IN MATLAB distribuzione di frequenza. >> x(1)=7.5; >> for i=2:7 x(i)=x(i-1)+5; end. IN MATLAB distribuzione di frequenza

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Dante Pasquali
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IN MATLAB distribuzione di frequenza 2-1 4. Usare la function histc(dati,x) 2-2 1. Riportare i dati in un file (ad esempio dati.mat); 2.

1 IN MATLAB distribuzione di frequenza Usare la function histc(dati,x) Riportare i dati in un file (ad esempio dati.mat); 2. load ascii dati: viene creata una variabile dati contenente il campione; 3. Costruire un vettore contenente gli estremi delle classi: >> x(1)=7.5; >> for i=2:7 x(i)=x(i-1)+5; end >> x x = >> n=histc(dati,x) n = Numero di dati del c.c. che coincidono con l ultimo estremo >> x x = >> n n = IN MATLAB distribuzione di frequenza 2-3 IN MATLAB distribuzione di frequenza relativa Costruire un vettore contenente i centri delle classi: A) Dividere la function histc per la taglia del campione: >> c(1)=10.0; >> for i=2:6 c(i)=c(i-1)+5; end >> c c = 2. Usare la function [n,xout]=hist(dati,c) >> n=histc(dati,x)/30 n = >> [n,xout]=hist(dati,c) B) Dividere il parametro di output n di hist per la taglia del campione: n = >> n=n/30 n = xout = IN MATLAB Istogramma (fr. assolute) 2-5 IN MATLAB Istogramma (fr. relative) 2-6 A) La function hist fornisce in output anche l istogramma. >> hist(dati,c) >> [n,xout]=hist(dati,c); >> n=n/30; >> bar(xout,n); 1

5; >> for i=2:7 x(i)=x(i-1)+5; end >> x x = >> n=histc(dati,x) n = 1 12 10 5 1 1 0 Numero di dati del c.c. che coincidono con l ultimo estremo >> x x = 7.5000 12.5000 17.5000 22.5000 27.5000 32.

2 IN MATLAB Qualche didascalia 2-7 IN MATLAB Istogramma (fr. assolute) 2-8 >> title('frequenze relative'); >> xlabel('ore trascorse a studiare'); >> text(30,0.35,'istogramma'); E possibile costruire l istogramma anche con la function histc: >> [n,xout]=hist(dati,c); >> bar(xout,n) IN MATLAB Istogramma (fr. relative) 2-9 IN MATLAB Le function bar 2-10 >> [n,xout]=hist(dati,c); >> bar(xout,n/30) >> bar(xout,n/30,1) Le barre si toccano >> barh(xout,n/30) Barre orizzontali >> bar3(xout,n,1, r ) Grafici 3-D >> bar3h(xout,n,1) IN MATLAB Poligono di frequenza 2-11 IN MATLAB Distribuzione cumulativa 2-12 >> plot(c,n,'--rs') E possibile usare la funzione cdfplot: >> cdfplot(dati) 2

relative) 2-9 IN MATLAB Le function bar 2-10 >> [n,xout]=hist(dati,c); >> bar(xout,n/30) >> bar(xout,n/30,1) Le barre si toccano >> barh(xout,n/30) Barre orizzontali >>

IN MATLAB Q-Q plot 2-13 IN MATLAB Calcolo dei percentili 2-14 E possibile usare la funzione normplot: >> normplot(dati) >>x=[96, 92, 91, 88, 86, 85, 84, 83, 82, 79, 78, 69]; >>prctile(x,25) ans = 80.

3 IN MATLAB Q-Q plot 2-13 IN MATLAB Calcolo dei percentili 2-14 E possibile usare la funzione normplot: >> normplot(dati) >>x=[96, 92, 91, 88, 86, 85, 84, 83, 82, 79, 78, 69]; >>prctile(x,25) ans = >> prctile(x,50) ans = >>prctile(x,75) ans = IN MATLAB Grafico del box-plot >> boxplot(x) Box Plot >> boxplot(es3) OUTLIERS 2-16 >> [max(es3),min(es3)] ans = Distribuzione uniforme discreta 2-18 Distribuzione di Bernoulli >> p= ; q=1-p; c=[0,1]; dat=[q,p]; bar(c,dat) In Matlab >>c=[1,2,3,4,5,6]; dat=unidpdf(c,6); bar(c,dat) 3

5000 IN MATLAB Grafico del box-plot >> boxplot(x) 2-15 7. Box Plot >> boxplot(es3) OUTLIERS 2-16 >> [max(es3),min(es3)] ans = 4.6191 0.

2-19 2-20 Distribuzione uniforme discreta (funzione cumulativa) Distribuzione binomiale >>dat1=unidcdf(c,6); >>stairs(c,dat1) >> x=0:10; >> y=binopdf(x,10,0.

