QUANTITÀ DI MOTO E MOMENTO DELLA QUANTITÀ DI MOTO

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "QUANTITÀ DI MOTO E MOMENTO DELLA QUANTITÀ DI MOTO"

Transcript

1 QUANTITÀ DI MOTO E MOMENTO DELLA QUANTITÀ DI MOTO Quantità di Moto Definizione 1 Per un punto P dotato di massa m e velocità v, sidefinisce quantità di moto il seguente vettore Q := m v. (1) Definizione Per un sistema discreto di punti P i, dotato di massa m i,sidefinisce quantità di moto il seguente vettore P Q := N m i v i. () Definizione 3 Dato un sistema continuo, per ogni punto P del sistema, sia ρ (P ) la funzione densità di massa, allora il vettore quantità di moto si definisce come Q := ρ (P ) v (P ) d. (3) Teorema 1 (della quantità di moto) La quantità di moto di un sistema è uguale alla massa totale per la velocità del centro di massa v. Dimostrazione. Dalla definizione di centro di massa NP m i P i O ³ P O := = m O = N m NP i P i O. (4) m i Sia O un punto fisso rispetto all osservatore. Deriviamo rispetto al tempo t P m v = N m i v i = Q. (5) 5 Esempio 1 Asta omogenea di massa m e lunghezza l, conl estremo A vincolato a scorrere lungo una guida orizzontale. alcolare la quantità di moto. (6)

2 6 Il sistema ha gradi di libertà: l ascissa x di A e l angolo di rotazione θ. Dobbiamo esprimere la velocità del ³ centro di massa in funzione di (x, θ) edelleloroderivate rispetto al tempo t ẋ, θ.usiamo metodi: 1. Metodo cartesiano. Le coordinate del baricentro sono: ½ x = x + l cos θ ½ ẋ = ẋ y = l sin θ = l sin θ θ derivando rispetto ẏ = l cos θ θ al tempo t ( ³ Q = x = m ẋ l sin θ θ. (7) Q y = m l cos θ θ. Atto di Moto ototraslatorio. Dalla formula cinematica ( ³ Q v = v A + ω A = x = m ẋ l sin θ θ Q y = m l cos θ θ (8) Momento delle quantità di moto Definizione 4 Per un punto P dotato di massa m evelocitàv, sidefinisce il momento della quantità di moto rispetto ad un polo O il seguente vettore Γ O := P O m v = P O Q. (9) Definizione 5 Per un sistema discreto di punti P i, dotato di massa m i,sidefinisce momentodella quantità di moto il seguente vettore Γ O := N P P i O m i v i. (10) Definizione 6 Dato un sistema continuo, per ogni punto P del sistema, sia ρ (P ) la funzione densità di massa, allora il vettore momento della quantità di moto si definisce come Γ O := P O ρ (P ) v (P ) d. (11) Legge di trasporto o legge del cambio di polo Per i sistemi di forze avevamo stabilito la legge del cambio di polo per il momento M O 0 = M O + O 0 O. (1) Per i momenti delle quantità di moto vale una legge analoga con Γ O al posto di M O e Q al posto di Γ O 0 = Γ O + Q O 0 O. (13) Dimostrazione. Si veda la dimostrazione del cambiamento di polo per i momenti delle forze.

3 7 ATTENZIONE!!! In generale Γ O 6= O Q (14) cioè il momento delle quantità di moto NON coincide con il momento della quantità di moto, vettore pensato applicato nel baricentro. Infatti, grazie alla formula del trasporto, Γ O = Γ + Q O = Γ {z} + termine aggiuntivo O Q. (15) onsideriamo un osservatore fisso e un osservatore con origine nel baricentro che mantenga i suoi assi paralleli a quelli della terna fissa (quindi l osservatore mobile trasla con ). In generale Γ O dipende dall osservatore, poichè Γ O coinvolge le velocità dei punti che possono variare da un osservatore all altro. Esiste però un polo speciale, il baricentro, per il quale vale il seguente Teorema Γ fisso = Γ traslante. (16) Dimostrazione. onsideriamo un sistema discreto di punti P i,convelocità v i tali che v i ass = v i rel + v i S = v i rel + v. (17) alcoliamo NP Γ fisso := N P P i m i v i rel P i m i v i ass + N P Γ traslante = N P P i m i v = Γ traslante + m P i m i v rel i + v + N P m i P i v v = Γ traslante. (18) In generale l osservatore traslante con vede atti di moto più semplici. Quindi è più semplice il calcolo di Γ traslante. Esempio aso del corpo rigido. L osservatore traslante con il baricentro vede il corpo muoversi di atto di moto rotatorio attorno a. Teorema 3 (Atto di Moto otatorio) Supponiamo che l atto di moto del sistema materiale sia in un dato istante rotatorio, ovvero v P = ω P O, (19) dove O è un punto dell asse di istantanea rotazione. Allora Γ O = I ω, (0) dove I èlamatriced inerziarelativaado e ω è il vettore velocità angolare.

