# STUDIO DELLA FEDELTA DI RISPOSTA

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Giancarlo Valle
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1 # STUDIO DELLA FEDELTA DI RISOSTA # er poter formulare n manera approprata problem sntes (progetto) sstem controllo, e necessaro a questo punto nteressarc elle loro propreta n termn feelta rsposta agl ngress applcat, ntesa come l nseme propreta relatve al comportamento namco el sstema che ne renono pu o meno sosfacent le prestazon n base agl obettv el controllo. Il fne e, per esempo, quello avere una base per l confronto elle prestazon con quelle altr sstem ( rfermento) e ottenere elle ncazon per apportare opportune mofche (a blocch controllo) affche l sstema controllato rspona alle specfche mposte. In genere, per poter effettuare confront cu sopra, s sottopongono sstem a opportun ngress (stanar o canonc) e se ne analzzano le rsposte. Alcun e crter classc sntes e sstem controllo sono basat appunto sull anals elle rsposte el sstema a segnal canonc e sulla successva mofca (e parametr e/o e blocch) per sosfare le esgenze comportamento eserato. I segnal canonc normalmente usat sono segnal a grano, a rampa lneare e a rampa parabolca, le cu espresson n funzone el tempo sono molto semplc e comoa manpolazone, come pure le loro L trasformate. SEGNALI CANONICI Segnale Funzone el tempo L trasformata Grano untaro 1 δ -1 (t) 1/s Rampa lneare t δ -1 (t) 1/s 2 Rampa parabolca (t 2 /2) δ -1 (t) 1/s Rampa orne k (t k /k!) δ -1 (t) 1/s (k1) Tal segnal hanno la propreta sollectare tutt mo un sstema namco e qun metterne n evenza le caratterstche nteresse per l progetto. A fn ell anals ella feelta rsposta, s ve la rsposta nel tempo el sstema n ue part: a) rsposta n transtoro (o n regme transtoro); b) rsposta a regme (o n regme permanente) t. er poter effettuare uno stuo ella feelta rsposta, come etto sopra volto alla formulazone approprata problem sntes, occorre prenere n conserazone l errore coe lo scostamento fra l anamento eserato e quello effettvo ella granezza uscta el sstema controllo, e esamnarne var aspett. 1

2 Con rfermento alla classe sstem controllo nteresse n questo corso, e coe quell tpo proporzonale, l anamento eserato ella granezza uscta e : y (t) = K x(t) (1) n cu K e la costante eserata el legame eale ngresso-uscta. L errore e efnto alla relazone: e, trasformano secono Laplace: e(t) = y (t) y(t) = K x(t) y(t) (2) E( = Y ( Y( = K X( Y( (3) Le cause ell errore sono sostanzalmente ue: 1. l fatto che l legame ngresso-uscta e namco e qun ntrnsecamente verso a quello stantaneo cu corrspone l K eserato; 2. le azon e sturb e gl effett elle varazon parametrche. rescneno a queste ultme, elle qual c s potra nteressare a parte specfcamente (rcora la funzone sensblta alle varazon parametrche), conseramo l sstema sottoposto all azone smultanea ella granezza ngresso X( e sturb Z (, agent n vers punt ella catena retta. Z1 Z2 Z3 X C A1 A2 Y L uscta puo esprmers, per l prncpo sovrapposzone egl effett, con la: Y = W ( X ( W z ( Z ( ( (4) ove W( e la F. T. ngresso-uscta el stema controllo feeback e le W z ( sono le F. T. a punt n cu agscono vers sturb Z ( all uscta. L errore puo qun essere espresso con la: [ K ] W ( X ( E ( ( (5) = W z ( Z nella (5) possamo efnre una F. T. ngresso-errore: 2

3 W ex E( ( = s X ( [ K W ( )] = (6) Tale F. T. gochera un ruolo fonamentale nella nostra anals. La (5) ce che l errore s puo conserare come somma ue aen; l prmo: E x [ K W ( ] X ( ) ( s = (7) pene al fatto che l legame W( tra l uscta e l ngresso e verso a quello eserato eale; l secono e la somma altr aen el tpo: E z ( W ( Z ( = (8) z che anno l effetto e sturb. S puo verfcare faclmente che la W( e le W z ( sono strettamente legate: l loro enomnatore e lo stesso e e l polnomo caratterstco el sstema. Questa propreta e vala n generale, anche per schem controllo con pu ccl ntern retroazone. Dall espressone (5) ell errore e charo che la stuazone eale (assenza errore) s avrebbe se W( fosse uguale a K e tutte le W z ( fossero nulle. Ingegnerstcamente parlano, basterebbe che queste conzon fossero sosfatte, con la precsone eserata, nelle bane frequenza occupate rspettvamente a X(jω) e a var sturb Z (jω). In see sntes, la scelta ella struttura el sstema controllo, e blocch controllo stess e e loro parametr, vanno fatte n moo a sosfare l pu possble le conzon cu sopra. ESEMIO: Z X Cc Y W ( 1 ( = ; W z ( 1 ( = ; 3

