UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI UDINE. Corsi di Laurea in Ingegneria. A cura di Jung Kyu CANCI e Domenico FRENI. Con la collaborazione di

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1 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI UDINE Corsi di Laurea in Ingegneria A cura di Jung Kyu CANCI e Domenico FRENI Con la collaborazione di Luciano BATTAIA e Pier Carlo CRAIGHERO MATEMATICA DI BASE TEMI D ESAME 9 agosto 008

2 Indice Premessa Notazioni ed avvertenze iv v I Prima parte Testi dei temi assegnati dal 8/09/0 al 9/06/06. Prova scritta del 8/9/ Prova scritta del 7/9/ Prova scritta del 9/9/ Prova scritta del 5// Prova scritta del // Prova scritta del 0/6/ Prova scritta del /9/ Prova scritta del /0/ Prova scritta del // Prova scritta del // Prova scritta del 9/6/ Soluzioni e svolgimenti dei temi assegnati dal 8/09/0 al 9/06/06. Prova scritta del 8/9/ Prova scritta del 7/9/ Prova scritta del 9/9/ Prova scritta del 5// Prova scritta del // Prova scritta del 0/6/ Prova scritta del /9/ Prova scritta del /0/ Prova scritta del // Prova scritta del /0/ Prova scritta del 9/6/ II Seconda parte 99 Temi d esame assegnati dal 0/09/06 al /05/08: testi con soluzione breve 00. Prova scritta del 0/09/ Prova scritta del /0/ Prova scritta del 05// Prova scritta del 9/0/ ii

3 Indice iii.5 Prova scritta del /05/ Prova scritta del 0/07/ Prova scritta del 5/0/ Prova scritta del // Prova scritta del 7/0/ Prova scritta del /05/ III Terza parte 6 A Figure di riferimento 7 B Raccolta di alcune formule d uso comune 0 B. Trigonometria B. Risoluzione di triangoli rettangoli B. Risoluzione di triangoli generici B. Il Teorema di Talete

4 Premessa Questa dispensa di Matematica di base è destinata anzitutto a quegli studenti del anno della Facoltà di Ingegneria dell Università di Udine, qualunque Corso di laurea essi abbiano prescelto, i quali si trovino a dover colmare un debito formativo nell area matematica, rivelatosi in occasione del test di valutazione d entrata al ciclo di formazione universitaria. Ma essa sarà anche una assai utile palestra per quegli studenti che, pur non avendo dimostrato rilevanti lacune, intendono prepararsi agli impegnativi corsi di Matematica che li attendono, con un robusto ripasso delle nozioni di base, proposto dagli stessi docenti che li avranno come allievi, evitando quindi di temporeggiare indugiando in attesa passiva, con il rischio di trovare poi inaspettatamente duro l impatto con l insegnamento universitario, che ha livelli e ritmi inusitati per chiunque provenga dal ciclo di istruzione media. A tutti auguriamo di trarre il miglior profitto da questa raccolta di problemi di matematica: impegnarsi a studiarne la risoluzione e a risolverli è il miglior rodaggio per un giovane che aspiri a diventare un apprezzato ingegnere. La dispensa consta di due parti. La prima contiene i testi e le risoluzioni complete delle prove scritte di Matematica di base tenute dal 8/9/00 al 9/6/006 ed è a cura dei professori Jung Kyu Canci e Domenico Freni. La seconda contiene i testi e le soluzioni in breve delle prove scritte tenute dall /9/006 in poi, ed è a cura dei professori Luciano Battaia e Pier Carlo Craighero. Una breve appendice contiene alcune delle formule spesso usate nella risoluzione dei problemi. Infine, gli autori ringraziano chiunque voglia, con pertinenti osservazioni, contribuire al miglioramento di questa dispensa. Si prega di mandare una a uno dei seguenti indirizzi batmath@gmail.com canci@dimi.uniud.it freni@dimi.uniud.it iv

5 Notazioni ed avvertenze Con N denotiamo l insieme dei numeri naturali, con Z quello degli interi relativi, con Q quello dei razionali, infine con R denotiamo quello dei numeri reali. Dato un polinomio a coefficienti reali P() = p n n p + p 0, ogni numero a R tale che P(a) = p n a n p a + p 0 = 0 verrà chiamato uno zero o una radice del polinomio P(). Sia P() un polinomio P() = p n n p + p 0 dove n massimo intero per cui p n è non nullo. Tale intero n si definisce il grado del polinomio e si denota con deg(p). Capiterà che dovremo usare il Principio Di Identità Tra Polinomi il quale afferma che dati due polinomi dello stesso grado P() = p n n p + p 0 e Q() = q n n q + q 0 sono uguali se e solo se p i = q i per ogni indice 0 i n. Capiterà di usare la classica notazione della teoria degli insiemi. Per esempio,,, ed sono simboli per scrivere unione, intersezione, per ogni ed esiste, rispettivamente. Gli intervalli limitati di R verranno espressi con i simboli ]a, b[, ]a, b], [a, b[ e [a, b] che rappresenteranno gli insiemi { R a < < b}, { R a < b}, { R a < b} e { R a b}, rispettivamente. Ogni tanto useremo anche una notazione del tipo {a < < b} che si intenderà un abbreviazione di { R a < < b}. Gli intervalli illimitati verranno rappresentati con i simboli uguali a quelli limitati usando il simbolo di infinito. Per esempio ], a[ rappresenterà l insieme { R < a}. Chiaramente, considerando come insieme ambiente R, non ha alcun significato una notazione tipo [, a[ perché sia che + non appartengono a R. Il segmento non orientato di estremi A e B sarà denotato con AB. In presenza di un unità di misura, si indicherà con AB la misura del segmento AN. Di norma gli angoli saranno denotati con la scrittura A BC, mentre la loro misura con B. Il simbolo M.C.D.(n, m) rappresenterà il massimo comun divisore di due numeri interi n e m. Ove non si creasse ambiguità con altre notazioni, il suddetto massimo comun divisore potrebbe essere denotato semplicemente con (n, m). Il minimo comune multiplo verrà denotato con il simbolo m.c.m.(n, m). Nello svolgimento di un tema d esame troverete molte figure. Quasi tutte non sono necessarie perché quasi sempre per ottenere un risultato preciso a un quesito (anche se rappresentabile con figura) bisogna risolverlo per via analitica. Però una rappresentazione grafica può risultare comoda da molti punti di vista: per esempio spesso saperla fare e interpretare correttamente aiuta a capire se i risultati ottenuti per via analitica sono corretti. A questo livello non è richiesto il dover fare molti dei grafici che incontrerete, infatti solo chi ha già visto come si fanno gli studi di funzione sarebbe in grado di disegnarli. Occorre anche tenere presente che i grafici potrebbero essere rappresentati in Se non hanno lo stesso grado non possono essere uguali. v