4 Distribuzione uniforme discreta (funzione cumulativa) Distribuzione binomiale >>dat1=unidcdf(c,6); >>stairs(c,dat1) >> x=0:10; >> y=binopdf(x,10,0.5); Distribuzione binomiale >> x=0:10; >> y=binopdf(x,10,0.01); 2-21 Binocdf Binoinv Binornd Binostat Distribuzione binomiale (funzione di ripartizione) >> x=0:10; >> y=binocdf(x,10,0.5); >> y1=binocdf(x,10,0.1); 2-22 >> stairs(x,y, r ); hold on; stairs(x,y1, g ) >> legend( 0.5, 0.1 ) DISTRIB.BINOM: restituisce la distribuzione binomiale per il numero di successi scelto. Sintassi: DISTRIB.BINOM(num_successi;prove;probabilità_s;cumulativo) Num_successi è il numero di successi nelle prove, (ossia x=0,1, prove). Distribuzione geometrica >> x=1:10; >> y=geopdf(x,0.5); Prove è il numero di prove indipendenti, ossia n. Probabilità_s è la probabilità di successo per ciascuna prova, ossia p. Cumulativo è un valore logico che determina la forma assunta dalla funzione. Se il valore cumulativo è VERO, DISTRIB.BINOM restituirà la funzione di ripartizione, ovvero la probabilità che venga restituito un numero massimo di successi pari al valore di num_successi. Se il valore cumulativo è FALSO, verrà restituita la funzione massa di probabilità, ovvero la probabilità che venga restituito un numero massimo di successi pari al valore di num_successi. 4

5); >> y1=binocdf(x,10,0.1); 2-22 >> stairs(x,y, r ); hold on; stairs(x,y1, g ) >> legend( 0.5, 0.1 ) 2-23 2-24 DISTRIB.BINOM: restituisce la distribuzione binomiale per il numero di successi scelto.

2-25 2-26 Distribuzione geometrica >> x=1:10; >> y=geocdf(x,0.5); >> y1=geocdf(x,0.

5 Distribuzione geometrica >> x=1:10; >> y=geocdf(x,0.5); >> y1=geocdf(x,0.1); Distribuzione Poisson >> x=0:20; >> y=poisspdf(x,2); >> x=0:20; >> y=poisspdf(x,5); >> stairs(x,y, r ); hold on; stairs(x,y1, g ) >> legend( 0.5, 0.1 ) >> [media,var]=geostat(0.5) >> [media,var]=poisstat(2) >> [media,var]=poisstat(5) >> x=0:20; >> y=poisspdf(x,10); >>x=0:20; >> y1=binopdf(x,50,1/5); >> bar(x,y1) >> x=0:100; >> y=poisspdf(x,50); >>x=0:50; >> y1=binopdf(x,500,1/10); >> bar(x,y1) Distribuzione Normale 2-29 Distribuzione Normale 2-30 [media,var]=binostat(500,0.1) [media,var]=binostat(10,0.5) media=50, var=45 media=5, var=2.5 >> x=0:0.1:100; >> y=normpdf(x,50,sqrt(45)); >> plot(x,y) >> x=0:0.01:10; >> y=normpdf(x,5,sqrt(2.5)); >> plot(x,y) 5

5) >> [media,var]=poisstat(2) >> [media,var]=poisstat(5) 2-27 2-28 >> x=0:20; >> y=poisspdf(x,10); >>x=0:20; >> y1=binopdf(x,50,1/5); >> bar(x,y1) >> x=0:100; >> y=poisspdf(x,50); >>x=0:50;

P POISSON: restituisce la distribuzione di probabilità di Poisson. Sintassi: POISSON(x;media;cumulativo) X Media è il numero degli eventi. è il valore numerico previsto.

6 P POISSON: restituisce la distribuzione di probabilità di Poisson. Sintassi: POISSON(x;media;cumulativo) X Media è il numero degli eventi. è il valore numerico previsto. Cumulativo è un valore logico che determina la forma per la distribuzione di probabilità. Se cumulativo è VERO, POISSON restituirà la funzione di ripartizione di Poisson indicante la probabilità che il numero degli eventi casuali sia compreso tra zero e x inclusi. Se cumulativo è FALSO, verrà restituita la funzione massa di probabilità di Poisson indicante la probabilità che il numero di eventi sia esattamente uguale a x DISTRIB.NORM: restituisce la distribuzione normale per la media e la distribuzione standard specificate. Sintassi DISTRIB.NORM(x;media;dev_standard;cumulativo) X è il valore per il quale si desidera la distribuzione. Media è la media aritmetica della distribuzione. Dev_standard è la deviazione standard della distribuzione. Cumulativo è un valore logico che determina la forma assunta dalla funzione. Se cumulativo è VERO, DISTRIB.NORM restituirà la funzione di ripartizione, se è FALSO restituirà la funzione densità di probabilità. DISTRIB.NORM.ST: restituisce la funzione di ripartizione normale standard cumulativa. La distribuzione ha una media uguale a 0 (zero) e una deviazione standard uguale a uno Sintassi: DISTRIB.NORM.ST(z) Z è il valore per il quale si desidera la distribuzione INV.NORM: restituisce il quantile associato alla coda sinistra della distribuzione normale con media e varianza specificate. Sintassi: INV.NORM(probabilità;media; gradi_libertà) Distribuzione Ipergeometrica p = hygepdf(0:10,100,20,10) Probabilità è la probabilità della coda destra sotto la densità chi-quadrato. Media è la media aritmetica della distribuzione. Dev_standard è la deviazione standard della distribuzione. INV.NORM.ST: restituisce il quantile associato alla coda sinistra della distribuzione normale standard. Sintassi: INV.NORM(probabilità) Taglia popolazione successi Taglia campione >> bar(0:10,p) Probabilità è la probabilità della coda destra sotto la densità 2-35 DISTRIB.IPERGEOM: restituisce la distribuzione di probabilità di una variabile aleatoria ipergeometrica Ipergeometrica Sintassi: DISTRIB.IPERGEOM(successi_camp;num_campione;successi_pop;num_popolazione) Successi_camp è il numero di successi nel campione, ossia x. Num_campione è la dimensione del campione, ossia n. Successi_pop è il numero di successi nella popolazione, ossia K. Num_popolazione è la dimensione della popolazione, ossia N. Binomiale >>y=binopdf(0:10,10,2/10) >>bar(0:10,10,2/10) 6

