Introduzione alle variabili aleatorie discrete e continue notevoli Lezione (ore , )

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1 Introduzione alle variabili aleatorie discrete e continue notevoli Lezione (ore , ) Richiami di matematica pag. 2 Definizione (moderatamente) formale di variabile aleatoria pag. 3 Definizione e proprietà della funzione di probabilità di una variabile aleatoria discreta pag. 3 Definizione e proprietà della funzione di densità di probabilità di una variabile aleatoria continua pag. 3 Un primo gruppo di variabili aleatorie discrete notevoli e loro funzioni di probabilità: pag. 4 la variabile aleatoria degenere discreta pag. 5 la variabile aleatoria bernoulliana o di Bernoulli pag. 7 la variabile aleatoria uniforme discreta (versione zero) pag. 9 la variabile aleatoria uniforme discreta (versione uno) pag. 10 la variabile aleatoria poissoniana o di Poisson pag. 11 Una prima variabile aleatoria continua notevole e la sua funzione di densità di probabilità: la variabile aleatoria uniforme continua o rettangolare (parametri a e b) pag. 12 Verifica delle proprietà della funzione di probabilità e di densità per le variabili aleatorie di cui sopra pag. 14 1

2 Richiami di matematica (per la definizione formale di variabile aleatoria) Grazie alla funzione identità I (.) : y = I( x) = x x D, anche le variabili indipendenti sono variabili dipendenti (da sé stesse) o funzioni (di sé stesse) Prima conseguenza: noi consideriamo solo variabili x, y, F ( x ),ecc. senza distinzioni Seconda conseguenza: Dominio D di una variabile indipendente = S Codominio C di una variabile dipendente S = insieme dei valori, o stati, possibili di una variabile = = Supporto (o Spettro) di una variabile L insieme universo Ω (o-mega) che include i valori possibili di tutte le variabili è S =, per qualsiasi variabile Ω = = (, ) e quindi si ha: ( ) In matematica (in particolare in Topologia) si hanno le definizioni seguenti: insieme discreto A : tutti i valori di A sono punti isolati A = { c1, c2,... cn } discreto finito Z punto isolato di A : in un suo intorno non ci sono altri punti di A ] A = { c1, c2,... } discreto infinito numerabile Esempi: Sono insiemi discreti infiniti numerabili gli insiemi: = insieme dei numeri naturali, 0 = { 0} = insieme dei numeri naturali zero incluso, = insieme dei numeri interi (con segno) e = insieme dei numeri razionali (con segno). insieme continuo A : nessun valore di A A = è un punto isolato intervallo di Esempi: Qualsiasi intervallo di numeri reali ( = ( ) ( ] [ ) (infinito più che numerabile),, a, b, a,, ecc. ) è un insieme continuo ad anche gli insiemi che si sono unione o intersezione di due o più intervalli. discreta : se il suo supporto S variabile continua : se il suo supporto S è un insieme discreto è un insieme continuo 2

3 DEFINIZIONE (moderatamente) formale di variabile ALEATORIA una variabile (discreta o continua, dipendente o indipendente ) è aleatoria: (A) se per ciascuno dei suoi valori possibili x S è definita la (funzione di) probabilità p ( x ) di detti valori (quando la variabile è discreta), ovvero (B) se per ciascuno dei suoi valori possibili x S è definita la (funzione di) densità f x di detti valori (quando la variabile è continua). di probabilità ( ) Calcolo differenziale VARIABILE x Calcolo delle probabilità VARIABILE ALEATORIA {,... },{,,...} x c1 cn c1 c2 x { c1,... cn},{ c1, c2,... } variabile aleatoria p ( x ) = = = ( variable discreta ) discreta = probabilità di x [ ] ( ) x a, b, a, b, ecc. x [ a, b],( a, b), ecc. variabile aleatoria f ( x ) = densità di = = ( variabile continua ) continua probabilità di x, Y, Z, ecc. indicano variabili aleatorie, x, y, z, ecc. i loro valori possibili. Per x S la funzione di probabilità (densità) dà la probabilità (densità) di x Proprietà della funzione di probabilità Proprietà della funzione di densità ( a) Dominio e codominio ( a) Dominio e codominio [ ] f [ ) ( ) ( ) p : 0,1, ovvero : ( ) > 0 ( ) ( ) ( ) 0,, ovvero 0 p x 1 x 0 f x < x ( b) Positività su S e "zero altrove" ( b) Positività su S e "zero altrove" p x x S f x > 0 x S p x = 0 x S = S f x = 0 x S = S ( c) Normalizzazione ( c) Normalizzazione p ( x ) = p ( x ) = 1 f ( x ) dx = f ( x ) dx = 1 x= x S x S ( d) Calcolo della probabilità che ( d) Calcolo della probabilità che assuma un qualsiasi valore in A assuma un qualsiasi valore in A ( ) ( ) ( ) ( ) P A = p x P A = f x dx = area sopra A x A x A dove A dove A = intervallo di 3

