avee un quadilateo (non intecciato)? () ne ha almeno uno () ne ha al più uno () ne ha al più due (D) ne ha al più te (E) può avene quatto (Giochi di chimede, 1996) [D] 2 In un quadilateo convesso D, i lati,, D sono uguali Inolte = D = D, quanto misua l angolo in D? (Gaa Povinciale Giochi di chimede 1997) [72 ] 3 Un esagono equiangolo ha quatto lati consecutivi lunghi nell odine 5, 3, 6 e 7 deteminae le lunghezze degli alti due lati (Gaa Povinciale Giochi di chimede 2001) [8 ; 1] 104

107 4 Quali delle seguenti affemazioni è coetta? () Se un quadilateo ha tutti i lati uguali, alloa ha anche tutti gli angoli uguali () Se un quadilateo ha tutti gli angoli uguali, alloa ha anche tutti i lati uguali () Se un quadilateo ha due angoli uguali, alloa ha anche due lati uguali (D) Esiste un tiangolo con tutti gli angoli uguali, ma in cui i lati non sono tutti uguali (E) Esiste un pentagono con tutti gli angoli uguali, ma in cui i lati non sono tutti uguali (Giochi di chimede 1999) [E] 5 onoscendo i quatto angoli,,, D, quanto vale la somma degli angoli E ed F? () D 1 () ( D) 2 () 360 D E F (D) D (E) Non è deteminata D (Gaa Junio, 1993) [] 105

108 6 Nella figua l angolo DE vale 70 e D e DEFG sono quadati uguali L angolo convesso DG vale: G () 110 () 120 D () 130 (D) F (E) 160 (Giochi di chimede, 1994) E [D 106

109

110 PITOLO 5 ELEMENTI DI STTTISTI DESRITTIV 51 INTRODUZIONE Questo pecoso, senza la petesa di essee esaustivo, vuole avviae, con un linguaggio semplice e icco di esempi, l appoccio ad una seie di poblemi assai vicini alla vita eale che facciano compendee agli studenti l impotanza e l uso quotidiano della matematica he cosa è la statistica??? La statistica deve il suo nome al fatto che è nata come metodo di accolta, studio e analisi dei dati elativi alla popolazione, utilizzati pe il goveno degli stati L uso della statistica è tasvesale ed esteso a tutti i campi (scientifico, socio-economico, politico etc) nei quali sia necessaio descivee o analizzae un fenomeno su una popolazione (o univeso) costituito da elementi (o unità) oggetto dell ossevazione Gli stumenti matematici utilizzati pe descivee e sintetizzae un ceto fenomeno costituiscono la statistica descittiva Fasi di un indagine statistica 1 Pogettazione La definizione degli obiettivi di una indagine statistica e la conoscenza del fenomeno oggetto di studio sono elementi fondamentali pe la pogettazione dell indagine stessa e degli stumenti di ilevazione dei dati (questionai, misuazione dietta, etc) 2 Rilevazione dei dati I dati sono definiti pimai quando sono il isultato di una ilevazione dietta, mente sono definiti secondai nei casi in cui sono accolti da pubblicazioni, annuai, intenet o alte fonti La ilevazione può essee effettuata attaveso: con stumenti di misua pe inteviste, questionai o l ossevazione di fenomeni scientifici 107

111 3 Elaboazione I dati oiginai (o gezzi) vengono classificati e sintetizzati pe pocedee poi alla fase successiva: 4 Pesentazione, che avviene attaveso tabelle e gafici, medie e indici 5 Intepetazione degli esiti Lo scopo pe cui si avvia un indagine statistica è sempe quello di compendee le dinamiche di un fenomeno, genealmente pe pote effettuae pevisioni sulla sua evoluzione e sviluppo Ma l intepetazione dei dati foniti da una ilevazione ichiede, olte alla conoscenza del pocesso di accolta ed elaboazione, anche una conoscenza del fenomeno oggetto di studio Le fasi che appofondiemo, come pettamente tecniche (matematico-statistiche), sono le fasi 3 (elaboazione) e 4 (pesentazione dei dati) TTENZIONE Pima di poseguie, dovai abituati ad usae alcuni simboli del linguaggio matematico SIMOLI pe ogni valoe dell indice i in foma più compatta si scive i la somma di n addendi x n 1 x2 x n 1 xn in foma più compatta si scive x i i1 il podotto di n fattoi x n 1 x2 x3 x n 1 xn in foma più compatta si scive x i i1 2 ELEMENTI DI SE Pesso l Istituto olombo si è deciso di effettuae te indagini ta alcuni alunni della scuola Il diigente scolastico ha scelto di effettuae tali indagini nella classe 1G gli alunni di questa classe viene chiesto quale sia 1 il mezzo di taspoto abitualmente utilizzato pe ecasi da casa a scuola 2 il numeo di libi pesenti al momento in catella 3 la somma delle monete a disposizione pe acquistae bibite o meendine 108

112 Pima di pocedee impaiamo alcuni temini che si usano in statistica: popolazione (o univeso) è il guppo di pesone o di oggetti su cui si indaga Si pala di censimento se l indagine viene condotta sull intea popolazione, si pala di accolta campionaia se l indagine viene condotta soltanto su una pate della popolazione, pate che viene detta campione unità statistiche sono i singoli elementi di una popolazione o di un campione Indicheemo con N il numeo totale delle unità statistiche su cui si indaga caattee è la caatteistica degli elementi della popolazione oggetto dell indagine Tale caatteistica viene analizzata attaveso le vaie modalità con cui si manifesta Un caattee si dice quantitativo se si pesenta con modalità descitte da numei, in caso contaio si dice qualitativo Il diigente dell istituto ha dunque scelto come campione della scuola la classe 1G Le unità statistiche sono i singoli alunni di tale classe e ad essi il diigente chiede di fonie le vaie modalità con cui si manifestano i caattei oggetto delle te indagini indagine 1 caattee: mezzo di taspoto abitualmente utilizzato pe ecasi da casa a scuola modalità x i x a piedi 1 x bicicletta 2 x motoino o scoote 3 x automobile 4 x autobus o pullman 5 x teno indagine 2 caattee: numeo di libi pesenti al momento in catella modalità x i x x 1 2 x 2 3 x 3 4 x 4 5 Nella indagine 1 il caattee è,mente nell indagine 2 è 109