6 Notazioni ed avvertenze vi un piano cartesiano in cui l asse e l asse y hanno due misurazioni diverse. Per esempio potrebbe capitare che un centimetro sull asse rappresenta una unità e invece sull asse y ne rappresenta. Nei primi cinque svolgimenti abbiamo risolto tutte le disequazioni da un punto di vista geometrico. In pratica, di fronte a disequazioni del tipo a+b > 0 o α +β+γ > 0, abbiamo analizzato la retta o la parabola associata. Questo ha comportato il fare tutta una serie di figure che chiaramente non sarà richiesto in sede d esame. È però richiesto che uno studente conosca una tale interpretazione geometrica. Il modo standard, richiesto in sede d esame, è quello che fa uso dei diagrammi, metodo che verrà usato nelle risoluzioni dal tema del 0/06/05 in poi. Tali diagrammi sono stati disegnati usando dei codici Matlab gentilmente forniti dal prof. Fabio Maria Antoniali. Esempi di diagrammi m() h() l() Diagramma di intervalli Questo diagramma va letto nel seguente modo: la proposizione m() è vera in ], ] [, ] ], + [, la proposizione h() è vera in ], ] ], ] ], + [, la proposizione l() è vera in ], ] ], ] ], + [; cioè se in un estremo c è il rombo nero allora l estremo appartiene all intervallo. Se in un estremo c è il cerchietto allora l estremo non appartiene all intervallo. / / / sgn f() sgn g() sgn f()/g() sgn f()g() In questo caso il diagramma va letto così : Diagramma di segno

7 Notazioni ed avvertenze vii f () < 0 in ], /) ]/, + [ e f () 0 in [ /, /], g() < 0 in ], /[ e g() 0 in [/, + [, f ()/g() < 0 in ] /, /[ ]/, + [ e f ()/g() 0 in ], /] ]/, /], f () g() < 0 in ] /, /[ ]/, + [ e f () g() 0 in ], /] [/, /]; cioè i pallini indicano dove le funzioni si annullano e le croci dove le funzioni non sono definite.

8 Parte I Temi d esame dal 8/09/0 al 9/06/06 Testi e soluzioni

9 Testi dei temi. Prova scritta del 8/9/0. Stabilire, giustificando la risposta, quale delle seguenti relazioni è vera (a) 7 5 > 5, (b) 7 5 = 5, (c) 7 5 < 5.. Ridurre ai minimi termini le frazioni (a) (b) dopo aver calcolato il dominio.. Si considerino le funzioni f () = 9 e g() =, R. Dopo aver risolto le disequazioni f () 0 e g() < 0, utilizzare i risultati ottenuti, quando occorrono, per risolvere le seguenti disequazioni { f () f () < 0 (a) 0 (b) f () g() 0 (c) g() g() 0.. Risolvere le disequazioni (a) 5 + e (b) Risolvere l equazione 6. Risolvere (a) = e la disequazione (b) 9 < ( ). l equazione (a) cos + sin = e la disequazione (b) sin + > Trovare l equazione della retta passante per i punti O(0, 0) e P(, ) e calcolare l angolo che essa forma con il semiasse positivo delle. Verificare poi che tale angolo soddisfa l equazione cos = 5 sin. 8. Trovare l equazione dell asse del segmento di estremi A(, ) e B(, ). 9. In un piano, riferito ad un sistema cartesiano ortogonale Oy, si consideri il segmento AB di lunghezza 6; il punto A appartiene al semiasse positivo delle y e le coordinate di B sono (t, 0) essendo t 0. Si scrivano le equazioni parametriche del luogo geometrico descritto dal punto medio del segmento AB al variare del parametro t nell intervallo [0, 6]. Dedurre, infine, l equazione cartesiana di tale luogo geometrico, descriverne il tipo e tracciarne il grafico. 0. Di un triangolo ABC si sa che  = 80, ˆB = 70 e AB = 0. Determinare gli altri elementi del triangolo.

10 Testi dei temi assegnati dal 8/09/0 al 9/06/06. Prova scritta del 7/9/0 Per tutti gli esercizi, dopo avere accuratamente esplicitato su foglio protocollo le giustificazioni o le risoluzioni, riportare i risultati nelle tabelle. (I risultati non giustificati non saranno presi in considerazione). Stabilire l ordine (<=>) fra i seguenti numeri reali (a) 5 (b) (c) ( ) (d) log log (e) log + log log. Semplificare la frazione algebrica e indicarne il dominio. Risolvere le equazioni = Dominio= equazioni (a) 6 = (b) + 6 = (c) sin sin = 0 soluzioni. Risolvere le disequazioni disequazioni (a) < (b) + > (c) sin cos > 0 soluzioni 5. Questo grafico corrisponde alla risoluzione grafica di una equazione. Scegli l equazione tra quelle proposte a fianco:

11 Testi dei temi assegnati dal 8/09/0 al 9/06/ log = log = = log = 6. Dato il triangolo di vertici A(, ), B(6, 9) e C(, ), trovare il suo baricentro G. Trasformare il triangolo ABC nel triangolo A B C con l affinità f : (, y) (, 5y). Trovare infine il baricentro G del triangolo A B C e verificare che f (G) = G. 7. Consideriamo un triangolo di lati a, b e c opposti rispettivamente agli angoli α, β e γ. Calcolare a e b sapendo che c =, α = β e cos α = /5. 8. Trasformare in forma cartesiana la curva di equazioni parametriche { = t y = t + t 5, t R. Specificare di che curva si tratta, rappresentarla graficamente e scrivere le equazioni delle rette tangenti ad essa passanti per il punto (0, ).. Prova scritta del 9/9/0 Per tutti gli esercizi, dopo avere accuratamente esplicitato su foglio protocollo le giustificazioni o le risoluzioni, riportare i risultati nelle tabelle. (I risultati non giustificati non saranno presi in considerazione). Dato un numero reale a >, mettere in ordine crescente i seguenti numeri ponendo nella stessa casella gli eventuali numeri uguali a a a /5 a a a / a a a 5 a. Cosa significa che una strada ha una pendenza del 6%? E del 00%?. Se la somma di due numeri è uguale a, dimostrare che la loro differenza coincide con la differenza dei loro quadrati.. Tracciato il grafico della funzione f () = sin, dedurre da esso il grafico della funzione g() = sin. 5. Semplificare la frazione algebrica

12 Testi dei temi assegnati dal 8/09/0 al 9/06/06 5 9y y y : + y 9y y 6. Dopo averne stabilito il dominio, semplificare le frazioni algebriche (a) (b) + = Dominio= = Dominio= ( 5)( ) 7. Risolvere le seguenti equazioni e disequazioni (a) (b) equazioni/disequazioni 6 = + sin ( + ) π = sin soluzioni (c) (d) < ( ) (e) cos > > 8. Rispetto ad un sistema di riferimento Oy, determinare l equazione del luogo dei punti P(, y) la cui distanza dal punto O(0, 0) è doppia della distanza dal punto A(, 0) e infine rappresentarlo graficamente. 9. Consideriamo un triangolo di lati a, b e c opposti rispettivamente agli angoli α, β e γ. Calcolare a e b sapendo che c =, α + β = π/ e sin α = /. 0. Determinare il valore dei parametri a e b in modo che il polinomio P() = + + a + b ammetta = come radice doppia e poi scomporlo in fattori.. Prova scritta del 5//0 Risolvere al più 8 tra i seguenti esercizi.. (a) Scomporre in fattori il polinomio P(a) = a + a. (b) Dopo averne stabilito il dominio, semplificare la funzione razionale (a) Sia assegnata l equazione + m = 7. Per quali valori di m la soluzione è =? (b) Risolvere la disequazione Risolvere la disequazione >.