4 Teneno conto elle espresson W( e W z (, le conzon eal potrebbero essere consegute scegleno (=1/K e l guaagno el controllore nfnto n moo che: W 1 ( 1 K ( = = ; e W z ( 0 A parte l fatto che ffclmente s puo renere (= 1/K (nevtabl costant tempo che nfluenzano l comportamento el sstema a frequenze elevate), e charo che la conzone guaagno nfnto el controllore non puo non nflure negatvamente sulla stablta el sstema a cclo chuso. Conclueno: alle conserazon cu sopra s può affermare che n generale l aumento el guaagno a cclo aperto porta a un mgloramento elle propretà feeltà rsposta, ma cò va a scapto elle caratterstche stabltà el sstema controllo; e qun necessara una scelta compromesso fra le ue esgenze contrastant n see sntes. K Crter convenzonal valutazone ella feelta rsposta ne sstem asservmento e regolazone. Lo stuo ella feeltà rsposta basato sull espressone (5) ell errore n ogn problema specfco mplcherebbe non solo la conoscenza elle vare F. T. W z ( (e qun e var punt ngresso e sturb), ma anche la conoscenza el segnale ngresso e quell sturbant, cosa che n pratca non avvene quas ma. Nello svluppo ella teora classca e controll automatc per sstem SISO (lnear, stazonar e a parametr concentrat), s rcorre solto a una schematzzazone e segnal n goco, conserano l sstema allo stuo sottoposto a segnal canonc. Tale schematzzazone consente valutare n manera relatvamente semplce la qualtà el sstema al punto vsta nteresse attuale. er semplfcare ulterormente lo stuo ella feeltà rsposta, s procee a ulteror schematzzazon; n prmo luogo s potzza che sul sstema agsca uno solo e segnal present (rcora l concetto soluzone parzale a suo tempo ntrootto). Cò e perfettamente lecto nell ambto ella teora e sstem lnear che qu s stanno conserano (utlzzazone el prncpo sovrapposzone egl effett). S stuano noltre separatamente sstem asservmento e sstem regolazone perché le schematzzazon a sceglere ovranno essere quelle pù aerent alla stuazone maggore nteresse pratco. 4

5 Nel caso egl asservment, n cu obettvo fonamentale e quello forzare l uscta a segure un anamento proporzonale all ngresso, s scegle come schematzzazone rfermento quella n cu agsce n ngresso un segnale canonco x(t) e tutt gl altr ngress (sturb) sono null: z (t)=0,. X C Y SCEMA STANDARD ER GLI ASSERVIMENTI Da questa schematzzazone elementare s puo passare a un caso pu generale, ancora semplce, potzzano che sturb sano costant. L unca fferenza rspetto al caso elementare sturb null e che n questo caso rsulta al pu alterato solo l valore regme ell uscta (corrsponente a x(t)=0) e non la sua legge varazone. Nel caso sstem regolazone, n cu l segnale ngresso (segnale rfermento o set pont) e costante e la fnalta prma el sstema controllo e quella oppors agl effett e sturb, s aotta come schematzzazone stanar rfermento quella che consera un solo sturbo agente rettamente sull uscta (a valle el processo ) e l ngresso nullo x(t)=0. X=0 e C u Z y r SCEMA STANDARD ER LE REGOLAZIONI 5

6 Rcoramo che e sempre possble rconurs a tale caso, nell potes che l sturbo agsca n un punto ntermeo ella catena retta (tra controllore e processo), conserano l sturbo equvalente n uscta: Z eq (=Z(. A proposto elle schematzzazon e opportuno osservare che, se quella per sstem regolazone puo essere conserata suffcente a fn ello stuo ella feelta rsposta perche l ngresso e effettvamente costante, nel caso egl asservment l potes sturb null o costant non e quas ma realstca. In una secona fase ell anals ell errore s ovra conserare anche l azone almeno una granezza sturbante; n tale fase c s potra rconurre alla schematzzazone utlzzata per sstem regolazone. Conclusone: le schematzzazon ntrootte permettono, a fn ell anals ella feelta rsposta, conserare l sstema sottoposto a un solo segnale forma canonca e agente n un punto ben etermnato. 6

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