Fondamenti di elaborazione numerica dei segnali
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- Edmondo Gagliardi
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1 Esercizi per la I prova in itinere del corso: Fondamenti di elaborazione numerica dei segnali. Trasformata z di una sequenza illimitata causale Si consideri la sequenza causale ) 3 n x n = e i π 3 n, n 0 a) Si calcoli la trasformata Zeta Xz) di x n. b) Si calcoli la trasformata Zeta Y z) della sequenza y n = x n + x n e la posizione di poli e zeri di Y z). c) Si calcoli la trasformata Zeta W z) della sequenza w n = x n x n e la posizione di poli e zeri di W z). d) Si consideri la sequenza {y 0, y, y } ottenenuta troncando {y n } a 3 campioni. Si calcolino gli zeri della trasformata zeta Y 3 z) della sequenza troncata {y 0, y, y } e si tracci modulo e fase della funzione di trasferimento. La sequenza e a fase minima? e) Cosa succede per N > 3 maggiore? Come si distribuiscono gli zeri successivi? f) Si vuole determinare il filtro stabile Hz) tale con modulo della funzione di trasferimento inverso di Y 3 e jω ). Si discuta come realizzare il sistema alle differenze finite. Soluzione Trasformata zeta: Xz) = 3 ei π 3 z + 3 e i π 3 z ) = = 3 cosπ/3)z 8 3 cosπ/3)z + 6 = 3 z 9 z 3 3 z z Zero /3, poli ±i 3. Sequenza troncata: {, 3, 8 9 }. Zeri della sequenza troncata: 3 z 8 9 z = 0, Solution is: 3, 3 fase mista).. Trasformata z di una sequenza illimitata causale Si consideri la sequenza causale: x n = n j n ; n 0 a) punti) Si determini X z), trasformata z della sequenza;
2 b) punti) Si tronchi la sequenza ad una lunghezza di campioni e se ne determini la trasformata di Fourier discreta. Y k, k = 0,..3 c) 6 punti) Si campioni la trasformata z della sequenza x n sul cerchio unitario nei punti z =, j,, j e si confronti tale sequenza X k con la sequenza Y k.che relazione intercorre tra le sequenze {X k } e {Y k }?.3 Trasformazione a fase minima Sia data la sequenza causale ed antisimmetrica H z) = a 0 + a z + a 3 z 3 + a z ; a 0 = a ; a = a 3. a) 3 punti) Si trovino gli zeri di H z) in funzione dell unico parametro x = a /a 0. b) 3 punti) Si dimostri che H z) non è a minima fase e si trovi H z). c) 3 punti) Si trovi la fase di H z). d) 3 punti) Si trovi il coefficiente in z della H z) ottenuta dalla H z) ribaltando all interno del cerchio unitario gli zeri che se ne trovassero fuori e quindi tale che H z) = H z). Soluzione H z) = z ) + xz z ) = z ) + xz z ) H z) = jz [sin φ + x sin φ] = sin φ + x sin φ {z = { }, {z = }, } { } z = x + x + ), z = x x + ) La fase H z) = π/ jωt Fase minima Posto p una delle due radici, con p < H z) = z ) pz ) pz ) = z ) + p z pz ) =. Filtro FIR Si determini un filtro FIR causale di lunghezza N = campioni, in modo che la sua funzione di trasferimento H z) : H z) = h 0 + h z + h z + h 3 z 3 = A z b ) z b ) z a ) sia tale che: H e jπ/3) = H e jπ/3) = 0 H ) = ; H ) = a 3 punti) Si trovino i valori dei campioni, si dica se é un filtro a fase minima o massima; per gli zeri sul cerchio unitario, si supponga che siano all interno, seppure di pochissimo.