113 indagine 3 caattee: somma delle monete a disposizione pe acquistae bibite o meendine In questo caso isulta complesso fonie le vaie modalità con cui tale caattee può manifestasi, peché è molto pobabile che gli alunni posseggano monetine con somme molto divese ta loo; si può supeae l ostacolo appesentando le modalità del caattee quantitativo utilizzando le classi classe a; b è un insieme dei numei compesi ta due valoi detti a e b Genealmente si considea il numeo a compeso nella classe ed il numeo b escluso, infatti il valoe di b saà il pimo estemo appatenente alla classe successiva Possiamo pensae a classi dove oppue a classi più ampie dove a 1 0 a i 1 a i 0, 5 a 1 0 a i 1 a i 1 b 1 0,5 b i 1 b i 0, b 1 1 b i 1 b i 1 5 nei due casi si ottiene classe a i; b i classe a i; b i a 1 ; b 1 0;0, 5 a 1 ; b 1 0; 1 a 2 ; b 2 0,5; 1 a 2 ; b 2 1; 2 a 3 ; b 3 1;1, 5 a 3 ; b 3 2; 3 a 4 ; b 4 1,5; 2 a 5 ; b 5 2;2, 5 a b 2,5; 3 6 ; 6 PROV TU quale classe appatiene 1,40 nel pimo caso? E nel secondo? quale classe appatiene 3 nel pimo caso? E nel secondo? Pima di pocedee ecco alte due definizioni: fequenza assoluta F i è il numeo di volte con cui si pesenta una modalità del caattee fequenza elativa Fi fi N è il appoto ta la fequenza assoluta ed il numeo totale delle unità statistiche Si può scegliee di espimee la fequenza elativa con una fazione popia oppue con un numeo decimale compeso ta 0 ed 1 oppue in numeo pecentuale compeso ta 0 e

114 Oa possiamo ipendee in esame le te indagini e cominciae a accogliee le isposte dagli alunni indagine 1 mezzo di taspoto abitualmente utilizzato pe ecasi da casa a scuola modalità Fequenza assoluta fequenza elativa x a piedi F 5 f 0,25 1 x bicicletta F 0 f 0 2 x motoino o scoote F 0 f 0 3 x automobile F 2 f 0,1 4 x autobus o pullman F 8 f 0,4 5 x teno F 5 f 0,25 6 Si sono ottenuti i valoi della teza colonna calcolando i appoti ta i valoi delle fequenze assolute ed il numeo totale N degli alunni della classe Ma quanti sono gli alunni della 1G? vai cetamente notato che N e che f 1 indagine 2 : numeo di libi pesenti al momento in catella modalità fequenza fequenza assoluta elativa 0 2 0,1 i F i i 2 3 i , ,05 PROV TU ompleta la tabella con i valoi mancanti delle fequenze elative indagine 3 somma delle monete a disposizione pe acquistae bibite o meendine Gli alunni dichiaano di avee a disposizione le seguenti somme in euo: 1,20 0, , ,05 0,70 2,75 2,20 0,80 0,40 1,15 2,20 2,50 1 0,90 1,40 0 classe fequenza fequenza elativa Se decido di espimee le modalità in classi di ampiezza mezzo euo ottengo la tabella qui a fianco: classe fequenza fequenza elativa 0 ; 1 9 0,45 1 ; 2 7 0,35 2 ; 3 4 0,2 3 ; 4 1 0,05 4 ; 1 0, ;0, 5 5 0,25 0,5; 1 4 0,2 1 ;1, 5 7 0,35 1,5; ;2, 5 2 0,1 2,5; 3 2 0,1 Qui invece si sono utilizzate classi di ampiezza pai ad un euo 111

115 63 RPPRESENTZIONI GRFIHE Vediamo oa alcune possibili appesentazioni gafiche dei dati statistici e loo fequenze: otogamma su di un asse oizzontale si segnano le modalità assegnando a ciascuna un segmento di ugual lunghezza su di un asse veticale si segnano i valoi delle fequenze (assolute o elative) si costuiscono poi dei ettangoli; ciascuno di questi ha pe base il segmento ipotante la modalità e pe altezza la elativa fequenza istogamma su di un asse oizzontale si segnano i valoi degli estemi delle classi con cui si sono espesse le modalità su di un asse veticale si segnano i valoi delle densità di fequenza d i Fi b a i i si costuiscono poi dei ettangoli; ciascuno di questi ha pe base il segmento-classe e pe altezza la densità di fequenza, in questo modo l aea di ogni ettangolo appesenta la fequenza della modalità aeogamma (o diagamma a tota) si suddivide un cechio in settoi cicolai in modo che in ogni settoe cicolae l angolo al cento abbia ampiezza popozionale alla fequenza della modalità che tale settoe cicolae appesenta 360 F i i oppue i 360 fi N diagamma catesiano su di un asse oizzontale si segnano i valoi numeici delle modalità su di un asse veticale si segnano i valoi delle fequenze (assolute o elative) si segnano nel piano catesiano i punti di coodinate x i; F i ; l insieme dei punti ottenuti è detto nuvola di punti congiungendo i punti si ottiene una poligonale che mosta la foma della distibuzione delle fequenze 112

116 densità di fequenza fequenze fequenze indagine 1 otoganmma aeogamma piedi bici moto auto bus teno mezzi di taspoto mezzi di taspoto teno; 5; 25% piedi; 5; 25% bici; 0; 0% moto; 0; 0% auto; 2; 10% bus; 8; 40% indagine 2 diagamma catesiano numeo libi indagine 3 istogamma 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0, ,50 0, ,50 1, ,50 2,50-3 classi 113

117 64 INDII DI SINTESI Si dice indice di sintesi (o di posizione) un valoe che appesenta sinteticamente un insieme di dati Vedemo alcune situazioni poblematiche che ichiedono l uso di questi indici di posizione e di essi daemo le definizioni poblema 1 La pubblicità Una ete televisiva ha accolto i dati di ascolto nei gioni invenali nella fascia oaia Ecco tali dati appesentati con una tabella di fequenze: x F lunedì matedì mecoledì giovedì venedì sabato domenica In quale giono una agenzia di pubblicità potebbe consigliae ad un popio cliente di inseie uno spot pubblicitaio? La isposta è peché è il giono che pesenta il numeo più alto di spettatoi MOD si definisce moda il dato che si pesenta con fequenza maggioe Mo x h dove i F h F i Se si lavoa con classi alloa la classe modale saà quella che pesenta (dove a i e b i appesentano gli estemi delle classi) Nel poblema 1 i F i b a i maggioe Mo x 3 mecoledì peché F è la fequenza maggioe 3 114

