Il valore assoluto (lunghezza, intensita )

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1 Il valore assoluto (lunghezza, intensita ) = se 0 - se < 0 = 5 5-0, = 0 3, = 3 Il valore assoluto di un numero reale è quindi sempre un numero positivo. Geometricamente rappresenta la misura della distanza tra e 0 sulla retta dei numeri reali. ; 0 0 Più in generale, la distanza tra due punti sull asse R sarà denotata da - y = y - = 3 y = 7 = y = - - y se y - ( y) se < y = = Esempi: = = 6 cioè = -4 oppure - = 6 cioè = 8

2 Nota Bene : a < 3 Es. - a a (vale l'analogo con la diseguaglianza stretta) - < 3, < 0 > -3, < 0 (-3, 0) e quindi 0,3 < 3, 0 < 3, 0 [ ) cioè, ( 3,0) U [ 0,3) Analogamente = (-3,3) -3<<3 Es. a b Soluzione: a - b a + b ,, [ 3, + ) U (-,] = [ 3, ]

3 Geometricamente, interpretando il valore assoluto come distanza: 3 3( = = 3 ( quindi Significa che la distanza di da 3 non può superare 3. Risolvere i seguenti esercizi: ) - 0, ) 3 > 4 4 3) > + < 3-7 4) Esprimere sotto forma di frazione di interi i numeri razionali 0,, 3, 7 Esprimere il numero razionale in forma decimale. Svolgimento esercizi 3) e 4) Disequazione secondo grado > + 4 ) > 0-8 > 0 oppure ) < 0-8 < 0-8 = 0 = + = + 8 = = ) > 4, > 0 < - (4, + ) ; 3

4 ) < 0 (-,4) (,0) Quindi le soluzioni sono le (,0) U ( 4, + ). Valore Assoluto 3 7 < 3-7 < oppure < Quindi le soluzioni sono le [,3) U (, ]= (,3) Oppure, più velocemente, usando la proprietà del valore assoluto - < 3-7 < < 3 < < 3 <9 3 5 < < 3 9 =3 4

5 Capitolo Coordinate cartesiane nel piano, y assi coordinati, 0 origine. a coordinata di P b coordinata y di P P(a,b) punto del piano di coordinate a e b Sistema di coordinate cartesiane. Piano cartesiano Corrispondenza biunivoca tra punti del piano e coppie di coordinate (numeri reali). y II I III IV Nel primo quadrante e y hanno valori positivi Nel secondo quadrante sono negativi e y positivi Nel terzo quadrante sia che y sono negativi Nel quarto quadrante sono positivi e y negativi 5

6 -Richiami di trigonometria- Consideriamo una circonferenza di raggio r = e una coppia di assi cartesiani con l origine nel centro della circonferenza. La lunghezza dell arco AP è per definizione la misura in radianti dell angolo AÔP = t. Quindi la lunghezza di una semicirconferenza π è la misura in radianti dell angolo 80, π / sarà la misura in radianti di un angolo retto (90 ), π corrisponderà a 360 etc Definizione: t R si definiscono cos t = coordinata del punto P sen t = coordinata y del punto P OQ = cost PQ = sent 6

7 essendo r =, risulta - cos t, - sen t cioè cos t, sen t Essendo OP=, dal Teorema di Pitagora, si ha l identità notevole: sen t + cos t = t R Risulta: A(,0) cos0 =, sen0 = 0, C(-,0) cosπ = -, senπ = 0 B(0,) cos π = 0, sen π = 3 D(0,-) cos π = 0, sen π = - 3 cosπ = cos0 =, Gli angoli crescono in senso antiorario e decrescono in senso orario. Alcuni valori utili sen 6 π =, cos 6 π = 3 π π sen = cos = 4 4 7

8 sen 3 π = 3, cos 3 π = Definizione di tangente OB = I triangoli OPA e OTB sono simili (rettangoli) perché hanno tre angoli uguali e quindi TB OB PA sen t = OA cos t = TB = sen t cos t tan t tangente di t Nota che OB:OA =OT:OP OB = OT cos t cioè, il cateto OB è uguale all ipotenusa OT per il coseno dell angolo adiacente. In generale, si ha che in ogni triangolo rettangolo valgono le relazioni BA = OB senα OA = OB cosα BA = OA tanα OA = OB sen β = OB cosα 8

