SULLE FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE E LORO GRAFICI

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1 SULLE FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE E LORO GRAFICI.Definizioni e insieme di definizione. Una funzione o applicazione f è una legge che ad ogni elemento di un insieme D ( dominio )fa corrispondere un ben preciso e determinato elemento di un insieme C ( codominio ). Si dice che y è l immagine di tramite f e simbolicamente si scrive: y = f ( ). Può capitare che a due o più elementi distinti del dominio possa essere associato uno stesso elemento del codominio. Le funzioni per le quali sussiste l ulteriore proprietà che a elementi distinti del dominio restano sempre associati elementi distinti dal codominio si dicono funzioni iniettive. f : D C è iniettiva, D, f ( ) f ( ) Non è detto neppure che ogni elemento del codominio provenga tramite f da qualche elemento del dominio. Le funzioni per le quali sussiste l ulteriore proprietà che ogni elemento del codominio è l immagine di almeno un elemento del dominio si dicono funzioni surgettive. f : D C è surgettiva y C D : y = f ( ) Le funzioni che sono simultaneamente iniettive e surgettive si dicono funzioni bigettive. Come sinonimi del termine dominio si usano anche locuzioni del tipo insieme di definizione, insieme di esistenza, o simili. Come sinonimo del termine codominio si usa anche la locuzione insieme dei valori. Essenzialmente avremo a che fare con funzioni di una variabile reale e a valori y anche essi reali, vale a dire il dominio D sarà l insieme R dei numeri reali o un suo sottoinsieme, di solito un intervallo ( limitato o illimitato ) o l unione di un numero finiti di intervalli, e analogamente il codominio C sarà l insieme R dei numeri reali o un suo sottoinsieme. Per distinguere i ruoli delle due variabili, viene detta variabile indipendente, mentre y viene detta variabile dipendente. L insieme di definizione delle funzioni polinomiali, esponenziali, radice di indice dispari (radice cubica, radice quinta, ),seno e coseno è tutto l insieme R ; - Sulle funzioni di variabile reale e i loro grafici -

2 razionali fratt: è tutto l insieme R, eccetto le che annullano il denominatore ; radice di indice pari (radice quadrata, radice quarta, ) è costituito da tutti e soli i valori di che rendono maggiore o uguale a zero il radicando; logaritmo è costituito da tutti e soli valori di che rendono positivo il suo argomento..funzione composta Date le funzioni y = f ( t ) e t = g ( ) sostituendo nella prima funzione l espressione della seconda, si ottiene la funzione composta che si suole indicare con y = f ( g ( ) ) oppure y = ( f ο g ) ( ) che associa ad quel valore y che si otterrebbe se si applicassero prima la funzione g ad e successivamente la funzione f a t = g ( ). Chiaramente il dominio della funzione composta è costituito dai soli valori tali che g( ) appartiene al dominio della funzione f. Esempi: Se y = f ( t ) = log t e g ( ) = si ottiene la funzione composta y = f ( g ( ) ) = log ( ). Il dominio di f ο g è dato dalle per cui è - > 0, ossia ]0, [. Se y = f ( t ) = t e g ( ) = sen si ottiene la funzione composta y = f ( g ( ) ) = sen. Il dominio di tale funzione è costituito dalle per cui è sen 0, cioè [0,π] se ci si limita a considerare la g ( ) = sen nell intervallo [0,π]. - Sulle funzioni di variabile reale e i loro grafici -

3 .Funzione inversa. Se f :D C è una funzione bigettiva, allora ogni elemento y di C proviene da un solo elemento di D, pertanto si può definire una nuova funzione, che indicheremo con f -, la quale associa ad ogni elemento y di C quell unico elemento di D tale che f ( ) = y. Il dominio e il codominio di f - sono dunque rispettivamente il codominio e il dominio della f ( ). La f - chiamasi inversa della f ed è caratterizzata dal fatto che entrambe le funzioni composte fο f - e f - ο f danno luogo alla funzione identità, rispettivamemente in C e in D, cioè: ( f ο f - ) ( y ) = y e ( f - ο f ) ( ) =. Se una funzione in un intervallo I ammette inversa si dice che è ivi invertibile. Esempi: Le funzioni trigonometriche nel loro insieme di definizione non sono bigettive pertanto non sono invertibili. Se però ci si limita a considerarle in intervalli particolari, precisamente in quelli in cui sono bigettive ( si dice che se ne fa la restrizione a tale intervallo ) allora esse sono invertibili. La funzione y = sen in [-π /, π / ] è bigettiva e assume tutti i valori che vanno da a +, quindi è invertibile e la sua inversa è = arcsen y; il suo dominio è[-, ]. La funzione y = cos in [0, π] è bigettiva e assume tutti i valori che vanno da a +, quindi è invertibile e la sua inversa è = arccos y; il suo dominio è [-, ]. La funzione y = tg in ]-π /, π / [ è bigettiva ed ha come codominio R quindi è invertibile e la sua inversa è = arctg y; il suo dominio è R. Poiché è consuetudine denotare la variabile indipendente con e la variabile dipendente con y, nella espressione analitica di f - si effettua un cambio delle notazioni. Le funzioni inverse degli esempi precedenti verranno pertanto indicate con y=arcsen, y=arccos, y=arctg. - Sulle funzioni di variabile reale e i loro grafici -