4 Si noti la somiglianza fra le proprietà (a)-(d) di cui alla pagina precedente nel caso discreto e continuo. Tali proprietà vanno verificate per esercizio per ciascuna delle variabili che seguono. La loro verifica è immediata salvo che per il caso della proprietà (c) di normalizzazione della funzione di probabilità della poissoniana che richiede il ricorso allo sviluppo in serie di McLaurin della funzione esponenziale (in base e). Si veda a questo proposito la pag. 14 alla fine di questa lezione. Infine si noti che la proprietà (d) più che una proprietà da verificare è in realtà la regola fondamentale da applicare per il calcolo della probabilità per un qualsiasi A. I sottoinsiemi di di cui si può calcolare la probabilità sono detti eventi aleatori (o nel linguaggio matematico astratto insiemi misurabili). Per S insieme discreto la giustificazione di tale regola (d) di calcolo della probabilità è basata sulla proprietà di additività delle frequenze relative, per S continuo è la estensione di tale additività, appunto, al caso continuo. UN PRIMO GRUPPO DI VARIABILI ALEATORIE DISCRETE NOTEVOLI E LORO FUNZIONI DI PROBABILITÀ Per ciascuna variabile aleatoria notevole discreta, così come per quelle continue che si vedranno più avanti, le informazioni che diamo in questa sezione della lezione sono così organizzate: Simbolo della variabile aleatoria con la notazione : significante è ) Supporto della variabile aleatoria Funzione di probabilità di (o di densità per le variabili continue) Riferimenti storici (non sempre presenti) Tipico significato applicativo della variabile aleatoria Relazioni con altre variabili aleatorie Una volta arrivati alla apposita sezione di questo Corso, per ciascuna variabile verrà anche data la funzione di ripartizione, il valore medio atteso, la varianza, ecc. Particolarmente importanti sono le informazioni che dà il Tipico significato applicativo della variabile. In primo luogo tali informazioni danno, in modo più completo e sintetico possibile, i vari contesti applicativi sia economico-aziendali sia ingegneristico-gestionali (che sono quindi anche i contesti delle domande di esame) in cui tipicamente si usa la variabile. In secondo luogo le informazioni contenute nel Tipico significato applicativo (e talvolta anche nelle Relazioni con altre variabili ) mettono sin dall inizio al corrente il lettore di importanti concetti (e relativi formalismi) che, anche se saranno oggetto di trattazione ex novo e più estesa nelle apposite lezioni di questo Corso, gli mostrano già il panorama probabilistico più vasto entro cui si collocano le variabili aleatorie che sta studiando. Naturalmente ciascun lettore a seconda delle sue attitudini e approccio di studio profitterà in grado diverso di tali anticipazioni cui comunque potrà ritornare una volta viste le apposite lezioni del Corso cui tali concetti e formalismi sono trattati ex novo in modo più 4

