1. equivalenze e implicazioni logiche. Esercizio 1.2. Trovare le implicazioni che legano i seguenti enunciati (x, y R):

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1 . equivalenze e implicazioni logiche Esercizio.. Trovare le implicazioni che legano i seguenti enunciati (x, y R): () x < y, () x = y, () x y, () x y, () (x y) > 0. Osserviamo subito che (x y) > 0 equivale a dire che (x y) 0, cioè x y 0 ovvero x y. Ovvero gli ultimi due enunciati sono equivalenti. Detto questo ovviamente se x < y non sarà uguale e viceversa se x = y non sarà minore, quindi non c è nessuna implicazione e in più possiamo dire che la congiunzione ( ) tra le due è sempre falsa. È vero invece che se x < y sicuramente x y cioè x < y x y e altrettanto vale se x = y (x = y x y). Infine mentre () e () (e equivalentemente ()) sono una la negazione dell altra, si ha che se x < y allora x y (il viceversa in generale può non essere vero visto che se x y potrebbe anche essere che x è maggiore di y). Esercizio.. Trovare le implicazioni che legano i seguenti enunciati (x, y R): () x = y, () x = y, () x = y, () x = y, () x = y, () x = y.. insiemi Esercizio.. Abbiamo osservato che per l unione e intersezione di insiemi valgono le cosidette proprietà commutative ovvero: A B = B A e A B = B A Provare le seguenti altre uguaglianze insiemistiche che valgono qualsiasi siano gli insiemi A e B: } A (B C) = (A B) C leggi associative A (B C) = (A B) C } A (B C) = (A B) (A C) leggi distributive A (B C) = (A B) (A C) A B = A B A B = A B } leggi di De Morgan In questo caso proponiamo di seguito al testo dell esercizio la soluzione per illustrare praticamente per la prima volta alcuni metodi per stabilire relazioni tra insiemi che poi saranno utili anche per la risoluzione di altri esercizi. Vediamo come dimostrare la proprietà distributiva dell intersezione rispetto all unione in diversi modi (le altre sono lasciate al lettore):

2 () Consideriamo un elemento x appartenente all insieme A (B C). x deve appartenere ad A e a B C. Quest ultima condizione equivale al fatto che x B o x C (dove l o non esclude il fatto che appartenga ad entrambe). Nel primo caso, dovendo comunque x appartenere ad A, x A B, nel secondo caso x A C, ovvero x deve appartenere ad A B o A C (non escludendo che appartenga ad entrambi). Quindi x appartiene ad (A B) (A C). Abbiamo cioè mostrato che un generico elemento di A (B C) appartiene a (A B) (A C), cioè abbiamo mostrato la seguente inclusione: (A B) (A C) (A B) (A C) Se mostriamo l inclusione inversa, abbiamo mostrato l uguaglianza tra i due insiemi. Consideriamo dunque x elemento di (A B) (A C), cioè x (A B) o x (A C) non escludendo che appartenga ad entrambe. Nel primo caso x appartiene ad A e a B, nel secondo x appartiene ad A e a C, quindi x è sicuramente un elemento di A e inoltre deve essere un elemento di B o di C (non escludendo che lo sia di entrambi), cioè di B C. Abbiamo mostrato che un generico elemento x di (A B) (A C) appartiene ad A e a B C, cioè è un elemento di A (B C), cioè abbiamo mostrato che: (A B) (A C) A (B C) Le due inclusioni dimostrano l uguaglianza. () Si può provare l uguaglianza tra i due insiemi provando l equivalenza logica tra le proposizioni che li caratterizzano: A (B C) = {x x A (x B x C)} (A B) (A C) = {x (x A x B) (x A x C)} L uguaglianza tra i due insiemi segue dalla proprietà distributiva del rispetto al dimostrata in logica proposizionale. () Proviamo ad usare i diagrammi di Venn. Consideriamo il seguente diagramma: U A 7 B 8 C In questo caso vogliamo provare un uguaglianza che valga per qualsiasi terna di insiemi A, B, C quindi il diagramma che considereremo dovrà tener conto di questa generalità. L idea è che questo diagramma può essere rappresentativo di tutte le possibili combinazioni tra A, B e C se si stabilisce che alcune zone delimitate possano essere anche vuote (per esempio se consideriamo nell insieme universo degli interi l insieme A dei numeri pari,

