Microeconomia (C.L. Economia e Legislazione di Impresa); A.A. 2010/2011 Prof. C. Perugini
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1 Microeconomia (C.. Economia e egislazione di Impresa); A.A. 00/0 Prof. C. Perugini Esercitazione n.5 a funzione di produzione; la scelta della combinazione ottima dei fattori (equilibrio dell impresa) Esercizio - a funzione di produzione, il breve ed il lungo periodo Sia data la seguente funzione di produzione di tipo Cobb-Douglas Q = /3 K /3. In un ottica di breve periodo: determinare le espressioni generiche dei prodotto totale (PT ), prodotto medio (PM ) e prodotto marginale (Pm ) del lavoro, e disegnarle.. Nel lungo periodo: determinare le funzioni dell isoquanto e del saggio marginale di sostituzione tecnica tra lavoro e capitale (SMST,K ) Soluzione. In un ottica di breve periodo (bp), lo studio della funzione di PT, si sostanzia nell analisi delle variazioni dell output (Q) al variare del fattore, considerando K come fattore fisso. Pertanto, possiamo sostituire K /3 con una costante ( K) e riscrivere la PT come: Vale che: PT = 0 se = 0 PT per. PT = Q = /3 K Nota: la funzione del prodotto totale/output è crescente al crescere del fattore variabile impiegato: ipotizziamo che non si possa produrre una quantità positiva, senza l utilizzo del fattore lavoro! a funzione del prodotto totale avrà quindi pendenza positiva. Deriviamo analiticamente la pendenza e la sua curvatura, e disegniamo la funzione nella Figura : PT PT = Q (= Pm ) = 3 K /3 > 0: la funzione di prodotto totale è crescente nel fattore (= Pm ) = /3 /3 K 5/3 < 0: la funzione ha la concavità rivolta verso il basso (concava) = Q Figura - a funzione del prodotto totale, per K = Figura - a funzione del prodotto medio e marginale TP PM, Pm 3 PM Pm 8 7 Dott. Fabio Pieri; esercitazioni (mercoledì h ); ricevimento studenti mercoledì h. 5-6 (Aula Dottorandi Assegnisti DEFS sezione Economia); per domande e quesiti brevi: fabio.pieri@unitn.it. I testi delle esercitazioni, insieme a tutto il materiale didattico sono scaricabili dal sito di regola alla fine della settimana.
2 Il prodotto(produttività) medio(a) del lavoro è una misura del prodotto complessivamente ottenuto per ciascuna unità di lavoro impiegata. In pratica: PM = Q = PT = /3 K = K /3 Vale che: PM 0 se PM per 0. Deriviamo analiticamente la pendenza e la curvatura della funzione di prodotto medio: PM PM = 0 9 = (/3)K (5/3) < 0: la funzione è decrescente in. K 8/3 > 0: la funzione ha la concavità rivolta verso l alto (convessa) Disegno il prodotto medio nella Figura. Il prodotto (produttività) marginale del lavoro indica la quantità addizionale di prodotto/output, ottenibile con l impiego di un unità aggiuntiva di lavoro. In questo caso: Vale che: Pm 0 se Pm per 0. Pm = PT = Q = (/3 K) = K 3 /3 Deriviamo analiticamente la pendenza e la curvatura della funzione di prodotto medio: Pm = 3 3 K (5/3) < 0: la funzione è decrescente in. Pm = 0 7 K 8/3 > 0: la funzione ha la concavità rivolta verso l alto (convessa) Posso disegnare il prodotto marginale nella Figura insieme al prodotto medio, e posso fare un confronto per ogni valore di, per cui vale: PM = K /3 > K 3 /3 = Pm Quindi, per ogni quantità di lavoro impiegata, la curva del prodotto medio si troverà sempre al di sopra della curva del prodotto marginale. [Nota bene: questa regola vale perché, rispetto agli esempi visti a lezione, la funzione di produzione Cobb-Douglas corrisponde al tratto della curva di prodotto totale (funzione di produzione di bp) in cui, per tutti i valori di, i rendimenti marginali del fattore lavoro sono decrescenti, ossia si è superata la combinazione ottima di K (fisso) e ]. In un ottica di lungo periodo, tutti i fattori della produzione sono variabili, e l impresa può scegliere tra diverse combinazioni di K e, per produrre uno stesso livello di output: l isoquanto è proprio l insieme delle combinazioni di input tecnicamente efficienti per produrre un dato livello di output. Per determinare l equazione dell isoquanto, occorre fissare il livello di output, Q = Q e ricavare l equazione in forma esplicita rispetto a K (oppure rispetto a ): Q = /3 K /3