13 Testi dei temi assegnati dal 8/09/0 al 9/06/06 6. (a) Semplificare la rappresentazione del numero c = ( 9 5 ) (b) Dimostrare che è irrazionale. 5. Determinare i numeri reali a e b in modo che il polinomio P() = + a + b + sia divisibile per il polinomio Q() = Nel piano cartesiano Oy siano dati la retta r di equazione = ed il punto A(, 0). Si determini l equazione del luogo geometrico dei punti P del piano per cui PA = PH essendo PH la distanza tra il punto P e la retta r. Rappresentare graficamente il luogo ottenuto. 7. Nel piano cartesiano Oy trovare l equazione della parabola con asse parallelo all asse y passante per i punti A(, ), B(, ) e C(, ). Tracciarne il grafico. 8. Data la circonferenza + y = 0 trovare le equazioni delle tangenti passanti per il punto A(0, ). 9. In un triangolo ABC si ha AC = a, BC = a e ACB ˆ = π. Calcolare AB e trovare il raggio r della circonferenza circoscritta. 0. (a) Risolvere la disequazione sin cos > 0. (b) Per quali valori di la funzione f () = π sin assume valore minimo?.5 Prova scritta del //05. Scomporre in fattori il polinomio P() = e usare la scomposizione ottenuta per semplificare la funzione razionale P() f () = + dopo averne stabilito il dominio.. Risolvere l equazione cos = ctg.. Risolvere la disequazione + >.. Semplificare la rappresentazione del numero ) c = ( Determinare i numeri reali a e b in modo che il polinomio P() = + a + sia divisibile per il polinomio Q() = + b Siano r e s due rette tra loro ortogonali. Un segmento AB di lunghezza l ha l estremo A che scorre su r e B su s. Rispetto ad un conveniente sistema di riferimento Oy, si determini l equazione della curva tracciata dal punto medio P di AB.

14 Testi dei temi assegnati dal 8/09/0 al 9/06/ Rispetto ad un sistema di riferimento Oy cartesiano ortogonale, scrivere l equazione della circonferenza passante per A(, ) e B(, ) e avente il centro sulla retta di equazione y + = Per quale valore di b R il punto A(, b) (in un sistema di riferimento Oy cartesiano ortogonale) determina con l origine O una retta parallela alla retta di equazione y + = 0? Calcolare poi la distanza tra le due rette. 9. In un triangolo ABC la mediana AM relativa al lato BC ha lunghezza, α = MAC ˆ ( ) = π/ sin(π/) = e β = AMB ˆ = π/. Calcolare la lunghezza di AB. 0. Risolvere la disequazione cos + sin <..6 Prova scritta del 0/6/05 Risolvere al più otto tra i seguenti esercizi.. Dopo averne stabilito il dominio, semplificare la funzione razionale. Risolvere l equazione f () = +. sin = tg.. Risolvere l equazione + + = 6.. Stabilire, giustificando la risposta, se la seguente affermazione è vera o falsa { 6 R Dimostrare che se allora l espressione uguale a. 6. Scrivere le equazioni delle rette tangenti alla circonferenza di equazione + y + 8y + = 0 è identicamente e passanti per l origine. Calcolare inoltre l area del parallelogramma con i lati tangenti alla circonferenza e paralleli alle due rette. 7. Un quadrato ed un esagono regolare hanno la stessa area. Quale dei due poligoni ha il maggior perimetro? Giustificare la risposta. 8. Scrivere l equazione della retta passante per il punto A(0, ) e formante un angolo di π/ con il semiasse positivo delle. 9. In un parallelepipedo rettangolo a base quadrata lo spigolo di base e l altezza misurano e 0. Trovare la tangente dell angolo α che una diagonale del parallelepipedo forma con il piano della base. Calcolare anche sin α.

15 Testi dei temi assegnati dal 8/09/0 al 9/06/ Risolvere la disequazione sin + cos + (sin + cos )..7 Prova scritta del /9/05 Risolvere al più otto tra i seguenti esercizi.. Dopo averne stabilito il dominio, semplificare la funzione razionale f () = Risolvere la disequazione in R cos sin > 0.. Risolvere il sistema { cos cos y = tg + tg y =, y R.. Risolvere l equazione in R =. 5. Risolvere la disequazione in R + <. 6. Trovare due numeri reali e tali che la loro somma è pari al loro prodotto moltiplicato per e la somma dei lori quadrati vale Determinare il raggio di base e l altezza y di un cono la cui superficie totale è uguale a quella di una sfera di raggio R e il cui volume è uguale a quello di un altra sfera di raggio r =. Discutere rispetto a R l esistente di soluzioni e trovarle. 8. Rispetto ad un sistema di riferimento cartesiano ortogonale Oy, si consideri la circonferenza γ di equazione + y = R. Trovare il luogo geometrico dei punti P del piano tali che PT = PS, dove T è il punto di contatto con γ della retta tangente passante per P e S è l intersezione con l asse della retta per P parallela all asse y. 9. Dato un triangolo rettangolo di cateti a e b e ipotenusa c, dimostrare che a = (b + c) tg α, dove α è l angolo opposto al cateto a. 0. Rispetto ad un sistema di riferimento cartesiano ortogonale Oy, scrivere l equazione della circonferenza γ di raggio, tangente agli assi e contenuta nel primo quadrante. Scrivere l equazione della retta passante per P e Q, con P, Q γ, tale che la corda PQ ammette il punto A (, ) come punto medio. Detta B l intersezione tra la secante PQ e l asse, costruire un quadrato equivalente al rettangolo BP BQ.

16 Testi dei temi assegnati dal 8/09/0 al 9/06/ Prova scritta del /0/05 Risolvere al più otto tra i seguenti esercizi.. Sia a un numero reale maggiore di. Ordinare in modo crescente i seguenti numeri ( ) 8 5 a ; ; a7 a 5 ; a a a. a a a 5/. Risolvere la seguente disequazione in R.. Semplificare la seguente espressione dove a b e α kπ/ con k Z (a + b ) tg(π α) ab sin(π α) ( π ) ( π ) ctg + α cos + α ( ). 7 a cos(8π) + b sin. Stabilire per quali valori dei coefficienti a, b R il seguente polinomio P() = + + a + b ammette = come radice doppia. 5. Razionalizzare il denominatore della frazione + + e trovare le soluzioni [0, π] dell equazione ( + cos ) = (7 + ) sin. 6. Risolvere la seguente disequazione nell intervallo [0, π] cos + sin. 7. Del quadrilatero ABCD si sa che (a) AB = BC = CD = l, (b) ABC ˆ = π/ e BCD ˆ = π/. Calcolare, in funzione di l, AC, BD, il coseno di ˆ DBA e quindi DA. 8. Nel piano cartesiano Oy un triangolo ABC, isoscele sulla base BC, circoscritto alla circonferenza γ di equazione + y y + = 0, ha l angolo BAC ˆ di π/ e i vertici A e B sulla retta r di equazione =, con A nel semipiano y < 0. Trovare le coordinate di A e la misura dell altezza h relativa alla base BC. 9. Disegnare nel piano cartesiano Oy le due rette parallele r : + y = 0 e s : y = +.

