Per finire verranno dedicate due ore ad una verifica sommativa, della quale viene data una proposta. E importante notare che alla fine di ogni

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1 1 Premessa Questa Unità Didattica rientra nel modulo della Geometria del Piano, è articolata in quattro lezioni; tratta di similitudine tra triangoli, ed in generale di poligoni simili. E pensata per una seconda Liceo Scientifico, indirizzo P.N.I., ma può essere utilizzata in una qualsiasi altra classe, nella quale si sia scelta la strada delle trasformazioni geometriche per parlare di geometria del piano. La trattazione contiene una verifica iniziale della durata di circa un ora, da proporre alla classe. Si consiglia di non valutare questa prova, ed eventualmente farla fare anonimamente. Lo scopo di tale compito è quello di verificare il livello di partenza della classe, per attuare, eventualmente, un percorso di recupero dei prerequisiti necessari per poter affrontare l argomento. Dopo essersi accertati che i ragazzi abbiano i prerequisiti richiesti si passa alla trattazione dei contenuti. La prima lezione si sviluppa in due ore, in questa viene definita ed analizzata la similitudine come trasformazione geometrica per poi arrivare alla definizione di poligoni simili. Nella seconda lezione, pensata di un ora, si enunciano e dimostrano i tre criteri di similitudine. Durante le due ore successive viene proposta un attività di laboratorio, con l utilizzo del software Cabrì. Ai ragazzi viene consegnata una scheda di lavoro, sulla quale si richiede di fare una certa costruzione e di rispondere ad alcune domande, per arrivare all enunciato del primo criterio di similitudine e sue conseguenze. L ultima lezione si sviluppa in due ore, in essa vengono dimostrati il teorema delle corde e dellle secanti. Inoltre si vuole arrivare, attraverso il teorema di Euclide, alla giustificazione delle formule delle aree di alcuni poligoni.

2 2 Per finire verranno dedicate due ore ad una verifica sommativa, della quale viene data una proposta. E importante notare che alla fine di ogni lezione, viene dedicato un pò di tempo per anticipare il lavoro che sarà svolto nell incontro successivo, così come all inizio della lezione si richiamano i concetti sviluppati la volta precedente e si correggono gli esercizi assegnati per casa.

3 3 Prerequisiti: 1. Proprietà degli angoli corrispondenti i due rette parallele tagliate da una trasversale 2. Criteri di congruenza tra triangoli 3. Concetto di equiestenzione 4. L Omotetia 5. L Isometria Obiettivi: - Conoscere Conoscere i criteri di similitudine Conoscere il teorema delle corde Conoscere il teorema delle secanti - Saper fare Saper riconoscere triangoli simili Saper riconoscere poligoni simili Saper dimostrare ed applicare il teorema delle corde Saper dimostrare ed applicare il teorema delle secanti Saper giustificare le formule delle aree

4 4 Verifica dei prerequisiti (1 ora) 1. Enuncia i criteri di congruenza tra triangoli. 2. Dati due triangoli tali che β β, γ γ e CB C B, individua tra le seguenti affermazioni quella esatta, giustificando la risposta. C C A B A B a) Non si può dire niente sulla congruenza dei due triangoli. b) I due triangoli sono congruenti per il secondo criterio di congruenza. c) I due triangoli sono congruenti per il primo criterio di congruenza. d) I due triangoli non sono congruenti. e) I due triangoli sono congruenti per il terzo criterio di congruenza. 3. Disegna per ciascuna delle figure seguenti un altra ad essa equiestesa ma non congruente. a) b)

5 5 4. Dimostra che ogni triangolo è equiesteso ad un rettangolo di uguale base e metà altezza. Utilizzando i termini in parentesi, completa: Poichè ogni poligono è scomponibile in... ed ogni... è... ad un..., allora ogni poligono è... ad un... (equiesteso, triangolo, equiesteso, rettangolo, triangoli, rettangolo) 5. Le trasformazioni geometriche si caratterizzano per i loro invarianti, ossia per le caratteristiche che lasciano immutate. Indica per ciascuna delle trasformazioni del piano qui citate quali sono, tra quelli elencati, gli invarianti. Invarianti Traslazione Rotazione Simmetria As. Omotetia Allineamento dei punti Lunghezza dei segmenti Ampiezza degli angoli Rapporto tra segmenti Aree Parallelismo Direzioni

