I quadrati sono 5. Esercizio pagina 198 numero 119 Calcola la misura del perimetro dell'area del trapezio in figura

Transcript

1 Considera il piano cartesiano. Quanti sono i quadrati aventi un vertice in (-1;-1) e tali che uno degli assi coordinati sia asse di simmetria del quadrato stesso? I quadrati sono 5 Esercizio pagina 198 numero 119 Calcola la misura del perimetro dell'area del trapezio in figura

2 Si ha che A( 7;3) B(3;3) C (3;8) D( 4 ;8) AB= 3 ( 7) =10 CD= 3 ( 4) =7 BC = 8 3 =5 AD= ( 4+7) +(8 3) = 9+5= 34 A ABCD = ( AB+DC) BC = (10+7) 5 = 85 p ABCD = AB+BC+CD+ AD= = Dimostriamo che il triangolo CMB è isoscele sulla base BC A tal fine, prolunghiamo il segmento CM fino a incontrare nel punto E il prolungamento di AB. Il triangolo EBC è rettangolo in B MC è congruente a MB perchè raggio della semicirconferenza in cui EMC è inscritto. Sappiamo che il triangolo EBC è equivalente al trapezio ABCD perchè le due figure sono equidecomponibili. Di conseguenza

3 e A MBC = BC MH A ABCD =A EBC = EB BC Ma per la similitudine dei triangoli ECB e MHC è EB= MH quindi A ABCD =A EBC = EB BC = MH BC = A MBC Esercizio pagina 198 numero 13 Un triangolo ha vertici A(-3;) e B(5;) di area A=16. Trova le coordinate del terzo vertice C, sapendo che appartiene al semiasse delle coordinate positive. Determina poi le coordinate del circocentro del triangolo e il raggio della circonferenza circoscritta.

4 Indichiamo con C(0,y) le coordinate del terzo vertice. Deve essere siccome A= AB CH =16 AB=5 ( 3)=8 allora CH = y 8 ( y ) =16 con y>. Per x= il triangolo degenera nel segmento AB. Da cui 3=8y 16 y=6, che è accettabile. Il punto C ha coordinate (0,6). Calcoliamo le misure dei lati del triangolo AC = ( 3 0) +( 6) = 9+16=5 CB= (5 0) +( 6) = 5+16= 41 Il circocentro -che indichiamo con D - è il punto di incontro dei tre assi di un triangolo. Come tale, la sua ascissa deve essere quella del punto medio di AB, cioè 1. Quindi D(1; y). A questo punto imponiamo che CD=BD (1 0) +( y 6) = (5 1) +( y ) 1+ y 1y+36=16+ y 4y y=0 4y

5 17=1y 4y y= 17 8 le coordinate del circocentro sono quindi ( 1 ; 17 8 ) Il raggio del cerchio circoscritto al triangolo ABC è, per esempio, la distanza DC DC= (1 0) +( ) = = = Esercizio pagina 198 numero 14 Determina le coordinate di un punto P avente ascissa uguale all'ordinata ed equidistante dai punti A(;0) e B(0;4) e trova il perimetro,l'area e il baricentro del triangolo APB Indicato con (x ; x) le coordinate del punto P, dovrà essere AP= BP ovvero ( x ) +(x 0) = ( x 0) +(x 4) x +4 4x+ x =x +x 8x+16 8x 4x=16 4 x=3 si ricava che P (3 ;3)

6 Per costruzione, il triangolo ABP è isoscele sulla base AB. La sua mediana PD ha come estremi P (3 ;3) e D ( +0 ; 4+0 ) =(1; ) Usiamo il seguente TEOREMA In un triangolo il baricentro divide ciascuna mediana in tre parti, di cui stanno dalla parte di un vertice e una dalla parte del lato opposto. Di conseguenza, posto G( x ; y) le coordinate del baricentro, dovrà essere, per il teorema di Talete 3 x=( x 1) con 1 x 3 PG=GD per x=1 il baricentro coincide con il punto medio di AB e il triangolo ABP degenera in un segmento per x=3 il baricentro coincide con il punto P e il triangolo ABP degenera in un punto quindi 3 x=( x 1) con 1< x<3

