Analisi matematica I. Sviluppi di Taylor e applicazioni. Sviluppi di Taylor. Operazioni sugli sviluppi di Taylor e applicazioni
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- Ignazio Di Carlo
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1 Analisi matematica I e applicazioni Operazioni sugli sviluppi di Taylor e applicazioni Politecnico di Torino 1
2 e applicazioni Formule di Taylor con resto di Peano: caso e n =0 n =1 Formule di Taylor con resto di Peano: caso generale Dimostrazione caso Formule di Taylor con resto di Lagrange Proprietà del polinomio di Taylor Primi esempi n =2 notevoli Politecnico di Torino 2
3 Formule di Taylor con resto di Peano:... f continua in x 0 f(x) =f(x 0 )+o(1), x x 0 posto si ha Tf 0,x0 (x) =f(x 0 ) polinomio di grado 0 f(x) =Tf 0,x0 (x)+o(1), x x Politecnico di Torino 3
4 Formule di Taylor con resto di Peano:... 7 Formule di Taylor con resto di Peano:... f derivabile in x 0 per x x 0 f(x) =f(x 0 )+f 0 (x 0 )(x x 0 )+o(x x 0 ) posto Tf 1,x0 (x) =f(x 0 )+f 0 (x 0 )(x x 0 ) 1 polinomio di grado, si ha f(x) =Tf 1,x0 (x)+o(x x 0 ), x x Politecnico di Torino 4
5 Formule di Taylor con resto di Peano: Politecnico di Torino 5
6 Formule di Taylor con resto di Peano:... f derivabile volte in x 0 n f(x) =Tf n,x0 (x)+o (x x 0 ) n, x x 0 11 Formule di Taylor con resto di Peano:... con Tf n,x0 (x) =f(x 0 )+f 0 (x 0 )(x x 0 ) n! f (n) (x 0 )(x x 0 ) n nx f (k) (x 0 ) = (x x 0 ) k k! k=0 = polinomio di Taylor di f in x 0 di grado n Politecnico di Torino 6
7 Formule di Taylor con resto di Peano: Politecnico di Torino 7
8 f derivabile 2 volte in x 0 ; cerchiamo a R Dimostrazione caso n = 2 tale che f(x) =Tf 2,x0 (x)+o (x x 0 ) 2, x x 0 con Tf = f(x 0 )+f 0 (x 0 )(x x 0 )+a(x x 0 ) 2 2,x0 (x) 15 Dimostrazione caso n = 2 Pertanto deve valere f(x) f(x 0 ) f 0 (x 0 )(x x 0 ) a(x x 0 ) 2 lim =0 x x 0 (x x 0 ) 2 Applicando il Teorema di de l Hôpital, la condizione equivale a f 0 (x) f 0 (x 0 ) 2a(x x 0 ) lim x x 0 2(x x 0 ) = Politecnico di Torino 8
9 Dimostrazione caso n = 2 Ovvero 1 lim x x 0 2 f 0 (x) f 0 (x 0 ) (x x 0 ) a =0 da cui a = 1 2 lim f 0 (x) f 0 (x 0 ) x x 0 (x x 0 ) = 1 2 f 00 (x 0 ) 17 In definitiva, abbiamo trovato polinomio di secondo grado soddisfa Dimostrazione caso n = 2 a R tale che il Tf 2,x0 (x) = = f(x 0 )+f 0 (x 0 )(x x 0 )+ 1 2 f 00 (x 0 )(x x 0 ) 2 f(x) =Tf 2,x0 (x)+o (x x 0 ) 2, x x Politecnico di Torino 9
10 f derivabile in per la seconda formula dell incremento finito possiamo scrivere Ricordando che I(x 0 ),, f(x) =f(x 0 )+f 0 (x)(x x 0 ), con x (x, x 0 ) oppure x (x 0,x) Tf 0,x0 (x) =f(x 0 ), si ha f(x) =Tf 0,x0 (x)+f 0 (x)(x x 0 ) Caso n = Politecnico di Torino 10
11 Caso generale f derivabile (n +1) - volte in I(x 0 ) f(x) =Tf n,x0 (x)+ x x 0 =0 con compreso tra e 1 (n +1)! f (n+1) (x)(x x 0 ) n+1 Se lo sviluppo di Taylor si dice sviluppo di Maclaurin x x Politecnico di Torino 11
