LA TEORIA CINETICA DEI GAS

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1 LA TEORIA CINETICA DEI GAS Le teorie microscopiche Le proprietà degli atomi e delle molecole spiegano le proprietà che riscontriamo nei sistemi macroscopici. Grandee microscopiche Massa di una molecola Energia di una molecola Velocità di una molecola Le molecole si attraggono a breve distana Le molecole si respingono quando avvicinate Le molecole sono in perpetuo movimento Grandee macroscopiche Pressione del gas Volume del gas Temperatura del gas L acqua mantiene il proprio volume nello stato liquido perché le molecole esercitano fore attrattive le une sulle altre (nello stato di vapore invece ogni molecola è 10 volte più lontana rispetto allo stato liquido: le fore attrattive sono minori). Il volume dell acqua è difficilmente comprimibile. Diffusione di una goccia di inchiostro in acqua, o di un profumo in una stana chiusa. 1

2 Obiettivo Ricavare una relaione tra grandee macroscopiche (ad es. P) e grandee microscopiche (ad es. v). Ipotesi 1. Il gas è perfetto. 2. Tutte le molecole sono di uguale massa e hanno uguale velocità. 3. Il numero di molecole è abbastana elevato da essere statisticamente significativo. 4. Le molecole si muovono in modo casuale, obbedendo alle leggi di Newton. 5. L urto delle molecole con le pareti del contenitore è elastico e rispetta le leggi della riflessione. 6. Le molecole non si urtano tra di esse. 7. Le molecole non hanno struttura (sono assimilabili a sfere). L = lato del cubo N = molecole di gas m = massa di ogni molecola v = velocità di ogni molecola P = pressione del gas V = volume del gas (V=L 3 ) T = temperatura del gas Calcoliamo la pressione P del gas nel cubo. Calcoliamo la pressione delle molecole del gas su una delle pareti del cubo (visto che il gas occupa tutto il volume del cubo, la pressione sarà uguale su tutte le pareti). F (par mol) F (mol par) P = F (molecole parete) = N F media (molecola parete) F Fora reale molecola-parete Osservando il grafico e ricordando la definiione di impulso (I = F ): I = F media F media = I I Fora media molecola-parete F media I t 1 t 2 t = N I (molecola parete) 2

3 = N I (molecola parete) è l intervallo di tempo tra un urto della molecola con la parete e il successivo: v = s I (molecola parete) è, per il tero principio della dinamica, l opposto di I (parete molecola) : I (mol par) = F (mol par) = = F (par mol) = I (par mol) Per il teorema dell impulso (I = p), l impulso esercitato dalla parete sulla molecola è uguale alla variaione di quantità di moto della molecola stessa: I (par mol) = p (mol) = s v = 2L v Spaio percorso tra 2 urti Velocità di spostamento lungo = N p mol 2L v = N v p mol 2 L 3 v 1 v 1 v 1 URTO COMPLETAMENTE ELASTICO L ENERGIA CINETICA SI CONSERVA v 2 E C1 mol + E C1 par = E C2 mol + E C2 par v 2 v mv 1 2 = 1 2 mv 2 2 p 1 v 1 = v 2 p 1 p 1 Se l angolo di incidena è uguale a quello di riflessione: v 1 = v 2 e v 1 = v 2 p 2 p 2 p 2 Ricordando che la quantità di moto di un corpo è data da p = mv, vale anche che: p 1 = p 2 p 1 = p 2 p 1 = p 2 3

4 p 1 p 1 p 1 Possiamo ora calcolare la variaione di quantità di moto che subisce la molecola nell urto: p 2 p = p 2 p 1 p 2 p 2 -p 1 p 2 p = 2p 1 = 2mv = N v p mol 2 L 3 = N v ( 2mv ) 2 L 3 = N m v 2 L 3 = N m v2 V Sia l energia cinetica di una molecola relativa al moto lungo l asse : = 1 2 mv 2 = 2 N V Generaliando al caso di molecole con velocità diverse, si avrà che = 1 3, dove è l energia cinetica media delle molecole. = 2 N 3 V. P = 2 N 3 V PV = 2 N 3 Dall equaione di stato dei gas perfetti: PV = nrt (dove n è il numero di moli di gas) nrt = 2 2 N N T = 3 3R n T = 2N A 3R = 3R 2N A T Dalla relaione: n N A = N Costante di Boltmann: k = R N A = 1, J/ 4

5 Dalla formula dell energia cinetica media: = 1 m v2 2 (dove v 2 è la media del quadrato della velocità delle molecole) 1 2 m v2 v2 = 3kT m Sia: v qm = v 2 la velocità quadratica media delle molecole v qm = 3kT m P = 2 N 3 V La relaione lega grandee macroscopiche (P, V) a grandee microscopiche (N, <>). La pressione è direttamente proporionale all energia cinetica media delle molecole. L energia cinetica media delle molecole è direttamente proporionale alla temperatura (e viceversa!). Da una grandea macroscopica (T) è possibile risalire ad una grandea microscopica (<>). Molecole di gas diversi, alla stessa T, hanno uguale <>. v qm = 3kT m La velocità quadratica media delle molecole è direttamente proporionale alla temperatura. Molecole di gas diversi, alla stessa T, hanno uguale <> ma non uguale v qm : sono più veloci le molecole più leggere. La velocità quadratica media NON è la velocità con cui si sposta il gas (ad es m/s per l idrogeno a 20 C), ma le sue molecole a livello microscopico. Nella realtà, le molecole del gas si urtano così spesso da cambiare continuamente e casualmente direione. 5

6 Gradi di libertà Il numero di gradi di libertà di un corpo rigido è il minimo numero di variabili indipendenti necessarie a descrivere la posiione di quel corpo. Molecola monoatomica (punto materiale) P Posiione di P 3 g.l. P Q β α α β Molecola biatomica Posiione di P Direione di PQ 5 g.l. Teorema di equipartiione dell energia L energia cinetica media di una particella ad una temperatura T è pari a = g 2 kt dove g è il numero di gradi di libertà della particella. Dimostraione [ ] Esempio L energia cinetica media di una molecola di gas monoatomico è: (già noto dalla teoria cinetica dei gas) L energia cinetica media di una molecola di gas biatomico è: = 5 2 kt 6