118 poblema 2 Il pemio In una gaa di matematica 21 studenti di una classe hanno ipotato i seguenti punteggi: Il pofessoe decide di assegnae un pemio a tutti gli studenti con punteggio supeioe a quello conseguito dalla metà meno billante della classe Quale punteggio occoe supeae pe ottenee il pemio? Pe ispondee occoe innanzitutto dispoe i punteggi in odine cescente: x 1 =20 x 2 =40 x 3 =41 x 4 =42 x 5 =45 x 6 =55 x 7 =55 x 8 =55 x 9 =60 x 10 =60 x 11 =70 x 12 =73 x 13 =73 x 14 =77 x 15 =77 x 16 =80 x 17 =81 x 18 =85 x 19 =88 x 20 =90 x 21 =90 ed individuae poi quello che occupa la posizione centale Il valoe che occupa la posizione centale è Peché Otteanno dunque il pemio tutti gli studenti con punteggio supeioe a MEDIN dopo ave odinato i dati in modo cescente, si definisce mediana il dato che occupa la posizione centale Sia x, x2,, x 1 n la sequenza odinata dei dati se n è dispai la mediana Me è il dato di indice n 1 2 se n è pai la mediana Me è data dalla semisomma dei dati di indici n 2 n ed 1 2 Nel poblema 2, dopo ave disposto i dati in odine cescente, si ha Me x x

119 poblema 3 La pagella Giuliano consegna ai genitoi la pagella di fine anno MTERI VOTO Lingua e letteatua italiana 7 Stoia 8 Geogafia 7 Lingua Inglese 8 Matematica 9 Scienze 8 Diitto 7 Economia aziendale 7 Infomatica 8 Educazione fisica 9 L istituto a cui è iscitto offe a tutti gli studenti che pesentano una pagella con media supeioe all 8, l esoneo dal pagamento del contibuto di iscizione all anno successivo I genitoi di Giuliano hanno diitto a tale esoneo? Dopo ave calcolato la somma di tutti i dieci voti e avela divisa pe 10 si ottiene e dunque i genitoi di Giuliano MEDI RITMETI Si definisce media aitmetica il dato M che, sostituito a ogni dato, ne conseva la somma: Nel poblema 5 la media aitmetica dei dati è data da M 7, x F i i M i N 116

120 poblema 4 L assunzione Pe essee assunti pesso la ditta ZVUT occoe pesentae alcuni dati ed ottenee il punteggio più alto fa tutti gli aspianti candidati Si pesentano i signoi ntonio lippi e uno ianchi con i seguenti titoli: Pe ottenee il punteggio totale il signo olombo, esponsabile delle assunzioni, calcola la media dei dati dopo ave assegnato a ciascuno di essi dei pesi che ne indichino e ne diffeenzino in qualche modo l impotanza ntonio uno Età voto diploma voto lauea numeo figli 0 3 d esempio può scegliee di attibuie i seguenti pesi: p 1 =0,5 pe l età degli aspianti, p 2 =1,5 pe il voto di diploma, p 3 = 2 pe il voto di lauea, p 4 = 6 pe il numeo di figli ome puoi ossevae il Signo olombo dà molta impotanza al numeo di figli Questi p i vengono utilizzati quasi come fequenze con le quali pesae la pesenza in modo più o meno influente di ciascun dato hi veà assunto? Tenendo conto di tali pesi il punteggio del signo ntonio vale: 280,5 801, ,5 1, ,5 761, mente il punteggio del signo uno ianchi vale: 0,5 1,5 2 6 dunque veà assunto MEDI PONDERT Dopo ave fonito i pesi p i elativi ai dati i x, si definisce media pondeata il dato P così calcolato Se tutti i pesi valgono 1 alloa il valoe della media pondeata coincide con il valoe della media aitmetica Nel poblema 6 le medie pondeate dei due aspianti sono P 32, 2 P 32, 6 Se si lavoa con classi i i P a ; b si può scegliee i x i x p i i p i i ntonio uno ai bi e pi fi 2 117

121 poblema 5 Il viaggio Un guppo di amici pate da ai pe un viaggio in auto La tappa ai-venezia di 720 km viene pecosa a una velocità media di 95 km/h; la tappa Venezia-Fienze di 620 km a 65 km/h; la tappa Fienze-Roma di 360 km a 105 km/h; la tappa Roma-ai di 520 km a 115 km/h Qual è la velocità media dell inteo pecoso? Pe ispondee occoe mettee a appoto l inteo spazio pecoso ed il tempo impiegato L inteo spazio pecoso è s tot = 720 km = 2220 km Ricoda che puoi ottenee il tempo impiegato ad ogni tappa con la fomula t = s / v; quindi t1 h t2 h t3 h t4 h e il tempo totale saà la somma Quindi s vmedia t Riscivendo la fomula in quest alto modo tot tot t tot t 1 t2 t3 t km v media 88,6km/ h h v media km/ h 88,6km/ h possiamo pensae che ogni ecipoco di velocità sia un dato che compae tante volte quanti sono i chilometi del tatto pecoso con tale velocità, otteniamo così la seguente tabella: Dunque, inseendo i simboli intodotti, la fomula diventa: v media km/ h i N 1 x i F i 88,6km/ h x F x MEDI RMONI Si definisce media amonica il dato che, sostituito a ogni dato, ne conseva la somma dei ecipoci 118 i N 1 Fi xi

122 poblema 6 Il tasso Una somma di denao viene impiegata pe te anni in una banca che applica il pimo anno il tasso del 3,5%, il secondo anno del 3,2% ed il tezo anno del 2,05% Qual è il tasso medio applicato nei te anni? Detto il capitale iniziale, i montanti calcolati con i te divesi tassi sono i seguenti: M1 0,035 1, 035 =1 t 1 M 2 M1 0,032M1 1, 032 M1 = 1 t2 M1 M 3 M 0,0205M 1, 0205 M = 1 t3 M e dalle te fomule si icava M 1 t 1 t t 1,02051,0321,035 1, Pe calcolae il tasso medio, poniamo i te tassi uguali ta loo: t 1 t2 t3 t 3 Il tasso ichiesto isolve l equazione 1 t 1, t 1, ,02915 dunque il tasso medio applicato nei te anni vale MEDI GEOMETRI Si definisce media geometica il dato G che, sostituito a ogni dato, ne conseva il podotto Nel poblema 4, a patie dai dati x 1 0, 035 x 1 0, 032 x 1 0, 0205, 1 2 si ha G 3 1 0,035 (1 0,032)(1 0,0205) 1, peciò t G 1 0, ,915% i G n x i F i 3 119

123 poblema 7 Il Nilo Sesostis, contadino egiziano, possiede otto divesi appezzamenti quadati di teeno, i cui lati misuano x 1 =20u x 2 =15u x 3 =14u x 4 =18u x 5 =12u x 6 =16u x 7 =12u x 8 =9u Dopo ogni piena del Nilo è costetto a ipeimetae i suoi possedimenti Quest anno desidea fae in modo che i suoi appezzamenti siano otto quadati con il lato di ugual misua Quanto dovà misuae all incica il lato di questi appezzamenti? Sesostis deve innanzitutto calcolae quanto teeno possiede Dovà sommae le aee di ogni appezzamento (aea del quadato = 2 l ) totale = (20u) 2 + (15u) 2 + (14u) 2 + (18u) 2 + (12u) 2 + (16u) 2 + (13u) 2 + (10u) 2 = = ( ) u 2 = 1814 u 2 Tale teeno va diviso in otto pati uguali di aea e di lato cica MEDI QUDRTI Si definisce media quadatica il dato Q che, sostituito a ogni dato, ne conseva la somma dei quadati Q n i1 x i n 2 F i Nel poblema 6 la media quadatica dei dati è data da Q u u 226,75u 15u 8 8 nche pe gli alti tipi di media è possibile calcolae la media pondeata 120

