dei quali si conoscono solo la media x e la deviazione standard σ e dato un valore reale positivo K, possiamo affermare che:

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1 Eserctazoe VI: Il teorema d Chebyshev Eserczo La statura meda d u gruppo d dvdu è par a 73,78cm e la devazoe stadard a 3,6. Qual è la frequeza relatva delle persoe che hao ua statura superore o ferore a, volte la devazoe stadard? Eserczo Teorema d Chebyshev Data ua dstrbuzoe d valor de qual s cooscoo solo la meda e la devazoe stadard e dato u valore reale postvo K, possamo affermare che: f ( ) La frequeza relatva delle utà che presetao valor ester a u tervallo smmetrco rspetto alla meda o può essere superore a ua certa quattà K Idpedetemete dalla dstrbuzoe della varable la probabltà che questa assuma valor dstat dalla meda pù d volte le devazoe stadard è al massmo f ( 73,78, 3,6),, 3,6,34 Estrem dell tervallo ( m ) : 73,78,34 68,44 73,78 +,34 79, La frequeza 0,44, No pù del 44% degl dvdu ha u altezza superore a 79, cm o ferore a 68,44 cm Eserczo S hao le seguet 0 osservazo della varable X: Totale 0

2 a. Calcolare co l teorema d Chebyshev la frequeza relatva delle osservazo che hao valor superor o feror a, volte la devazoe stadard. b. Cosderado la dstrbuzoe, qual è la frequeza delle osservazo che cadoo effettvamete all tero dell tervallo? Eserczo S hao le seguet 0 osservazo della varable X: Totale 0 Data ua dstrbuzoe d valor de qual s cooscoo solo la meda e la devazoe stadard e dato u valore reale postvo K, possamo affermare che: f ( ) ( ) ( ) ( ) ,0 4,0, ,0,0, ,0 0,00 0, ,9 0,90,7,9 3,80 3,80 3 3,9 8,70 8,70 Totale 0 8,9 0 0,0 8,9 0,0 Teorema d Chebyshev f ( µ )

3 f ( 0,0,,0),,,0,8 Estrem dell tervallo ( m ) : 0,0,8,7 0,0 +,8,8 a., 0,44 Il 44% delle osservazo rcade all estero dell tervallo l 6% all tero. b. Tuttava tale rsultato beché corretto o forsce u formazoe precsa sulla dstrbuzoe de dat. I realtà, fatt, l 7% delle utà cade all tero dell tervallo e solo l % delle utà cade all estero. Eserczo 3 0 dvdu hao le seguet stature: Calcolare la frequeza relatva degl dvdu che hao ua statura superore o ferore a, volte la devazoe stadard. Eserczo 3 0 dvdu hao le seguet stature Calcolare la frequeza relatva degl dvdu che hao ua statura superore o ferore a, volte la devazoe stadard. 3

4 ( ) 60 -,,44 6-9, 84, ,, , 0,4 70 -,,44 7 0,8 0,64 7 3,8 4, ,8 3, ,8 77,44 8 3,8 90, ,6 7 7, 0 ( ) 79,6 7,6 0 Data ua dstrbuzoe d valor de qual d cooscoo solo la meda e lo scostameto quadratco medo e dato u valore reale postvo K, possamo affermare che: f ( ), 7,6,4 Teorema d Chebyshev f ( ) f ( 7,,4), Estrem dell tervallo ( m ) : 7,,4 9,78 7, +,4 8,6, 0,44 No pù del 44% degl dvdu ha ua statura superore a,8,6cm o ferore a 9,78cm. 4

5 Eserczo 4 U teatro ha stallato due tp d lampade. Le lampade del tpo A hao ua durata meda d 4 a e ua varaza par a, metre quelle del tpo B hao ua durata meda d 6 a co varaza par a 4. a. Per le lampade del tpo A, qual è la mma frequeza relatva d lampade co durata compresa tra, e 6, a? b. Per quelle d tpo B, quat è la massma frequeza relatva d lampade co durata superore a 8 a o ferore a 4? Eserczo 4 a. A 4 A A f ( ) Estrem dell tervallo ( m ) :, 4, 4,, + 6, 4 + 6, 6, 4, K,, 4 0, 0,6 La frequeza mma è par a 0,84. b. B 6 B 4 B f ( ) Estrem dell tervallo ( m ) :, K