3 K = Q /3 K /3 = 3/ Q /3 = Q 3/ / Che è appunto l equazione dell isoquanto generico della funzione di produzione specificata nel testo: sostituendo valori al posto di Q, determino le equazioni particolari degli isoquanti corrispondenti a quei livelli di produzione. Posso disegnare l isoquanto sul piano cartesiano, con i fattori della produzione sugli assi. Figura 3 Il saggio marginale di sostituzione tecnica tra e K K K = Il saggio marginale di sostituzione tecnica tra lavoro e capitale: Cosa è? Indica la quantità del fattore della produzione misurato sull asse delle ordinate (K) che l impresa può diminuire (aumentare) per aumentare (diminuire) di unità il fattore misurato sull asse delle ascisse e mantenere invariato il livello di produzione (Q). Con cosa coincide, graficamente? Con la pendenza dell isoquanto. Come si calcola? K = Pm Pm K quindi, coincide con il rapporto delle produttività marginali del lavoro e del capitale, che calcoliamo di seguito: Pm = Q = 3 /3 K /3 Pm K = Q K = 3 /3 K /3 SMST,K = 3 /3 K /3 = 3 /3 K /3 Questa è l espressione generale del saggio marginale di sostituzione tecnica tra lavoro e capitale: all aumentare di ossia spostandosi da sinistra verso destra nel grafico della Figura 3 il SMST,K diminuisce fino a tendere a 0. K 3
4 [Nota : l idea sottostante è che, spostandosi nella direzione della freccia tratteggiata, l impresa adotta tecnologie più intensive nel fattore lavoro e, per aumentare di un unità l impiego di lavoro, l impresa è disposta a diminuire il fattore capitale in porzioni sempre minori.] [Nota : l espressione del saggio marginale di sostituzione, ricavata sopra, è l espressione generica, per ogni livello di produzione; se invece volessimo ricavare il saggio marginale di sostituzione per l isoquanto di cui abbiamo ricavato l espressione, basterebbe calcolare la sua pendenza: SMST,K = K = (Q)3/ 3/ ; la sostituzione di Q 3/ /, con il generico livello K, ci riporta all espressione ricavata nel testo] 4
5 Esercizio l equilibrio dell impresa: la scelta della combinazione ottima dei fattori della produzione Si consideri un impresa che adotta una tecnologia di produzione del seguente tipo: dove è il lavoro e K è il capitale. Q = K / /9 a. Calcolare qual è il numero ottimale di lavoratori () e di macchine (K) utilizzate, qualora l impresa considerata voglia produrre unità di output al giorno, sapendo che il salario (p =w) del lavoratore è di 80 Euro al giorno, e il costo d uso delle macchine è di 90 Euro al giorno (p K =r) e l imprese persegue l obiettivo di minimizzare i costi di lungo periodo b. Si determini il costo totale associato alla domanda dei fattori di equilibrio c. Determinare la quantità dei fattori il costo totale qualora la produzione venga dimezzata; indicare la natura dei rendimenti di scala di tale tecnologia, e descrivere l andamento dei costi medi di lungo periodo che caratterizzano tale processo produttivo Soluzione a. In equilibrio, l impresa minimizza il costo totale, utilizzando la quantità efficiente di fattori che le permettono di ottenere Q= Graficamente (Figura 4), dato il livello di produzione che l impresa persegue --cioè l isoquanto particolare-- l impresa sceglierà quella combinazione di fattori che le permette di sopportare il costo totale più basso. Pertanto, sceglierà la combinazione che appartiene sia all isoquanto particolare, sia alla retta di isocosto più vicina all origine (e possibile), cioè proprio quella tangente all isoquanto. E importante ricordare che nel punto di tangenza la pendenza dell isoquanto (SMST) e dell isocosto (prezzo relativo dei fattori) coincidono. Figura 4 - Equilibrio dell'impresa K A K* Isocosto E B Isoquanto * Occorre determinare la combinazione delle quantità di fattori in coincidenza del punto di tangenza tra isoquanto ed isocosto (punto E), impostando un sistema di equazioni: [Nota: i punti A e B non sono combinazioni ottime, infatti, consentono entrambe di produrre una quantità Q=, ma ad un costo totale superiore, perché appartengono ad un isocosto più distante dall origine] SMST,K = w r Q = K / /9 5
6 a [], che uguaglia le pendenze dell isoquanto e dell isocosto, assicura che i fattori produttivi vengano impiegati in maniera efficiente (sia da un punto di vista tecnico che dei costi totali), dato un generico livello di produzione; la [] specifica il livello di produzione particolare. Nel presente esercizio il precedente sistema diventa: K 9 = = K / /9 Possiamo ricavare dalla [] K=4, e sostituirlo nella []: = 4 / /9, = /8 da cui si ricava che *=, che possiamo ricostituire nella [], così da ottenere K*=4; pertanto, le quantità ottimali dei fattori impiegate dall impresa nel lungo periodo sono E(*=, K*=4). b. Partendo dalla definizione di costo totale (di lungo periodo), si ottiene: CT = w + K r = = 440 c. Per rispondere alla prima parte della domanda abbiamo due alternative: la prima è re-impostare il sistema, e risolverlo con un