6 6 6. Applica al quadrilatero, ABCD, rappresentato in figura, l omotetia di centro O e rapporto k = 1, e successivamente la simmetria assiale di 2 asse a. D a C O A B Risposta criterio Punteggio 1) I Criterio II Criterio III Criterio ) b 0-1 Motivazione ) a 0-1 b 0-1 4) ) ) Omotetia Simmetria

7 7 Prima Lezione (2 ore) Osserviamo i due disegni in figura. Non possiamo certo dire che siano congruenti e neppure che abbiano la stessa area; intuitivamente possiamo dire che uno è l ingrandimento dell altro. Per descrivere questa situazione dobbiamo introdurre un nuovo concetto, quello di similitudine tra figure geometriche, a cui associare l idea intuitiva di figure che hanno la stessa forma. Definizione Si dice similitudine, di rapporto k 0, la trasformazione che si ottiene componendo una isometria con un omotetia di rapporto k 0, oppure un omotetia con una isometria. Sappiamo che la composizione di due trasformazioni geometriche ha come invarianti quelli comuni alle due trasformazioni. Dunque possiamo ricavare gli invarianti della similitudine.

8 8 Invarianti Invarianti Invarianti ISOMETRIA OMOTETIA SIMILITUDINE Allineamento Allineamento Allineamento dei punti dei punti dei punti Lunghezza dei segmenti Rapporti tra Rapporti tra Rapporti tra segmenti segmenti segmenti Ampiezza degli Ampiezza degli Ampiezza degli angoli angoli angoli Parallelismo Parallelismo Parallelismo Direzioni Analizzando la tabella possiamo dire che una similitudine modifica sia le dimensioni, se k ±1, che la posizione relativa di ogni figura. Una figura del piano viene detta simile ad un altra se corrisponde ad essa in una similitudine. Il termine similitudine designa, quindi, due oggetti: una trasformazione geometrica dei punti del piano; una relazione tra figure. Definizione Due poligoni che hanno lo stesso numero di lati sono simili se è possibile stabilire una corrispondenza tra i loro vertici, tale che 1. i poligoni abbiano gli angoli corrispondenti congruenti; 2. il rapporto tra le misure dei lati corrispondenti sia costante. E importante osservare che le due condizioni prese separatamente non sono sufficienti a dire che i poligoni sono simili.

9 9 A dimostrazione di quanto detto, consideriamo i seguenti quadrilateri: hanno i lati in proporzione ma non sono simili poichè hanno angoli differenti. Esercizio Determina il corrispondente del quadrilatero di vertici A(1, 3); B(2, 1); C(4, 4); D(5, 4) nella trasformazione ottenuta componendo l omotetia di centro l origine e rapporto k = 2 con la rotazione di centro il punto B (4, 2) ed ampiezza 90 in verso orario. I due quadrilateri come risultano tra loro? Attraverso l omotetia si ottiene il quadrilatero di vertici A (2, 6); B (4, 2); C (8, 8); D (10, 8). Attraverso la rotazione si ottiene il quadrilatero di vertici A (8, 4); B (4, 2); C (10 2); D (10, 4). I due quadrilateri sono simili.

10 10 Teorema La similitudine tra poligoni è una relazione di equivalenza. Dimostrazione La similitudine è riflessiva: ogni figura è simile a se stessa, inquanto l identità può essere considerata sia una isometria che un omotetia di rapporto k = 1. La similitudine è simmetrica: se il poligono ABCDE.. è simile al poligono A B C D E.., allora il poligono A B C D E.. è simile ad ABCDE... Infatti gli angoli sono congruenti grazie alla proprietà simmetrica delle congruenze; inoltre se k 0, è il rapporto di similitudine si ha si ricava immediatamente che A B AB = B C BC = C D CD =... = k AB A B = BC B C = CD C D =... = 1 k. Dunque se il rapporto di similitudine tra ABCDE.. e A B C D E.. è k, quello della similitudine tra A B C D E.. e ABCDE.. è 1 k. La similitudine è transitiva: se il poligono ABCDE.. è simile al poligono A B C D E.., ed il poligono A B C D E.. è simile al poligono A B C D E.. allora il poligono ABCDE.. è simile al poligono A B C D E... Infatti la congruenza tra gli angoli è immediata per la proprietà transitiva della congruenza; inoltre se il rapporto di similitudine tra ABCDE.. e A B C D E.. è k e quello tra A B C D E.. e A B C D E.. è h allora è facile verificare che il rapporto di similitudine tra ABCDE.. e A B C D E.. è k h. La prossima lezione...

