8. Sistemi di Modulazione Numerica in banda-base. Modulo TLC:TRASMISSIONI Modulazione numerica in banda base

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1 1 8. Sistemi di Modulazione Numerica in banda-base

2 Modulazione e Demodulazione numerica 2 sequenza numerica segnale analogico modulatore numerico x(t) sequenza numerica demodulatore numerico mezzo trasmissivo r(t) affetto da errori affetto da distorsioni e rumore segnale analogico

3 Modulazione numerica: banda base e banda traslata 3 banda base utilizza segnali analogici con trasformata di Fourier contenuta in un intervallo di frequenza contiguo all origine banda traslata utilizza segnali analogici con trasformata di Fourier contenuta in un intervallo di frequenza non contiguo all origine X(f) X(f) Mezzi trasmissivi in banda base (es.: linea bifilare) f Mezzi trasmissivi in banda traslata (es.: trasmissioni radio) f

4 Schema di modulazione numerica in banda traslata 4 sequenza numerica modulatore numerico in banda traslata segnale analogico in banda traslata x(t) mezzo trasmissivo sequenza numerica demodulatore numerico (banda traslata) segnale analogico in banda traslata r(t)

5 5 Rappresentazione delle sequenze numeriche mediante segnali analogici: I principi della modulazione numerica

6 Una sequenza numerica è rappresentata (dopo modulazione numerica) da un segnale fisico analogico: Tensione elettrica sul filo, Potenza luminosa entrante in una dalla tastiera alla CPU fibra ottica + 5 V -5 V Rappresentazione delle sequenze numeriche mediante segnali analogici (1/7) t P t Tecniche di MODULAZIONE IN BANDA BASE

7 Rappresentazione delle sequenze numeriche mediante segnali analogici (2/7) 7 asse dei tempi Sequenze numeriche b(n) (sequenza di simboli) sequenza di ampiezze a(n) (valori associati ai simboli secondo una corrispondenza biunivoca: Es ; -5 1 ) 0 T 2T 5T a(0)g(t) t impulsi di forma g(t) 1 t di ampiezza a(n) trasmessi negli istanti nt x + = () t a(n) g(t nt) n= a(1)g(t-t) a(2)g(t-2t) a(3)g(t-3t) +5-5

8 Rappresentazione delle sequenze numeriche mediante segnali analogici (3/7) 8 Esempio: x(t) P t simboli: 0 1 ampiezze: P 0 0 g(t) forma di impulso: 1 t 0 T segnale analogico modulato numericamente: x + = () t a(n) g(t nt) n=

9 Rappresentazione delle sequenze numeriche mediante segnali analogici (4/7) 9 Sia {b(n)} una qualsiasi sequenza numerica avente alfabeto di ordine α, cioè costituito da α simboli arbitrari rappresentabili, senza perdita di generalità, con i numeri naturali {0, 1, 2,..., α 1} intervallo di tempo tra simboli consecutivi : T velocità di emissione dei simboli: f s =1/T Esso è rappresentabile mediante il segnale analogico x + = () t a(n) g(t nt) n= dove g(t) è un segnale impulsivo, in molti casi limitato all intervallo (-T/2, +T/2), detto impulso sagomatore i valori a(n) sono estratti da un insieme di α ampiezze di impulso (numeri reali arbitrari), biunivocamente associati agli α simboli dell alfabeto a(n) { a 0, a 1, a 2,..., a α-1 }

10 Rappresentazione delle sequenze numeriche mediante segnali analogici (5/7) 10 Un segnale numerico {b(n)} è univocamente associato ad una sequenza di valori reali mediante una corrispondenza biunivoca fra simboli e ampiezze {a(n)}. b(n) a(n) simboli ampiezze di impulso 0 a 0 1 a α -1 a α 1 Criteri di scelta dei valori di ampiezza: ugualmente spaziate e simmetriche rispetto allo 0. Esempi: α = 2 α = 3 α = a a a +1/3 0-1/ a i = 1 2i α 1 [ i = 0,1, 2,..., α -1] Senza perdita di generalità,nel caso di α=2 assumeremo a 0 =1, a 1 =-1.