livello di output pari ad : K 9 = = K / /9 a seconda, è ragionare sui rendimenti di scala che caratterizzano la funzione di produzione: notiamo che la funzione di produzione è di tipo Cobb-Douglas, quindi i rendimenti di scala si determinano come somma degli esponenti degli input. In questo caso ½+/9= /8<. a tecnologia è caratterizzata da rendimenti di scala decrescenti: questo vuol dire che moltiplicando entrambi i fattori della produzione per un certo fattore di scala l output aumenterà meno che proporzionalmente. Siamo quindi interessati a determinare il fattore di scala a cui dobbiamo moltiplicare entrambi gli input per ottenere una quantità dimezzata di output. Occorre risolvere la seguente equazione: Q = (δk)/ (δ) /9 Q = δ + 9(Q) (0.5) 8/ = δ 0. 3 Quindi, se Q passa da unità a unità, le nuove quantità ottime degli input saranno pari a: *=(0.3)=0.3, K*=4(0.3)=.8 Per analizzare l andamento dei costi medi, deriviamo il valore del costo totale, alle nuove quantità di fattori impiegate: CT = w + K r = (40,8) =
7 Adesso calcolo il valore del costo medio rispetto alle due quantità di output considerate: CM Q = = CT(Q=) CM Q = = CT(Q=) = 440 = 0 = 40.8 = 40.8 Quindi, i costi medi di lungo periodo sono crescenti (Figura 5) al crescere della quantità prodotta. Siamo quindi di fronte (al tratto di) costi medi di lungo periodo crescenti, e quindi di diseconomie di scala. Questo è ragionevole, perché come abbiamo visto in teoria, le diseconomie di scala possono dipendere da vari fattori (problemi di principale-agente, difficoltà di trasmissione di informazioni in imprese molto grandi, etc.) tra cui anche i rendimenti di scala decrescenti. Figura 5 - Andamento costi medi di lungo periodo CM P Q 7
8 Esercizi per casa Considerare le seguenti funzioni di produzione Cobb-Douglas: a. Q = 0 /3 K /3 b. Q = 0 /3 K /3 c. Q = 0 /3 K /3 Determinare per queste funzioni: Se soddisfano la legge dei rendimenti marginali decrescenti a natura dei rendimenti di scala Soluzione Ricordiamo che la legge dei rendimenti marginali decrescenti dice che, aumentando la quantità di un fattore produttivo impiegato (a parità degli altri), l incremento corrispondente di prodotto è prima crescente, fino alla combinazione ottima dei fattori, e poi decrescente. Basterà calcolare le produttività marginali rispetto al lavoro () e al capitale (K) per ogni funzione di produzione e verificare se sono decrescenti (a partire da un certo valore), al crescere di e K (dati, rispettivamente, i valori di K e ). a. Per prima cosa, devo derivare l espressione della produttività marginale del lavoro Pm = Q = 3 0 /3 K /3 = 0 K /3 3 /3 > 0 Successivamente, verifico se decresce al crescere di, dato K, almeno a partire da un certo valore di in avanti: Pm = K < 0 Quindi, ho verificato che, per ogni valore di K>0, e per ogni valore di >0, la produttività marginale del lavoro è decrescente al crescere di. Adesso posso verificare il comportamento della produttività marginale del capitale: e anche che: /3 Pm K = Q K = 3 0 /3 K /3 = 0 3 K /3 > 0 Pm k K = K 5 3 < 0 Quindi, ho verificato che, per ogni valore di >0, e per ogni valore di K>0, la produttività marginale del capitale è decrescente al crescere di K. Posso procedere analogamente per le altre due funzioni (.b e.c), per constatare o meno se anche esse verificano la legge dei rendimenti marginali decrescenti. Per determinare la natura dei rendimenti di scala, dobbiamo guardare al tipo di variazione che avviene per la quantità di output, a seguito di una variazione equi - proporzionale degli input (δ > ): prendendo la prima funzione di produzione, Q = 0 /3 K /3 8
9 Q = 0(δ) /3 (δk) /3 = 0 δ 3 3K 3 = δ 3Q Pertanto, per una variazione equi - proporzionale degli input pari a δ, l output aumenta in maniera meno che proporzionale, di un fattore pari a δ 3. Dopo un interessante discussione alla fine dell esercitazione del 06/04/0 con alcuni di voi Un chiarimento sui rendimenti di scala: prendiamo l Esercizio. a funzione ha rendimenti di scala decrescenti ivello di produzione Q= ivello di produzione Q= (fattore di scala ) Q (fattore di scala 0.5).8 (fattore di scala 3.5) 4 K 0.3 (fattore di scala 0.3) idea dietro a questo esempio, è che i rendimenti di scala decrescenti, indicano un certo tipo di contrazione/aumento dell output a seguito di una contrazione/aumento degli input. Dalla tabella sopra si vede come nell Esercizio per raddoppiare l output (o per dimezzarlo) gli input più che raddoppiano (o più che si dimezzano). 9
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