11 11 Dopo aver dato la definizione di similitudine e di poligoni simili, ci soffermeremo sulla similitudine tra triangoli. Sappiamo che ogni poligono può essere scomposto in triangoli; questo consente di sfruttare per i poligoni i risultati ottenuti sui triangoli: di questo parleremo nella prossima lezione. Esercizi per casa ( 1. Dato il poligono avente vertici A( 5, 1), B( 1, 1), C 1, 7 ), ( 2 D 5, 7 ), determina il corrispondente nella similitudine ottenuta 2 componendo la seguente isometria ed omotetia: simmetria rispetto all asse X, omotetia di centro l origine e rapporto k = 1. Componi sia 2 l isometria con l omotetia, sia l omotetia con l isometria. 2. Determina una isometria e una omotetia che, composte tra loro, rappresentino una similitudine che fa corrispondere ai punti A( 2, 3), B(0, 3), C(0, 4) i punti A (3, 9), B 9, 9), C (9, 12).

12 12 Seconda Lezione (1 ora) Nella lezione precedente abbiamo definito la similitudine come composizione di un omotetia con una isometria, e viceversa; abbiamo trovato gli invarianti e dimostrato che la similitudine è una relazione di equivalenza, infine siamo giunti alla definizione di poligoni simili. Oggi iniziamo a lavorare con un particolare poligono, che è il triangolo. Come per la relazione di congruenza, anche per la similitudine, esistono tre criteri per stabilire se due triangoli sono simili, senza dover ogni volta ricercare la trasformazione in cui si corrispondono, questi criteri sono semplici applicazioni della similitudine. simili. Primo criterio di similitudine Se due triangoli hanno gli angoli corrispondenti congruenti allora sono Dimostrazione C C C A B B B A Ipotesi: A B C = ABC; A C B = ACB; B A C = BAC. Tesi: Il triangolo A B C è simile al triangolo ABC.

13 13 Consideriamo nei due triangoli i lati AB e A B ; ciascun angolo ad esso adiancente è congruente al proprio corrispondente. Possiamo calcolare il rapporto tra i lati A B AB = k. Applichiamo l omotetia di centro A e rapporto k al triangolo ABC. Al punto B corrisponde il punto B ed al punto C il punto C, dunque AB = k AB = A B. Inoltre, poichè l omotetia conserva l ampiezza degli angoli si ha ABC, ma anche AB C = A B C, ossia B AC = BAC = B A C. Dunque i triangoli AB C ed A B C sono congruenti (A-L-A). B AC = Esiste, cioè un isometria che fa corrispondere il triangolo AB C al triangolo A B C. Complessivamente ABC omotetia quindi i triangoli ABC e A B C sono simili. AB C isometria A B C Secondo criterio di similitudine Se due triangoli hanno un angolo congruente e i due lati che lo comprendono proporzionali allora sono simili. Dimostrazione Ipotesi: A B AB = A C AC ; B A C = BAC. Tesi: Il triangolo A B C è simile al triangolo ABC. Supponiamo che i triangoli ABC e A B C siano tali che BAC = B A C e A B AB = A C AC = k.

14 14 C C C A B B B A Applichiamo l omotetia di centro A e rapporto k, in modo che al triangolo ABC corrisponda il triangolo AB C. Dunque AB = k AB = A B e AC = k AC = A C. I triangoli AB C ed A B C sono congruenti (L-A-L). Esiste, cioè un isometria che fa corrispondere il triangolo AB C al triangolo A B C. Complessivamente ABC omotetia quindi i triangoli ABC e A B C sono simili. AB C isometria A B C Terzo criterio di similitudine Se due triangoli hanno i lati proporzionali allora sono simili. Dimostrazione C C C A B B A B Ipotesi: A B AB = A C AC = B C BC.