3 b 3 punti) Si traccino le caratteristiche di ampiezza e di fase di H z). c 3 punti) Si determini la struttura e si trovino i coefficienti di riflessione del filtro a traliccio non recursivo corrispondente al filtro FIR così individuato. d 3 punti) Si trovino i campioni del filtro a fase zero che ha come funzione di trasferimento H z)...5 Sfasatore puro e sua realizzazione approssimata Si consideri un segnale campionato a frequenza f c = 000Hz ed uno sfasatore puro con funzione di trasferimento: H z, a) = a z az a) 3 punti) Si determini la posizione di poli e zeri di H z, a) per a =.9;.9. b) 3 punti) Si determini la risposta all impulso h n, a) per a =.9;.9. c) 3 punti) Si trovi h n) nell ipotesi a =. imponendo la stabilità. d) 3 punti) Si determini il filtro FIR a tre campioni che secondo voi meglio approssima Hz, )..6 Sfasatore puro e sua realizzazione approssimata Si consideri un segnale campionato a frequenza f c = /T = 000Hz ed uno sfasatore puro con funzione di trasferimento: H z) = ρ ρz cos φ + ρz cos φ + ρ z dove ρ =.99 e φ = π/. a) 3 punti) Si determini la caratteristica di fase di H z) per z = e jωt. b) punti) Si determini la risposta all impulso h n), antitrasformata z di H z), e si valutino numericamente i 5 campioni h 0),..., h ) c) 3+ punti) Si limiti h n) ai primi tre campioni con una finestratura rettangolare, se ne calcoli e tracci la nuova caratteristica di fase e di ampiezza. Come spiegare i risultati?.7 Approssimazione di sfasatore con filtro causale e anticausale Si considerino le seguenti due sequenze, l una causale e l altra anticausale: {b n } = α n + α ) n ) ; 0 < n < ; α = ρe jψ ; α = ρe jψ {b n} = α n + α ) n) ; < n < 0 3
4 a) punti 3+3) Si trovino Bz), B z) trasformate z delle sequenze {b n }, {b n} rispettivamente; si tracci l andamento del modulo e della fase di: C z) = Bz) + B z) b) punti 3) Si trovino poli e zeri di C z) ; c) punti 3) Si determinino le procedure computazionali ed i costi necessari per effettuare la convoluzione con la sequenza c n antitrasformata di C z)..8 Decomposizione DFT in base 5 Sia data una sequenza da N = 0 campioni x = {x 0, x,..., x 9 }: a) 5 punti) Definire un algoritmo veloce per il calcolo della DFT sulla sequenza x decomponendo il calcolo della DFT nella cascata di due stadi da N = e N =5 campioni. b) punti) Confrontare il costo computazionale con il costo della DFT calcolata su N = 0 campioni. c) 5 punti) Si assuma di valutare la FFT inversa IFFT) su M = 6 campioni della sequenza Xk) ovvero la DFT su N = campioni) Xk) = 9 n=0 xn)w nk 0 ; k = 0,..., 9; dove xn) = δn) dopo aver aggiunto M N = zeri alla sequenza Xk) nell intorno della frequenza di Nyquist. Si indichi questa nuova sequenza come: Y k); k = 0,..., 5 si determini la relazione tra i campioni della yn) antitrasformata della Y k) e la sequenza xn) = δn) originale l impulso unitario)..9 Interpolazione mediante DFT di una sinusoide Si consideri un segnale costituito da una cosinusoide alla frequenza f = Hz, campionata a T o = sec. Si dispone di campioni della sinusoide pari quindi a 3 cicli completi e si voglia interpolare tale segnale per ottenere un campionamento regolare ad intervallo T = 6 sec. a) [ punti] L allievo determini tutta la trasformata di Fourier discreta del segnale: s n = A cos πfnt ; per n = 0,,..., b) [ punti] Si determini la trasformata del segnale interpolato e la sua antitrasformata. c) [ punti] Si tracci lo schema di calcolo di una trasformata di Fourier veloce da campioni giustificando le scelte adottate. Si confronti il costo computazionale con il calcolo della DFT.