9 Inoltre valgono le seguenti relazioni per la somma o differenza tra angoli sen( β ± α) = sen β cosα ± cos β senα cos( β ± α) = cos β cosα m sen β senα π π e quindi OA=OBsen β =OBsen [π - ( + α )]=OBsen( +α )= = OB(sen π cosα +cos π senα )= OBcosα Esempio π Determinare OA e AB se OB= e α = 3 π π 3 OA=cos = =, AB=sen = = Verifica : OA + AB = +3 = 4 = OB ELEMENTI DI GEOMETRIA NEL PIANO Distanza fra due punti P(, y ) e Q(, y ) 9

10 Denotiamo con = l'incremento della variabile e con y = y y quello della variabile y che si ottiene nel passare dal punto P(, y ) al punto Q(,y ). Dal teorema di Pitagora si ha: Esempi: PQ = ( ) + y) = ( ) + (y y ) ) Una particella si muove dal punto P(3,) al punto Q(-,-). trovare gli incrementi e y e la distanza da P a Q. = -- 3 = -4, y = - - = - 4 PQ = = 3 = 4 ) Trovare la distanza di P(, y) dall origine 0(0, 0) PO = + y Retta passante per i punti P e P con y > y e > P P Pendenza, m, positiva : m = y y = y > 0 la retta sale verso destra 0

11 Pendenza, m, negativa, y < y, > la retta discende verso destra m = y y = y < 0 y < y NOTA BENE : m ha lo stesso valore per qualunque coppia di punti scelti sulla retta Esempio La pendenza della retta che passa per P (-, ) e P (,) è m = + = Inclinazione: angolo Φ misurato in senso antiorario a partire dalla direzione positiva dell asse, 0 o o Φ 80

12 La pendenza di una retta verticale è indefinita essendo una retta verticale è 9O o. L'inclinazione di una retta orizzontale è di O o. = O, ma l'inclinazione di Dalla definizione di tangente data precedentemente si ha : y senφ m = = = tanφ cosφ ( m viene anche chiamato coefficiente angolare della retta) Rette parallele: stessa inclinazione e quindi stessa pendenza m = m Rette ortogonali : m = - m' (reciproco negativo l'una dell'altra) π

13 Equazioni delle rette. = b, y R equazione della retta verticale passante per P(b, 0) y = a, R equazione della retta orizzontale passante per P(0, a) Equazione della retta non verticale, L, passante per P(, y ) e pendenza m P(,y ) P(,y) Dalla definizione della pendenza m, si ha che P(, y) L m = y - y - y= m(- ) + y y = m + q, con q= y m equazione esplicita della retta Cioè, conoscendo m e le coordinate di un punto sulla retta possiamo scrivere l'equazione della corrispondente retta. 3

14 Se invece conosco le coordinate di due punti allora posso calcolare m e quindi l equazione di una retta passante per due punti assegnati, P e P, sarà: y y y = ( - ) + y essendo m = y y Esempio: trovare l equazione della retta con pendenza - e passante per il punto (,4). y = y -4 = - (-) y = - +6 GRAFICO = 0 y = 6 intercetta con l asse y y = 0 = 3 intercetta con l asse y P (,4) e P (,) sono sulla retta 4 4

15 Equazione implicita della retta. A + By = C Esempio: trovare la pendenza della retta 3 + 4y = e disegnare il grafico. Soluzione: 4y = -3 + y = 3 + y = , quindi m = Esempio: La relazione tra gradi Fahrenheit (F) e gradi Celsius (C) per misurare la Temperatura è data da una relazione lineare, cioè da una equazione lineare della forma F = mc + b. Il punto di congelamento dell acqua è C = 0 C e F = 3 F. Il punto di ebollizione è F = F e C = 00 C (a pressione ambiente) Trovare m. QUINDI 3 = m 0 + b, = 00 m + b b = 3, m = 3 00 = 5 9 F = 5 9 C + 3 oppure C = 9 5 (F 3) equazioni che consentono di convertire i gradi F in C e viceversa. 5

16 Esercizi: ) Una particella arriva nel punto (-, -) dopo che le sue coordinate hanno subito gli incrementi = -5 e y =. Da dove è partita? )Disegnare nel piano FC il grafico di C = 5/9 (F -3) e sullo stesso grafico disegnare la retta C = F. esiste una temperatura per la quale C e F sono uguali? 3)Trovare l intercetta y della retta passante per i punti (,) e (3,-). 4)Trovare i punti di intersezione delle rette 3 + 4y = -6 e 3y = 3. 5)Trovare le equazioni delle rette passanti per P(,) che siano a) Parallela a y = + b) Perpendicolare a y = +. 6