Esercitazione di Geometria I 13 dicembre Esercizio 1. Esercizio 2. Esercizio 3

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1 Esercitazione di Geometria I 13 dicembre 2008 a. Completa la seguente definizione: i vettori v 1, v 2,..., v n del K-spazio vettoriale V si dicono linearmente dipendenti se... b. Siano w 1, w 2, w 3 vettori di V. Prova che se w 1 +2w 2 w 3, w 1 +w 2 +w 3, 2w 1 +w 2 2w 3 sono linearmente dipendenti allora lo sono anche i vettori w 1, w 2, w 3. Determina la dimensione, una base, equazioni e il vettore generico dei seguenti sottospazi di R 4 : U =< (1, 2, 3, 4), (1, 2, 3, 4) >, W =< (2, 0, 0, 7), (2, 0, 0, 8), (2, 0, 0, 9) >, U W, U + W. Risolvi il seguente sistema lineare al variare di k R : 3x ky + 2z = 0 kx + y + 3z = 2 2x 2y z = 2

2 Esercizio 4 Trova la dimensione dei seguenti K-spazi vettoriali: a. C per K = C, b. C per K = R, c. R per K = R, d. R per K = Q. Esercizio 5 a. Sia A una matrice quadrata antisimmetrica (cioè A = t A) di ordine dispari; prova che il suo determinante è nullo. b. Sia B una matrice quadrata di ordine dispari; prova che l equazione ha sempre soluzioni non banali. (B t B)X = 0 Esercizio 6 Mostra che l insieme di tutti i numeri reali positivi con la somma e il prodotto ridefiniti così : x + y = xy, rx = x r è un R-spazio vettoriale.

3 26 febbraio 2009 Siano v 1 = ( 1, k, 0, 3), v 2 = (2, 1, 3, 4), v 3 = (3, 2, k, 1) vettori di R 4. Determina k in modo che v 1, v 2, v 3 siano linearmente dipendenti. Per tali valori determina una base B ed equazioni di W =< v 1, v 2, v 3 >. Dopo aver verificato che w = (1, 4, 3, 7) W, trova le sue componenti rispetto a B. In R[x] 3 sono assegnati i sottospazi vettoriali S =< 1 + x, 2 x 2, 1 x x 2 >, T =< x 3 + x 2, x 3 2x, 1 >. Determina dim S, dim T, dim S + T, dim S T. Trova un sottospazio S S tale che S + T = S T = R[x] 3. In A 3 (R) sono assegnati: la retta r per A(1, 5, 4) e B = (0, 1, 1); la retta s per C(1, 0, 3), con vettore di direzione v = (1, 1, 1); il piano α per i punti A (1, 1, 0), B (2, 2, 1), C (0, 0, 1) e il piano β = (C ; < (1, 4, 0), (0, 0, 1) >). Determina la posizione reciproca di: 1) r e s ; 2) r e α ; 3) r e β, trovando, se sono incidenti, la loro intersezione. Nel fascio F di piani di asse r determina, se possibile, i piani paralleli: 1) alla retta s ; 2) al piano α ; 3) al piano β. Prova che tutte le rette intersezione di un piano di F con β sono parallele. Esercizio 4 Siano P 1 (1, 1, 1, 3), P 2 (0, k 1, 1, 6), P 3 (3, 0, 4, 7), P 4 (4, 3, 1 + k, 4) punti di A 4 (R). Determina k in modo che i punti P 1, P 2, P 3, P 4 appartengano ad un piano π. Per tali valori trova equazioni di π. Prova che la retta (P 1 ; < (1, 4, 3, 7) >) è contenuta in π. (Per i calcoli si può fare riferimento all esercizio 1.)

4 9 giugno 2009 Sono assegnate le applicazioni T i : R[x] 2 R[x] 4 così definite: T 1 (p(x)) = p(x 2 ), T 2 (p(x)) = p(x) + 1, T 3 (p(x)) = p(x + 1), T 4 (p(x)) = p(1). Determina le applicazioni T i che sono lineari specificando per ciascuna di esse una base e la dimensione del nucleo e dell immagine. Dopo aver verificato che T 3 e T 4 inducono endomorfismi t 3 e t 4 di R[x] 2 stabilisci se t 3 e t = t 4 t 3 sono diagonalizzabili e trova anche, quando possibile, una base di autovettori e la matrice dell endomorfismo rispetto a tale base. Nello spazio euclideo E 3 sono assegnati un generico punto P (x, y, z), la retta r per l origine con vettore di direzione v = (1, 1, 1), la retta s : x + 2y 2z = 1, 2x 2z = 1, il punto P 0 (3/2, 5/4, 3). 1. Verifica che r e s sono sghembe e calcola la loro distanza. 2. Prova che tutte le rette P 0 P perpendicolari a r si trovano su un piano α. 3. Trova equazioni della retta l per P 0, perpendicolare a r e incidente s. Prova che anche l e s sono perpendicolari. 4. Detta T v la traslazione definita dal vettore v, prova che T v (l) e T v (r) sono perpendicolari e che i piani per l origine che sono trasformati in se stessi da T v formano un fascio il cui asse è la retta r. Determina equazioni di due piani di P 4 (R) la cui intersezione sia una retta e di due piani di P 4 (R) la cui intersezione sia un punto; trova le coordinate di tale punto. Perché non è possibile trovare due piani sghembi di P 4 (R)?