5 esteso. Altrettanto naturalmente il docente, a seconda del taglio che dà al suo corso, può dare indicazione di non considerare tali anticipazioni in tutto o in parte. Esempi di tali anticipazioni sono: _ le variabili aleatorie funzioni lineari di altre variabili aleatorie _ i sistemi di qualsiasi natura (impianti, progetti, contratti) composti da componenti elementari in serie, in parallelo e misti m out of n (o m su n ) _ la nozione di affidabilità (o reliability) di un sistema di cui sopra, cioè la probabilità che il sistema funzioni, se è un impianto, o vada a buon fine, se è un progetto o contratto _ la variabile aleatoria guadagno aleatorio che è alla base del modello binomiale simmetrico (o symmetric random walk) della Finanza matematica (e che dà una versione discreta del moto browniano) _ la genesi matematico-probabilistica (p. es. equazioni differenziali) di alcune funzioni di probabilità e di densità (poissoniana, esponenziale negativa e gaussiana). Infine con la più semplice delle variabili aleatorie discrete (la variabile aleatoria degenere) prima, e con l approssimazione gaussiana delle probabilità binomiali poi, si rende sin da subito consapevole il lettore che, sebbene il mondo delle variabili discrete e quello delle variabili continue siano e restino nettamente distinti, hanno tuttavia sorprendenti ed importanti punti di contatto. Simbolo: : D ( µ ) Parametro: µ S = µ Supporto: { } Funzione di probabilità: p ( x ) Variabile aleatoria DEGENERE DISCRETA = 1 x = µ 0 altrove Riferimenti storici: la lettera D nel simbolo di questa variabile aleatoria fa riferimento, oltre che alla prima lettera della parola Degenere, anche alla prima lettera del cognome di P. Dirac (Premio Nobel 1933 per la fisica) il quale, per quanto incredibile possa sembrare a dirsi, ha dato una versione continua di questa variabile aleatoria discreta nel senso che, come vedremo, per questa variabile discreta egli è riuscito a definire una funzione (la funzione generalizzata o distribuzione δ (delta) di Dirac ) che ha tutte le proprietà formali di una vera e propria funzione di densità di probabilità di una variabile aleatoria continua. Tipico significato applicativo: questa variabile aleatoria, che come vedremo è fondamentale anche per l apprendimento dei concetti di valor medio atteso e varianza di una variabile aleatoria, serve per avere anche in Calcolo delle probabilità e Statistica la nozione di costante. Infatti questa variabile ha un solo valore possibile x µ = (valore che assume quindi con probabilità 1). In Calcolo delle probabilità e 5

6 Statistica le costanti ricorrono, simbolicamente e numericamente, esattamente come in Algebra ed in Calcolo differenziale cioè nelle espressioni algebriche che legano fra loro le variabili. Inoltre in tali espressioni si usa scrivere tali variabili aleatorie degeneri, anziché con i simboli maiuscoli, Y, Z, W, T, ecc. tipici delle variabili aleatorie del Calcolo delle probabilità, con i soliti simboli minuscoli a, b, c, c 1, ecc., o con espliciti valori numerici, esattamente come in Algebra e nel Calcolo differenziale. P. es., in relazione alle variabili aleatorie bernoulliana e uniforme discreta che vedremo fra breve, verrà illustrato il significato delle seguenti espressioni algebriche (relazioni lineari, in particolare) che legano due variabili aleatorie e Y: Y = 2 1, Y = 1 ed in generale Y = c1 + c2 dove, p. es., la costante c 2 in entrambi i due casi particolari precedenti ha valore numerico 1. La rappresentazione di tali costanti come variabili aleatorie degeneri è allora la seguente (dove usiamo le lettre Z e T perché e Y sono già state usate per indicare le variabili aleatorie che compaiono nelle relazioni di cui sopra): Z : D( 1) con p ( z ) T : D( c ) con p ( t ) 2 Z T 1 z = 1 = (parametro µ = 1) (*) 1 t = c2 = (parametro µ = c2) (*) Osservazione sulla simbologia. Quando si trattano in uno stesso contesto più variabili aleatorie, Y, Z e T ecc., come si è appena fatto sopra, per distinguere meglio simboli dei supporti e delle funzioni di probabilità e di densità di ciascuna variabile aleatoria si usa indicare la variabile stessa in tali simboli e scrivere S, Y y, ecc. per le funzioni di probabilità (si veda (*) sopra), e ( ) Y y, ecc. per le funzioni di densità. Si noti inoltre che quando al generico valore possibile x si sostituisce in p ( x ) un valore specifico, p. es. 0, si ottiene p ( 0) invece di p ( 0), scrittura quest ultima che fa invece perdere ogni traccia della variabile che si sta considerando. Anche se nella maggior parte dei casi, presentando le singole variabili aleatorie in quanto segue, tratteremo una sola variabile aleatoria per volta, che inoltre chiameremo quasi sempre per comodità con, useremo lo stesso già tale simbologia per prendervi l abitudine. S, ecc. per i supporti, p ( x ), py ( ) f x, f ( ) 6

