Funzioni. Scrivi l espressione esplicita di una funzione quadratica passante per i punti (-1,0), (1,0) e con lim per x uguale a +

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1 Funzioni. Trova l espressione esplicita di una funzione lineare f:r R tale che f(0)=2 ed f(1)=0 Sol:f(x)=mx+q, q=2, m=-2 La funzione è strettamente decrescente? Sol:Sì, è strettamente decrescente essendo m<0 Determina per quali valori di x si ha f(x) 1 Sol: per x 1/2 Calcola punti e valori minimi e massimi nell intervallo [-1, 10] Sol:Il punto di max è x=-1, con f(-1)=4; il punto di min è x=10 con f(10)=-18 Calcola il limite per x - e per x +

2 Funzioni. Scrivi l espressione esplicita di una funzione quadratica passante per i punti (-1,0), (1,0) e con lim per x uguale a + f(x) = a(x 2-1) dove a > 0 Scrivi l equazione di una parabola con la concavità verso il basso e con vertice (0,10). In quali punti interseca l asse x? b=0, c= 10, a<0, quindi f(x) =ax Intersezioni con asse delle ascisse: x 1,2 =± (-10/a)

3 Funzioni. Sia f(x) = 6x - x 2, scrivi l espressione della funzione g(x) che ha per grafico il grafico di f(x) traslato di 1 unità a sinistra e di due verso l alto. g(x) = 6(x+1) - (x+1) = - x 2 +4x +7 Sia f(x) = 2/(x+2), scrivi l espressione di una funzione g(x) che ha per grafico il grafico di f(x) traslato di 5 unità a destra e di un unità verso l alto. g(x) = 2/(x+2-5) + 1 = 1 + 2/(x-3)

4 Nel piano cartesiano, evidenziare, tratteggiando, la regione di piano compresa tra le curve grafico di f(x) = 4x 2-7x e g(x)=x Funzioni.

5 Nel piano cartesiano, evidenziare, tratteggiando, la regione di piano compresa tra le curve grafico di f(x) = 2(1-x 2 ) e g(x)= 1-2x Funzioni

6 Corpi in caduta La legge h(t)= -gt 2 /2 + h 0 descrive come varia la distanza dal suolo di un corpo pesante che nel vuoto cade da un altezza h 0 con una velocità iniziale nulla. a) Qual è il dominio della funzione h(t)? Risposta: poiché h(t) rappresenta una distanza, si deve imporre h(t) 0, dunque gt 2 /2 h 0 da cui t 2 2 h 0 /g, e quindi 0 t sqr(2 h 0 /g) b) Quanto tempo impiega il corpo a toccare terra? Risposta:il corpo tocca terra se h(t)=0, dunque per t = sqr(2 h 0 /g)

7 Corpi in caduta c) Il tempo che impiega il corpo per toccare terra è una funzione dell altezza da cui viene lasciato cadere? Risposta: Sì, è in funzione di h 0 d) Se il corpo impiega esattamente T secondi per cadere, quale deve essere l altezza iniziale? Risposta: in tal caso h 0 = gt 2 /2

8 Corpi in caduta La legge h(t)= -gt 2 /2 + v 0 t + h 0 descrive come varia la distanza dal suolo di un corpo pesante che nel vuoto cade da un altezza h 0 con una velocità iniziale v 0. (moto uniformemente accellerato) (g=9.8 ms -2 accellerazione di gravità) Se il corpo è lanciato verso l alto con velocità iniziale di 20m/sec da una altezza di 30 m, determina: A che altezza si troverà il corpo dopo un secondo? Risposta: h(t) = -9.8t 2 /2 + 20t + 30, dunque h(1)= = 45.1 m

9 Corpi in caduta Quale sarà la massima altezza raggiunta dal corpo? Risposta: Le coordinate del vertice della parabola grafico di h(t) sono circa (2, 50.4); poiché la parabola ha la concavità rivolta verso il basso, la quota 50.4 è la massima altezza che il corpo raggiunge. Dopo quanto tempo il corpo toccherà terra? Risposta:Si pone h(t) = -9.8t 2 /2 + 20t + 30 =0, risolvendo questa equazione di II grado, si sceglie la radice positiva, ottenendo t =(10 + sqrt(247))/ s

10 Corpi in caduta Siete affacciati alla finestra nell istante in cui, da un piano superiore, viene lanciato un vaso di gerani verso il basso con velocità di 1m/s Supponendo che il punto da cui comincia a cadere il vaso sia 4 m al di sopra delle vostre spalle e che le vostre braccia siano lunghe un metro, quanto tempo avete a disposizione per afferrare il vaso, ipotizzando che potete prenderlo solo nell intervallo di tempo in cui si trova tra un metro al di sopra e un metro al di sotto delle spalle?