11 Rappresentazione delle sequenze numeriche mediante segnali analogici (6/7) 11 x + = () t a(n) g(t nt) n= onda PAM PAM : Pulse Amplitude Modulation, (Modulazione di Ampiezza di Impulso) PROPRIETA DI BASE DELL ONDA PAM 1. simboli b(n) diversi differenti valori a(n) della ampiezza degli impulsi 2. X(f) 2 2 G(f) 3. La larghezza di banda dell onda PAM è uguale a quella del segnale g(t)

12 Rappresentazione delle sequenze numeriche mediante segnali analogici (7/7) 12 Esempi di segnali PAM Ordine dell alfabeto α Ampiezze di impulso a i (i=0,1,...,α-1) Forma di impulso g(t) segnale PAM x(t) 2 [+1, -1] [+1, 0, -1] -T/2 0 +T/2 1 0 T 2T [+1, +1/3, -1/3, -1] -T/2 0 +T/2 1 0 T 2T T/2 0 +T/2 0 T 2T

13 13 Transito dei segnali modulati numericamente (PAM) attraverso canali analogici di banda base

14 Modulazione numerica in banda base 14 Obiettivi: 1. trasmettere un segnale numerico facendo uso di un canale avente banda passante (fisica) limitata tra 0 ed un valore massimo f m ; 2. ottenere elevata efficienza di utilizzazione della banda del canale, definita come: velocità di simbolo larghezza di banda del segnale modulato = f f s m [(simboli/sec)/hz] Una alta efficienza si ottiene impiegando impulsi sagomatori g(t) con occupazione di banda la più piccola possibile

15 Schema di principio di un modulatore PAM 15 Segnale dalla sorgente (rappres. PAM ideale) Filtro formatore di impulso con risposta impulsiva g(t) x(t) = u ( t) g( t) Segnale PAM ideale + u t = a(n) δ(t nt () ) n= Segnale PAM a banda limitata (in uscita dal modulatore) + x t = a(n) g(t nt () ) n= t 0 T 2T t

16 Modello di Canale lineare e permanente affetto da rumore additivo Gaussiano 16 Canale y(t) = x(t) * c(t) lineare e permanente C(f) = FT [c(t)] + passa-basso C(f) = 0 per f > f m Segnale PAM a banda limitata (in uscita dal modulatore) + x t = a(n) g(t nt () ) n= T 2T n(t) z(t) = y(t) + n(t) segnale in uscita dal canale rumore additivo gaussiano n(t) con spettro di densità di potenza uniforme W n (f) = N 0 (Watt/Hz) rumore Gaussiano bianco

17 Demodulatore PAM 17 Filtro di ingresso al demodulatore G R (f) Campionatore negli istanti t = kt Decisore criterio di decisione z(t) segnale in uscita = r(t) + η(t) dal canale componente utile w(t) = y(t) * g R (t) + η(t) rumore filtrato w(kt) nt ()* gr () t â(k) sequenza stimata delle ampiezze trasmesse Esempio: w(kt) +1,21 +0,66-1,35 +1,17 ^ a(k) b(k) ^ Il criterio qui applicato è il seguente: w(kt) 0 a(k) ^ = +1 ; w(kt) < 0 a(k) ^ = -1 Nel segnale numerico ricevuto possono comparire errori dovuti a decisione errata.

18 Modulazione numerica in banda base 18 Segnale dalla sorgente u + = () t a(n) δ(t nt) n= Filtro formatore di impulso G(f) x(t) = u CANALE MODULATORE () t g( t) Canale lineare e permanente C(f) y(t) n(t) + DEMODULATORE sequenza â(k) Decisore w(kt) Campionatore negli istanti t = kt w(t) = y(t) * g R (t) + η(t) Filtro di ingresso al demodulatore G R (f) z(t) = y(t) + n(t) = = x(t)*c(t) + n(t)