17 Testi dei temi assegnati dal 8/09/0 al 9/06/06 0 Dato il punto P 0 (, ) s, determinare le coordinate dei vertici dei quadrati che hanno un vertice in P 0 e due lati sulle rette r e s. 0. Nel piano cartesiano Oy sono dati i punti A(0, ) e B(, ). Al variare del punto P sulla retta y =, l ortocentro (il punto di incontro delle altezze) del triangolo ABP descrive una curva. Trovarne l equazione e disegnarla..9 Prova scritta del //06 Risolvere al più otto tra i seguenti esercizi.. Siano a e b due numeri reali distinti non entrambi nulli e α kπ/ per ogni k intero. (a b ) ctg( π α) ab(a b) cos(π + α) + ( tg(π + α) π ) sin + α ( ). a + b cos(6π) + ab sin. Risolvere la seguente equazione trigonometrica. Dato il polinomio sin sin ( cos ) = 0. P() = + (λ ) + 5λ, per quali valori di λ R la somma delle radici è uguale al loro prodotto?. Dati i polinomi risolvere le disequazioni f () = 9 e g() =, f () g() 0, f ()g() 0, { f () < 0 g() Semplificare l espressione f () = + + : ( + + ) + fino a ridurla ad una frazione razionale ridotta ai minimi termini. 6. Risolvere la seguente disequazione in R > Le misure a = BC e b = AC di due lati di un triangolo ABC soddisfano le due relazioni a + b = 7 e a + b = 7 e b > a, inoltre sin α = /5 essendo α = BAC. ˆ Supponendo che AB sia il lato maggiore, calcolare le misure di tutti i lati del triangolo e dire di che tipo di triangolo si tratta. Rispetto al testo originario, questo esercizio è stato un po modificato.

18 Testi dei temi assegnati dal 8/09/0 al 9/06/06 8. Nel piano cartesiano Oy trovare le rette tangenti comuni alle circonferenze di equazioni + y + = 0 e + y = Dati la retta r di equazione + y = 0 e il punto P(, ), trovare il punto P simmetrico di P rispetto ad r. 0. Dati il punto P(, ) e la parabola di equazione y =, determinare (a) l equazione del fascio di rette di centro P, (b) il luogo geometrico dei punti medi delle corde determinate dall intersezione della parabola con le rette del fascio..0 Prova scritta del //06 Risolvere al più otto tra i seguenti esercizi.. Mettere in ordine crescente i seguenti numeri: 8 0 ( ) 7,, 6.. Trovare le soluzioni, nell intervallo [ π, π], della seguente equazione trigonometrica sin + sin sin(π + ) = 0.. Determinare i valori di a e b tali che il polinomio sia divisibile per + +. P() = + b + (a + b) + 5 b. Risolvere la disequazione in R >. 5. Per quali valori di k R il seguente sistema non ammette soluzioni? { > k + k Risolvere la seguente equazione in R =. 7. Risolvere la seguente disequazione trigonometrica sin sin > Nel quadrilatero ABCD gli angoli ˆB, Ĉ, ˆD misurano rispettivamente π/, π/ e 7π/; inoltre i lati BC e CD misurano entrambi l. Determinare le misure delle diagonali e il perimetro del quadrilatero. 9. Dati i punti A(, ) e B(7, 5), determinare le coordinate dei punti P e Q che dividono il segmento AB in tre parti uguali.

19 Testi dei temi assegnati dal 8/09/0 al 9/06/06 0. Sono dati punti A(, ), B( 5/, 5/) e la parabola di equazione y =. Trovare i punti P della parabola tali che il triangolo ABP sia rettangolo in P.. Prova scritta del 9/6/06. Semplificare la rappresentazione del seguente numero ( ) n = : Trovare le soluzioni, nell intervallo [ π, π/], della seguente equazione trigonometrica sin(π + ) + sin cos = cos cos.. Per quali valori di k R il seguente sistema ammette soluzioni? { ( + ) ( 6 + 9) 0 k. k + 0. Per quali valori di k R il polinomio p() = + + k ha una radice doppia? Per ogni valore trovato scomporre il polinomio in fattori. 5. Risolvere la seguente disequazione: Risolvere in R l equazione seguente: = Risolvere la seguente disequazione trigonometrica cos + sin cos 0. tg 8. Dati i punti A(/, 0), B(0, ), C(, 0) e D( 5/, ), verificare che il quadrilatero ABCD è un rettangolo. Inoltre, determinare le equazioni delle rette, parallele al lato AD, che dividono il rettangolo ABCD in tre rettangoli aventi la stessa area. 9. Sono date le due parabole di equazione y = e = y. Se A e B sono i punti di incidenza delle parabole con la loro tangente in comune, determinare l area del triangolo di vertici A, B e C(, ). 0. Nel trapezio ABCD la base maggiore AB è lunga l, la base minore CD misura ( )l, la diagonale AC forma con la base maggiore un angolo di ampiezza π/ e con il lato obliquo AD un angolo di π/. Determinare le misure di AC, AD, CB e l area del trapezio.

20 Soluzioni e svolgimenti. Prova scritta del 8/9/0. La risposta corretta è la (c) infatti: 7 5 < < 5. Nella seconda disuguaglianza entrambi i termini sono positivi e quindi elevando al quadrato si ottiene che 7 + < < 0. Questa ultima disuguaglianza è verificata se e solo se < 0 che equivale a scrivere che 8 < 00 che è ovviamente vero.. (a) Osserviamo che il polinomio si fattorizza in = ( )( + ). Infatti, in generale vale l identità a b = (a b)(a + b). Perciò il dominio è D = { R 0} = R \ {±/} Il polinomio si annulla in e / e quindi si fattorizza, per il teorema di Ruffini, in = ( )( + /) = ( )( + ); si ottiene così la seguente identità tra funzioni razionali ( )( + ) = ( )( + ) = che vale solo per D. (b) Utilizzando la formula per il cubo di un binomio (a + b) = a + a b + ab + b con a = e b = otteniamo = ( ). Quindi il dominio è D = { R } = R \ {}. Il polinomio si annulla in e quindi, per il teorema di Ruffini, è divisibile da e con i seguenti facili calcoli // deduciamo che si fattorizza in = ( )( 5 + 6). Ricordando che per ogni a, b R vale + (a + b) + ab = ( + a)( + b), si deduce immediatamente = ( ) ( ). Quindi si ottiene la seguente identità tra funzioni razionali Abbiamo usato la formula (a + b) = a + b + ab. Di nuovo si ha l equivalenza perché e 0 sono entrambi positivi.

