Esercizi di Matematica Ripasso programma di 3 a

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1 Esercizi di Matematica Ripasso programma di a Questi esercizi sono divisi per sezioni, per facilitare il ripasso. Per sezione non intendiamo tanto un leitmotif che leghi ogni esercizio contenuto in essa, bensì le capacità che essa richiede per essere svolta. Tuttavia, non essendo la materia confinabile in vari compartimenti stagni, per affrontarli sarà d uopo una comprenzione di tutta la materia trattata nel corso dell anno. Alcuni di questi esercizi, che risultano più impegnativi, sono contrassegnato da un asterisco. Algebra Esercizio.. Si faccia il completamento al massimo grado dei seguenti polinomi riportandoli nella forma ax b n + c, ove possibile: a 4x 0x + 00x + x 4 4 x + 8x x c x + x x + 5 d x x + 9 e x 5x + 0 x Esercizio.*. funzione: Dopo averne trovato gli zeri, si tracci un grafico qualitativo della seguente fx = x x + 8x 5 = 0. Esercizio.. Si scompongano nella forma ax b x + c x b + c i seguenti polinomi: a x 4 + x + x 4 +. Successivamente, posto c = c = determinare la condizione che lega b e b affinché il polinomio generico di cui sopra sia della forma: x 4 + kx +. Esercizio.4. Si dimostri, usando la moltiplicazione tra un polinomio ed un binomio, la seguente identità: x n+ x i = + x + x + + x n x = x i=0 n + x = Esercizio.5. Scrivere come composizioni di funzioni elementari le seguenti funzioni: x a fx = x + fx = x + a x a c fx = sen x + 5 sen x d fx = cos x + 4 sen x +

2 e fx = x 4x + 7 x x x + x f fx = x x. Esercizio.*. Riscrivere, servendosi dei valori assoluti, le seguenti funzioni definite a tratti in maniera compatta un unica scrittura che non distingua i casi: ax x 0 a fx = bx x < 0 ax x c fx = ac x < c m x + q x k c fx = dove k = q q m x + q x < k m m x x 0 d fx = x x < 0 e fx = gx gx hx hx gx < hx Esercizio.7. Risolvere, servendosi ove necessario del metodo grafico, le seguenti disequazioni: a x + x 4 x c d e f g h i j k l m x x + > 4x + 4 x + 4 > 8 x x > x x x + x x > x x + x > x x 5 x > x + x x + > x + x > + x x + x + x + x + x + x x x xn n N x i. Si utilizzi comunque il risultato dell es.4. i=0

3 Esercizio.8. Sommando e sottraendo opportunamente le formule di somma e sottrazione del coseno e del seno si ottengano le cosiddette formule di Werner: a c d cos α cos β = [cos α + β + cos α β] sen α sen β = [cos α β cos α + β] cos α sen β = [sen α + β sen α β] sen α cos β = [sen α + β + sen α β]. Esercizio.9. Si dimostri la seguente relazione: sen x + cos x. Esercizio.0. Siano m, n N, si dimostri la seguente relazione: 0 sen n x + cos m x. Esercizio.*. Usando la formula di somma delle tangenti e la definizione di arcotangente provare la seguente identità: a + b arctg a + arctg b = arctg. ab Suggerimento: scrivere la formula di somma delle tangenti di α e β, chiamare a = arctg α, b = arctg β quindi applicare la funzione arcotangente... Esercizio.. Si risolvano, con metodi a scelta, le seguenti equazioni/disequazioni: a sen x + cos x + cos = tg x x + c cos x + d cos x + π + sen sen x 4 π x > e sen x + tg x 5 4 f sen x + sen x < cos x g 7 sen x cos x h sen x cos x = sen x cos x i j k sen x sen x > + sen x sen x + π cos x + π > 4 sen x + π = sen x 8 5 π

4 l cos x + π = sen 5x π 7 7 m sen x = sen x n ctg x + π = tg x π 7 o sen x + cos x p sen x > cos x. Esercizio.. Dimostrare le seguenti diseguaglianze: a sen α + β sen α + sen β sen α + β + sen α β sen α. In entrambe i casi specificare quando vale il segno di uguaglianza. Esercizio.4. Discutere le seguenti equazioni/disequazioni parametriche, tutte di incognita x: a x + kx k = 0 x k x > + x c kx + k x k x = 0 d tg x sen x + k sen x < 4 cos x e k sen x k cos x > f x x k sen + k cos = k k g h r x = kr x cos x + cos x = k. con r fissato Vettori Esercizio.. Si calcoli prodotto scalare, prodotto vettoriale, coseno e seno dell angolo compreso, ed angolo compreso tra le seguenti coppie di vettori: a, 7 5,,, 0 c d e f, 4, 4i + j + i + j i + j i j 4

