Proprietà delle funzioni. M.Simonetta Bernabei & Horst Thaler

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1 Proprietà delle funzioni M.Simonetta Bernabei & Horst Thaler

2 Funzioni crescenti e decrescenti Una funzione f è crescente in (a, b) se f ( 1 ) f ( ) quando 1 <. Una funzione f è decrescente in (a, b) se f ( 1 ) f ( ) quando 1 <. Crescente Decrescente Crescente

3 Estremi di una funzione Una funzione f definita su un intervallo [a, b] ha un massimo in = c in [a, b], chiamato ma f, se f ( ) f ( c) per ogni in [a, b]. Una funzione f definita su un intervallo [a, b] ha un minimo in = d in [a, b], chiamato min f, se f ( ) f ( d) per ogni in [a, b]. ma f a b c d min f

4 Funzioni monotone Definizione: Una funzione f si dice monotona crescente se è sempre crescente. Definizione: Una funzione f si dice monotona decrescente se è sempre decrescente. Definizione: Una funzione f si dice strettamente monotona se è strettamente crescente (vale il segno < invece di ) o strettamente decrescente (vale il segno > invece di ).

5 Esempio: la funzione lineare e monotona (strettamente) crescente o Monotona decrescente = 5 3 In generale una retta ha equazione: = m + q Dove m è il coefficiente angolare e q è intercetta ( 1, 5) decrescente (, 0)

6 Esempio: funzione costante = c, c R Ad esempio () = 3. Trovare il dominio, l immagine. E invertibile? Soluzione: Il dominio é (, ). L immagine è { 3}. La funzione costante non è invertibile. Retta orizzontale (0, 3)

7 Esempio. Retta verticale = c, c R = 3. E una funzione? Trovare il dominio, il codominio. Il dominio di questa relazione, che non è una funzione, è { 3}. ( 3, 0) Il codominio è (, ). 3 Retta verticale

8 Funzioni Limitate Una funzione f: A R R si dice superiormente limitata se la sua immagine f(a) è un sottoinsieme di R superiormente limitato. Una funzione f: A R R si dice inferiormente limitata se la sua immagine f(a) è un sottoinsieme di R inferiormente limitato. Una funzione f: A R R si dice limitata se lo è superiormente e inferiormente.

9 Funzione quadratica o parabola: Dominio? R Immagine? [0, ) E monotona? No. E decrescente per <0 e crescente per >0. In =0 c e un minimo E invertibile? no E limitata? inferiormente =

10 Caso simmetrico: = Dominio? R Immagine? (, 0] E monotona? No. E crescente per <0 e decrescente per >0. In =0 c e un massimo E invertibile? no E limitata? superiormente

11 Caso generale: Se a, b e c sono numeri reali con a 0 la funzione f () = a + b + c é chiamata funzione quadratica. Il suo grafico è una parabola. Ogni parabola è simmetrica rispetto ad un asse chiamato asse di simmetria. IL punto di intersezione tra la parabola e l asse è chiamato vertice della parabola. f () = a + b + c vertice Asse di simmetria Copright b Houghton Mifflin Compan, Inc. All rights reserved. 11

12 a > 0 concavità verso l alto Il vertice è minimo Il vertice è il massimo a < 0 concavità verso il basso f() = a + b + c f() = a + b + c

13 Funzioni pari e dispari Definizione: Una funzione f: R R si dice pari se f = f, R. Definizione: Una funzione f: R R si dice dispari se f = f, R.

14 Esempio. Funzione potenza = a n, a > 0, n naturale pari E una funzione pari f = f( ) Cresce per >0 e decresce for <0 f(-) f() -

15 Funzione potenza = a n, a > 0, con n naturale dispari E una funzione dispari f = f( ) Cresce per ogni - f() f(-)

16 Funzione potenza = a p, a > 0, p > 0 razionale = 7 = 5 = 3 = 3 Dominio: {>0} E invertibile? sì = 1 = = 1 3 = 3

17 Iperbole = 1 Dominio D ε R 0 Il punto è singolare

18 Funzioni periodiche Definizione: Una funzione f: A R R si dice periodica se esiste T > 0 tale che, per ogni A, si ha: + T A ed inoltre f + T = f. Il più piccolo T per cui vale la relazione sopra è detto periodo della funzione.

19 Esempio. Funzione seno. Per tracciare il grafico della funzione seno = sen localizziamo dei punti strategici. Sono i punti di massimo, minimo e le intersezioni con l asse delle sen Un singolo ciclo è chiamato periodo π sen E una funzione invertibile? no

20 Esempio. Funzione coseno. Per tracciare il grafico della funzione coseno = cos localizziamo dei punti strategici. Sono i punti di massimo, minimo e le intersezioni con l asse delle cos 0 1 In rosso è tracciato il periodo π = cos E una funzione invertibile? no

21 Esempio. Funzione tangente. sen La funzione tangente = tan è definita tan. cos Nei valori in cui cos = 0, la funzione tangente non è definita. Proprietà di = tan 1. dominio : tutti i reali k k. immagine: (, +) 3. periodo: E invertibile? no E monotona? no E limitata? no 3 periodo: 3

22 Esempio. Funzione cotangente. cos La funzione cotangente = cot è definita cot. sen Nei valori in cui sen = 0, la funzione cotangente non è definita. Proprietà di = cot 1. dominio : tutti i reali k k cot. immagine: (, +) 3. periodo: 3 3 E invertibile? no E monotona? no E limitata? no periodo: 0

23 Funzione inversa del seno. Affinchè una funzione ammetta inversa, dve essere una funzione iniettiva e soddisfare il Test della linea orizzontale. f() = sen non verifica il Test della linea orizzontale Affinchè esista la funzione inversa dobbiamo considerare una sua restrizione. 1 = sen 1 sen ammette una funzione inversa in questo intervallo.