21 Soluzioni e svolgimenti dei temi assegnati dal 8/09/0 al 9/06/ = ( ) ( ) ( ) = che vale solo per D.. Il grafico della funzione f () = 9 è la parabola rappresentata nella Figura.. Usando, in modo opportuno, il prodotto notevole a b = (a b)(a + b), si ottiene che f () = ( )( + ) e quindi la f si annulla in = ±/. Essendo il coefficiente di negativo, l insieme delle R tali che f () 0 è l intervallo limitato [ /, /]. 0 / / y y= Figura.: f () = 9 0 N.B. Capire qual è il grafico della funzione permette di controllare il risultato della disequazione, risultato che si può ottenere in modo preciso solo per via analitica (cioè facendo rigorosamente i calcoli). Invece il grafico della funzione g() = è la retta rappresentata nella Figura.. L insieme delle R tali che g() < 0 è l intervallo illimitato ]/, + [. 0 / y y= Figura.: g() = < q0 Esprimiamo la retta reale nel seguente modo R =], /[ { /} ] /, /[ {/} ]/, /[ {/} ]/, [ e analizziamo i seguenti sei casi

22 Soluzioni e svolgimenti dei temi assegnati dal 8/09/0 al 9/06/06 5. Caso ], /[. Si ha f () < 0 e g() > 0. Caso = /. Si ha f () = 0 e g() > 0. Caso ] /, /[).Si ha f () > 0 e g() > 0. Caso = /. Si ha f () > 0 e g() = 0 5. Caso ]/, /[. Si ha f () > 0 e g() < 0 6. Caso = /. Si ha f () = 0 e g() < 0 7. Caso ]/, [. Si ha f () < 0 e g() < 0 La situazione è rappresentata dal diagramma riportato nella Figura. / / / sgn f() sgn g() sgn f()/g() sgn f()g() Figura.: Segno di f () e g() (a) La funzione f ()/g() non è definita in = / e dalla precedente analisi dei sette casi si deduce che f ()/g() 0 se e solo se ], /] ]/, /]. (b) f () g() 0 se e solo se ], /] [/, /]. (c) Infine dalla { tabella delle soluzioni delle disequazioni f () < 0 e g() 0 deduciamo che f () < 0 il sistema è soddisfatto in ], /[ come risulta dal diagramma degli intervalli g() 0 rappresentato nella Figura. f()<0 / / / g() 0 f()<o e g() 0 Figura.: Es. del 8/9/0. (a) 5 + >. Chiaramente la disequazione ha senso se e solo se. Essendoci il valore assoluto dobbiamo considerare i due casi 5/( + ) > 0 e 5/( + ) < 0. Per nessun valore reale si ha 5/( + ) = 0

23 Soluzioni e svolgimenti dei temi assegnati dal 8/09/0 al 9/06/06 6 Caso 5/( + ) 0. Accade se e solo se + > 0 ovvero >. In questa situazione la disequazione diventa 5 + >. Moltiplicando entrambi i membri per + otteniamo 5 > +, il senso della disequazione rimane immutato perché siamo nel caso + > 0, e quindi in questa situazione la soluzione è < <. Caso 5/( + ) < 0. Equivalente a + < 0 ovvero <. La disequazione diventa 5 + >. Moltiplicando entrambi i membri per + otteniamo 5 < +, il senso della disequazione cambia perché siamo nel caso + < 0, in questo caso la soluzione è 7 < <. In generale, su tutta la retta reale, le soluzioni sono rappresentate dall insieme ] 7, [ ], [. La situazione è rappresentata dalla Figura y Figura.5: 5 + > (b) + Anche per lo studio di questa disequazione dobbiamo considerare due casi. Caso + 0. Accade se e solo se /. La disequazione diventa + che è verificata per ogni /. Quindi in questo caso le soluzioni sono le ], /[ ] /, + [= ] /, /[. Caso + < 0. Accade se e solo se < /. La disequazione diventa che è verificata per ogni. Quindi in questo caso le soluzioni sono le ], [ ], /[= ], /[. Facendo l unione delle soluzioni ottenute con lo studio nei due casi, tra di essi complementari, si ricava che l insieme delle soluzioni della disequazione (b) sono tutte e sole le che stanno in [, /[ [ /, /] = [, /]. La situazione è rappresentata nella Figura.6 5. (a) =. Il dominio di definizione dell equazione è 0 ovvero. Chiaramente le soluzioni sono da ricercare nell intervallo [, +]. Infatti l equazione (a) diventa

24 Soluzioni e svolgimenti dei temi assegnati dal 8/09/0 al 9/06/ / y y= y= Figura.6: + = + (.) e quindi chiaramente deve essere verificato + 0. Ora, elevando al quadrato entrambi i termini dell equazione (.) risulta = e quindi l equazione (a) diventa = 0. Dall identità +8+7 = (+7)(+) si deduce che l unica soluzione dell equazione (a) è =. Infatti = 7 non appartiene all intervallo [, +]. Graficamente la situazione è rappresentata dalla Figura.7 0 y=( ) / y y= Figura.7: = (b) 9 < ( ). Come prima cosa osserviamo che (b) ha senso se e solo se 9 0 e in questa situazione, essendo 9 0, bisogna imporre la condizione 0. Quindi possiamo affermare che il dominio di definizione della disequazione (b) è l insieme delle soluzioni del seguente sistema { Ora sono molto utili i risultati ottenuti nello svolgimento del precedente esercizio, da cui si ottiene che [ /, /] è l insieme delle soluzioni del precedente sistema. Quindi restringendo lo studio

25 Soluzioni e svolgimenti dei temi assegnati dal 8/09/0 al 9/06/06 8 della disequazione (b) all intervallo [ /, /], possiamo elevare al quadrato entrambi i termini della disuguaglianza (b) senza alterarne il senso ottenendo 9 < + 6 che è equivalente a 5 > 0. L insieme delle soluzioni della disequazione 5 = (5 8) > 0, come risulta anche dalla Figura.8, è ], 0[ ]8/5, [. 6 5 y 8/5 y= Figura.8: 5 > 0 Perciò otteniamo che l insieme delle soluzioni della disequazione (b) è 6. (a) cos + sin =. (], 0[ ]8/5, [) [ /, /] = [ /, 0[. È equivalente all equazione cos + sin = e quindi risulta molto utile la formula di addizione del seno: sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β, da cui si ottiene che cos + sin = sin π 6 cos + cos π ( π ) 6 sin = sin 6 + =. Ricordando che la funzione seno è periodica di periodo π e che nell intervallo [0, π[ assume valore solo in π/, otteniamo che l insieme delle soluzioni è costituito da quelle per cui π/6+ = π/ + kπ per ogni k Z; cioè l insieme {π/ + kπ k Z}. (b) sin() + > 0. La disequazione è verificata per tutti gli tali che sin() > /. Il seno assume il valore / se e solo se l angolo assume il valore 7π/6 + kπ o π/6 + kπ per ogni valore intero di k. La situazione è descritta dalla Figura.9 Si osserva che il seno assume valore strettamente maggiore a / in tutti e soli gli angoli con ampiezza compresa negli intervalli ] π/6 + kπ, 7π/6 + kπ[ per qualsiasi k Z. Da ciò si deduce che è soluzione della disequazione (b) se e solo se 6 π + kπ < < 7 6 π + kπ π + kπ < < 7 π + kπ per un qualsiasi valore di k Z. Concludiamo deducendo che l insieme delle soluzioni della disequazione (b) è ] π [ + kπ, 7 π + kπ. k Z