12 f Tf n,0 (x) funzione pari (dispari) Dimostrazione caso Proprietà contiene solo potenze pari (dispari) f funzione pari 23 Dimostrazione Nota: una funzione dispari definita nell origine è necessariamente ivi nulla Infatti, sia g una funzione dispari g(x) = g( x) 2g(0) = 0 g(0) = Politecnico di Torino 12
13 Dimostrazione f in x 0 =0 f 0,f 000, Sia ora una funzione pari e derivabile volte Quindi e il polinomio di Taylor sono funzioni dispari f 0 (0) = f 000 (0) = =0 Tf n,0 (x) soltanto termini con potenze pari n contiene 25 Unicità del polinomio di Taylor f :(a, b) R derivabile volte in x 0 (a, b) se esiste un polinomio tale che n P n (x) di grado n f(x) =P n (x)+o (x x 0 ) n, x x 0 P n (x) =Tf n,x0 (x) Politecnico di Torino 13
14 Esempio 1 Calcoliamo i polinomi di Maclaurin della funzione f(x) =5 2x +3x 2 + x 4 Tf 0,x0 (x) =5 f(x) =5+o(1), x 0 Tf 1,x0 (x) =5 2x f(x) =5 2x + o(x), x Politecnico di Torino 14
15 Esempio 1 Calcoliamo i polinomi di Maclaurin della funzione f(x) =5 2x +3x 2 + x 4 Tf 2,x0 (x) =5 2x +3x 2 = Tf 3,x0 (x) f(x) =5 2x +3x 2 + o(x 2 ), x 0 =5 2x +3x 2 + o(x 3 ), x 0 Tf 4,x0 (x) =5 2x +3x 2 + x 4 = Tf n,x0 (x) = f(x), n 4 29 Esempio 2 Calcoliamo i polinomi di Taylor centrati in Poiché f(x) =5 2x +3x 2 + x 4 f 0 (x) = 2+6x +4x 3 f 00 (x) =6+12x 2 f 000 (x) =24x f (4) (x) =24 f (n) (x) =0, n >4 x 0 =1 30 di 2006 Politecnico di Torino 15
16 Esempio 2 Si ha f(1) = 7, f 0 (1) = 8, f 00 (1) = 18, f 000 (1) = 24, f (4) (1) = 24, f (n) (1) = 0, n >4 31 Esempio Risulta Tf 0,x0 (x) =7 Tf 1,x0 (x) =f(x 0 )+f 0 (x 0 )(x x 0 ) = f(1) + f 0 (1)(x 1) =7+8(x 1) Politecnico di Torino 16
17 Esempio Risulta Tf 0,x0 (x) =7 Tf 1,x0 (x) =7+8(x 1) 33 Esempio Risulta Tf 1,x0 (x) =7+8(x 1) Tf 2,x0 (x) = Tf 1,x0 (x)+ 1 2 f 00 (1)(x x 0 ) 2 =7+8(x 1) + 9(x 1) Politecnico di Torino 17
18 Esempio Risulta Tf 2,x0 (x) =7+8(x 1) + 9(x 1) 2 Tf 3,x0 (x) = Tf 2,x0 (x)+ f 000 (x 0 ) (x x 0 ) 3 3! =7+8(x 1) + 9(x 1) 2 +4(x 1) 3 35 Esempio Risulta Tf =7+8(x 1) + 9(x 1) 2 +4(x 1) 3 3,x0 (x) Tf 4,x0 (x) = Tf 3,x0 (x)+ f (4) (x 0 ) (x x 0 ) 4 4! Politecnico di Torino 18
19 Esempio Risulta Tf =7+8(x 1) + 9(x 1) 2 +4(x 1) 3 3,x0 (x) Tf 4,x0 (x) =7+8(x 1) + 9(x 1) (x 1) 3 +(x 1) 4 = Tf n,x0 (x), n > Politecnico di Torino 19
20 Consideriamo la funzione Funzione esponenziale f(x) =e x Per ogni k N, risulta f (k) (x) =e x, f (k) (x 0 )=e x 0, f (k) (0) = 1 39 Funzione esponenziale Lo sviluppo di Maclaurin con resto di Peano di ordine è k=0 n e x =1+x + x2 2 nx = + + xk k! x k k! + o(xn ), x xn n! + o(xn ) Politecnico di Torino 20
21 Funzione esponenziale Lo sviluppo di Maclaurin con resto di Lagrange è e x =1+x + x2 2 nx = k=0 + + xk k! x k k! + e x (n +1)! xn+1, + + xn n! + e x (n +1)! xn+1 x compreso tra 0 e x 41 Funzione esponenziale Politecnico di Torino 21