124 65 INDII DI VRIILIT Si dice indice di vaiabilità un valoe che infoma sul modo in cui i valoi di una distibuzione sono più o meno dispesi nche qui patiemo da una situazione poblematica che ichieda l uso di questi indici di vaiabilità e di essi daemo le definizioni poblema 8 La classe più atletica Due classi si contendono il titolo di classe atletica L insegnante ha accolto i voti di Educazione Fisica del pimo quadimeste e deve decidee a chi dae la vittoia classe : classe : Sistemiamo i dati in due tabelle di fequenza, la pima pe la classe la seconda pe la classe : x F y F ominciamo col calcolae la media aitmetica pe le due classi: M 7 M Questo indice di sintesi non aiuta l insegnante!! Subito colpisce il diveso intevallo in cui ientano i voti delle due classi: 6 x 9 3 y 10 MPO di VRIZIONE data x, x2,, xn i 1 sequenza odinata di dati, si definisce campo di vaiazione la diffeenza ta il dato maggioe ed il dato minoe x n x 1 Pe la classe si ileva un campo di vaiazione che vale 9-6=3 Pe la classe il campo di vaiazione vale 10-3=7 i i chiediamo oa come i voti delle due classi siano distibuiti nel ispettivo campo di vaiazione 121

125 Il docente pepaa due tabelle dove inseisce le diffeenze ta ogni voto e la elativa media Tali diffeenze sono chiamate scati y i M F Notiamo che gli scati isultano alcuni negativi, alti nulli o positivi Sommandoli ta di loo potebbeo compensasi e quindi spaie, cioè isultae non visibili: pe evitae questo, conviene calcolae la media degli scati pendendoli, o in valoe assoluto, o al quadato; vediamo cosa si tova: SRTO SEMPLIE MEDIO è un valoe che fonisce una misua di quanto i dati si discostano dalla media Le medie aitmetiche dei valoi assoluti degli scati delle due classi valgono: s 0,8 s 1, Questi valoi ci dicono che mediamente i voti della classe si discostano di 0,8 dalla media, mente quelli della classe si discostano di 1,9 SRTO QUDRTIO MEDIO è un indice più sensibile del pecedente peché evidenzia maggiomente le vaiazioni nella distibuzione dei dati intono alla media Viene anche detto deviazione standad mente il suo quadato 2 Pe le due classi le medie quadatiche degli scati valgono: x i M F s i i x i x M i N M è detto vaianza , , N F 2 i F i 2 Possiamo confemae che la vaiabilità dei voti nella classe è decisamente molto più alta ispetto alla vaiabilità dei voti nella classe L insegnante decide alloa di dae la vittoia alla classe dove 122

126 fequenze LE 30 SRRE DI FERRO Ti foniamo le misue espesse in meti di 30 sbae di feo: 0,8 0,5 1,2 0,7 0,8 1 1,4 1,2 0, ,6 0,7 1,2 1,2 1 0,6 1,2 1 0,7 0,7 0,8 1,2 1 0,7 1 0, ,8 Pepaiamo la tabella delle fequenze e scegliamo di appesentae gaficamente mediante il diagamma catesiano ottenendo così la foma della distibuzione delle fequenze (vedi paagafo 3) 10 x F 0,5 1 0,6 2 0,7 5 0, ,2 6 1, ,5 1 1,5 lunghezze delle sbae alcoliamo oa la media aitmetica, gli scati da essa e lo scato quadatico medio: M 0,5 1,2 3,5 4,8 9 7,2 1, ,6 30 0,92 0,5 0,92 0,42 0,6 0,92 0,32 0,7 0,92 0,22 0,8 0,92 0,12 1 0,92 0,08 1,2 0,92 0,28 1,4 0,92 0,48 0,42 2 0,32 1, ,22 0, , ,12 6 0, , ,48 0,1764 0,2048 0,242 0,0864 0,0576 0,4704 0,

127 Possiamo oa ossevae che nell intevallo M ; M 0,7;1,14 isultano compesi 15 dei valoi iniziali: 0,8 0,8 1 0, , , ,8 Tali valoi appesentano il 50% dei dati nell intevallo M 2 ; M 2 0,48;1,36 isultano compesi 29 dei valoi iniziali: 0,8 0,5 1,2 0,7 0,8 1 1,2 0, ,6 0,7 1,2 1,2 1 0,6 1,2 1 0,7 0,7 0,8 1,2 1 0,7 1 0, ,8 Tali valoi appesentano il 96, 6% dei dati nell intevallo M 3 ; M 3 0,26;1,58 isultano compesi tutti i valoi iniziali, il 100% dei dati Il caso ienta ta quei fenomeni che si avvicinano alla cosiddetta distibuzione gaussiana In tali distibuzioni il gafico che si ottiene col diagamma catesiano ha una caatteistica foma a campana e nel caso si possa dispoe di dati sempe più numeosi, tale gafico tende sempe più ad assomigliae alla cuva nomale o cuva di Gauss esempio di cuva di GUSS (distibuzione nomale) In tale gafico sull asse oizzontale sono ipotati gli scati dalla media x i M e su quello veticale le fequenze elative Le fequenze più alte si tovano attono al valoe della media (scato nullo) e la appesentazione gafica ha popio il tipico aspetto di una campana Tale campana isulta alta e stetta se il valoe di è elativamente piccolo, mente se ha un valoe più alto la campana appae più schiacciata oizzontalmente Si può dimostae che, nel caso si abbia a che fae con una distibuzione gaussiana, accade che nell intevallo M ; M si concentano il 68,27% dei valoi; nell intevallo M 2 ; M 2 si concentano il 95,45% dei valoi; M 3 ; M 3 si concentano il 99,73% dei valoi nell intevallo 124