3 l insieme B dei numeri dispari e l insieme C dei numeri maggiori di 0 significherà che le zone, e sono vuote). L osservazione importante è che abbiamo suddiviso l insieme universo in 8 regioni che rappresentano tutte le possibilità per un elemento x dell insieme universo ovvero: x può non essere in nessuno dei tre insiemi (zona, che potremmo scrivere anche A B C), x può appartenere ad A e a nessuno degli altri due insiemi (zona, A\(B C)), x può appartenere sia ad A che a B ma non a C (zona, (A B)\C), x può appartenere a B e a nessuno degli altri due insiemi (zona, B\(A C)), x può appartenere a tutti e tre gli insiemi (zona, A B C), x può appartenere sia ad A che a C ma non a B (zona, (A C)\B), x può appartenere sia a B che a C ma non a A (zona 7, (B C)\A), x può appartenere a C e a nessuno degli altri due insiemi (zona 8, C\(A B)). A questo punto tratteggiamo le parti corrispondenti ai due insiemi considerati e se troviamo che hanno la stessa rappresentazione abbiamo mostrato l uguaglianza tra i due insiemi. Facciamo un passo alla volta, l insieme B C comprende le parti,,,, 7, 8 e l insieme A comprende le parti,,,. Per rappresentare l insieme A (B C) dobbiamo tratteggiare le parti comuni degli insiemi A e B C ovvero le parti,,. L insieme A B comprende le parti, e l insieme A C comprende le parti,. Per rappresentare l insieme A (B C) dobbiamo unire le parti tratteggiate per A B e A C ovvero dobbiamo tratteggiare le parti,,. La rappresentazione degli insiemi A (B C) e A (B C) è quindi identica nel diagramma di Venn, perciò i due insiemi sono uguali. () La precedente costruzione grafica può essere codificata in un algoritmo che tra l altro ha il vantaggio di ricordare molto da vicino le tavole di verità della logica proposizionale. Si tratta di considerare tutti gli insiemi coinvolti nell uguaglianza da dimostrare (nel nostro caso : A, B, C) e come prima tutte le eventualità possibili per un elemento x dell insieme universo U. In generale per ogni insieme x può appartenere o no all insieme quindi i casi possibili sono n dove n è il numero di insiemi coinvolti nell uguaglianza (nel nostro caso come visto i casi possibili sono = 8). Costruiamo una tabella, detta tavola di appartenenza, sulla cui prima riga riportiamo tutti gli insiemi che andremo a considerare e sulle altre 8 righe rappresenteremo gli 8 casi possibili per un elemento x. In questa tabella il simbolo 0 significherà che x non appartiene all insieme sulla stessa colonna dello 0, mentre il simbolo significherà che x appartiene a tale insieme. Innanzitutto codifichiamo gli 8 casi possibili (per esercizio osservare a quali zone del diagramma di Venn precedente corrispondono i vari casi): È evidente che l ordine di elencazione dei vari casi è del tutto indifferente, ciò che conta è considerarli tutti.

4 A B C significa che x non appartiene a nessuno dei tre insiemi 0 0 significa che x appartiene a B ma non agli altri due insiemi 0 0 significa che x appartiene a C ma non agli altri due insiemi 0 significa che x appartiene a B e a C ma non ad A 0 0 significa che x appartiene ad A ma non agli altri due insiemi 0 significa che x appartiene ad A e a B ma non a C 0 significa che x appartiene ad A e a C ma non a B significa che x appartiene a tutti e tre gli insiemi Ora si tratta di studiare nei vari casi se x appartiene agli insiemi A (B C) e (A B) (A C) procedendo un passo alla volta. Partiamo dall insieme B C, x appartiene a questo insieme se appartiene a B o a C (dove o non è esclusivo, cioè x può appartenere anche ad entrambi), quindi se aggiungiamo una colonna con l insieme B C avremo 0 quando sia nella colonna di B che di C appare 0 (sono i casi in cui x non appartiene né a B né a C) e in tutti gli altri casi. Costruita la colonna di B C possiamo costruire la tavola di appartenenza di A (B C) infatti in questa colonna avremo solo quando l elemento appartiene sia ad A che a B C, cioè quando in entrambe le colonne di A e di B C c è un e 0 in tutti gli altri casi. Riassumendo i passaggi descritti abbiamo la seguente tavola: A B C B C A (B C) Prima di andare avanti osserviamo che la tavola di appartenenza dell insieme A (B C) restituisce il valore in tre casi su otto, questi tre casi corrispondono alle tre zone individuate precedentemente con il diagramma di Venn. A questo punto si tratta di costruire la tavola di appartenenza dell insieme (A B) (A C) passando prima per quelle di (A B) e (A C): A B C B C A (B C) A B A C (A B) (A C)