7 Simbolo: : Be ( p ) Parametro: p [ 0,1] Supporto: S = { 0,1} Corso di Laurea in Ingegneria gestionale, Università C. Cattaneo-Liuc, AA Variabile aleatoria BERNOULLIANA o di BERNOULLI 1 p x = 0 Funzione di probabilità: p ( x ) = p x = 1 Riferimenti storici: Jakob (o Jacob, o James) Bernoulli (Basilea, ), matematico e scienziato svizzero. Tipico significato applicativo: i valori possibili x di questa variabile aleatoria sono il numero di volte che in una osservazione (o prova ) si può osservare (o può essere verificata) una data condizione e dunque si possono avere solo due valori per x: x = 1 quando la condizione è osservata (o verificata) e allora si dice anche che si ha x = un successo (indipendentemente dalla desiderabilità o meno della condizione che si è verificata); x = 0 quando la condizione non è osservata (o non è verificata) e allora si dice anche che si hanno x = zero successi. In particolare i valori x di : Be ( 1 2), cioè con parametro p = 1 2, possono rappresentare il numero di teste in un lancio di una moneta (regolare) ovvero: x = 1 quando il lancio dà testa e x = 0 quando il lancio dà croce e quindi zero teste. La regolarità della moneta è rappresentata dal fatto che la probabilità di x = 1 e x = 0 è la stessa per entrambi ovvero: p = 1 2 e 1 p = 1 2 (cioè, come si dice, la moneta non è truccata). Inoltre : Be ( p ) è il modello probabilistico dei sondaggi di opinione in cui la risposta all intervista ha due sole possibilità sì/no, favorevole/contrario, ecc., ovvero: x = 1 (un sì/favorevole), o x = 0 (un no/contrario = zero sì/favorevoli); così come rappresenta il presentarsi o meno del danno coperto da una polizza assicurativa in dato intervallo di tempo: x = 1 (un danno si verifica), x = 0 (zero danni si verificano). Questa variabile aleatoria rappresenta anche il buon fine o meno di un contratto o di un progetto: x = 1 (il contratto o progetto va a buon fine), x = 0 (il contratto o progetto non va a buon fine = zero contratti o progetti vanno a buon fine); così come rappresenta il funzionamento o meno di un componente di un impianto (o di un impianto nel suo complesso): x = 1 (il componente, o l impianto, funziona), x = 0 (il componente, o l impianto, non funziona = zero componenti, o impianti, funzionano). La variabile aleatoria bernoulliana rappresenta anche situazioni assai più complesse quali il funzionamento di un sistema in serie (= il sistema funziona se e solo se funzionano tutti i suoi n componenti) od in parallelo (= il sistema funziona se funziona almeno uno dei suoi 7

8 n componenti). In particolare si consideri un sistema composto da due componenti in serie uguali e si consideri anche un sistema composto da due componenti in parallelo uguali. Allora dalle due variabili aleatorie bernoulliane : Be p j = j ( ) 1,2 che rappresentano il funzionamento dei due componenti si ottiene applicando le regole, ovvero gli assiomi e i teoremi, del calcolo delle probabilità che vedremo che anche il funzionamento del sistema ha funzionamento bernoulliano con parametro che dipende dal parametro p delle due variabili aleatorie bernoulliane : Be p j = 1,2 che rappresentano il funzionamento dei due singoli componenti. j ( ) In dettaglio, per il sistema composto in serie e per il sistema in parallelo si ottiene che il loro funzionamento è rappresentato rispettivamente dalle seguenti due variabili aleatorie bernoulliane i cui parametri p e p dipendono dal parametro p del funzionamento dei due componenti : Be p con p = p 2 ( ) ( ) = ( ) = > = [ ] : Be p con p 1 1 p 2 p p p p ( p 0,1 ) La diseguaglianza di cui sopra fra p e p mostra che è più alta la probabilità p di funzionamento (= affidabilità = reliability) del sistema in parallelo rispetto alla probabilità p di funzionamento del sistema in serie (tali risultati richiedono l ipotesi di indipendenza stocastica che avremo modo di vedere). Quanto sopra, senza nulla cambiare, si applica anche alla probabilità di buon fine di un progetto (o contratto) composto in serie o in parallelo da due sub-progetti (o sub-contratti) uguali. Relazioni con altre variabili: Se p = 0 allora : Be ( 0) = : D ( 0). Se p = 1 allora : Be ( 1) = : D ( 1). Talvolta, con abuso di linguaggio, si dice bernoulliana (tipicamente in Finanza matematica) anche una variabile aleatoria Y i cui valori y dipendono dai valori x { 0,1} della bernoulliana secondo la banale funzione lineare dell Algebra e del Calcolo differenziale seguente y = (2x 1) { 1,1 } x { 0,1} (*) I valori possibili y della nuova variabile aleatoria Y rappresentano il guadagno (positivo o negativo) aleatorio che si può avere nella situazione in cui in un dato istante del tempo futuro possono darsi solo due alternative: o si perde un dollaro (euro, ecc.), cioè si ha y = 1 con la stessa probabilità di x = 0 (p. es. perché il contratto non va a buon fine), oppure si guadagna un dollaro (euro, ecc.), cioè si ha y = 1 con la stessa probabilità di x = 1 (p. es. perché il contratto va a buon fine). La funzione di probabilità della variabile aleatoria guadagno aleatorio Y è dunque la seguente: 8