128 ESERIZI PITOLO 5 onoscenza e compensione 1) Quali sono le fasi di un indagine statistica? spetta che oa lo so, in statistica la popolazione è il guppo di pesone o di oggetti su cui si indaga 2) In che divesi modi può avvenie la accolta dei dati? 3) he cosa si intende pe popolazione? 4) Quando si pala di censimento? Te ne icodi uno impotante nella stoia? 5) In quale caso un caattee si dice quantitativo? Fai un esempio 6) Definisci fequenza assoluta, elativa, pecentuale 7) he cos è un otogamma? 8) he cos è un istogamma? 9) he cos è un aeogamma? 10) Definisci almeno 2 indici di posizione centale 11) ompleta: Si definisce media aitmetica il dato M che, sostituito a ogni dato, ne conseva Si definisce media quadatica il dato Q che, sostituito a ogni dato, ne conseva Si definisce mediana il dato Me che, dopo ave odinato i dati in modo, occupa la posizione 12) he cos è lo scato semplice medio? che cosa seve? 13) he cos è lo scato quadatico medio? che cosa seve? 125

129 VENTI FMIGLIE In questa tabella sono appesentati i dati elativi alla situazione di 20 famiglie pe quanto iguada il numeo di componenti, il eddito, il titolo di studio del capofamiglia e la zona di esidenza in Italia FMIGLI NUMERO dei OMPONENTI REDDITO in migliaia di euo TITOLO DI STUDIO del capofamiglia ZON di RESIDENZ Elementae nod Medie infeioi cento Medie infeioi nod Medie Supeioi nod Lauea sud Medie infeioi sud Medie infeioi cento Medie Supeioi cento Lauea sud Lauea nod Lauea nod Medie Supeioi cento Medie Supeioi sud Medie Supeioi sud Elementai nod Medie infeioi nod Medie infeioi cento Elementai nod Medie Supeioi sud Lauea sud Se siamo inteessati a indagae sul numeo di componenti pe famiglia, possiamo oganizzae una tabella chiedendoci quante siano (che fequenza assoluta abbiano) le famiglie con un componente, quante quelle con due, con te ecc ompletala tu OMPONENTI FREQUENZ SS FREQUENZ REL FREQUENZ % su 20 cioè 4/20=02 20% su 20 cioè 5/20= su 20 cioè 4/20=02 20% su 20 cioè 10% 5 cioè 2/20= % PROV TU 126 ostuisci le tabelle delle fequenze, iguadanti il titolo di studio del capofamiglia, il eddito e la zona di esidenza

130 Esecizi 1 Si effettua un indagine sul tipo di meenda pefeita duante l intevallo da 50 insegnanti dell Istituto etacchi, ottenendo le seguenti isposte: taalli bioches focaccia taalli cioccolato taalli yogut gelato focaccia bioches bioches yogut gelato cioccolato bioches taalli yogut gelato gelato cioccolato taalli gelato yogut taalli taalli cioccolato cioccolato taalli taalli focaccia bioches taalli taalli cioccolato yogut taalli cioccolato taalli taalli taalli taalli taalli taalli gelato focaccia yogut cioccolato taalli gelato taalli ompila la tabella delle fequenze, tovando anche fequenza elativa e pecentuale 2 In questa tabella sono appesentati i dati elativi alla scelta di facoltà univesitaie degli studenti di una classe quinta di un istituto supeioe facoltà univesitaie numeo studenti pecentuale studenti economia 7 20,588% giuispudenza 4 11,765% infomatica 8 ingegneia 5 14,706% lettee 2 lingue staniee 4 scienze 2 nessuna/non dichiaato 2 Il caattee oggetto di studio è e le modalità sono le denominazioni delle facoltà La seconda colonna appesenta le fequenze assolute (numeo studenti) collegate a ciascuna facoltà La teza colonna (da completae) appesenta le fequenze La appesentazione gafica sottostante si chiama(o diagamma a tota ) della scelta delle facoltà univesitaie da pate degli studenti di quinta classe 127

131 3 Ricava le infomazioni necessaie pe completae la tabella, ossevando il gafico Seie tempoale delle iscizioni alla pima classe di un istituto supeioe nni num studenti Diagamma della seie tempoale delle iscizioni alla pima classe 4 Le 16 classi pime dell istituto etacchi hanno i seguenti numei di studenti: ompleta la tabella sottostante e appesenta i dati mediante otogamma alunni pe classe fequenza assoluta fequenza elativa Nel epato pediatico di una clinica viene effettuata un'indagine statistica elativa al tempo impiegato dai bambini sotto i cinque anni pe consumae il pasto di mezzogiono Si tova che: 5 bambini impiegano meno di dieci minuti, 53 bambini impiegano un tempo che va dai dieci minuti fino a meno di venti minuti, 26 bambini impiegano un tempo che va dai venti minuti fino a meno di mezz'oa, 8 bambini impiegano un tempo che va da mezz'oa fino a meno quaanta minuti Mosta i dati accolti con la tabella delle fequenze e con la appesentazione gafica che itieni più oppotuna 128

132 6 alcolae la media amonica dei numei 8, 4, 5, 10 e 2 7 Un ciclista pecoe due tappe di 70 Km ciascuna, la pima ad una velocità media di 35 Km/h, la seconda ad una velocità media di 20 Km/h Deteminae la velocità media complessiva nelle due tappe 8 Detemina la moda, la mediana e la media geometica dei seguenti dati: La tabella ipota i pesi di 20 agazzi (in Kg) classi fequenze alcolae la media aitmetica valoe centale dei pesi dei agazzi pendendo pe ogni classe il 10 In un azienda gli stipendi annui sono così distibuiti: 2 diettoi pecepiscono ciascuno un eddito di 50 migliaia di euo 4 capi ufficio pecepiscono ciascuno un eddito di 38 migliaia di euo 12 impiegati pecepiscono ciascuno un eddito di 20 migliaia di euo 40 opeai pecepiscono ciascuno un eddito di 16 migliaia di euo alcolae la media aitmetica, la mediana e la moda degli stipendi 11 In una classe i isultati di un compito a sopesa di stoia sono stati i seguenti: alcola la media aitmetica, la moda e la mediana 129

133 12 Un venditoe di scape, che ha appena apeto un negozio in un piccolo comune svolge un indagine sul numeo di piede degli abitanti adulti, accogliendo i seguenti dati: 8 pesone il numeo 35 7 pesone il numeo 41 6 pesone il numeo 36 4 pesone il numeo 42 9 pesone il numeo 37 2 pesone il numeo pesone il numeo 38 1 pesona il numeo 44 9 pesone il numeo 39 1 pesona il numeo pesone il numeo 40 1 pesona il numeo 46 a) ostuisci la tabella oganizzata in classi di fequenza di ampiezza 3 numei di piede e calcola fequenza assoluta e elativa b) Rappesenta poi i dati mediante istogamma c) alcola la moda, la mediana e la media aitmetica d) Il venditoe di scape utilizzeà uno dei 3 indici calcolati al punto c) quando andà dal gossista Quale e pechè? 13 Un contadino possiede quatto campi di foma quadata di lato 40 m, 55 m, 60 m e 90 m Gli si popone lo scambio con quatto campi quadati uguali, dei quali si chiede di deteminae il lato affinché lo scambio sia equo 14 Nella facoltà di Matematica di Milano-icocca, uno studente sostiene cinque esami del pimo anno, con i elativi cediti alcolae la media degli esami già sostenuti he voto minimo deve pendee in geometia pe avee una media del 29,5? ESME VOTO REDITO lgeba lineae 29 8 nalisi Infomatica 28 8 Fisica lgeba 29 8 Geometia 8 15 Detemina la moda, la mediana e la media aitmetica dei seguenti dati: alcola lo scato semplice medio elativo alla media aitmetica 130