5 L uguaglianza tra la colonna di A (B C) e quella di (A B) (A C) significa che in tutti i casi possibili per un elemento x dell insieme universo, x appartiene ad A (B C) se e solo se x (A B) (A C), cioè i due insiemi sono uguali. Osservazione.. È evidente l analogia tra la tavola di appartenenza tra insiemi e le tavole di verità del calcolo proposizionale. Questa analogia non è casuale, ma segue dal significato della codifica proposta dalla tavola di appartenenza. Abbiamo detto che i simboli e 0 nella colonna di un insieme A codificano rispettivamente le proprietà x A e x / A. Allora l analogia deriva dal fatto che l intersezione tra due insiemi A B è l insieme degli elementi che verificano la proprietà x A e x B. Lo stesso discorso può essere fatto per unione, differenza e complemento insiemistici. Esercizio.. Siano A, B, C tre insiemi di cui si sa che: () A C = B C () A C = B C Con queste informazioni si può concludere che A = B? Partiamo dal presupposto che un elemento x qualsiasi ha 8 ( ) possibilità diverse di appartenenza rispetto ad A, B, C: () x non appartiene a nessuno dei tre insiemi. () x appartiene ad A ma non a B e a C. () x appartiene sia ad A che a B ma non a C. () x appartiene a B ma non ad A e a C. () x A, x B, x C (cioè x appartiene all intersezione dei tre insiemi). () x appartiene ad A e C ma non a B. (7) x appartiene a B e a C ma non ad A. (8) x appartiene a C ma non ad A e B. Possiamo visualizzare questa situazione con un grafico: Ovviamente non è detto, in U A 7 B 8 C generale, che queste zone non siano vuote. Sicuramente non ci sono altre possibilità per un elemento x. Le ipotesi ci dicono che A C cioè la zona comprendente, è uguale alla zona B C ovvero, 7. Questo è possibile solo se e 7 sono vuote (questa è l implicazione della prima ipotesi che abbiamo su A, B, C). Analogamente il fatto che A C (ovvero la zona unione di,,,, 7, 8) sia uguale a B C (ovvero la zona unione di,,,, 7, 8) ci dice che sono vuote le zone e. Ovvero gli elementi di

6 A possono stare solo in e che sono parti in comune con B e viceversa anche gli elementi di B possono stare solo nelle zone e in comune con A, cioè A = B. Si poteva arrivare alla stessa conclusione osservando che preso un qualsiasi elemento x di A se appartiene anche a C allora appartiene ad A C = B B, cioè appartiene anche a B. Se invece non appartiene a C appartiene comunque ad A C = B C, questo, sapendo che x non appartiene a C ci dice che x appartiene a B. Ovvero ogni elemento di A appartiene anche a B, cioè A B. Simmetricamente (come le ipotesi del problema) si dimostra che B A, cioè A = B. Esercizio. (7 giugno 007). Si trovino degli insiemi A, B, C di numeri naturali che verifichino entrambe le seguenti condizioni: () A B C ha tre elementi. () (A B C) (A B C) ha dieci elementi. Consideriamo il disegno visto nell esercizio precedente: Quello che vogliamo è sce- U A 7 B 8 C gliere tre insiemi in modo che nella zona (ovvero quella corrispondente a A B C) ci siano elementi. E che nella zona comprendente,,,, 7, 8 ci siano 0 elementi. A questo punto il più è fatto basta scegliere A e B con almeno elementi in comune (conviene sceglierne esattamente per non complicarsi troppo la vita, in ogni caso basterebbe che gli elementi in più fossero nella zona ovvero appartenessero anche a C). Scegliamo per esempio A = {,,, } B = {,,, }. A questo punto basta scegliere C con qualche accortezza: ovvero che,, che non vogliamo stiano nella zona non vi appartengano e che il totale degli elementi distinti di A, B e C sia 0. Per esempio C = {,, 7, 8, 9, 0}.