26 Soluzioni e svolgimenti dei temi assegnati dal 8/09/0 al 9/06/ π/ 7π/ π/ 9π/ π/ π/ y Figura.9: sin > / 7. Ricordiamo che l equazione della retta passante per due punti P (, y ) e P (, y ) è y y =. y y Da cui si deduce che y = y y ( ) + y interpretando in modo opportuno il caso in cui y = y o =. Dalla precedente formula con P O(0, 0) e P P(, ) otteniamo che la retta passante per O e per P ha equazione y = /. Tale retta ha coefficiente angolare uguale a /. Ricordando che il coefficiente angolare di una retta è il valore della tangente dell angolo che la retta forma con il semiasse positivo, allora l angolo cercato sarà arctg(/ ) = π/6. Ora è facile verificare che = cos π/6 = 5 sin π/6. 8. Ricordiamo che la distanza tra due punti P (, y ) e P (, y ) si calcola con la seguente formula d(p, P ) = ( ) + (y y ). Ora traduciamo in termini algebrici il fatto che l asse del segmento di estremi A e B è il luogo geometrico dei punti equidistanti da A e B. Dato un generico punto del piano P(, y), chiedere che appartenga alla retta cercata è equivalente a chiedere che valga dist(p, A) = dist(p, B) elevando tutto al quadrato otteniamo ( ) + (y + ) = ( + ) + (y ), y + 6y + 9 = y y + y = 5 giungendo così all equazione dell asse. 9. Ricordiamo che la distanza tra due punti P (, y ) e P (, y ) è dist(p, P ) = ( ) + (y y ) e il punto medio ha coordinate (( + )/, (y + y )/). Quindi per ogni t [0, 6] avremo B(t)(t, 0) e A(t)(0, y t ) dove y t è l unica soluzione positiva all equazione

27 Soluzioni e svolgimenti dei temi assegnati dal 8/09/0 al 9/06/06 0 y t + t = 6 (.) cioè y t = 6 t. Chiaramente la (.) è dedotta direttamente dal fatto che dist ( B(t), A(t) ) = 6. Ora è immediato ottenere la rappresentazione parametrica del punto medio tra A(t) e B(t) = t con t [0, 6]. 6 t y = Osserviamo che ogni coppia (, y) del luogo geometrico descritto dal punto medio verifica + y = t 6 t + = 9. Cioè, al variare di t in [0, 6], il punto medio del segmento A(t)B(t) è un punto dell arco della circonferenza di centro (0, 0) e raggio. Più precisamente, è immediato verificare che l insieme di tali punti medi sono i punti della suddetta circonferenza con coordinate e y entrambi non negativi. Il Grafico è rappresentato nella Figura.0 y A(0) A() B(0)=A(6) B() B(6) Figura.0: Es. 9 del 8/9/0 0. È immediato calcolare Ĉ = = 0. Gli altri lati li calcoliamo con il teorema dei seni che afferma che è costante il rapporto tra la misura di un lato e il seno dell angolo opposto. Perciò vale la seguente serie di identità BC sin  = AC sin ˆB = AB sin Ĉ. Dove chiaramente  è l angolo opposto al lato BC e così via (guardare la Figura.). Deduciamo immediatamente che BC = AB 0 sin  = sin Ĉ sin 0 sin 80 9, 9 AC = AB sin Ĉ sin ˆB = 0 sin 0 sin 70 7, 59

28 Soluzioni e svolgimenti dei temi assegnati dal 8/09/0 al 9/06/06 C A 0 B Figura.: Es. 0 del 8/9/0. Prova scritta del 7/9/0. (a) Vale 5 > Infatti, essendo entrambi i termini della disequazione positivi, possiamo elevarli al quadrato senza alterare il verso della disequazione e moltiplicare tutto per, in questo modo si ottiene 5 < 6. Ora, rielevando entrambi i termini al quadrato otteniamo > 6 7 > 5. Elevando di nuovo al quadrato entrambi i termini dell ultima disequazione ricaviamo 89 > 0 che è chiaramente vero. (b) Vale =. Infatti, = 0 = +0 =. Abbiamo usato la proprietà delle potenze per cui a n a m = a n+m per ogni a R e ogni intero n e m. (c) Vale > ( ). Infatti, in generale vale (a n ) m = a n m per ogni a R e ogni intero n e m. Quindi si ha ( ) = = 9 < 7 =. (d) Vale log > log. Infatti, log è una funzione crescente cioè per ogni y > 0 si ha che log log y. (e) Vale log + log < log. Infatti, log =.. È immediato verificare che il polinomio ammette + come radice e quindi per il teorema di Ruffini si ottiene che divide il polinomio Con i seguenti semplici calcoli //

29 Soluzioni e svolgimenti dei temi assegnati dal 8/09/0 al 9/06/06 deduciamo che = ( )( 6). Usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado, troviamo che le radici di 6 sono, = ± + 8 cioè = e = / da cui risulta che = ( )( )( + ). Quindi il dominio è l insieme R \ {,, /}. Raccogliendo, nel numeratore della frazione algebrica, e poi usando il prodotto notevole a b = (a b)(a + b) otteniamo perciò = ( ) = ( )( + ) = ( )( + ) ( )( )( + ) = ( + ) ( )( + ).. (a) 6 =. Il dominio di definizione dell equazione è 6 0. L equazione non ammette soluzioni perché, nel dominio, 6 è sempre maggiore o uguale a zero. E quindi non può mai essere uguale a. (b) + 6 =. Il dominio di definizione dell equazione è { R + 6 0} = [ 6, + [. Essendo nel dominio + 6 0, è chiaro che le soluzioni staranno nell intervallo in cui 0 ovvero 0. Quindi restringiamo lo studio dell equazione all intervallo [ 6, 0]. Elevando al quadrato entrambi i termini dell equazione (b), otteniamo + 6 = che è equivalente a 6 = ( )( + ) = 0 e [ 6, 0]. Perciò l unica soluzione è =. (c) sin sin = 0. Usiamo la formula di duplicazione del seno sin α = sin α cos α così l equazione diventa sin cos sin = 0. Raccogliendo sin otteniamo (sin )( cos ) = 0. Il seno si annulla in kπ per ogni k Z. Invece cos si annulla quando cos = /; ciò accade se e solo se = ±π/ + kπ per un qualsiasi valore intero di k. Concludiamo deducendo che l insieme delle soluzioni dell equazione (c) è. (a) <. {kπ k Z} {π/ + kπ k Z} { π/ + kπ k Z} Dobbiamo dividere lo studio della disequazione in due casi. Caso 0. Si ha con ], ] [, + [. In questo caso la disequazione diventa < e quindi < 0 e quindi le soluzioni sono ], [ (], ] [, + [) = ], ] [, [. La situazione in questo caso è rappresentata nella Figura. Caso < 0. Si ha con ], [. In questa situazione la disequazione diventa + < e quindi + < 0 e quindi le soluzioni sono