9 1 p y = 1 py ( y ) = p y = 1 con SY = { 1,1 } dove la probabilità di osservare y = 1 è la stessa di quella di osservare x = 0 perché la funzione (*) dà y = 1 se e solo se si ha x = 0 e dunque la probabilità di y = 1 e di x = 0 non può che essere la stessa. In tal caso i due valori y = 1 e x = 0 delle due variabili aleatorie Y e si dicono valori equivalenti perché se è osservato uno è senz altro osservato anche l altro e viceversa (lo stesso vale per y = 1 e x = 1 ovviamente). Ciò accade tutte le volte che la funzione (*) (o altra funzione a seconda dei casi) è biunivoca (come nel nostro caso, in cui è una funzione lineare di x, ovvero una retta). Quando si vuole mettere in evidenza il legame tra le due variabili aleatorie Y e anziché fra i loro generici valori y e x (ma ovviamente nulla cambia nella sostanza) ciò si fa scrivendo le funzione (*) (o altra funzione a seconda dei casi) con i simboli maiuscoli Y e delle variabili aleatorie anziché con quelli minuscoli y e x dei loro valori, ovvero: Y = 2 1 (con : Be ( p ) ) Nel nostro caso si dice anche che la variabile aleatoria Y è una funzione, o trasformazione, lineare della variabile aleatoria con pendenza 2 ed intercetta 1 che, in quanto costanti, come abbiamo già visto, sono rappresentabili come due variabili aleatorie degeneri rispettivamente di parametri µ = 1 e µ = 2. In particolare per la costante 2 si ha 1 w = 2 W : D(2) con pw ( w) = (parametro µ = 2) La costante 1 è già stata considerata al termine di quanto detto sulle variabili aleatorie degeneri. Simbolo: : U0 ( n) Parametro: n 0 = { 0,1, 2, } S = 0,1,2, n Supporto: { } Variabile aleatoria UNIFORME DISCRETA (versione zero) 1 x = 0,1,2, n Funzione di probabilità: p ( x ) = n + 1 Tipico significato applicativo: si usa quando si sa (o si assume) che le probabilità siano in effetti tutte uguali (o costanti, o uniformi ), oppure, all opposto, quando non si sa nulla su quali siano in effetti le probabilità. La versione zero di questa 9

10 variabile è caratterizzata dal fatto che ha come più piccolo valore del supporto il valore zero. Relazioni con altre variabili: Se n = 1 allora : U 0 ( 1 ) = : Be ( 1 2 ). n = allora U ( ) = D ( ) Se 0 Simbolo: : U1 ( n) Parametro: n = { 1,2, } Supporto: S = { 1,2, n} : 0 0 : 0. Variabile aleatoria UNIFORME DISCRETA (versione uno) 1 n x = 1,2, n Funzione di probabilità: p ( x ) = Tipico significato applicativo: idem come nel caso della uniforme discreta versione zero. La versione uno di questa variabile è caratterizzata dal fatto che ha come più : U 1 6, cioè piccolo valore del supporto il valore uno. In particolare i valori x di ( ) con parametro n = 6 e supporto { 1,2, 6} S =, possono essere il punteggio x, da uno a sei, che compare sulle facce di un dado regolare cioè, appunto, i cui punteggi sulle facce hanno tutti la stessa probabilità. Relazioni con altre variabili: Se n = 2 allora : U1 ( 2) = : Be ( 1 2) ; Se n = 1 allora : U 1 ( 1 ) = : D ( 1 ). Invece dei valori x { 1,2, n} di : U1 ( n) si considerino ora i valori y di una variabile aleatoria Y che dipendono dai valori 1,2, n : U n secondo la funzione biunivoca (e lineare) seguente x { } di ( ) 1 y = ( x 1) { 0,1, n 1} x { 1,2, n} Allora, procedendo esattamente come già fatto verso la fine di quanto detto sulla Y : U n ovvero in dettaglio: bernoulliana, per la nuova variabile Y si ha che ( ) n y = 0,1, n 1 py y con SY 0,1, n 1 E dunque come preannunciato si ha : U n Y = ( 1) : U n 1 ( ) = = { } ( ) ( ) 1 0 Verificare per esercizio che, in modo del tutto analogo, vale la relazione: ( ) ( ) ( ) = ( Y + 1) : U n con Y : U n