24 Restrizione di una funzione Definizione: Una funzione f: A R R e un sottoinsieme B A, si dice restrizione di f a B una funzione g: B R R tale che g = f, B.

25 La funzione inversa del seno è definita da = arcsen se e solo se sin =. Angolo il cui seno è Il dominio di = arcsen è [ 1, 1]. Il codominio di = arcsen è [ /, /]. Esempio: a. arcsin 1 6 b. sin sin 3 3 Questo è un altro modo di scrivere arcsen.

26 Per ottenere il grafico si riflette il grafico della funzione seno rispetto alla bisettrice del I quadrante. 1,,1 a 3, 3 3, 3 a 4,, 4 a ) ( ) ( 1 sen e arcsen = arcsin() = sin()

27 Grafici di sen ed arcsen

28 Funzione inversa del coseno. f() = cos deve essere ristretta in modo che ammetta funzione inversa. 1 = cos 1 cos ha una funzione inversa su questo intervallo.

29 La funzione inversa del coseno è definita da = arccos se e solo se cos =. Angolo il cui coseno è Il dominio di = arccos è [ 1, 1]. Il codominio di = arccos è [0, ]. Esempio: a.) arccos b.) cos cos Questo è un altro modo di scrivere arccos.

30 Funzione inversa del coseno. Scegliamo una restrizione del coseno in modo che ammetta funzione inversa. Ad esempio la zona delimitata dal riquadro rosso sotto. In questo modo il dominio della funzione inversa diventa [-1,1], mentre l immagine [0, π] = cos() = arccos() 5/6 /3 /3 /3 /3 /3 4/3 5/3 / /3 /6

31 Funzione inversa della tangente. f() = tan deve essere ristretta affinchè ammetta inversa. = tan 3 3 tan ammette funzione inversa su questo intervallo.

32 La funzione inversa della funzione tangente è definita da = arctan se e solo se tan =. Esempio: 3 a.) arctan 3 1 b.) tan 3 Angolo la cui tangente è Il dominio di = arctan è. L immagine di = arctan è [ /, /]. 6 3 tan 3 3 (, ) Questo è un altro modo di scrivere arctan.

33 Come per la funzione seno il dominio che genera la funzione inversa è,. =tan() Funzione inversa della tangente. 4 / 3 =arctan() /4 / /4 /4 / /4 D 3 / 4 D, e Cod,, e Cod,

34 arcsen() arccos() arctan() Dominio Codominio 0

35 Altre funzioni speciali: Funzioni esponenziali E monotona? sì E invertibile? sì E limitata? inferiormente Immagine: (0, ) (0, 1) Dominio: (, ) Il grafico di f() = a, a > 1

36 Il grafico di f() = a, 0 < a <1 E monotona? sì E invertibile? sì E limitata? inferiormente (0, 1) Immagine: (0, ) Dominio: (, )

37 Il grafico di f() = e f()

38 Funzione logaritmo Per 0 e 0 a 1, = log a se e solo se = a. La funzione definita da f () = log a è chiamata funzione logaritmo con base a. Ogni equazione logaritmica ha una corrispondente equazione esponenziale: = log a is equivalent to = a Il logaritmo è un esponente! La funzione logaritmo è l inversa della funzione esponenziale. Funzione esponenziale: = a Funzione logaritmica: = log a è equivalente a = a

39 Funzione logaritmo Poichè la funzione logaritmo è la funzione inversa della funzione esponenziale con la stessa base, il suo grafico è la riflessione del grafico della funzione esponenziale rispetto alla retta =. = = (1, 0) = log Inters. con E monotona? sì E invertibile? sì E limitata? no

40 Grafici della funzione logaritmo a>1 0<a<1 f ( ) log Es. 3 f ( ) log 1/ (0, 1) (0, 1) (1,0) (1,0) log 3 log 1/ 3

41 Esercizi 1. Trovare il campo di esistenza delle seguenti funzioni: f = arcsen ; [[ 1, 1]] f = 1 ; [ 1 o < 0 ] f = 4 ; [ ] f = log 4 + ; [ > ] f = log 4 9 ; [ 3 < < 0 o > 3] f = e 4 ; [ 0]

42 . Trovare il campo di esistenza delle seguenti funzioni: f = arctan ; [ 1 3 ] f = arcsen Esercizi + 3 ; [ 1 5 ] f = 5 ; [ 5 o < 5] f = cos +1 9 f = log 1 f = e 4 ; [R] ; [ ±3] ; [ 1 < < 0 o > 1]

43 Esercizi 3. Stabilire se le seguenti funzioni sono pari o dispari: f = + 1 [pari] f = + ; [pari] 4 f = 3 ; [dispari ] f = + ; [dispari] f = + ; [né pari né dispari]