6 La frequeza massma è par a. Eserctazoe VI: Teorema d Marov Eserczo I u collettvo d 00 bamb, da 0 a 8 a, l altezza assume valore medo 7,4 cm. Qual è, al massmo, la frequeza de bamb che hao u altezza maggore o uguale a 40 cm? Data ua varable X che assume solo valor o egatv qualsas valore a>0, possamo affermare che: f ( X a) a Dove co f (.) s tede la frequeza relatva. de qual è ota la meda, dato u 7,4 a 40 7,4 f ( X 40) 0,4 40 Qud la frequeza massma de bamb co pù d 40 cm d altezza è 0,4. I bamb alt almeo 40 cm soo al massmo 0, Eserctazoe VI: La stadardzzazoe Eserczo 6 Data la seguete dstrbuzoe d pes espressa g determare la corrspodete dstrbuzoe stadardzzata. Eserczo 6 z µ 3 3, 4 4, 3 3, 4 4, 6

7 Meda artmetca µ 3+ 3, , µ 4 Scarto quadratco medo ( µ ) (3 4) + (3, 4) + 0, , + (4 4) 0,7 0,84 + (4 4) + (, 4) µ z µ , 4 z,9 z 0, 60 0,84 0, z 3 0 z 4 0 0,84 0,84, 4 z,79 0,84 La dstrbuzoe stadardzzata è: -,9-0,60 0 0,79 Verfchamo che µ sa uguale a 0 e sa uguale a µ,9 0, ,79 µ 0 ( µ ) (,9 0) + ( 0,60 0) + (0 0) + (0 0) + (,79 0),4+ 0, ,0 7

8 Eserczo 7 Data la seguete dstrbuzoe de compoet d 4 famgle calcolare la corrspodete dstrbuzoe stadardzzata Compoet della famgla Numero de compoet 3 4 Totale 4 Eserczo 7 ( µ ) ( µ ) -,, 4, 0-0, 0,, 3 0, 0,, 4 8,, 4, Totale 4 3, µ z Meda artmetca µ 3 µ 4, Scarto quadratco medo ( µ ), 0,9 4 µ z µ 0 z,,,6 z 0, 0,9 0,9 3, 4, z 3 0, z 4, 6 0,9 0,9 8

9 Verfchamo che µ sa uguale a 0 e sa uguale a ( µ ) ( µ ) -,6-3,3 -,6,7,44-0, -,7-0, 0,30, 0,,7 0, 0,30,,6 3,3,6,7,44 Totale 4 0 3,90 µ µ ( µ ) 3,90 4 Eserczo 8 Determare valor stadard della seguete dstrbuzoe Eserczo 8 µ z Meda artmetca µ µ 33,6 µ ( µ ) 98-37,6 8933,76 4-8,6 668,6 3-0,6 44, ,4 447,36 7,4 3076, , 9

10 Scarto quadratco medo ( µ ) 6099, 0,39 µ z µ ,6 4 33,6 z, z 0, 74 0,39 0,39 z , ,6 0,9 z 4 0, 8 0,39 0,39 33,6 z,9 0,39 Verfchamo che µ sa uguale a 0 e sa uguale a µ, 0,74 + 0,9 + 0,8 +,9 µ 0 ( µ ) (, 0) + ( 0,74 0) + ( 0,9 0) + (0,8 0) + (,9 0),6 + 0, + 0,04 + 0,34 +,3 0

11 Eserctazoe VI: Idetfcazoe valor aomal e costruzoe del bo-plot Eserczo 9 S cosder la dstrbuzoe d u carattere su u collettvo d utà, costrure l bo plot ed evdezare evetualmete valor aomal preset Totale Eserczo 9 N Totale Sccome par la medaa occupa l posto ( ; + ), coè l 6-esmo, 7-esmo posto, e corrspode alla modaltà 0. Sccome è multplo d 4 Il I quartle occupa la poszoe: 8 e qud è Q 0 Il III quartle occupa la poszoe: e qud è Q 3 30

12 Ma III Q Me I Q M I Q m Me ma III Q Valor aomal X> Q3 + λ(q3 Q) X> 30 +,(30 0) 60 X< Q λ(q3 Q) X< 0,(30 0) 0 Coscché questo caso gl estrem del segmeto soo 0 e valor aomal Ma III Q Me I Q M

13 Eserczo 0 S cosder la dstrbuzoe d u carattere su u collettvo d 8 utà, costrure l bo plot ed evdezare evetualmete valor aomal Totale 8 Eserczo 0 N Totale 8 + Sccome dspar la medaa occupa l posto, coè l 4-esmo, posto e corrspode alla modaltà 30. Sccome o è multplo d 4: Il I quartle occupa la poszoe: h qud è Q 4 4 3

14 Il III quartle occupa la poszoe: 3 + h qud è Q I Q m Me ma III Q 0 0 Valor aomal X> Q3 + λ(q3 Q) X> 0 +,(0 ) 07 X< Q λ(q3 Q) X<,(0 ) 4 Coscché questo caso gl estrem del segmeto soo 7 e valor aomal Ma III Q Me I Q M 4