30 Soluzioni e svolgimenti dei temi assegnati dal 8/09/0 al 9/06/06 ( / ) / y y= 0 y= Figura.: < 0 (con 0) (, ) ((, ) (, )) = (, ) (, ). La situazione grafica di questo caso è rappresentata nella Figura. ( / ) ( / ) / / y y= y= Figura.: + < 0 (con < 0) Infine, facendo l unione delle soluzioni di entrambi i casi, deduciamo che la disequazione (a) è soddisfatta nell insieme ], [ ], [ Proponiamo anche una risoluzione più algebrica. < < < + < < + < < { > < ], [ ( ], [ ], + [ ) = ], [ ], [

31 Soluzioni e svolgimenti dei temi assegnati dal 8/09/0 al 9/06/06 (b) + >. Il dominio di definizione della disequazione è tale che > 0 e quindi D = { R < }. Moltiplichiamo entrambe i membri della disequazione per, che è sempre positivo, ottenendo + >. Ora isolando la radice abbiamo > (.) che è sempre verificata per 0 cioè per / (ricordare che per D, > 0). Per / <, poiché sia che sono non negativi, possiamo elevare al quadrato entrambi i termini della disequazione (.) senza alterarne il verso ottenendo > 9 6+ che è equivalente a 9 5 = (9 5) < 0. Il polinomio (9 5) si annulla in = 0 e = 5/9, quindi, con > /, l insieme delle soluzioni è l intervallo (/, 5/9). Graficamente la situazione è rappresentata dalla Figura. / 5/9 0 y y= Figura.: 9 5 < 0 (con > /) Quindi l insieme delle soluzioni della disequazione (b) è ], /] ]/, 5/9[ = ], 5/9[ e la situazione è rappresentata dalla Figura.5 5/9 y.5 Y=( ) / Y=/( ) /.5 0 Figura.5: Disequazione (b) Es. del 7/9/0 (c) sin cos > 0.

32 Soluzioni e svolgimenti dei temi assegnati dal 8/09/0 al 9/06/06 5 Il dominio di definizione della disequazione è da tutte le tali che cos 0 e quindi D = { R kπ per ogni k Z} = R \ {kπ} k Z. Il denominatore cos è sempre positivo nel dominio di definizione della frazione trigonometrica. Perciò il segno dipende solo dal numeratore. Osserviamo che sin > 0 se e solo sin < /. Ricordando che sin assume il valore / se e solo se = π/6 + kπ o = 5π/6 + kπ per ogni k Z, dal grafico della funzione sin (Figura A.) si verifica immediatamente che l insieme delle soluzioni della disequazione (c) è k Z (]kπ, π6 + kπ [ ] 5π 6 [) + kπ, (k + )π Graficamente la situazione è rappresentata nella Figura.6 50 π/6 7π/6 π/6 5π/6 π/6 7π/ y Figura.6: sin cos > 0 5. La risposta corretta è log =. Infatti, nella Figura.7, a sinistra abbiamo il grafico di log e a destra il grafico di Figura.7: Es.5 del 7/9/0 6. Ricordiamo che il baricentro di un triangolo è il punto di intersezione delle rette mediane del triangolo. È sufficiente determinare l equazione di due mediane e poi trovarne il punto di intersezione. Il punto medio del lato BC è D = ( 6+, ) ( 9+ = 9, ) e quindi la mediana passante per A = (, ) Una retta mediana in un triangolo è una retta che passa per un vertice e il punto medio del lato opposto del triangolo. Si sarebbe anche potuto trovare il baricentro come media aritmetica delle coordinate degli estremi.

33 Soluzioni e svolgimenti dei temi assegnati dal 8/09/0 al 9/06/06 6 apparterrà alla retta del piano passante per A e D. Ricordiamo che l equazione di una retta passante per i punti P 0 ( 0, y 0 ) e P (, y ) è y y 0 = 0, y y in generale si dovrà interpretare in modo opportuno il caso in cui y 0 = y o 0 =. La retta passante per A e D avrà equazione y = 9 cioè y = Il punto medio del lato AC è E di coordinate ( + mediana passante per B(6, 9) apparterrà alla retta di equazione y 9 6 = cioè y = + 6. Ora il baricentro è la soluzione del seguente sistema y = y =. + 6, + ) = (, 7) e quindi la Uguagliando i due termini di destra otteniamo = + 6 che, moltiplicando tutto per = m.c.m.(, 7), vediamo che è equivalente a 6 = e quindi si ha = 0/. Ora si deduce immediatamente che y = 0/( ) + 6 = / e G (0/, /). Il grafico è rappresentato dalla Figura.8 5 y y=7/7 /7 C 0 D y=/+6 E G B 5 A Figura.8: Es. 6 del 7/9/0 Ora osserviamo che l affinità f agisce nel seguente modo: A(, ) A (, 0)

34 Soluzioni e svolgimenti dei temi assegnati dal 8/09/0 al 9/06/06 7 B(6, 9) B (, 5) C(, ) C (, 60) Ripetiamo lo stesso ragionamento di prima applicato al triangolo A B C. Il punto medio del lato B C è D, di coordinate ( ) +, 5+60 = (8, 05/) e quindi la mediana passante per A (, 0) apparterrà al luogo geometrico dei punti (, y) del piano che soddisfano 05 y 0 = 0 8 che è la retta di equazione y = Il punto medio del lato A C è D di coordinate ( ) + = (8, 5) e quindi la mediana passante per B (, 5) apparterrà al luogo geometrico, 0+60 dei punti (, y) del piano che soddisfano y = 8 che rappresenta la retta di equazione y = 5 8 sistema + 0. Ora il baricentro è la soluzione del seguente y = y = Uguagliando i due termini di destra otteniamo = che, moltiplicando tutto per 56 = m.c.m.(8, 8), vediamo che è equivalente a 70 0 = e quindi si ha = Ora si deduce immediatamente che y = = e G (0/, 5/). Adesso è chiaro che (( 0 f (G) = f, )) ( = 0, 5 ) ( 0 =, 5 ) = G. 7. Per fissare le idee abbiamo rappresentato il triangolo oggetto di studio nella Figura.9. γ b a α c β Figura.9: Es. 7 del 7/9/0 Useremo varie volte il fatto che se [0, π] allora sin 0. Perciò, visto che abbiamo a che fare con angoli di ampiezza compresa tra 0 e π 5, in tutte le formule trigonometriche in cui il seno compare con segno ±, prenderemo automaticamente il segno positivo. Cominciamo subito adottando questa convenzione: 5 La somma degli angoli interni di un triangolo è π e quindi è chiaro che ogni angolo interno di un triangolo ha valore compreso in (0, π).