22 Funzione esponenziale 43 Funzione esponenziale Politecnico di Torino 22
23 Funzione esponenziale 45 Poniamo x =1 resto di Lagrange di Approssimazione numero e nello sviluppo di Maclaurin con f(x) =e x ; abbiamo e= nx k=0 1 k! + ex (n +1)!, 0 < x< Politecnico di Torino 23
24 Approssimazione numero e La quantità e n = nx k=0 1 k! è un approssimazione per difetto del numero L errore è dato da e e n = e x (n +1)! e 47 Approssimazione numero e Poiché 0 < x<1 risulta 1 < e x < e < 3 Quindi si ha stima 1 (n +1)! < e e n < 3 (n +1)! Politecnico di Torino 24
25 Alcuni valori della successione e n 49 Funzione esponenziale Lo sviluppo di Taylor in ordine n è x 0 con resto di Peano di e x =e x 0 +e x 0 (x x 0 )+... +e x 0 nx = k=0 e x 0 (x x 0) n + o (x x 0 ) n n! (x x 0) k + o (x x 0 ) n, x x 0 k! Politecnico di Torino 25
26 Funzione esponenziale Lo sviluppo di Taylor in x 0 con resto di Lagrange è e x =e x 0 +e x 0 (x x 0 )+... = +e x 0 nx k=0 e x 0 (x x 0) n (x x 0) k k! n! x compreso tra x e x 0 + ex (n +1)! (x x 0) n+1 + ex (n +1)! (x x 0) n+1 51 Funzione logaritmo Consideriamo la funzione Ne cerchiamo lo sviluppo di Taylor in ordine n. Si ha f(x) =logx x 0 =1 di f 0 (x) = 1 x = x 1, f 00 (x) =( 1)x 2, f 000 (x) =( 1)( 2)x 3 In generale, per ogni k intero, f (k) (x) =( 1) k 1 (k 1)!x k, f (k) (1) = ( 1) k 1 (k 1)! Politecnico di Torino 26
27 Consideriamo la funzione f (k) (1) = ( 1) k 1 (k 1)! Dunque Funzione logaritmo (x 1)2 log x =(x 1) n 1 (x 1)n +( 1) + o (x 1) n n nx k 1 (x 1)k = ( 1) + o (x 1) n, x 1 k k=1 f(x) =logx 53 Funzione logaritmo Consideriamo la funzione f(x) =log(1+x) Ne cerchiamo lo sviluppo di Maclaurin di ordine Dallo sviluppo n log y = nx k 1 (y 1)k ( 1) k k=1 + o (y 1) n, y Politecnico di Torino 27
28 log y = Ponendo nx k 1 (y 1)k ( 1) k k=1 y =1+x, si ha Funzione logaritmo + o (y 1) n, y 1 log(1 + x) = nx ( 1) k=1 k 1 xk k + o(xn ), x 0 = x x ( 1)n 1 xn n + o(xn ) 55 Funzione logaritmo Politecnico di Torino 28
29 Funzione logaritmo 57 Funzione logaritmo Politecnico di Torino 29
30 Funzione logaritmo 59 Funzione seno Consideriamo la funzione f(x) =sinx Ne cerchiamo lo sviluppo di Maclaurin di ordine La funzione è dispari e quindi contiene soltanto potenze dispari. Si ha n f 0 (x) =cosx, f 000 (x) = cos x Politecnico di Torino 30
31 Funzione seno Consideriamo la funzione In generale, per ogni k intero, f (2k+1) (x) =( 1) k cos x, f (2k+1) (0) = ( 1) k f(x) =sinx 61 Funzione seno Consideriamo la funzione f(x) =sinx Dunque, se n =2m +2, sin x = x x3 3! + x5 5!... +( 1) m x2m+1 (2m +1)! + o(x2m+2 ) mx = ( 1) k x 2k+1 (2k +1)! + o(x2m+2 ), x 0 k= Politecnico di Torino 31
32 Funzione seno 63 Funzione seno Politecnico di Torino 32
33 Funzione seno 65 Funzione seno Politecnico di Torino 33
34 Funzione seno 67 Funzione coseno Consideriamo la funzione f(x) =cosx Ne cerchiamo lo sviluppo di Maclaurin di ordine La funzione è pari e quindi contiene soltanto potenze pari. Si ha n f 00 (x) = cos x, f (4) (x) =cosx Politecnico di Torino 34