5 .0 Interpolatore : Si consideri un segnale sinusoidale s[n] di frequenza f = 0 Hz, campionato a frequenza f c = 00 Hz. Si vuole interpolare : il segnale s[n], utilizzando come filtri di interpolazione un mantenitore e un interpolatore lineare, per valutare gli errori di interpolazione commessi nei due differenti casi. a) punto) Si rappresenti lo spettro del segnale s [n], ottenuto interponendo 3 campioni nulli tra i campioni del segnale originale s[n] zero interleaving). b) 3 punti) Si scriva la risposta all impulso del filtro mantenitore da applicare al segnale s [n]. c) 3 punti) Si scriva la risposta all impulso del filtro interpolatore lineare da applicare al segnale s [n]. Qual è la relazione tra gli spettri dei due filtri calcolati ai punti b) e c)? d) 3 punti) Si calcoli la potenza dell errore di interpolazione per i due differenti casi. e) punti) Sia ora f c = 00 Hz la frequenza di campionamento del segnale s[n]. Si calcoli nuovamente la potenza dell errore di interpolazione : per il solo caso del mantenitore. La potenza dell errore di interpolazione in questo caso è comparabile a quella calcolata precedentemente per l interpolazione lineare. Si giustifichi il risultato. Soluzione Il segnale dopo zero interleaving presenta lo spettro replicato a passo f c = 00 Hz. In particolare lo spettro del segnale s [n], sinusoide con f = 0 Hz, sarà composto da impulsi a f = ±0, 00 ± 0; 00 ± 0; ±80 Hz Il filtro FIR che permette di effettuare l interpolazione con mantenitore è un rettangolo discreto: m = []; il suo spettro è quindi un sinc periodicizzato: Mf) = sinπft N) sinπft ) Il filtro FIR che permette di effettuare l interpolazione con mantenitore è dato dalla convoluzione del filtro m calcolato in precedenza con se stesso e scalato della lunghezza N = ); il suo spettro è quindi: Mf) = N ) sinπft N) sinπft ) Dato che l operazione di interpolazione si riduce alla convoluzione nei tempi, lo spettro del segnale interpolato è dato dalla moltiplicazione degli spettri del segnale s [n] e dei filtri corrispondenti agli interpolatori. L errore di interpolazione è dovuto alla non perfetta cancellazione delle repliche spettrali introdotte dall operazione di zero interleaving. La potenza dell errore di interpolazione è quindi: 5
6 P mant = 6 + P lineare = 6 ) sinπ 0 ) ) sinπ sinπ + 5 ) 0 ) sinπ 5 ) ) sinπ 3 0 ) ) sinπ sinπ ) 0 ) sinπ 9 0 ) sinπ 0 ) ) sinπ 0 ) sinπ 3 0 ) ) + sinπ 3 0 ) + sinπ 5 ) sinπ 9 0 ) sinπ 9 0 ).% ) + sinπ 5 ) Nel caso di frequenza di campionamento inizialef c = 00 Hz ).% ) ˆP mant = sinπ 0 ) ) sinπ sinπ ) 0 ) sinπ ) ) 6 sinπ 0 ) 9 ) sinπ sinπ + 0 ) 3.3% 0 ) sinπ 9 0 ). Progetto di un filtro passabasso Si consideri un segnale passa basso, con frequenza massima 0 KHz, campionato alla frequenza di 50 KHz. Lo si vuole filtrare nella banda 0- KHz e poi sottocampionare alla frequenza KHz, utilizzando un filtro la cui banda di transizione sia 0Hz si prenda come banda di transizione la distanza tra due zeri successivi della funzione di trasferimento). a punti) Si determini la lunghezza del filtro nell ipotesi che la sua risposta all impulso sia un sinc rastremato a triangolo. b punti) Si determini la lunghezza del filtro nell ipotesi che sia un filtro ottimizzato secondo Remez e la cui lunghezza sia deducibile dalla formula: N =.66 f c f log 0 0δ δ Si assegnino per δ, δ le specifiche che risultano dall imposizione della rastremazione triangolare. c punti) Si determini la struttura polifase per il filtro, ottimizzandola dove sia possibile, sia per la lunghezza del filtro sia per l occupazionedi memoria.. Progetto di un filtro notch punti 8) Si progetti un filtro numerico caratterizzato da un polo ed uno zero; questo filtro deve annullare un segnale a frequenza 0 o π a seconda del posto occupato dall allievo). La distanza del polo dal cerchio unitario deve essere tale che la banda soppressa a 3 db) è pari a /00T. Il guadagno al di fuori della banda soppressa deve essere unitario. 6
