Stesso valore medio per distribuzioni diverse

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Antonio Ricciardi
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1 Fonti e strumenti statistici per la comunicazione Prof.ssa Isabella Mingo A.A Stesso valore medio per distribuzioni diverse u i X 11 X 1 X 13 A 1 1 B 8 1 C 0 1 D E F Un uguale valore medio può sintetizzare distribuzioni molto diverse tra loro ell esempio le tre distribuzioni hanno la medesima media aritmetica, ma la tendenza di ogni unità ad assumere valori diversi dalla media è differente in ciascuna distribuzione M a.a

2 Variabilità o Dispersione Attitudine di un fenomeno ad assumere diverse modalità Caratteri quantitativi: variabilità e dispersione Caratteri qualitativi: mutabilità Misure di sintesi Indici di variabilità/dispersione Indici di mutabilità Caratteri quantitativi La variabilità/dispersione La variabilità o la dispersione di una distribuzione esprime la tendenza dei caratteri o dei fenomeni ad assumere differenti valori. Requisiti di un indice di variabilità-dispersione: Assume valore minimo se e sole se tutte le u.s. presentano la stessa modalità Positivo se c è variabilità o dispersione Aumenta all aumentare della diversità tra le modalità assunte dalle u.s. on cambia se le frequenze vengono moltiplicate per una costante positiva a.a

3 Indici di variabilità e dispersione Indici di variabilità reciproca La variabilità si misura considerando tutte le differenze tra le modalità della distribuzione presentate dalle u.s. prese due a due Differenze Medie Indici di dispersione rispetto ad un valore centrale La dispersione si misura con gli scarti tra le modalità presentate dalle u.s. e un indice di dimensione della distribuzione (M o Me) Varianza Scostamento (scarto) quadratico medio ella pratica i due termini vengono spesso usati come sinonimi Caratteri quantitativi Varianza E la media dei quadrati degli scarti dalla media aritmetica Si calcola sommando gli scarti elevati al quadrato e dividendoli per la numerosità della distribuzione. ( n 1 ( x M) La radice quadrata della varianza è la deviazione standard o scarto quadratico medio 3

4 Esempio: calcolo della varianza e dello scarto quadratico medio U.S. Temperatura Minima A 9 B - C 4 D -3 E - F 0 G 6 H 4 I -4 J 9 x M 1 X ) (x - M) (x - M) Osservazioni: x 1 M 1.1 Il numeratore della varianza è detto devianza L elevazione a quadrato trasforma tutte le differenze negative in positive e mette in maggiore risalto le differenze grandi rispetto a quelle piccole. La varianza non possiede la stessa unità di misura dei valori della distribuzione ( X ) X ) La radice quadrata della varianza è la deviazione standard o scarto quadratico medio. Ha la stessa unità di misura dei valori della distribuzione. Devianza - Varianza-Scarto quadratico medio Calcolo da una distribuzione unitaria Devianza M M Dev( X ) M 1 Varianza (non ha la stessa unità di misura del carattere) Var ( X ) M M 1 M Scostamento quadratico medio (deviazione standard) M M 1 M 4

5 Esempio: calcolo della varianza e dello scarto quadratico medio Distribuzione degli studenti di SDC frequentanti la facoltà nell a.a. 001/00 per umero di Corsi Frequentati um. Corsi n Freq Totale 83 7 x n (x -M ) (x -M ) n 5,57 1,85 0,13 0,41,69 6,97 13,5 83,55 79,55 13,39 3,80 86,08 55,76 6,50 377,63 83 K 7 7 n 1 M x M n ( Devianza - Varianza-Scarto quadratico medio Calcolo da una distribuzione semplice di frequenze Devianza 1 M n1 M n K M K Dev( n Varianza (non ha la stessa unità di misura del carattere) M n M n M 1 1 K nk Scostamento quadratico medio (deviazione standard) M n M n M 1 1 K nk 5

6 Proprietà della varianza e Var sono valori medi : forniscono il valor medio della dispersione dei valori assunti dalle u.s. rispetto ad un valore centrale della distribuzione Sono pari a zero se tutte le u.s. presentano la stessa modalità del carattere ha la stessa unità di misura del carattere è invariante per trasformazioni lineari x y ax b Y) a ( ( Y) a( Esempio: invarianza per trasformazioni lineari x y ax b M ( X ) M ( Y ) am ( X ) b X ) Y ) a X ) ( X ) ( Y ) a ( X ) X=Temperatura in Gradi Centigradi Y=Temperatura in Gradi Fahrenheit Temperatura Gradi Centigradi X U.S. M( 17.3 Temperatura Gradi Fahrenheit Y Trasformazione lineare Y 1.8X 3 a 1.8 b 3 M ( Y ) ( ) Var ( X ) Y) (1.8)

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