4 4.Proprietà delle funzioni. Lo studio dell andamento del grafico di una funzione può essere facilitato se si tengono presenti alcune proprietà delle funzioni. A tale scopo richiamiamo alcuni concetti: a ) Funzioni pari e funzioni dispari.una funzione y = f ( ), definita in un intervallo I simmetrico rispetto allo zero ( tale cioè che se I anche I ) si dice: pari se per ogni I risulta f (- ) = f ( ) dispari se per ogni I risulta f (- ) = - f ( ) Nel tracciare il grafico di una funzione pertanto risulta utile sapere se essa è pari o dispari, giacchè se il punto P (,y) appartiene al grafico di una funzione pari anche il punto P (-,y) vi appartiene e quindi il grafico di una funzione pari è simmetrico rispetto all asse y, se il punto P(,y) appartiene al grafico di una funzione dispari anche il punto P (-,-y) vi appartiene e quindi il grafico di una funzione dispari è simmetrico rispetto all origine delle coordinate. Esempi: Le funzioni y = cos, y = + -, y = e sono pari. Le funzioni y =, y = sen, y = e e - sono dispari. Risulta inoltre che: La somma di due funzioni pari ( dispari ) è una funzione pari ( dispari ). Il prodotto di due funzioni pari è una funzione pari. Il prodotto di due funzioni dispari è una funzione pari. Il prodotto di una funzione pari e di una dispari è una funzione dispari. b) Monotonia. Una funzione y = f() si dice crescente [decrescente] in un intervallo I tutto contenuto nell insieme di definizione se presi due punti qualsiasi, di tale intervallo, da < segue f() f() [f() f()]. - Sulle funzioni di variabile reale e i loro grafici - 4

5 In queste definizioni non si esclude l eventualità che tra i valori della funzione calcolati per qualche coppia di punti e sussista il segno di uguaglianza. Se invece, presi due punti qualsiasi,, da < segue f() < f(), [f() > f()], si usa anche dire che la funzione è strettamente o fortemente crescente [decrescente]. f ( ) crescente in I, I con < f ( ) f ( ) f ) fortementecrescente in I, I con < f ( ) < f ( ). ( Una funzione si dice monotona in un intervallo I tutto compreso nell insieme di definizione se ivi è crescente o decrescente. Una funzione si dice fortemente monotona in un intervallo I tutto compreso nell insieme di definizione se ivi è fortemente crescente o fortemente decrescente. In relazione alle funzioni fortemente monotone sussiste il seguente Teorema: Una funzione fortemente monotona è invertibile e la sua inversa ha la stessa proprietà della funzione data, cioè se = f()è fortemente crescente (decrescente) allora esiste f - ( ) ed essa è fortemente crescente (decrescente). c) Massimi e minimi. Si dice che una funzione y = f() ha un punto di minimo [massimo] relativo in 0 se esiste un intorno I di 0 per tutti i punti del quale appartenenti al campo di esistenza di f() si ha f(0) f() [f(0) f()]. 0 massimo relativo I( 0) : I( 0) D f ( 0) f ( ) Dalle definizioni di massimo e di minimo relativo segue che non è escluso che una stessa funzione possa presentare vari punti di massimo o di minimo relativo, ed inoltre i valori della funzione in tali punti siano in generale diversi fra loro. Se esiste un punto 0 con la proprietà che f(0) f() [f(0) f()] per ogni dell insieme di definizione D, si dice che 0 è un punto di minimo [massimo] assoluto per la funzione f(). 0 ( 0 massimo assoluto D f ) f ( ). - Sulle funzioni di variabile reale e i loro grafici - 5