5 Esercitazione di Geometria I 1 dicembre 2009 a. Risolvi il seguente sistema lineare al variare di k R : x + ky = 3 (k + 1)x + 4y = 5 5x + (k + 4)y = 7 b. Determina tutti i valori k R per i quali il sistema x + ky + 3z = 2 (k + 1)x + 4y + 5z = 4 5x + (k + 4)y + 7z = 6 è impossibile. Siano A e B matrici arbitrarie rispettivamente di M n (R) e di M n,1 (R). a. Calcola det( A) in funzione di det A. b. Prova che se n è dispari e se A = t A il sistema AX = B non è determinato. Prova che i vettori (2, 0, 0, 8), (2, 0, 0, 9), (2, 0, 1, 0) R 4 sono linearmente indipendenti e che < (2, 0, 0, 8), (2, 0, 0, 9), (2, 0, 1, 0) > = < (1, 0, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1) >. È possibile trovare una base di < (2, 0, 0, 9), (2, 0, 1, 0, ) > contenente almeno un vettore della base canonica?

6 4 marzo 2010 In A 3 (R) sono assegnati il punto P (0, 1, 0), la retta r e il piano α di equazioni r : { ax + 3y + 4z = 2 x + 4y + 7z = 3, α : x + 2y + z = b Determina la posizione reciproca di r e α al variare di a, b R Per a = 1, b = 2 determina: un vettore di direzione di r e una base della giacitura di α; l equazione cartesiana del piano contenente r e P ; l equazione cartesiana del piano contenente r e parallelo a α; equazioni cartesiane della retta parallela a r e contenente P. Per ogni matrice quadrata A = (a ij ) di ordine n si denota con tra (traccia di A) la somma degli elementi della diagonale, cioè tra = a a nn Prova che X = {A M 2 (R) : tra = 0} è un sottospazio vettoriale di M 2 (R) e determina una sua base B e la sua dimensione. Completa B ad una base C di M 2 (R) e trova le componenti della matrice identica rispetto a C Siano A, B matrici quadrate di ordine n. Prova che tr(ab) = tr(ba). Prova che se B è invertibile si ha tr(b 1 AB) = tra. Siano β 1 e β 2 due piani sghembi di uno spazio affine A di dimensione 4. Dette M 1 e M 2 le giaciture di β 1 e β 2, calcola dim(m 1 M 2 ) e prova che per ogni punto di A passa una e una sola retta parallela ad entrambi i piani β 1 e β 2.

7 19 giugno 2010 Siano v = (1, a) e w = (2, b) vettori di R 2. Prova che l applicazione f : R 2 R 2 definita da f(x, y) = xv + yw è un endomorfismo. Studia f al variare di a, b R. Determina a, b tali che f f = f e per tali valori trova una base B di R 2 per la quale sia ( ) 1 0 M B (f) =. 0 0 Nello spazio euclideo E 3 sono assegnati la retta r e il piano α di equazioni { x + y + kz = 0 r :, α : 2x + 3y + z 14 = 0. 2x + y z = 0 Trova k R in modo che la retta r sia parallela al piano α. Per tale valore di k calcola la distanza d(r, α). Posto k = 1 determina equazioni della retta di α perpendicolare e incidente r. a. Trova autovalori e autovettori dell isomorfismo di R 2 tale che φ(1, 1) = (14, 6), φ(4, 1) = (2, 0). b. Sia f una affinità di A 2 (R) con isomorfismo associato φ. Determina tutte le rette s di A 2 (R) tali che s e f(s) siano parallele. c. Scrivi equazioni della proiettività g di P 1 (R) indotta da φ e trova il corrispondente del punto improprio e i punti uniti. Esercizio 4 Determina h R in modo che i punti di P 4 (R) A[h, 3, 1, 3, 1], B[0, h, 0, 1, 0], C[1, 5, 1, h, 1] siano allineati e trova equazioni cartesiane della retta che li contiene. Individua un riferimento proiettivo rispetto al quale tale retta abbia equazioni x 3 = x 4 = x 5 = 0.