5 g h,, 5, 5, 7. Esercizio.. In una circonferenza goniometrica si applichino all origine i vettori v = cos α, sen α e v = cos β, sen β. Usando il prodotto vettoriale ed il suo modulo ricavare la legge di sottrazione del seno. Esercizio.. Sono dati dei punti a tre a tre. Determinare, per ogni terna, gli altri punti, che assieme a quelli dati formano un paralelogramma. Calcolare successivamente l area dei tale figura, nonché gli angoli alla base di essa: a A 0, 0 B, C, A 0, 0 B, C, c A, B, C, d A 4, 0 B, C,. Esercizio.4. Sono dati i due vettori: v = i + j v = i j. Sono dati inoltre i seguenti versori: u =, u =,. a Trovare i coefficienti α, α, β e β in modo che risulti: v = α u + β u v = α u + β u scrivere i versori i e j in termini di u e u come nel punto precedente c verificare che sostituendo nella definizione di v e v ai versori i, j la loro espressione trovata nel punto precedente, si ottiene lo stesso risultato del punro a. Esercizio.5*. Si applichi il versore = P 0 P = u = sen α, cos α al punto P 0 con α < π, e si definisca così il punto P. In seguito si applichi al punto P il vettore P P = u = sen α, cos α e si definisca così il punto P. Si iteri in questo modo il procedimento n volte: in generale si applichi al k -esimo punto P k il vettore = P k P k = u k = sen[k α], cos[k α], definendo così il punto P k. a c d Dimostrare che i punti P k con k = 0,..., n giacciono tutti su una circonferenza. Determinare quindi il raggio R di tale circonferenza tracciare il vettore P 0 P n e calcolarne il modulo calcolare quindi le componenti di questo vettore in fine, scrivendo il vettore P 0 P n come somma degli n versori, dimostrare che: senkα = sen n α [ sen α sen n + α ] k=0 coskα = sen n α [ sen α cos n + α ]. k=0 5

6 Geometria e Trigonometria Esercizio.. Sia ABC un triangolo di lati che misurano rispettivamente a, b e c. a Imporre le condizioni su a, b e c, affinchè tali lati possano formare effettivamente un triangolo detto p il semiperimetro, esprimere la misura dell altezza, della mediana e della bisettrice uscenti dal vertice A. Esercizio.. Sia γ una circonferenza di raggio r = e di diametro AB. Su tale diametro si scelga un punto P in modo che risulti Si tracci, dal punto P una corda tale che AP = hp C. CP = kp D. a Discutere le condizioni sui parametri h, k 0 in maniera che tale corda esista determinare la distanza dal centro di questa corda c determinare l angolo DP B. Esercizio.. Sia dato un rettangolo ABCD. Sul lato CA scegliere un punto P in maniera che risulti: Q AB = Q AD + Q DP + Q P C + Q CB dove con Q si è indicata l area del quadrato costruita sul lato posto pedice al simbolo. Problema.4. Sia ABC un triangolo rettangolo, retto in A tale che AB = a e AC = b. Si tracci da AD un segmento che intercetta il lato AC nel suo punto C tale che AC = a + b. a Si determini AB in maniera che: A AP B A AP C = k dove con A abbiamo indicato l area del triangolo scritto pedice al simbolo si determini AB in modo che detta A ABDC l area del quadrilatero ABCD risulti A ABDC = hab. Problema.5. In una circonferenza di raggio r inscrivere un rettangolo avente un lato x tale che il suo perimetro misuri +. Problema.. Si consideri l angolo retto xoy. Dal punto O si tracci una semiretta interna all angolo. Si scelga su tale semiretta un punto B tale che BO = l. Da B si tacci la perpendicolare a BO che incontra la retta x nel punto A. Sempre da B si tracci la perpendicolare alla retta y nel suo punto H. Si determini la semiretta contenente il segmento BO che rende l area del trapezio OABH uguale a 4 l. Suggerimento: porre BOA = x. Scritta l equazione del problema usare la nuova variabile y = x e risolvere con le formule parametriche... Problema.7. In una circonferenza di centro O è iscritto un triangolo ABC retto un B. Si tracci la bisettrice di tale angolo e si chiami D il punto dove tale bisettrice interseca nuovamente la circonferenza e G il punto dove tale bisettrice incontra il segmento AB. Si determini la posizione del punto B affinché: a il quadrilatero OBCD sia un trapezio

7 dette A BCO e A BCG rispettivamente le aree dei triangoli BCO e BCG si abbia: A BCO = ka BCG c inoltre detta A CGD l area del triangolo CGD si abbia: A BCD = ka CGD. Problema.8. Dato il triangolo ABC sia M il punto medio del lato AB. Si dimostri che Q AC + Q BC = Q AB + 4Q CM dove con Q abbiamo indicato l area del quadrato di lato scritto a pedice. Suggerimento: si consiglia di prolungare CM del segmento M D in maniera che ACBD sia un parallelogramma... Problema.9. Del triangolo ABC si conoscono i seguenti dati: BAC = 0, ÂBC = 45 e AB =. Si prenda sul alto AB un punto P. Si tracci il segmento P A e su di esso si considerino i punti M ed N in maniera che AM = MN = NP. Si prenda poi su AB un punto D in modo che AD = DB e un punto E sul lato AC tale che AE = EC. Si trovi la posizione del punto P affinché: ND EM = k. 4 Geometria analitica Esercizio 4.. Sia γ una circonferenza di raggio unitario e di centro l origine. Si tracci una corda CD d parallela all asse delle ascisse e distante da essa d. Si individui su tale corda un punto E d tale che CE d = ke d D. Si determini il luogo dei punti E d. 5 Funzioni Esercizio 5.. Dopo averne enunciato le principali proprietà ed averne studiato la crescenza/decrescenza, tracciare un grafico qualitativo delle funzione dell esercizio.5. 7