11 Corpi in caduta Risposta: La distanza tra le spalle e il vaso cambia con la legge d(t)= -gt 2 /2 + v 0 t + h 0 che, in questo caso, è d(t)= -4.9t 2 - t + 4, dove d è positiva se il vaso è più in alto delle spalle, negativa se è più in basso. Gli istanti di tempo in cui è possibile afferrare il vaso sono quelli per cui sono soddisfatte le disequazioni -1 d(t) 1 La prima disequazione -4.9t 2 - t + 4-1, è equivalente a 4.9t 2 + t - 5 0, che ha soluzioni (-1-sqr(1 +98))/9.8 < t <(-1 + sqr(1+98))/9.8. Poiché t deve essere positivo la soluzione è 0<t <(-1 +3sqr(11))/9.8

12 Corpi in caduta L altra disequazione -4.9t 2 - t è equivalente a 4.9t 2 + t -3 0, che ha soluzioni t<-(1+sqr(1+58.8))/9.8 e t>(-1 + sqr(1+58.8))/9.8. Poiché t deve essere positivo, solo t>(-1 + sqr(1+58.8))/9.8 va bene. Tenendo conto di entrambe le disequazioni, si ha che l intervallo di tempo in cui possiamo afferrare il vaso è [(-1 + sqr(1+58.8))/9.8, (-1 +3sqr(11))/9.8 ] [0.69, 0.91] Il tempo a disposizione è quindi circa 2.2 decimi di secondo

13 Indice di massa corporea IMC è un indice biometrico usato per determinare se un individuo ha peso vicino alla norma Indichiamo con p il peso in kg di un individuo e con h la sua altezza misurata in m, si ha IMC =p/h 2 L Organizzazione Mondiale della Sanità considera obesi gli individui con IMC>30, sottopeso gli individui con IMC <18.5 e gravemente magri quelli con IMC<16.

14 Indice di massa corporea Per un individuo di altezza 1.70 m, per quali valori di p è da ritenersi obeso? Per quali valori di p è da ritenersi gravemente magro Risposta:obeso se p/(1.7) 2 > 30, dunque p>86.7 kg Gravemente magro se p/(1.7) 2 < 16, da cui p< kg Per un individuo che pesa 90 kg, per quali valori della sua altezza sarà ritenuto obeso? Risposta: 90/h 2 >30, da cui 0<h<1.73 m

15 Indice di massa corporea Per un individuo che pesa 40 kg, per quali valori della sua altezza sarà da ritenersi gravemente magro? Risposta: h >1.58 Disegna il grafico di IMC in funzione di p, noto h ( funzione lineare di p) Disegna il grafico di IMC in funzione di h, noto p ( funzione tipo f(x)=k/x 2 ) Disegna il grafico di h in funzione di p, noto IMC (funzione radice quadrata ) Disegna il grafico di h in funzione di IMC, noto p

16 Alberi che crescono (Problema 4.2 pag 213 M. Abate Matematica e Statistica ) Misuri l'altezza di un albero in funzione del tempo.quando hai iniziato l'esperimento (t = 0), l'altezza dell'albero era di 1.00 m. Dopo una settimana (t = 1) l altezza dell albero era di 1.04 m. Dopo due settimana (t = 2), di 1.10 m. Supponendo che l'altezza dipenda in modo quadratico dal tempo, trova la funzione che esprime la crescita dell albero. Risposta: Ponendo l altezza dell albero h(t) =at 2 + bt +c, i dati assegnati impongono le condizioni c=1 a+b+1=1.04 4a + 2b +1=1.10, da cui a=0.01, b= 0.03

17 Alberi che crescono Dunque la funzione che esprime la crescita dell albero è h(t) =0.01t t +1 La funzione che hai trovato può rappresentare la crescita dell'albero anche per tempi precedenti all'inizio della tua misurazione? A partire da quando? Perchè? Risposta: Si osserva che 0.01t t +1 0 per ogni t; il vertice della parabola, grafico di h(t), ha coordinate (-1.5, ), la parabola ha la comcavità rivolta verso l alto. Poiché il fenomeno descritto riguarda la crescita dell albero, la funzione h(t) deve essere crescente, quindi la funzione ha senso anche per t negativi purchè t -1.5.

18 Funzioni razionali A partire dalla conoscenza del grafico di f(x) = 1/x, disegna il grafico delle seguenti funzioni g(x) =1/(x+1) ; g(x) =1/(2x -1); g(x) =2 + 1/x ; g(x) =2-1/x ; g(x) =1/ x+1

19 Si trasla il grafico di 1/x in orizzontale di una unità verso sinistra per ottenere il grafico di 1/(x+1)

20 Si trasla il grafico di 1/(2x), ottenuto da 1/x moltiplicato per 1/2, in orizzontale di una unità verso destra per ottenere il grafico di 1/(2x-1)

21 Si trasla il grafico di 1/x in verticale di due unità verso l alto per ottenere il grafico di 2 + 1/x

22 Dal grafico di 1/x si ottiene il grafico di -1/x con una simmetria rispetto all asse delle ascisse, quindi una traslazione verso l alto di 2 unità e si ottiene il grafico di 2-1/x

23 Dal grafico di 1/x si ottiene il grafico di 1/(x+1), traslando in orizzontale verso sinistra di 1 unità, quindi una simmetria rispetto all asse x per x< -1 (dove la funzione 1/(x+1) è <0) e si ottiene il grafico di 1/ x+1