15 15 Tesi: Il triangolo A B C è simile al triangolo ABC. Supponiamo che A B AB = A C AC = B C BC = k. Applichiamo l omotetia di centro A e rapporto k, in modo che ai vertici B e C corrispondano B e C. Dunque AB = k AB = A B ; AC = k AC = A C ; B C = k BC = B C. I triangoli AB C ed A B C sono congruenti (L-L-L). Esiste, cioè un isometria che fa corrispondere il triangolo AB C al triangolo A B C. Complessivamente ABC omotetia quindi i triangoli ABC e A B C sono simili. AB C isometria A B C La prossima lezione... A questo punto sfruttando i criteri dimostrati, possiamo di volta in volta verificare abbastanza agevolmente che due o più triangoli siano o no simili. Nella prossima lezione faremo un esercitazione in laboratorio utilizzando Cabrì. Esercizi per casa 1. Dati i triangoli di vertici A( 2, 0), B( 4, 2), C( 3, 0) e A (6, 0), B (12, 6), C (9, 9), individa la similitudine che li fa corrispondere. 2. Dimostra che tutti i triangoli equilateri sono tra loro simili.

16 16 Terza Lezione (2 ore) Laboratorio con l utilizzo di Cabrì Primo criterio di similitudine tra triangoli Costruzione Dato un triangolo ABC, costruisci il triangolo ADE tale che: a) D appartenga alla retta AB, b) ED sia parallelo a BC, c) E appartenga alla retta AC. Rispondi alle domande 1. Cosa accade variando la posizione del punto D?

17 17 2. Come sono tra loro gli angoli dei due triangoli? (Verifica la tua risposta utilizzando il comando MISURA DELL ANGOLO.) 3. Per quale motivo? 4. Quale relazione lega le misure dei lati dei due triangoli? 5. Per quale motivo?

18 18 6. Calcola i rapporti tra i lati: AD AB, ED BC, AE ; che cosa noti? AC 7. Muovi il punto D. Le misure dei segmenti variano? I rapporti variano? 8. La relazione che lega questi rapporti continua ad essere valida? 9. Quale relazione lega i triangoli ABC e AED?

19 19 Puoi ora enunciare il primo criterio di similitudine tra triangoli. Perimetro ed area di triangoli simili Misura il perimetro e l area dei triangoli ABC e AED. Calcola il rapporto tra queste misure. Muovi il punto D e completa la seguente tabella (P indica il perimetro e A l area). AD AB ,5 P(ABC) P(AED) A(ABC) A(AED) Osservando la tabella completa In due triangoli simili, con rapporto di similitudine k: il rapporto tra i perimetri è... il rapporto tra le aree è...

20 20 La prossima lezione... Nella prossima lezione vedremo altre applicazioni delle similitudini.

21 21 Quarta Lezione (2 ore) Oggi passiamo ad applicare la similitudine alla circonferenza per ricavarne alcune proprietà, dopo di chè passeremo a giustificare le formule delle aree dei poligoni. Teorema delle corde Se in una circonferenza due corde AB e CD si intersecano in un punto P, allora i quattro segmenti che si determinano sono nella proporzione P A : P C = P D : P B. Dimostrazione: uniamo C con B e A con D e dimostriamo che i triangoli P CB e P AD sono simili. Facciamo una simmetria assiale rispetto alla bisettrice dell angolo osserviamo che B B C C. BP D:

22 22 DCB = DAB perchè insistono sullo stesso arco BD; P C B = BCD perchè corrispondenti nella simmetria assiale; ne segue BAD = P C B e che le rette AD e B C sono parallele perchè formano angoli corrispondenti uguali con la trasversale AB. Dunque possiamo affermare che esiste un omotetia che manda il triangolo P C B nel triangolo P AD; complessivamente P CB isometria P C B omotetia AP D quindi i triangoli P CB e P AD sono simili, hanno dunque i lati in proporzione: P A : P C = P D : P B. Teorema delle secanti Se da un punto P esterno ad una circonferenza si tracciano due semirette secanti che intersecano la circonferenza rispettivamente nei punti A, B, C e D, allora i quattro segmenti di estremo P, che si determinano, sono nella proporzione P A : P C = P D : P B. Dimostrazione: uniamo A con D e B con C e dimostriamo che i triangoli P CB e P AD sono simili.