19 r Componente di segnale utile all ingresso del campionatore w(t) = y(t)*g R (t) + n(t)*g R (t) = r(t) + η(t) ( t) = y( t) gr ( t) = x() t c() t gr () t = u() t g() t c() t g () t + = h() t a( n) δ ( t nt ) n= con h() t = g() t c( t) gr ( t) risposta impulsiva della cascata di tre filtri: formatore di impulso, canale, filtro di ingresso al demodulatore Per le funzioni di trasferimento: H(f) = G(f) C(f) G R (f) R segnale utile r + = () t a(n) h(t nt) n= rumore (filtrato) Il segnale utile r(t) è ancora un segnale PAM con forma di impulso h(t) 19

20 20 Demodulazione del segnale PAM in assenza di rumore

21 Demodulazione in assenza di rumore 21 Obiettivo: ricavare una stima {â(k)} della sequenza di ampiezze trasmessa {a(k)} dalla sequenza di valori campionati in ricezione {w(kt), k =..., -2, -1, 0, +1, +2, +3, } Ipotesi: assenza di rumore n(t)=0 η(t)=0 + () = r() t + η() t = r() t = a( n) h( t nt ) w t ( ) w kt = = + n= a( k) a( n) h(0) h( kt + + n= nt ) a( n) n=, n k h( kt nt ) Interferenza intersimbolica (ISI) coincide con a(k) a meno della costante (guadagno) h(0) componente dipendente dalle ampiezze trasmesse prima e dopo l ampiezza k-esima e dalla funzione h(t) (ISI)

22 Interferenza intersimbolo e condizioni di Nyquist 22 + ( kt ) = a( k) h(0) + a( n) h( kt w nt ) n= Ponendo le condizioni seguenti, dette condizioni di Nyquist: hkt ( ) 1, per k = 0 = 0, per k 0 si ha sempre w(kt) = a(k) Il termine di ISI si annulla e la sequenza demodulata coincide con quella trasmessa (in assenza di rumore).

23 Condizioni di Nyquist e forme di impulso limitate nel tempo 23 Le condizioni di Nyquist risultano soddisfatte, in particolare, quando la forma di impulso in ricezione, h(t), è limitata nel tempo tra i valori ±T/2. Esempio: h(t) w(t) 1 1 Il segnale ricevuto all uscita del filtro di ricezione è costituito da una sequenza di impulsi separati tra loro. -T -T/2 +T/2 +T +2T -T -T/2 +T/2 +T +2T PROBLEMA Un impulso h(t) di durata limitata nel tempo ha trasformata di Fourier H(f), illimitata in frequenza (banda infinita). Il canale ha banda limitata (C(f) è limitata in frequenza) e,quindi, H(f) = G(f) C(f) G R (f) deve necessariamente essere limitata in frequenza ossia nulla per f>f m.

24 Condizioni di Nyquist nel dominio della frequenza 24 Se h(t) soddisfa le condizioni di Nyquist nel dominio del tempo 1 per k = 0 hkt ( ) = 0 per k 0 la sua trasformata di Fourier H(f) soddisfa la seguente condizione di Nyquist nel dominio della frequenza + m= H f m = T T Esempio: H(f) costante H(f+1/T) T H(f) H(f-1/T) H(f-2/T) f -1/2T 0 +1/2T -2/T -1/T 0 +1/T +2/T f

25 Banda minima per la trasmissione di segnali PAM senza ISI 25 Dalle condizioni di Nyquist nel dominio della frequenza si deduce che non è possibile avere forme di impulso h(t) senza interferenza intersimbolo se H(f) occupa una banda minore di f 1 = 2T fs 2 N = = Banda di Nyquist velocità di simbolo 2 La somma delle repliche traslate di una H(f) di frequenza massima minore di f N non può mai dare luogo a una costante. H(f) -1/2T 0 +1/2T f

26 Forma d impulso di Nyquist a banda limitata - passa-basso di Nyquist 26 Una particolare forma di impulso h 0 (t) limitato in banda che soddisfa le condizioni di Nyquist è quella la cui trasformata di Fourier H 0 (f) è la funzione di trasferimento di un filtro passa-basso ideale (moltiplicata per il fattore costante T): h () t = 0 h 0 (t) t sin π T t π T H 0 ( f ) T = 0 per f per f H 0 (f) T > 1 2T 1 2T 0 T 2T 3T 4T 5T 6T t -1/2T 0 +1/2T f