7 a) [5 punti] Utilizzando la tecnica vettoriale, si determini la posizione dello zero e del polo del filtro e la sua funzione di trasferimento. b) [ punti] Si determini la risposta all impulso del sistema. c) [ punti] Si determini il numero di bit con cui descrivere i coefficienti del filtro per garantire che la funzione di trasferimento varii di meno del 0.% del valore massimo assunto. c) [5 punti] Si tracci la struttura del filtro numerico e si indichino le sorgenti del rumore di quantizzazione dei segnali; si calcoli il livello del rumore di quantizzazione in uscita e la struttura del filtro che rende minimo questo livello. Se lo si desidera, si usi il teorma di Parseval per la trasformata z che afferma che Hz) = A π π H z = e jωt ) dω π = n=0 ) ) z e j π 5 z e j π 5 ) ) = + z z cos π 5 ρz e j π 5 ρz e j π 5 + ρ z ρz cos π 5 h n H z) == + z z cos π 5 + ρ z ρz cos π 5 = 5 ρ 5 + ρ ) z + ρ + z 5 z + ρ ρz 5 + ρz z + ρ ρz 5 + ρz.3 Progetto di un filtro notch punti 8) Si progetti un filtro numerico caratterizzato da due poli e due zeri complessi coniugati; questo filtro deve annullare un segnale a frequenza /5T dove T è l intervallo di campionamento. La distanza dei poli dal cerchio unitario deve essere tale che la banda soppressa a 3 db) sia pari a /00T. Il guadagno al di fuori della banda soppressa deve essere unitario. a) [5 punti] Utilizzando la tecnica vettoriale, si determini la posizione degli zeri e dei poli del filtro e la sua funzione di trasferimento. b) [ punti] Si determini la risposta all impulso del sistema. c) [ punti] Si determini il numero di bit con cui descrivere i coefficienti del filtro per garantire che la funzione di trasferimento varii di meno del 0.% del valore massimo assunto. c) [5 punti] Si tracci la struttura del filtro numerico e si indichino le sorgenti del rumore di quantizzazione dei segnali; si calcoli in modo approssimato il livello del rumore di quantizzazione in uscita e la struttura del filtro che rende minimo questo livello. 7
8 Soluzione Il filtro nei due casi) risulta: dalla banda a -3dB si calcola Hz) = ± z ± ρz B 3dB = ρ) = π 00 ρ = π 00 La risposta all impulso per il notch a ω = 0): { h n = ρ n un) ρ n un ) = per n = 0 ρ n ρ ) per n La banda a -3dB dipende direttamente dalla scelta di ρ da cui si ha: B 3dB = db 3dB ρ B 3dB = ρ dρ B 3dB B 3dB = π ρ ρ π0 5 dal momento che i coeff. del filtro sono, al piu, unitari si ha per il coeff. quantizzato per arrotondamento): da cui ρ q = ρ + δρ δρ B B π0 5 B ρ lnπ0 5 ) =.95 B ρ = 5bit ln Trascurando il rumore generato dalla sottrazione dovuta allo zero, l unica sorgente di rumore e rappresentata dal troncamento del prodotto da cui si hanno due soluzioni come cascata polo/zero oppure zero/polo, in ciascuna si aggiunge un rumore di quantizzazione identico funzione della rappresentazione binaria dei segnali. Indicando con σq la potenza di questo disturbo si calcola nei due casi la potenza in uscita. Polo/zero La funzione di trasferimento per il generatore di rumore e quella del filtro si ricordi che per un filtro arresta banda la banda eq. di rumore e la banda totale detratta della banda a -3dB del notch) da cui: σ q π π H z = e jω) dω π σ q 00 ) σ q. 8
9 Zero/polo La funzione di trasferimento per il rumore e quella del solo polo da cui per Parseval) σ q π π dω ρz π = σ q ρ n = n=0 σ q ρ > σ q. La cascata polo/zero e da scegliere. Si calcola ora per il sistema zero/polo la posizione in cui il segnale ha la massima dinamica assumendo in ingresso un rumore bianco di potenza unitaria. A valle dello zero la potenza sara sempre facendo uso di Parseval): σ x π π z dω π = σ x + ) = σ x A valle del sistema la potenza sara circa) uguale a quella dell ingresso come gia visto sopra, la banda eq. del notch e circa unitaria). La massima dinamica si ha a valle dello zero e quindi: V p 3 σ x da cui σq = = 36 σx B = 6σ x B imponendo il vincolo sul SNR a valle si ha SNR = σ y σ q B 6 SNR db = 6B dB B = 8bit Si noti quindi come per la rappresentazione numerica del coeff. del filtro sia necessario un numero elevato di bit mentre per il vincolo di SNR a valle sia necessario un numero di bit inferiore. In questo caso deve essere almeno rispettato il vincolo sulla rappresentazione del coeff. ρ usando 5 bit) e poi usare un troncamento del prodotto su 8bit per il vincolo sul SNR sarebbe possibile, sprecando risorse, usare globalmente una rappresentazione numerica su 5 bit ma non sarebbe possibile il viceversa ovvero rappresentare il coeff. ρ con 8bit). Si noti che il moltiplicatore sara tra due operandi con diversa lunghezza. 9
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