134 16 Si effettua un sondaggio sul costo di un lito di latte fesco inteo, in 24 punti vendita (negozi, supemecati, distibutoi automatici ) della povincia di Lecco, ottenendo i seguenti isultati espessi in euo: 1,15 1,15 1,65 1,45 1 1,29 0,78 1 1,65 1,65 1,55 1 1,65 1,55 1,65 1,15 1 1,15 1,45 1,65 1,15 1,45 1 1,65 a) Qual è il pezzo medio di un lito di latte fesco inteo? b) Qual è il pezzo più fequente? c) Qual è il campo di vaiazione del pezzo del latte? d) alcola lo scato quadatico medio 17 Pe pianificae i taspoti in un cento cittadino si effettuano delle ilevazioni, in coispondenza di un punto nevalgico, in due divese fasce oaie Vengono ilevati il numeo dei veicoli ed il elativo numeo di occupanti I dati sono quelli della seguente tabella: oa di punta alto oaio numeo degli occupanti numeo dei veicoli numeo degli occupanti numeo dei veicoli Rappesenta gaficamente le distibuzioni statistiche ed individua moda, media, campo di vaiazione e scato quadatico medio della situazione nelle due fasce oaie 131

135 18 lcuni studenti hanno deciso di effettuae delle ilevazioni del taffico nei pessi di una otonda della loo città Si sono divisi il compito in due guppi che hanno opeato in divese fasce oaie pendendo nota del numeo degli occupanti dei veicoli che sono tansitati da tale otonda Ecco i dati da loo accolti: guppo dalle 14 alle 1430 numeo occupanti guppo dalle 16 alle 1630 numeo occupanti Sia pe il guppo che pe il guppo a costuisci le distibuzioni di fequenza b appesenta gaficamente nel modo che itieni più oppotuno c calcola moda, mediana e media aitmetica d calcola gli indici di vaiabilità ispetto alle medie del punto c) Infine completa la seguente tabella ossevando analogie e diffeenze guppo guppo Moda Mediana Media aitmetica ampo di vaiazione Scato semplice medio Scato quadatico medio 19 Un guppo di bambini accoglie figuine, si itovano nel cotile della loo scuola e contano quante ne posseggono: a costuisci la distibuzione di fequenza 132 b appesenta gaficamente nel modo che itieni più oppotuno c calcola moda, mediana, media aitmetica, d calcola gli indici di vaiabilità ispetto alla media aitmetica e Quale pecentuale dei dati ienta nell intevallo (M- σ ; M+ σ)? 20 In laboatoio di fisica gli alunni della 4 misuano la lunghezza di una molla a iposo, tovando le seguenti misue espesse in cm: 14,03 14,02 14,01 14,09 14,02 14,01 14,03 14,04 14, ,02 14,03 14,04 14,04 14,03 14,03 14,02 14,03 14,01 14,02 14,01 14,04 14,09 14,03 a) alcola il campo di vaiazione e lo scato quadatico medio b) Si può espimee la misua della molla con M ± σ, cioè ± c) ontolla quante e quali misue ientano nell intevallo (M- σ ; M+ σ) d) Quale pecentuale dei dati ienta nell intevallo (M- σ ; M+ σ)?

136 PITOLO 6 IL LOLO DELLE PROILIT 60 UN STORI D'MORE Luca abita a Lecco, ianca a indisi Lui è innamoato peso nche lei ama lui, ma, ultimamente, in modo più altalenante Pe incontasi, un fine settimana va lui a indisi, l'alto va lei a Lecco (dovebbe andae peché, in ealtà, ogni volta soge qualche difficoltà ) Questo fine settimana ad esempio, ianca ha telefonato a Luca, dicendo che faà scegliee alla sote Lanceà una moneta e, se viene testa patià, altimenti non patià Se patià, lanceà un dado, il secondo, ecc dei 6 aeei che collegano indisi a Oio e, a seconda del numeo che uscià, pendeà il pimo aeeo, Lui da Lecco si è ecato di buonoa all aeopoto di Oio e ha visto aivae (invano!) i pimi 5 aeei da indisi Lo lasciamo lì che attende, un po deluso e ansioso il sesto e ultimo aeeo Ma ci chiediamo: qual è la pobabilità che lei aivi con il sesto aeeo? Sai ispondee? onfontati con i tuoi compagni Siete aivati tutti alla stessa isposta? nnota qui sotto le voste conclusioni: Dopo ave affontato questo capitolo, avai gli stumenti pe gestie in modo coetto il poblema 133

137 61 INTRODUZIONE Questo agomento ci tocca da vicino e fose usiamo già inconsapevolmente il calcolo della pobabilità nella vita di ogni giono Se è pobabile che oggi piova, pendo l ombello Se è pobabile tovae un impotante epeto, continuo con gli scavi, altimenti no Il calcolo delle pobabilità tova applicazioni in acheologia, medicina, economia, fisica, chimica, scienze sociali Stoicamente si fa isalie la nascita del calcolo delle pobabilità alla isoluzione al poblema noto in letteatua come poblema della divisione della posta in gioco o poblema delle pati La pima vesione del poblema delle pati che ci è nota è pesente in un manoscitto di anonimo del 1400 cica La vesione più nota è quella di Luca Pacioli, ma la pima soluzione completa a noi giunta del poblema delle pati è contenuta nella lettea di Pascal a Femat del 29/07/1654 L inteesse di Pascal pe la mateia ea stato suscitato da ntoine Gombaud, cavaliee di Méé, pofessionista paigino del gioco d azzado: Gombaud stava giocando a punti (gioco in cui si vincevano punti, lanciando dadi e il giocatoe che guadagnava un ceto numeo di punti, pendeva i soldi) Un impegno ugente costinse lui e il suo compagno a inteompee la patita Si pesentò così il poblema di dividee il pemio in denao La soluzione più semplice saebbe stata di dae la posta in gioco al giocatoe in vantaggio Gombaud chiese a Pascal di tovae un modo più equo di dividee la somma, calcolando la pobabilità di vittoia di ciascun giocatoe se il gioco fosse continuato Pascal iniziò una coispondenza con Femat pe cecae egole matematiche più pecise ispetto a quelle del tempo che eano basate solo sull intuizione e sull espeienza nel gioco d azzado Negli anni a seguie si sviluppaono in modo oganico le conoscenze in questo campo In queste pagine toveai le conoscenze di base di questa scienza elativamente modena 134