11 Variabile aleatoria POISSONIANA o di POISSON Simbolo: : Po ( µ ), oppure : Po ( λ ) = [ 0, ) Parametro: µ = λ t, λ S = 0,1,2, Supporto: { } + + t ( t + ) ( t ) x x µ µ λ t λ e = e x = 0,1,2 Funzione di probabilità: p ( x ) = x! x! 0 altrove dove x! = 1 2 x; 0! = 1 Riferimenti storici: Siméon-Denis Poisson ( ), matematico, geometra e fisico francese. Tipico significato applicativo: i valori possibili x di questa variabile aleatoria sono il numero di volte che in un dato intervallo di tempo di lunghezza t si può osservare (o può essere verificata) una data condizione (ovvero il numero di successi nell intervallo di tempo lungo t ) qualora il parametro λ sia costante ( λ = numero medio delle volte che la condizione si verifica per unità di tempo = tasso di successo, µ = λ t = numero medio di successi in tutto l intervallo di tempo lungo t ). Ogni volta che la condizione è osservata o verificata si dice che si ha un successo indipendentemente dalla desiderabilità o meno dello stesso. Quindi i valori x della Poissoniana sono il numero dei successi in un dato intervallo di tempo con tasso di successo λ costante. E questo il caso cosiddetto omogeneo della poissoniana (c è anche la versione non omogenea della poissoniana con tasso di successo λ = λ ( t) variabile in funzione di t ). Le seguenti variabili aleatorie sono tipicamente Poissoniane: = n di guasti di un impianto in un dato intervallo di tempo: x 0,1,2, { } = n di nuclei radioattivi che decadono un dato intervallo di tempo: x { 0,1,2, } = n di ordini di acquisto ricevuti in un dato intervallo di tempo: x { 0,1,2, } = n di sinistri a carico di una compagnia assicurativa in un mese: x { 0,1,2, } = n di chiamate che arrivano ad un centralino in un'ora: x { 0,1,2, } = n di clienti che arrivano ad una cassa di un supermercato in mezz'ora: x 0,1,2, { } Dove i successi sono rispettivamente dati da: i guasti, i nuclei decaduti, gli ordini, i sinistri, le chiamate ed i clienti. Le ipotesi che giustificano l impiego della variabile aleatoria di Poisson sono molto naturali e generali ovvero: (1) In due intervalli di tempo che non si sovrappongono la probabilità del numero di successi nel primo intervallo non dipende dalla probabilità del numero di successi nel secondo intervallo e viceversa; 11

12 (2) t = 0 0 = 0 ; P ( t = 1) = λ t + o ( t ) o ( t ) (3) t > 0 (dove λ = cost. > 0 e lim = 0) t 0 P ( t 2) = o ( t ) t In particolare la prima probabilità in (3), cioè la probabilità di avere un successo in un intervallo di lunghezza t, è proporzionale a t con costante di proporzionalità λ più una quantità che è piccola rispetto a t per t tendente a zero ( o ( t ) = o-piccolo di t = infinitesimo di ordine superiore a t, ovvero tende a zero più velocemente di t per t tendente a zero). La seconda probabilità in (3), cioè la probabilità di più di un successo in un intervallo di lunghezza t, è piccola rispetto a t per t tendente a zero,. Le condizioni (1)-(3) di cui sopra e le regole (ovvero gli assiomi ed i teoremi) del calcolo delle probabilità (che vedremo) conducono ad un sistema di equazioni p x; t differenziali ricorsive del primo ordine nella funzione di probabilità incognita ( ). La soluzione di tale sistema di equazioni differenziali è appunto la funzione di probabilità poissoniana vista sopra, ovvero si ha x λ t ( λ t ) p ( x; t ) = e x = 0,1,2 x! Tale sistema di equazioni differenziali è dato da: dp ( 0; t ) x = 0 : = λ p ( 0; t ) dt dp ( x; t ) x 1: = λ p ( x; t ) + λ p ( x 1; t ) dt Tutto quanto precede resta valido se invece del tempo, e quindi il numero di successi in un intervallo di tempo, si considera lo spazio (uni-dimensionale) e quindi il numero di volte in cui una condizione è verificata in dato intervallo dello spazio unidimensionale. UNA PRIMA VARIABILE ALEATORIA CONTINUA NOTEVOLE E LA SUA FUNZIONE DI DENSITÀ DI PROBABILITÀ Simbolo: : U ( a; b) Parametri: a, b, a < b S = a, b Supporto: [ ] Variabile aleatoria UNIFORME CONTINUA o RETTANGOLARE con parametri a e b 12