35 Funzione coseno Consideriamo la funzione f(x) =cosx In generale, per ogni k intero f (2k) (x) =( 1) k cos x, f (2k) (0) = ( 1) k 69 Funzione coseno Consideriamo la funzione f(x) =cosx Dunque, se n =2m +1, cos x =1 x2 2 + x4 4!... +( 1) m x2m (2m)! + o(x2m+1 ) mx = ( 1) k x2k (2k)! + o(x2m+1 ), x 0 k= Politecnico di Torino 35
36 Funzione coseno 71 Funzione coseno Politecnico di Torino 36
37 Funzione coseno 73 Funzione coseno Politecnico di Torino 37
38 Funzione coseno 75 Funzioni elevamento a potenza Consideriamo le funzioni con α R Ne cerchiamo lo sviluppo di Maclaurin di ordine Si ha f 0 (x) =α(1 + x) α 1, f(x) =(1+x) α, n f 00 (x) =α(α 1)(1 + x) α 2, f 000 (x) =α(α 1)(α 2)(1 + x) α Politecnico di Torino 38
39 Consideriamo le funzioni con α R Funzioni elevamento a potenza E, in generale, per ogni intero f(x) =(1+x) α, k, f (k) (x) =α(α 1)...(α k +1)(1+x) α k f (k) (0) k! = α(α 1) (α k +1) k! = µ α k 77 Funzioni elevamento a potenza Consideriamo le funzioni con Dunque α R f(x) =(1+x) α, (1 + x) α α(α 1) =1+αx + x µ 2 α + x n + o(x n ) n nx µ α = x k + o(x n ), x 0 k k= Politecnico di Torino 39
40 Funzioni elevamento a potenza: caso α = 1 Consideriamo la funzione f(x) =(1+x) 1 = 1 1+x 79 Funzioni elevamento a potenza: caso α = 1 µ 1 Calcoliamo i coefficienti binomiali µ k 1 = ( 1)( 2) =1 2 2 µ 1 = ( 1)( 2)( 3) = 1 3 3! µ 1 ( 1)( 2) ( k) = =( 1) k k k! Politecnico di Torino 40
41 Funzioni elevamento a potenza: caso α = 1 Dunque 1 1+x =1 x + x2 +( 1) n x n + o(x n ) nx = ( 1) k x k + o(x n ), x 0 k=0 81 Funzioni elevamento a potenza: caso α = 1/2 Consideriamo la funzione f(x) =(1+x) 1/2 = 1+x Politecnico di Torino 41
42 Funzioni elevamento a potenza: caso α = 1/2 Calcoliamo i coefficienti binomiali µ µ = = 1 2 ( 1 2 1) 2 = ( 1 2 1)( 1 2 2) 3! = 1 16 µ 1/2 k 83 Funzioni elevamento a potenza: caso α = 1/2 E dunque lo sviluppo arrestato all ordine funzione f(x) = 1+x è 3 della 1+x = x 1 8 x x3 + o(x 3 ), x Politecnico di Torino 42
43 Funzioni elevamento a potenza: caso α = 1/2 85 Funzioni elevamento a potenza: caso α = 1/ Politecnico di Torino 43
44 Funzioni elevamento a potenza: caso α = 1/2 87 Funzioni elevamento a potenza: caso α = 1/ Politecnico di Torino 44
45 Tabella sviluppi di Maclaurin notevoli e x =1+x + x xk k! + + xn n! + o(xn ) log(1 + x) =x x ( 1)n 1 xn n + o(xn ) x2m+1 sin x = x x3 +( 1) m (2m +1)! + o(x2m+2 ) 3! + x5 5! cos x =1 x2 2 + x4 4! +( 1) m x2m (2m)! + o(x2m+1 ) 89 Tabella sviluppi di Maclaurin notevoli (1 + x) α =1+αx + α(α 1) x µ α x n + o(x n ) n 1 1+x =1 x + x2 +( 1) n x n + o(x n ) 1+x = x 1 8 x x3 + o(x 3 ) Politecnico di Torino 45
x 3 2x 2 + 6x x 4 3x = lim x(6 2x + x 2 ) x( 3 + x 3 ) (6 2x + x 2 ) ( 3 + x 3 ) = lim = 2
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