Se cumulativo è VERO, POISSON restituirà la funzione di ripartizione di Poisson indicante la probabilità che il numero degli eventi casuali sia compreso tra zero e x inclusi.

2-37 Kstest(x) Confronta la funzione di ripartizione empirica del campione x con la funzione di ripartizione di una gaussiana standard Se il campione casuale di dati non ha media nulla e varianza

7 Il test di K-S misura la distanza media tra la funzione di ripartizione Empirica e quella ipotizzata. Se tale distanza risulta maggiore di un prefissato quantile, il test K-S rigetta l ipotesi che la popolazione ha distribuzione di probabilità prefissata Kstest(x) Confronta la funzione di ripartizione empirica del campione x con la funzione di ripartizione di una gaussiana standard Se il campione casuale di dati non ha media nulla e varianza unitaria? I dati vanno standardizzati >> x=(weight-mu)/sigma; >> [H,P,KSSTAT,CV]=KSTEST(X) E se il campione casuale ha legge diversa da quella gaussiana standard? >> x=rand(100,1); >> ccf(:,1)=x; >> ccf(:,2)=x; >> [H,P,KSSTAT,CV]=KSTEST(x,ccf,0.05,0) >> [h,p,ksstat,cv]=kstest(x) h = p = ksstat = cv = >> H = 0 => Do not reject the null hypothesis at significance level ALPHA. H = 1 => Reject the null hypothesis at significance level ALPHA. KSTEST(...) also returns the K-S test statistic KSSTAT defined above for the test type indicated by TAIL KSTEST(...) also returns the asymptotic P-value P. KSTEST(...) returns the critical value of the test CV Null Hypothesis: F(x) equal to CDF for all x. For TAIL = 0 (2-sided test), alternative: F(x) not equal to CDF. For TAIL = 1 (1-sided test), alternative: F(x) greater than CDF. For TAIL = -1 (1-sided test), alternative: F(x) less than CDF

2-43 2-44 2-45 2-46 Test T sulla differenza tra medie popolazioni normali varianze incognite = Esempio: Da una serie di rilevazioni sulla quantità di specie presenti in alcuni Ambienti, sono stati

8 Test T sulla differenza tra medie popolazioni normali varianze incognite = Esempio: Da una serie di rilevazioni sulla quantità di specie presenti in alcuni Ambienti, sono stati rilevati I seguenti 20 valori di biodiversità (vedi tabella). Si Valuti se la tendenza centrale di questa serie è significativamente differente da 6.5, valore centrale dell area in studi precedenti ,5-2,7-2,9-2,9-3,1-3,1-3,1-3,8-3,9-4,2-4,5-4,9-5,3-6,5 0 6,5 0 8,9 + 9,7 + 11,7 + 15,7 + 18,9 + + N = 18, r = 13, r = 5 0,

Si Valuti se la tendenza centrale di questa serie è significativamente differente da 6.

2-49 2-50 2-51 2-52 2-53 2-54 Nel grafico, ogni media del livello viene rappresentata da un tondino che è situato al centro di un intervallo. L intervallo non ha alcun significato statistico.

9 Nel grafico, ogni media del livello viene rappresentata da un tondino che è situato al centro di un intervallo. L intervallo non ha alcun significato statistico. Due medie sono differenti in modo significativo se i corrispettivi intervalli sono disgiunti (in rosso). Due medie non sono differenti in modo significativo se i rispettivi intervalli non sono disgiunti (in grigio). La frase sotto il grafico segnala le medie dei livelli diverse. 9

Due medie sono differenti in modo significativo se i corrispettivi intervalli sono disgiunti (in rosso).

2-55 2-56 Si può usare il mouse per selezionare un gruppo.

10 Si può usare il mouse per selezionare un gruppo. Il grafico mette in evidenza gli altri gruppi (in rosso) che sono differenti significativamente dal livello esaminato

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