138 62 EVENTI La signoa Getude è una pendolae che ogni giono utilizza il teno pe ecasi al lavoo Spesso le accade di tovasi nello stesso scompatimento con quatto agazze che palano pe tutto il tempo Le quatto agazze sono nna, ala, Saa e Maia, vicine di casa che fequentano scuole supeioi divese e che duante il tagitto in teno si accontano molte cose La signoa Getude, con gli occhi chiusi, ascolta ed ogni volta si chiede se ciò che sente sia o non sia veo d esempio iei nna diceva che pesto andà a Londa, ala continuava a ipetee uffa sono sul teno, Saa diceva di essee un fantasma e Maia accontava di volesi compae una sciapa In pobabilità un qualunque avvenimento che può isultae veo o falso viene detto evento Genealmente si indica un evento utilizzando la lettea maiuscola E E 1 : nna andà a Londa E 2 : ala è sul teno E 3 : Saa è un fantasma E 4 : Maia si compeà una sciapa Iei la signoa Getude è scesa dal teno pensando E 2 è veo, E 3 è falso, ma pe quanto io mi sfozi non posso espimee il valoe di veità di E 1 e di E 4 ceto evento che si veifica, avvenimento ceto evento impossibile evento che non può veificasi, avvenimento che non può accadee aleatoio evento casuale, evento inceto pe il quale non si può die se si veificheà o meno ompleta la tabella Evento ceto aleatoio impossibile nel lancio di un dado si ottiene un numeo minoe di 7 X nel lancio di un dado si ottiene 4 nel lancio di un dado si ottiene un numeo pai nel lancio di un dado si ottiene 8 il teno è in oaio alla tombola viene estatto il numeo 88 alla tombola viene estatto il numeo 100 da un mazzo di 52 cate da gioco estaggo il Re di cuoi da un mazzo di 52 cate da gioco estaggo una cata di picche 135

139 Pima di pocedee impaiamo alti temini che si usano in pobabilità: not E = E evento negazione o evento contaio E è veo se E è falso E è falso se E è veo E 1 E 2 E 1 E 2 evento congiunzione o evento intesezione o podotto logico E 1 and E 2 è veo se entambi gli eventi E 1 ed E 2 sono vei evento disgiunzione o evento unione o somma logica E 1 o E 2 è veo se almeno uno dei due eventi E 1 ed E 2 è veo eventi compatibili eventi incompatibili eventi indipendenti eventi dipendenti eventi che possono veificasi contempoaneamente eventi che non possono veificasi contempoaneamente peché il veificasi di uno di essi esclude il contempoaneo veificasi dell alto il veificasi di uno degli eventi non dipende dal veificasi dell alto il veificasi di uno degli eventi influenza il veificasi dell alto bbiamo a disposizione un dado ed un mazzo di 52 cate da gioco, consideiamo i seguenti eventi: E 1 : dal mazzo di cate estaggo una cata di fioi E 2 : dal mazzo di cate estaggo un Re E 3 : dal mazzo di cate estaggo una cata di seme osso E 4 : lancio il dado ed ottengo 2 E 1 E 2 sono eventi compatibili: infatti l estazione del Re di fioi veifica contempoaneamente entambi gli eventi E 1 E 3 sono eventi incompatibili, poiché nessuna delle cate del mazzo è sia di fioi che di seme osso E 1 E 4 sono eventi indipendenti, il lancio del dado e l estazione della cata dal mazzo non si influenzano Decido di estae una cata dal mazzo e senza einseila pocedo poi ad una seconda estazione: E 1 E 2 sono eventi dipendenti, peché il veificasi di uno degli eventi influenza il veificasi dell alto infatti se alla pima estazione ottengo una cata di fioi alla seconda estazione il mazzo contiene una cata in meno 136

140 63 PROILIT DI UN EVENTO Vogliamo pote in qualche modo misuae la possibilità che un evento si veifichi onsideiamo un espeimento aleatoio dove sia n il numeo dei suoi esiti tutti ugualmente possibili espeimento aleatoio n numeo dei possibili esiti lancio di un dado n = 6 lancio di due dadi n = 36 estazione di una cata da un mazzo di 52 cate da gioco n = 52 estazione di un numeo della tombola n = 90 Sia E un evento e sia f il numeo dei casi che veificano tale evento, che sono detti casi favoevoli evento E f numeo dei casi favoevoli col lancio di un dado ottengo il numeo 2 f = 1 col lancio di un dado ottengo un numeo pai f = 3 col lancio di un dado ottengo il numeo 10 f = 0 col lancio di due dadi ottengo due numei che sommati danno 8 f = 5 col lancio di due dadi ottengo due numei che sommati sono < 100 f = 36 con l estazione di una cata da un mazzo di 52 cate esce un Re f = 4 con l estazione di un numeo dalla tombola esce un numeo pai f = 45 La Definizione classica della pobabilità affema che la pobabilità dell evento E è il appoto ta i casi favoevoli al veificasi dell evento e i casi possibili: E p evento E p(e) col lancio di un dado ottengo il numeo col lancio di un dado ottengo un numeo pai col lancio di un dado ottengo il numeo col lancio di due dadi ottengo due numei che sommati danno col lancio di due dadi ottengo due numei che sommati sono < con l estazione di una cata da un mazzo di 52 cate esce un Re con l estazione di un numeo dalla tombola ottengo un numeo pai f n 137

141 L SELT Giovanni ha pepaato un gioco pe Tiziana Ha peso te scatole uguali, in una di queste ha inseito un pemio Tiziana ha la possibilità di aggiudicasi il pemio scegliendo la scatola che lo contiene Sceglie la scatola numeo 3 questo punto Giovanni ape la scatola numeo 2 e mosta a Tiziana che è vuota Oa le chiede vuoi apie la scatola numeo 3 che hai scelto oppue vuoi fae un cambio? osa è più conveniente fae? 1 Se Tiziana decide di non cambiae scatola ha una pobabilità pai a di vincee il pemio 3 Se invece Tiziana decide di cambiae scatola, vince se la scatola numeo 3 è vuota e questo ha una 2 pobabilità pai a 3 Dunque cambiae scatola è una stategia che pesenta una pobabilità maggioe di vincita 64 TEOREMI SULL PROILIT Pima di intodue alcuni teoemi utili pe il calcolo delle pobabilità osseviamo che n l evento ceto ha pobabilità 1 n 0 l evento impossibile ha pobabilità 0 n E 0 pe 1 Siano E 1 ed E 2 due eventi, con la scittua p E 2 / E 1 si intende espimee la pobabilità che si attibuisce al veificasi dell evento E 2 nel caso in cui si sia a conoscenza del fatto che l evento E 1 si è già veificato Se i due eventi sono indipendenti, il veificasi o meno di E 1 non modifica la pobabilità di E 2 e dunque si ha pe pe / E pe E / mente se i due eventi sono dipendenti pe pe 2 2 / E1 Teoema della pobabilità contaia E pe 1 pe Teoema della pobabilità composta E, E pe E pe pe E / 1 Teoema della pobabilità totale E, E pe E pe pe pe E