7 3 x=x x= 5 3 accettabile Ragionando analogamente per le ordinate 3 y=( y ) con < y<4 3 y=y 4 7=3y y= 7 3 accettabile. Quindi G= ( 5 3 ; 7 3). Calcoliamo l'area e il perimetro del triangolo ABP BP= AP= (0 3) +(4 3) = 10 AB= 4+16= 0= 5 PD= (3 1) +(3 ) = 4+1= 5 e A ABP = AB PD = 5 5 =5 p ABP = AB+ AP+ BP= = 10+ 0= 10(+ )

8 Esercizio pagina 198 numero 15 Dato il triangolo ABC di vertici A(0;4), B(1;-3) e C(5;0) calcola il perimetro e l'area. Trova poi il baricentro e il circocentro del triangolo Calcoliamo le misure dei lati di conseguenza AB= (0 1) +(4+3) = 50=5 BC= (1 5) +( 3 0) = 16+9=5 AC = (0 5) +(4 0) = 5+16= 41 p ABC =AB+BC+ AC= Per il calcolo dell'area del triangolo ABC, calcoliamo prima l'area del quadrilatero ADEF A ADEF = AD DE=7 5=35 Calcoliamo l'area dei triangoli AFB, BCE e ACD. Sono tutti triangoli rettangoli le cui misure dei

9 cateti si calcolano facilmente, usando la figura A AFB = FB AF = 1 7 = 7 A BCE = BE CE = 4 3 =6 A ACD = AD CD = 5 4 =10 a questo punto possiamo calcolare l'area del triangolo ACB A ACB =A ADEF ( A AFB + A BCE + A ACD )= =19 7 =31 Per calcolare il baricentro, determiniamo le coordinate del punto medio M di AB. M ( 0+1 ; 4 3 Calcoliamo il baricentro del triangolo ABC ) = ( 1 ; 1 ) Per il calcolo del baricentro del triangolo ABC si usa il seguente TEOREMA In un triangolo il baricentro divide ciascuna mediana in tre parti, di cui stanno dalla parte di un vertice e una dalla parte del lato opposto.

10 Indicato con G( x, y) le coordinate del baricentro, deve essere CG= GM, per il teorema di Talete 5 x=(x 1 ) con 1 <x<5 y 0= ( 1 y ) con 0< y< 1 Gli estremi si scartano perchè in questi casi il triangolo degenera in una retta e in un punto. Da queste equazioni si ottiene 5 x=x 1 y=1 y che risolte forniscono le coordinate di G

11 G= ( ; 1 3) Per il calcolo del circocentro P del triangolo ABC, è sufficiente imporre che P deve essere equidistante da due coppie di vertici del triangolo. Per esempio, se A(0;4) e B(1;-3) C(5;0) { PA=PB PA=PC ovvero { PA =PB PA =PC Indicando con (x ; y) le coordinate di P il sistema diventa {( x 0) +( y 4) =(x 1) +( y+3) (x 0) +( y 4) =(x 5) +( y 0) { x + y 8y+16=x x+1+ y +6y+9 x + y 8y+16=x 10x+5+ y { 8y+16= x+10+6y 8y+16= 10x+5 { x 8y 6y+6=0 8y+10x 9=0 { x 14y+6=0 10x 8y 9=0, con il metodo di riduzione { x 7y+3=0 10x 8y 9=0

12 applichiamo il metodo di riduzione per calcolare x. Il sistema è equivalente a { 10x+70y 30=0 10x 8y 9=0 { 6y 39=0 10x 8y 9=0 { y= x =0 { y= x =0 { y= x =0 { y= x=870 che risolto fornisce { y= 39 6 x= = 87 6 e quinti il circocentro ha coordinate

13 ( 87 6 ; 39 6) Esercizio pagina 198 numero 16 Considerati i punti A( a ; 1) e B(a 5 ; 1) con a numero positivo, individua a in modo che AB sia uguale a 7. Determina poi il punto C di ascissa 5, in modo che il triangolo ABC abbia area che misura 35. Posto AB=7 si ha AB =49 ( a a+5) +( 1+1) =49 (5 3a) =49 ovvero 5+9a 30a=49 9a 30a 4=0 ovvero 3a 10a 8=0 a= 5± 5+4 = a= 3 a=4 di cui solo a=4 è accettabile. In questo caso A( 8; 1) e B( 1; 1) Posto C (5; y), Prolunghiamo il lato AB nella direzione di B, e proiettiamo la perpendicolare per C fino ad incontrare tale prolungamento nel punto H. Di conseguenza H (5; 1).