27 Forma d impulso di Nyquist a banda limitata 27 Esempio: Segnale PAM privo di ISI nel caso di forma di impulso h 0 (t) +1 h 0 (t) H 0 (f) T 0 r(t) T t -1/2T 0 +1/2T f +1 t 0-1

28 Forma d impulso di Nyquist a coseno rialzato 28 H ( f ) T, per 0 f (1 γ) fn T πt = 1 sin( ( f f )), per ( 1 γ) f f < ( 1 +γ) f 2 γ 0 per f > 1 +γ T H(f) ( ) γ fattore di roll-off, 0 < γ 1 f n N N N γ = 1 γ = 0.6 γ = 0.3 γ = 0 0 f N 2f N

29 Forma d impulso di Nyquist a coseno rialzato 29 All aumentare del fattore di roll-off γ da 0 (filtro passabasso ideale) a 1 Le oscillazioni della h(t) ai due lati del picco dell impulso si smorzano più rapidamente. 1 h(t) γ = 1 γ = 0.6 γ = 0.3 γ =0-4T -3T -2T -T t 0 T 2T 3T 4T Minore criticità nel campionamento in ricezione. La banda occupata aumenta da f N a f N (1 + γ)

30 Forma d impulso di Nyquist a coseno rialzato 30 Esempio: Segnali PAM privo di ISI per forma di impulso h (t) a coseno rialzato, ( γ = 0 e γ = 1 ) h(t) h(t) γ = 0 γ = 1 0 T t 0 T t +1 r(t) +1 r(t) 0 t 0 t -1-1 Valori di γ di interesse operativo: 0,2 < γ < 0,6

31 Ricezione in presenza di interferenza intersimbolo 31 Se la forma dell impulso h(t) non rispetta le condizioni di Nyquist, i campioni del segnale ricevuto sono affetti da interferenza intersimbolo (anche in assenza di rumori di canale). Esempio: Impulso h(t) che non soddisfa le condizioni di Nyquist [in neretto i valori non nulli di h(kt), per k 0] Corrispondente segnale PAM [i valori campionati sono diversi dai valori di T ampiezza trasmessi ±1] +1 T -1

32 Segnale PAM multilivello 32 I simboli sono associati ad α ampiezze diverse (segnale PAM multilivello ad α livelli) sorgente binaria conversione di alfabeto 2 α modulatore PAM ad α livelli canale in banda base (freq. max. f m ) velocità di simbolo binario f b velocità di simbolo f f= b s log 2 α f m s f f = s 2 2log α 2 Minima banda di canale per trasmissione priva di interferenza intersimbolo (condizione di Nyquist).

33 Vantaggi e svantaggi del PAM multilivello 33 All aumentare del numero di livelli α del segnale PAM utilizzato abbiamo che: Aumento dell efficienza spettrale Velocità di trasmissione dei simboli binari fb più alta, a parità di banda fm occupata dal segnale PAM,ovvero riduzione della banda fm occupata dal segnale PAM a parità di frequenza di simbolo binario fb. Aumento della probabilità di errore in presenza di interferenza intersimbolo e/o rumore, a causa della minore differenza tra valori adiacenti di ampiezza di impulso.