142 65 ESEMPI Un una contiene 100 biglie 50 sono osse, 20 sono blu, 8 sono gialle e le alte sono vedi Estaiamo dall una una biglia a) on quale pobabilità la biglia è blu? : estazione della biglia blu casi favoevoli f = 20 applicando la definizione classica della pobabilità si ottiene b) on quale pobabilità la biglia non è blu? applicando il Teoema della pobabilità contaia si ottiene p p Estaiamo dall una una biglia e dopo avela einseita, ne estaiamo una seconda c) on quale pobabilità la pima è ossa e la seconda è gialla? R : estazione della biglia ossa casi favoevoli f = 50 G : estazione della biglia gialla casi favoevoli f = 8 dobbiamo valutae la pobabilità dell evento congiunzione R, G sono eventi indipendenti applicando il Teoema della pobabilità composta si ottiene p R G pr pg R G d) on quale pobabilità una è ossa e una è gialla? dobbiamo valutae la pobabilità dell evento disgiunzione ( R G ) (G R ) ( R G ), ( G R ) sono eventi incompatibili, applicando il Teoema della pobabilità totale si ottiene p R G G R pr G pg R 0 oa applicando due volte il Teoema della pobabilità composta pe eventi indipendenti si ottiene pr G pg R p R pg pg pr

143 Estaiamo una biglia dall una e senza einseila ne estaiamo poi una seconda e) on quale pobabilità la pima è ossa e la seconda è gialla? dobbiamo valutae la pobabilità dell evento congiunzione R G R,G sono eventi dipendenti peché dopo la pima estazione cambia il valoe n dei casi possibili, applicando il Teoema della pobabilità composta si ottiene p R G pr pg / R f) on quale pobabilità una è ossa e una è gialla? dobbiamo valutae la pobabilità dell evento disgiunzione ( R G ) (G R ) ( R G ), ( G R ) sono eventi incompatibili, applicando il Teoema della pobabilità totale si ottiene p R G G R pr G pg R 0 oa applicando due volte il Teoema della pobabilità composta pe eventi dipendenti si ha p R G p G R p R pg / R pg pr / G Estaiamo una biglia dall una e subito dopo ne estaiamo una seconda e poi una teza g) on quale pobabilità la pima è ossa e le alte gialle? dobbiamo valutae la pobabilità dell evento congiunzione R G G R, G, G sono eventi dipendenti peché dopo ogni estazione cambia il valoe n dei casi possibili, applicando il Teoema della pobabilità composta si ottiene p R G G pr pg / R pg / R G h) on quale pobabilità una è ossa e le alte gialle? dobbiamo valutae la pobabilità dell evento disgiunzione p R G G p G R G p G G R ( R G G ), ( G R G ), (G G R ) sono eventi incompatibili, applicando il Teoema della pobabilità totale si ottiene p R G G pg R G pg G R 0 oa applicando te volte il Teoema della pobabilità composta pe eventi dipendenti si ha pr G G pg R G pg G R p R p G / R p G / R G p G p R / G p G / G R p G pg / G pr / G G

144 Estaiamo una cata da un mazzo di 52 cate da gioco i) on quale pobabilità la cata estatta è una cata nea o una figua? N : estazione della cata nea casi favoevoli f N = 26 F : estazione di una figua casi favoevoli f F = 12 dobbiamo valutae la pobabilità dell evento disgiunzione N V F N, F sono eventi compatibili, infatti nel mazzo sono pesenti f N F = 6 figue nee, applicando il Teoema della pobabilità totale si ottiene p N F pn pf pn F oa applicando il Teoema della pobabilità composta pe eventi dipendenti si ha p N pf pn F pn pf pn pn / F f n N f F n f n N f f NF N l) on quale pobabilità la cata estatta è un Re o una cata di cuoi? R : estazione di un Re casi favoevoli f R = 4 : estazione di una cata di cuoi casi favoevoli f = 13 dobbiamo valutae la pobabilità dell evento disgiunzione R R, sono eventi compatibili, infatti nel mazzo è pesente f R = 1 Re di cuoi, applicando il Teoema della pobabilità totale si ottiene p R pr p pr oa applicando il Teoema della pobabilità composta pe eventi dipendenti si ha p R p pr pr p pr pr / f n R f n f n R f f R N

145 66 DEFINIZIONE FREQUENTISTI DELL PROILIT Semba ci sia una nuova lampadina che dui molto di più di quelle attualmente sul mecato Pe pote decidee di mettela in poduzione occoe stimae la pobabilità dell evento E : la nuova lampadina dua di più delle vecchie In vai laboatoi, contassegnati dalla alla L, si eseguono pove pe veificae la duata della nuova lampadina e ogni laboatoio pepaa una tabella che ipota le fequenze assolute delle due modalità: x 1 =lampadina accesa, x 2 =lampadina spenta dopo un ceto tempo di ifeimento t Laboatoio esamina 50 lampadine al tempo t Fequenza lampadina accesa 14 lampadina spenta 36 Laboatoio esamina 80 lampadine al tempo t Fequenza lampadina accesa 22 lampadina spenta 58 Laboatoio L esamina 800 lampadine al tempo t Fequenza lampadina accesa 236 lampadina spenta 564 Pe pote confontae i dati ottenuti dai 10 laboatoi coinvolti, pepaiamo una tabella dove inseiamo i valoi delle fequenze elative della modalità lampadina accesa numeo di lampadine numeo di lampadine che estano fequenza elativa dei laboatoi esaminate accese dopo il tempo stabilito successi , , ,31 D ,3 E ,29(3) F ,28125 G ,305 H ,3 I ,31 L ,295 onviene mettee in poduzione tale lampadina? i si aspetta che la pobabilità dell evento E sia molto legata ai valoi tovati nella colonna delle fequenze elative del caattee x 1 =lampadina accesa, possiamo dunque die che p E 0, 3 Definizione fequentistica della pobabilità Se è possibile avee a disposizione una seie di pove ipetute un gan numeo di volte e tutte nelle stesse condizioni, si può assumee come stima attendibile della pobabilità di un evento il valoe E p f della fequenza elativa del suo veificasi in quelle pove R