13 Funzione di densità di probabilità: ( ) 1 f x = b a 0 a x b altrove Tipico significato applicativo: questa variabile aleatoria si usa quando si sa (o si ipotizza) che la probabilità che la variabile aleatoria assuma un qualsiasi valore in un dato intervallo sia esattamente proporzionale alla lunghezza dell intervallo stesso 1 con costante di proporzionalità data dalla densità di probabilità f ( x ) = che b a infatti è costante (o uniforme ). [Questa variabile si usa anche, all opposto, quando non si sa nulla (e non si sa cosa ipotizzare) di come possa variare la probabilità al variare dell intervallo e della sua lunghezza]. Questa variabile si chiama anche rettangolare perché il grafico della densità è un rettangolo con base data dal supporto S = [ a, b] ed altezza data dalla densità costante (o uniforme ) su tutto il supporto. Applicando la proprietà (d) della funzione di densità, calcoliamo la probabilità che la variabile uniforme assuma un qualsiasi valore nei seguenti tre intervalli di lunghezza crescente: ù Intervalli: A = [ a, b ] A = [ a, b ] S = [ a, b] Estremi degli intervalli: a < a < a < b < b < b b a < b a < b a Lunghezze degli intervalli: ( ) ( ) ( ) Probabilità: ( b a ) 1 < ( b a ) 1 < ( b a ) 1 = 1 b a b a b a Applicando in dettaglio la proprietà (d) della densità, verifichiamo le probabilità di cui sopra da cui risulta appunto che le probabilità crescono proporzionalmente alla lunghezza dell intervallo con la costante di proporzionalità data dalla densità costante: 1 P ( A ) = P ( a b ) = area sopra A = lunghezza di base altezza = ( b a ) b a 1 P ( A ) = P ( a b ) = area sopra A = lunghezza base altezza = ( b a ) b a P ( 1 S ) = P ( a b ) = area sopra S = lunghezza base altezza = ( b a ) = 1 b a Si noti che l ipotesi di proporzionalità della probabilità alla lunghezza dell intervallo implica il fatto molto ragionevole e generale che più lungo è l intervallo più è alta la probabilità che la variabile aleatoria assuma un valore che si trova nell intervallo stesso (questo fatto rientra in una proprietà generale della probabilità, la monotonia non decrescente). Ciò che invece è molto particolare, e peculiare della variabile aleatoria uniforme continua, è che la probabilità aumenti in modo esattamente proporzionale alla lunghezza dell intervallo. Tutte le altre variabili aleatorie 13

14 continue hanno proprio il ruolo di rappresentare situazioni in cui tale esatta proporzionalità non può considerarsi realistica o appropriata. VERIFICA DELLE PROPRIETÀ DELLA FUNZIONE DI PROBABILITÀ E DI DENSITÀ PER LE VARIABILI ALEATORIE DI CUI SOPRA La verifica delle proprietà (a)-(d) a pag. 3 è immediata sia nel caso discreto sia nel caso continuo. L unico caso in cui la verifica non è immediata è quello che riguarda la proprietà (c) di normalizzazione per la variabile aleatoria poissoniana per la quale si ha: x x µ µ µ µ µ µ e = e e e 1 x S x! = = x= 0 x! dove per la serie di potenze fra parentesi si ha che e µ µ = x x= 0 x! ovvero è lo sviluppo in serie di Taylor-McLaurin di e µ (p. es. pagg , 273, Bramanti M., Pagani C.D., Salsa S., Matematica, calcolo differenziale e algebra lineare, 2004, Zanichelli, Bologna). 14