34 34 Demodulazione del segnale PAM in presenza di rumore gaussiano

35 Demodulazione PAM in presenza di rumore di canale 35 Obiettivo: ricavare una stima {â(k)} della sequenza di ampiezze trasmessa {a(k)} dalla sequenza di valori campionati in ricezione {w(kt), k =..., -2, -1, 0, +1, +2, +3, } Ipotesi: rumore additivo Gaussiano bianco + (Segnale all ingresso w () t r() t + η() t = a(n) h(t nt) + η() t = w n= Supponendo che la forma di impulso in ricezione, h(t), sia priva di interferenza intersimbolo, e con h(0) =1, agli istanti di campionamento kt si ha ( kt ) = r( kt ) + η ( kt ) = a( k) + η( kt ) del campionatore di ricezione) Variabile con a valori possibili Variabile aleatoria Gaussiana con valore atteso nullo e varianza σ 2 η 2 σ η = N G R 2 ( f ) df

36 Decisione in presenza di rumore Gaussiano. Criterio della Massima Verosimiglianza (1/3) 36 w(kt)=a(k)+η(kt) Problema: Misurato w(kt) w* all uscita del campionatore di ricezione, di possiamo calcolare una buona decisione (stima) a(k) del simbolo trasmesso sulla base di w*? Criterio della Massima Verosimiglianza (MLD) Misurato w(kt) w*, si decide a favore della più verosimile tra le ampiezze {a0.. aα-1} assumibili dal simbolo a(k), ossia a favore di quell ampiezza a alla quale corrisponde la più grande del seguente insieme di probabilità condizionate {p[w* a(k)= a0 ],, p[w* a(k)= aα-1]}. In formule,la decisione MLD a(k) sul simbolo a(k) è quindi definita come segue: a(k) argmax{p[w* a(k)= ai]} 0 i α 1

37 Decisione in presenza di rumore Gaussiano Decisore a minima distanza Euclidea (2/3) 37 w(kt)=a(k)+η(kt), Poiché la componente di rumore η(kt) è Gaussiana e a media nulla, si può provare che la decisione MLD a(k) precedentemente definita è equivalente a scegliere come decisione a(k) quello tra i possibili α valori {a0 aα-1} assumibili da a(k) che è più vicino (ossia,dista di meno) dal valore misurato w(kt) w*. Quindi, per la decisione MLD a(k) vale la seguente proprietà: a(k)=argmin{(w*- ai) } 0 i α 1 2 IL Decisore MLD è un decisore a minima distanza Euclidea

38 Decisione in presenza di rumore Gaussiano Caso del 2-PAM (3/3) 38 w(kt)=a(k)+η(kt) Supponiamo che a(k) possa assumere i due valori a(k)= 1 (caso di modulazione PAM binario) Allora il decisore a minima distanza Euclidea si riduce (ossia, è equivalente) ad un decisore a soglia che decide a(k)=+1 quando w(kt) 0 e decide a(k)=-1 quando w(kt)<0, in accordo alla relazione a(k)= +1, -1, per w(kt) 0 per w(kt) 0 Ovviamente, non sempre la decisione a(k) è esatta. Quindi, definiamo come probabilità d errore Pe del decisore MLD la quantità: Pe P(a(k) a(k)). ± (2-PAM)

39 Probabilità d errore in presenza di rumore gaussiano Caso 2-PAM 39 a(k) w(kt) p [w(kt) a(k) = +1]= p η [η=w(kt)-1] a(k) = -1 η(kt) > +1 w(kt) = a(kt) + η(kt) > 0 â(kt) = +1 a(kt) w(k) > errore 0 Densità di probabilità gaussiana p [w(kt) a(k) = -1]= p η [η=w(kt)+1] + 0 ( ) Pe 1 = p w a k = 1 dw= + = p η + = 1 ( η) dη = P e 1 Pe Probabilità di errore (area tratteggiata in figura)

40 Esempio: α = 4 Probabilità d errore nel PAM multilivello Caso 4-PAM (1/2) 40 w(kt) valori di ampiezza possibili -A -A/3 +A/3 +A livelli di decisione (criterio MLD) -2A/3 0 +2A/3

41 Probabilità d errore nel PAM multilivello Caso 4-PAM (2/2) 41 Probabilità d errore: per le due ampiezze estreme (area ) per un ampiezza interna P e = 2 η = (somma delle due aree ) * P e = pη + A /3 p ( η) dη 2Pe Pe = [( α 2) 2Pe + 2Pe ] = 2 Pe A /3 + ( η) dη Probabilità d errore media (per simboli equiprobabili) Formula generale α 1 α 1 α