6 L importanza delle nozioni di minimo e massimo (relativi e assoluti) deriva dal fatto che gran parte delle leggi della natura e delle attività umane hanno a che fare,direttamente o indirettamente, con la ricerca di minimi e di massimi. Esempi: - in meccanica: le posizioni di equilibrio sono quelle per le quali l energia potenziale è minima; - in termodinamica: si ha equilibrio quando l entropia è massima; - in ottica: in base alle leggi della rifrazione, un raggio di luce che passa attraverso sostanze diverse segue sempre un cammino ottico minimo; - nell industria: l obiettivo primario sarà quello di rendere massimi i profitti, col minimo spreco di materiale; - in medicina: il dosaggio di un farmaco andrà studiato in modo tale da rendere massima l efficacia della cura, minimizzando nel contempo gli effetti collaterali negativi, i costi, ecc. - Sulle funzioni di variabile reale e i loro grafici - 6

7 5. Proprietà e grafici di funzioni elementari Riportiamo le principali proprietà e il grafico di alcune funzioni elementari: - Funzione costante f()= k Dominio: Proprietà: R il codominio è {k} Grafico: retta parallela all asse, di equazione y = k - Funzione lineare f()=a+b (a 0) Dominio: Proprietà: R Inf f() = -, Sup f() = +, funzione iniettiva e suriettiva Se a>0 fortemente crescente in R Se a<0 fortemente decrescente in R a > 0 o a>0 Aa < 0 O O Grafico: retta di equazione y= a+b - Sulle funzioni di variabile reale e i loro grafici - 7

8 - Funzione quadratica f()=a +b+c (a 0) Dominio: Proprietà: R Se a>0 concavità verso l alto b fortemente decrescente per < a b fortemente crescente per > a V è il punto di minima ordinata Se a<0 concavità verso il basso b fortemente crescente per < a b fortemente decrescente per > a V è il punto di massima ordinata Grafico: parabola con asse parallelo all asse y Vertice: b b V ; a Fuoco b F ; a Asse: b =- a Direttrice: y = 4ac 4a ( b 4ac) 4a ( b 4ac) 4a b 4ac 4a b a a>0 - Sulle funzioni di variabile reale e i loro grafici - 8

9 k f = - Funzione di proporzionalità inversa ( ) Dominio: R * =R-{ 0 } Proprietà: funzione dispari. (il suo grafico quindi è simmetrico rispetto all origine) Se k>0 Inf (f) = -, Sup (f) = + Se k<0 grafico nel primo e nel terzo quadrante fortemente decrescente in R + ed R - grafico nel secondo e nel quarto quadrante fortemente crescente in R + e R - Grafico: iperbole equilatera riferita agli asintoti k > 0 k < 0 - Funzione omografica f ( ) d Dominio: R- e d a Proprietà: simmetrica rispetto al punto ; c c a + b =, con c?0, ad?bc c + d a e d e Grafico: iperbole equilatera avente come asintoti le rette di equazioni d a = ; y = c c - Sulle funzioni di variabile reale e i loro grafici - 9

10 -Funzione esponenziale f ( ) = a, con a>0, a? Dominio: R Proprietà: il codominio è R +, Inf f() = 0, Sup f() = + Se a> interseca l asse y in (0;) Se 0<a< fortemente crescente in R Grafico: fortemente decrescente in R a> y = a y = a 0<a< In particolare, se f = ( ) e, la tangente in (0;) è la retta di equazione: y = + O o - Funzione logaritmica f ( ) = log, con a>, a? Dominio: R +, cioè >0 Proprietà: il codominio è R, Inf f() = -, Sup f() = + interseca l asse in (;0) Se a> Se 0<a< fortemente crescente in R + fortemente decrescente in R + Grafico: a a > 0 < a < y = log a y = log a - Sulle funzioni di variabile reale e i loro grafici - 0

11 - Funzioni goniometriche ) y=sen; ) y=cos; ) y=tg. y=sen Dominio: Proprietà: R il condominio è [-;], quindi è una funzione limitata : ma f()=, min f()=- funzione periodica di periodo p: sen(+p)= sen funzione dispari sen(-)=-sen (il grafico è simmetrico rispetto all origine O) Grafico: il grafico si chiama sinusoide. y=cos Dominio: Proprietà: R il condominio è [-,], quindi è una funzione limitata: ma f()=, min f()=- funzione periodica di periodo p: cos (+p ) = cos funzione pari: cos (-)= cos (il grafico è simmetrico rispetto all asse y) Grafico: il grafico si chiama cosinusoide - Sulle funzioni di variabile reale e i loro grafici -

