Capitolo 3 La torsione Sollecitazioni semplici: la torsione

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1 Capitolo 3 La torsione Sollecitazioni semplici: la torsione

2 Definizione Un elemento strutturale è soggetto a sollecitazione di torsione quando su di esso agiscono due momenti uguali ed opposti giacenti su un piano perpendicolare all asse longitudinale della trave. In pratica, si può avere torsione anche se agisce una sola coppia allorquando l elemento è vincolato. Infatti alla coppia applicata, si oppone quella prodotta dalla reazione dei vincoli Dunque, in definitiva la trave risulta soggetta a due momenti uguali ed opposti (T e T ) normali all asse longitudinale della struttura (in questo caso la barra)

3 Qualche esempio... l F

4 Deformazioni torsionali Alla coppia torcente T si oppone generalmente quella prodotta dalla reazione dei vincoli. In definitiva l elemento risulta essere soggetto a due momenti uguali ed opposti che tendono a far ruotare una sezione rispetto alla precedente per cui l ultima sezione, distante L dalla prima, risulterà ruotata di un angolo (Φ). TL φ = GJ T= coppia torcente, L=lunghezza barra, G=modulo di elasticità trasversale (per l acciaio G=0.385 E), J p =momento di inerzia polare della sezione Una generatrice del cilindro (AB) si deforma secondo un arco di elica cilindrica poiché l estremo A si sposta in A. Una fibra interna, parallela alla generatrice, subisce lo stesso tipo di deformazione ma di entità minore poiché è più vicina al centro. p

5 Sollecitazioni torsionali Espressione generale Valore massimo Gli scorrimenti dei singoli punti di una generica sezione (normale all asse) sono funzione della loro distanza dal centro e lo stesso potrà dirsi della tensione interna che sarà di tipo tangenziale (τ), massima alla periferia e caratterizzata a diminuzione con legge lineare sino al valore zero, che si ragiunge in corrispondenza del centro. Queste conclusioni sono esatte solo per sezioni circolari piene o cave, infatti, in questi casi, le sezioni rimangono piane.

6 Sollecitazioni torsionali I momenti di inerzia polari per le sezioni circolari piene e cave valgono rispettivamente: J p = π D 32 4 J p = π ( 4 4 D d ) 32 Sezione piena Sezione cava E quindi risulta per esempio per la sezione piena: τ ( D ) M 2 32M D 16M 5M π D 2π D π D D 32 = t = t = t t max

7 Un esempio Per l albero cavo mostrato in figura, sottoposto ad un momento torcente pari a 2400 Nm, determinare a) la massima tensione tangenziale b) il diametro di un albero pieno nel quale la massima tensione tangenziale è la stessa ottenuta al punto a)

8 Nel corpo umano... Il corpo umano si trova spesso soggetto all azione di sollecitazioni torsionali. La colonna vertebrale, per esempio, consente di effettuare movimenti torsionali, limitati dall azione di muscoli e strutture tendinee/legamentose. Queste devono essere in grado di resistere alla sollecitazione esterna, contrastandola con un momento torcente uguale e contrario affinché sia ripristinato l'equilibrio. Momento torcente massimo sopportabile in funzione del diametro dell osso Momento torcente massimo sopportabile in funzione della sezione resistente

9 Nel corpo umano... L articolazione di ginocchio è frequentemente interessata da traumi distorsivi provocati da eccessive sollecitazioni torsionali. Nei casi più gravi, si osservano lesioni dei legamenti crociati, che sono quelli che assicurano la stabilità e la rotazione dell articolazione

10 Un esempio (corpo umano) Fratture spiroidi da torsione

11 Un esempio (corpo umano) Segmento scheletrico Momemto Torcente Terminale T t (N m) Angolo di frattura Φ t (gradi) Femore Tibia Fibula Omero Radio e Ulna Vertebra Cervicale 5 38 Vertebra Lombare 44 15

12 Un esempio (corpo umano) Frattura per torsione della tibia in uno sciatore T t = 140 N m = F d d = 1 m F = 140 N φ t = 3.5 d F spostamento della punta di cm 2π = 6.1 cm!! 360 (sgancio da allacciamenti di sicurezza) Conversione gradi-radianti

13 Altri esercizi Nell asta di ottone AB la tensione ammissibile è di 50 MPa, mentre per l asta di alluminio BC il valore scende a 25 MPa. Sapendo che all asta è applicato un momento torcente di 1250 Nm in A, determinare i diametri necessari per le due aste.

14 Altri esercizi Alluminio Acciaio L albero AB è costruito in acciaio con tensione tangenziale massima ammissibile pari a 90 MPa, mentre l albero BC è realizzato in alluminio, con tensione tangenziale massima ammissibile pari a 60 MPa. Sapendo che il diametro dell albero BC è pari a 50 mm determinare a) La massima coppia torcente che può essere applicata in A se non si deve superare la sollecitazione ammissibile nell albero BC b) Il corrispondente diametro dell albero AB

15 Capitolo 3 La torsione Sollecitazioni semplici: trazione-compressione

16 Effetti di un carico di trazione Δ

17 Effetti di un carico di trazione

18 Sforzi e deformazioni

19 Sforzi e deformazioni

20 Sforzi e deformazioni