23 23 Facendo una simmetria assiale, del triangolo P AD, rispetto alla bisettrice dell angolo BP D, otteniamo il triangolo P A D. Osserviamo che P CB = P AD perchè insistono sullo stesso arco BD; P AD = P A D perchè corrispondenti nella simmetria assiale ne segue P A D = P CB e le rette A D e CB sono parallele perchè formano angoli corrispondenti uguali con la trasversale P C. Dunque possiamo affermare che esiste un omotetia che manda il triangolo P A D nel triangolo P CB; complessivamente P AD isometria P A D omotetia P CB quindi i triangoli P CB e P AD sono simili, hanno dunque i lati in proporzione: P A : P C = P D : P B. Adesso cerchiamo di capire se e quali triangoli simili tra loro possiamo trovare in un triangolo rettangolo. Consideriamo un triangolo ABC, retto in A, e tracciamo l altezza AH relativa all ipotenusa. Facciamo una simmetria assiale di asse la bisettrice dell angolo triangolo ABH si trasforma nel traingolo A BH. ABC, il

24 24 Ne segue che l angolo BH A risulta retto, quindi le rette AC e A H sono parallele. Allora i triangoli BA H e ABC sono omotetici; complessivamente ABH isometria A BH omotetia Si conclude che i triangoli ABH e ABC sono simili. ABC. In particolare dalla similitudine di questi triangoli ne segue che BC : AB = AB : BH. In questo modo abbiamo dimostrato Primo teorema di Euclide In ogni triangolo rettangolo un cateto è medio proporzionale tra l ipotenusa e la proiezione del cateto stesso sull ipotenusa. Siamo ora nelle condizioni di poter giustificare assiomaticamente le formule che permettono di determinare l area di un poligono qualsiasi a partire da quella del quadrato. Ricordiamo che: l area di un quadrato di lato l è il numero reale l 2 ; l area di un poligono è l area del quadrato ad esso equiesteso. Teorema Ogni rettangolo di base b ed altezza h è equiesteso ad un quadrato di area l 2 = b h.

25 25 Dimostrazione Dato un rettangolo di base b ed altezza h possiamo costruire un quadrato ad esso equiesteso. Sia il quadrato ABDE equiesteso al rettangolo BHMN, con AB = l, BH = h, BC = b. E A D B H C h N b M Per la similitudine dei triangoli ABC e ABH si ha BC : AB = AB : BH ossia dunque b : l = l : h l 2 = b h. Il quadrato a cui è equiesteso il rettangolo ha area b h, quindi l area del rettangolo è anch essa b h.

26 26 Sapendo che ogni poligono è equiesteso ad un rettangolo, questo rettangolo legittima le formule per calcolare le aree delle figure poligonali più frequenti. l area di un parallelogramma di base b ed altezza h è b h; l area di un triangolo di base b ed altezza h è b h 2 ; l area di un trapezio di basi b 1, b 2 ed altezza h è (b 1 + b 2 ) h. 2 In generale un quadrilatero con diagonali d 1, d 2 perpendicolari, è equiesteso alla metà di un rettangolo di dimensioni d 1, d 2. Ne segue che: l area di un deltoide (quadrilatero con lati a due a due congruenti e diagonali perpendicolari) è d 1 d 2 ; 2 l area di un rombo è d 1 d 2. 2

27 27 Verifica Finale (2 ore) 1. In un triangolo ABC una retta passante per il punto medio di AB, detto M, è parallela al lato BC. In quale punto, P, essa incontra il lato AC? Se da P si manda la parallela ad AB, in quale punto Q essa interseca il lato BC? Analizza ognuno dei quattro triangoli, che si ottengono congiungendo M, P e Q. Dire se sono simili al triangolo di partenza ABC, giustificando la risposta. In caso affermativo, indicare il rapporto di similitudine. 2. Dimostrare che è sufficiente che due triangoli rettangoli abbiano un angolo acuto congruente affinchè si corrispondano in una similitudine. 3. Dimostra che se da un punto esterno ad una circonferenza si tracciano una tangente P T ed una secante, nei punti A e B, allora: P A : P T = P T : P B. 4. Enuncia e dimostra il teorema delle corde. 5. Determinare perimetro ed area di un trapezio rettangolo le cui diagonali siano perpendicolari e le cui basi misurino h e k, con h > k. 6. Spiegare perchè le seguenti proposizioni costituiscono la dimostrazione della formula dell area di un triangolo: a) l area di un quadrato di lato l è per definizione l 2 ; b) ogni triangolo è equiesteso ad un rettangolo di ugale base e di metà altezza; c) ogni rettangolo di dimensioni b ed h è equiesteso ad un quadrato di area b h.