12 . y=tg Dominio: R- ( ) Proprietà: il condominio è R π k +, k Z π, cioè? ( k + ) funzione periodica di periodo π : tg(+π )=tg funzione dispari: tg(-)= -tg (il grafico è simmetrico rispetto all origine O ) fortemente crescente in π π + k π < < + kπ asintoti verticali: rette = ( k + ) Grafico: il grafico si chiama tangentoide π k Z - Funzione potenza f()= a Ci limitiamo a segnalare il grafico degli esempi più importanti: ) f()= ) f()= ) f()= =. f()= Dominio: Proprietà: R y = funzione dispari (simmetrica rispetto all origine) fortemente crescente in R la tangente in (0;0) è l asse Grafico: parabola cubica - Sulle funzioni di variabile reale e i loro grafici -

13 . f()= Dominio: R-{ 0 } Proprietà: funzione dispari (simmetrica rispetto all origine) y = fortemente decrescente in R + ed R - asintoto verticale: asse y asintoto orizzontale: asse Grafico: come in figura Nel caso di f()= = Dominio. R Proprietà: funzione dispari (simmetrica rispetto all origine) y = fortemente crescente in R tangente in (0;0): asse y Grafico: come in figura - Sulle funzioni di variabile reale e i loro grafici -

14 6.Trasformazioni del grafico di una funzione. Spesso il grafico di una funzione puo essere costruito trasformando il grafico di un altra funzione di natura più semplice ( elementare). Piu precisamente :. dal grafico di y= f() si ottiene quello di y = f ( ) + k operando una traslazione parallela all asse y di ampiezza k verso l alto se k >0,verso il basso se k<0. Esempi: a) y = y = y = + - Sulle funzioni di variabile reale e i loro grafici - 4

15 b) y = + y = y = y = 4 y = y = + c) - Sulle funzioni di variabile reale e i loro grafici - 5

16 .dal grafico di y=f() si ottiene quello di y f ( + k) all asse di ampiezza k verso destra se k<0, verso sinistra se k>0. = operando una traslazione parallela Esempi a) y = ( +) y = y = - Sulle funzioni di variabile reale e i loro grafici - 6

17 b) 9))) y = y = y = + c) y = y = y = + - Sulle funzioni di variabile reale e i loro grafici - 7

18 .dal grafico di y=f() si ottiene quello di y= k f(), con k>0, dilatando (o contraendo ) le ordinate di un fattore k se k> (se k<); in pratica ogni ordinata viene moltiplicata per k. Esempi a) y = sen y = sen y = sen - Sulle funzioni di variabile reale e i loro grafici - 8

19 b) y = log y = log y = log 5 c) 5 y = y = y = - Sulle funzioni di variabile reale e i loro grafici - 9

20 4.dal grafico di y= f() si ottiene quello di y = f () operando una simmetria rispetto all asse Esempi 4 a) y = log y = log 4 b) y = y = + 4 c) y = y = - Sulle funzioni di variabile reale e i loro grafici - 0

21 5.dal grafico di y= f() si ottiene quello di y = f () lasciando invariata la parte contenuta nel semipiano positivo delle y ed effettuando una simmetria assiale rispetto all asse della parte contenuta nel semipiano negativo delle y Esempi 5 a) y = log y = log 5 b) y = cos y = cos 5 c) y = + y = + - Sulle funzioni di variabile reale e i loro grafici -

22 7.Esercizi proposti. a) Trovare l insieme di esistenza delle seguenti funzioni: ) y =, ) y =, ) y =, + + 4) y = 4 +, 5) y = + 4, 6) y = +, 5 7) y = 4 8) y = ) y = ) y = 7 +, ) y =, ) y = log, 4 5 ) y = + log, 4) = log ( ) + + 6) y = ( ) y, 5) y log( ) =, 4 log, 7) y = sen, 8) y =, cos 9) y = + + log( ) +, 0) y = arcsen( ), ) y arccos ( + ) ) y = arcsen, ) y + 5) y = arcsen ( ) arccos 4 =, 4) y = log log( + ) =, b) Rappresentare, a partire da grafici noti di funzioni elementari i grafici delle seguenti funzioni ) y = +; y = - 4 ; y = - ; y = - ; y = (-) ) y = / ; y = (/)- ; y = /(+) ; y = -/(-) ; y = / ) y = e - ; y = -e ; y = e + ; y = e ; y = e / ; 4) y = ln(+) ; y = ln + ; y = ln ; y = ln(-) ; y= ln(+) 5) y = sen ; y = sen ; y = ½(sen) ; y = sen + ; y=sen(-) - Sulle funzioni di variabile reale e i loro grafici -