14 Allora CH = y+1 e AB= 1+8 =7. Dovrà quindi essere A ABC = AB CH 7 y+1 =70 ovvero y+1 =10 = 7 y+1 =35 { y +1 0 y+1=10 che restituisce y=9 e { y+1<0 y 1=10 che restituisce y=-11 Di conseguenza C 1 (5;9) e C (5;11)

15 Esercizio pagina 199 numero 17 Del parallelogramma ABCD sono noti i vertici consecutivi A(1;5), B(-4;-7) C(;1). Calcola le coordinate del vertice D e il perimetro. Verifica che il quadrilatero che si ottiene congiungendo i punti medi dei lati del parallelogramma è ancora un parallelogramma che ha il perimetro uguale alla somma delle diagonali di ABCD

16 Se A, C e B sono consecutivi, il punto D è simmetrico di B rispetto al punto medio di AC Quindi, posto M il punto medio tra A e C, sarà M = ( 1+ ; 5+1 ) = ( 3 ;3 ) il simmetrico di B rispetto ad M si calcola nel modo seguente {xd 4 = 3 y D 7 =3 { x D 4=3 y D 7=6 Determiniamo i punti medi del quadrilatero ABCD E=M AB = ( 3 ; 1 ) D(7 ;13) F =M BC =( 1 ; 3) G=M CD = ( 9 ;7 ) H =M AD =(4 ;9) Per verificare che EFGH è un parallelogrammo, basta provare che i suoi lati sono a due a due congruenti EF = ( 3 ) +1 +( 1+3) = = 17 4 = 17

17 FG= ( ) 1 9 +(7+3) = 11 4 = GH ( 9 4) +4= 1 +4= 17 4 HE= ( 4+ 3 ) +(9+1) = = = 51 Calcoliamo la somma delle diagonali del quadrilatero ABCD AC = (1 ) +(5 1) = 1+16= 17 BD= ( 4 7) +( 7 13) = = 51 si vede subito che la somma delle misure di AC e BD è uguale al perimetro del parallelogramma EFGH. Esercizio pagina 199 numero 18 Se M(;) è il punto di incontro delle diagonali di un quadrato ABCD di lato l=, determina le coordinate dei vertici del quadrato sapendo che le diagonali sono perpendicolari agli assi coordinati In una quadrato, il rapporto tra la diagonale e il lato è. Di conseguenza, nel nostro caso, indicando con d ed l le misure della diagonale e del lato quadrato, rsipettivamente, si ha d = allora, d =4, siccome M(;) si ha subito che

18 A(;+)=(;4) B(-;)=(0;) C(;-)=(;0) D(+;)=(4;) Esercizio pagina 199 numero 19 Considera i punti A(a+ ;1) e B(3;b 1) con a e b numeri reali. Calcola a e b in modo che AB=1 e che il punto medio M del segmento AB abbia ordinata 1. Trova poi i punti C sull'asse y la cui distanza da A è Deve essere { AB =1 x A +x B = 1 quindi { (a+b 3) +(1 b+1) =1 1+b 1 = 1

19 { (a+b 3) +(1 b+1) =1 b=1 { (a+ 3) +(1 1+1) =1 b=1 { (a 1) +1=1 b=1 { (a 1) =0 b=1 che ha soluzione a=b=1. Di conseguenza A(3;1) e B(3;0) Poniamo C(0,y) e imponiamo che la distanza da A a C sia 3 10 sarà quindi 90=(3 0) +(1 y) 90=9+1+ y y y y 80=0 che ha soluzione y=10 e y=8. I due punti C hanno coordinate C 1 (0;10) e C (0;8)

20 Esercizio pagina 199 numero 130 Determina i vertici del quadrato che ha come diagonale il segmento di estremi P(1;-3) e R(-5;1) Calcoliamo il punto medio di PR e chiamiamolo M M ( 1 5 ; 3+1 =( ) ; 1) Calcoliamo la lunghezza di PR PR= (1+5) +( 3 1) = 36+16= 5= 13 ricaviamo la misura del lato

21 QP= PR = 6 sappiamo anche che QM = PR = 13 quindi per calcolare Q(x,y) risolviamo il sistema { PQ= PR QM = 13 {( x+5) +( y 1) =( x 1) +( y+3) (x+) +( y 1) =13 che risolto dà Q(0;) e S(-4;-4)