35 Soluzioni e svolgimenti dei temi assegnati dal 8/09/0 al 9/06/06 8 sin α = cos α = 5 = 5. Usando la formula di bisezione del seno otteniamo sin β = sin α cos α = = 0. Usando l identità sin (π ) = sin e la formula di addizione del seno otteniamo sin γ = sin(π α β) = sin(β + β) = cos β sin β + sin β cos β. Usando la formula di bisezione del coseno si ha + cos α 7 cos β = ± = ± 0 e quindi sin γ = ± 5 0. Il segno si può escludere perché < 0 e quindi si ha sin γ = = Ora applichiamo il teorema dei seni che dice che a sin α = b sin β = c sin γ ; da cui si deduce che a = c sin γ sin α = = 9, b = c sin γ sin β = = Osserviamo che y = t + t 5 = (t )( t + 5) = ( + ) = +. Si tratta di una parabola con la parte sopra il grafico concava con vertice V = (, ), asse = e intersezione con gli assi in (0, 0), (, 0). Il grafico è rappresentato nella Figura.0 Imponiamo a una generica retta y = m + q la condizione di dover passare per il punto (0, ) e così otteniamo il fascio di rette descritto da y = m + al variare di m R e = 0. (.) Ricordiamo che una retta a+by+c = 0 è tangente a una conica 6 a 0,0 +a 0, y+a 0, +a,0 y + a 0, y + a, = 0 se il sistema { a + by + c = 0 a 0,0 + a 0, y + a 0, + a,0 y + a 0, y + a, = 0 (.5) 6 Le coniche non degeneri sono le ellissi, le parabole e le iperboli.

36 Soluzioni e svolgimenti dei temi assegnati dal 8/09/0 al 9/06/ Y (0,) y= 0 y=8+ X Figura.0: Es. 8 del 7/9/0 ha due soluzioni coincidenti. 7 Una tale soluzione si dice con molteplicità. Altrimenti le soluzioni le chiamaremo semplici. Il sistema (.5) può avere anche una o nessuna soluzione. Si vede immediatamente che la retta = 0 interseca la parabola y = + nel punto di intersezione semplice (0, 0) e quindi non può essere una tangente. Ogni altra retta del fascio (.) interseca la parabola nei punti di soluzione del sistema { y = m + y = + (.6) La condizione di tangenza si traduce nel chiedere che il sistema abbia solo una soluzione ma con molteplicità due. Questo equivale a chiedere che l equazione m + = + + (m ) + = 0) ottenuta uguagliando i due termini di destra delle equazioni del sistema.6, abbia un unica soluzione. Ciò avviene se e solo se il discriminante di + (m ) + è nullo cioè = (m ) 6 = m 8m = 0 m = 0 o m = 8. Quindi le equazioni delle due tangenti sono y = e y = Prova scritta del 9/9/0. Riscriviamo ogni monomio in a come potenza di a Quindi vale a a a /5 a a a / a a a 5 a. a / a /5 a 5/ a / a / a / a 5/ a / a = a < a / = a < a /5 < a a < a a = a 5. 7 Per esempio l equazione = 0 ha una soluzione semplice =, invece = è una soluzione doppia dell equazione ( ) = 0.

37 Soluzioni e svolgimenti dei temi assegnati dal 8/09/0 al 9/06/06 0. La pendenza di una strada indica di quanti metri si innalza per ogni 00 metri di avanzamento in orizzontale. Quindi dire che una strada sale del 6% significa dire che percorrendola, ogni 00 metri percorsi in orizzontale, saliamo di 6 metri. Una salita è del 00% se per ogni 00 metri percorsi in orizzontale, saliamo di 00 metri. Cioè la strada forma con una retta orizzontale un angolo di π/ Figura.: pendenza del 6% e del 00%. Basta usare il prodotto notevole (a + b)(a b) = a b che vale per ogni coppia di numeri a e b. Quindi vale (a b) = (a b) = (a b)(a + b) = a b.. Nella figura A. è rappresentato il grafico della funzione f () = sin. Assegnata una funzione f (), il grafico della sua opposta { f () si ottiene riflettendo il grafico di f () rispetto all asse delle + sin se sin 0 ascisse. Dato che sin =, riflettendo la parte negativa di f () = sin, sin se sin < 0 otteniamo la Figura. che è il grafico di h() = sin y π/ π π/ π Figura.: sin() Infine sommare significa abbassare di il grafico di h() = sin e quindi si deduce che il grafico di g() = sin è quello rappresentato nella Figura.

38 Soluzioni e svolgimenti dei temi assegnati dal 8/09/0 al 9/06/ y 0 π/ π π/ π Figura.: sin() 5. 9y y y : + y 9y y = = 9y y y + 9y y(y ) y 9y y y (y ) 9y y y 6y = (y ) 6y 9y y(y ) = 6y( 6y + 9y ) 6y(y ) = ( 6y + 9y ) (y ) 6. (a) +. Il dominio è R \ {0}, cioè 0. Si ha la seguente identità tra frazioni algebriche + ( + ) = e nel dominio vale la seguente identità tra funzioni + = +. (b) ( 5)( ) Il dominio è D = R \ {5/, }. Se g() = , si calcola immediatamente che e g() = = 6 g ( ) 5 = = = 0. Quindi il teorema di Ruffini ci dice che il polinomio non è diviso da mentre è diviso da 5/. Con i seguenti semplici calcoli

39 Soluzioni e svolgimenti dei temi assegnati dal 8/09/0 al 9/06/ troviamo che // = ( 5 ) ( + 0 8) da cui deduciamo = ( 5)( + 5 ) = + 5. ( 5)( ) ( 5)( ) Tale identità tra funzioni razionali vale solo nel dominio di definizione D. 7. (a) = 6 +. Il dominio dell equazione è D = { R 0} { R 0} = [/, [. Infatti con / si ha che + > 0. Elevando tutto alla sesta otteniamo = +, da questo si deduce che = /. (b) sin ( + ) π = sin. Ricordiamo che sin α = sin β α = β + kπ o α = π β + kπ, per ogni k Z. (.7) Vedere la Figura A.. Sostituendo nella (.7) α con + /π e β con, si deduce che le soluzioni dell equazione (b) sono quelle tali che ( + ) π = + kπ oppure + π = π + kπ. Con semplici calcoli otteniamo = π + kπ oppure = π + k π. La situazione grafica è rappresentata dalla Figura.. (c) < +. Essendoci il valore assoluto sotto la radice quadrata, è sempre un numero reale ben definito e 0. Perciò bisogna porre la condizione + > 0 e quindi le soluzioni sono contenute nell insieme D = { R > } =], [. Bisogna però analizzare i due seguenti casi. Caso 0. Si verifica quando. In questa situazione la disequazione diventa < +. Perciò, elevendo tutto al quadrato, l insieme delle soluzioni sono tutte le [, ] tali che < + + che è equivalente a cercare le [, ] tali che + = ( + ) > 0. (.8) Essendo il coefficiente di in (.8) positivo e cercando valori positivi per +, otteniamo che in questo caso le soluzioni sono le tali che ]0, ]. Graficamente la situazione è descritta dalla Figura.5