4 8 Dimostrazione. Per definizione Γ O = P O ρ (P ) v (P ) d = Usando la formula del doppio prodotto vettore: h i a b c =( a c) b ρ (P ) P O {z } a {z} ω b P O d {z } c (1) ³ a b c () eintroducendolaterna(o; x, y, z) possiamo scrivere i vettori P O e ω come ( P O = x i + y j + z k ω = ω x i + ω y j + ω z k. (3) Per cui ΓO = ³ ρ (P ) P O ω (xω x + yω y + zω z ) P O d = n x ρ (P ) + y + z ω x x ω x + xyω y + xzω z i + x + y + z ω y yxω x + y ω y + yzω z j + x + y + z ω z o zxω x + zyω y + z ω z k d. (4) L integrale di una somma è uguale alla somma degli integrali degli addendi, inoltre i versori i, j e k non variano al variare di P, cosìpureω x,ω y e ω z. Quindi ½ Γ O = ρ (P ) y + z ¾ d ω x + ρ (P )( xy) d ω y + ρ (P )( xz) d ω z i ½ + ρ (P ) x + z ¾ d ω y + ρ (P )( yx) d ω x + ρ (P )( yz) d ω z j ½ + ρ (P ) x + y ¾ d ω z + ρ (P )( zx) d ω x + ρ (P )( zy) d ω y k. icordando la composizione della matrice d inerzia possiamo scrivere Γ O =(I xx ω x + I xy ω y + I xz ω z ) i +(I yy ω y + I yx ω x + I yz ω z ) j +(I zz ω z + I zx ω x + I zy ω y ) k. (6) iordinando i vari termini otteniamo Γ O,x I xx I xy I xz ω x Γ O,y = I yx I yy I yz ω y (7) Γ O,z I zx I zy I zz ω z oinformacompatta (5) Γ O = I ω. (8)

5 Osservazione 1 Per il calcolo di Γ O possiamo usare una terna principale d inerzia relativa al punto O. Inquestocaso I = I xx I yy 0 (9) 0 0 I zz e Γ O =(I xx ω x ) i +(I yy ω y ) j +(I zz ω z ) k, (30) con i, j e k versori della terna principale d inerzia. Distinguiamo casi notevoli: aso 1 (simmetria sferica) I xx = I yy = I zz = I. (31) La matrice d inerzia è un multiplo della matrice identità I = I = I1 (3) e Γ O = I ω = Γ O k ω. (33) aso (simmetria assiale) Se ω k u con u versore della terna principale d inerzia = Γ O k ω. Dimostrazione. Per fissareleidee,sia ω k k,cioè ω = ω z k allora Γ O,x I xx Γ O = Γ O,y = 0 I yy 0 0 = I zz ω z k = Izz ω = Γ O k ω. Γ O,z 0 0 I zz ω z (34) 9 Osservazione In generale Γ O non è parallelo a ω. Osservazione 3 Nel caso piano ω k k con k versore della terna principale d inerzia = Γ O k ω. O è il.i.. Osservazione 4 onsideriamo un corpo rigido. Per la legge di cambiamento del polo vale la seguente relazione ΓO = Γ + O Q. (35) Inoltre dal Teorema, sappiamo che Γ fisso = Γ traslante e dal teorema di composizione delle velocità angolari, la velocità angolare di trascinamento è nulla poichè il sistema è traslante, per cui la velocità angolare risulta essere ω = ω r.segue che = I ω r = I ω. Γ traslante

6 10 Esempio 3 onsideriamo ancora l esempio della figura 6 e calcoliamo Γ A.Sinoti che A non è.i... Quindi Γ A 6= I A ω. Dobbiamo utilizzare Γ A = Γ + A Q, (36) dove Γ = I ω con Γ k ω e ω = θ k (con z entrante). Allora Γ = I,zz θ k. (37) I,zz è il momento d inerzia calcolato rispetto al baricentro lungo l asse z.e stato già calcolato e vale alcoliamo I,zz = ml 1 A Q = Γ = ml 1 θ k. (38) A Q i j k l = cos θ l sin θ 0 ³ m ẋ l sin θ θ m l cos θ θ 0 µ 1 = m 4 l cos θ θ 1 l sin θẋ + 1 µ 4 l sin θ θ 1 1 k = m 4 l θ ẋ l sin θ k. (39) Quindi µ µ Γ A = ml 1 θ 1 1 k + m 4 l θ ẋ ml l sin θ k = 3 θ ml ẋ sin θ k. (40) Se avessimo calcolato Γ A attraverso il teorema di Steiner, avremmo ottenuto il seguente risultato: µ I A,zz θ k = I,zz + ml θ 4 k = ml 3 θ k 6= Γ A, (41) dove abbiamo considerato l asse parallelo all asse baricentrale passante per A.Ovviamente la quantità 3 poteva essere calcolata più rapidamente sapendo che Q è il vettore applicato in le cui componenti sono date dall espressione 7. E sufficiente quindi calcolare la componente lungo l asse y del vettore A A = l sin θ (braccio) (4) y e moltiplicarla vettorialmente al vettore Q per ottenere mẋ l ³ sin θ j i = mẋ l ³ sin θ k (43) eaggiungereilmomentodellaquantitàdimotodelbaricentrocalcolatorispettoal polo A con A fisso (pura rotazione rispetto ad A) l e r m l θ e θ = m l 4 θ ( e r e θ )=m l 4 θ k. (44) In totale si ottiene l espressione 39.

Compito del 14 giugno 2004

Compito del 14 giugno 2004 Compito del 14 giugno 004 Un disco omogeneo di raggio R e massa m rotola senza strisciare lungo l asse delle ascisse di un piano verticale. Il centro C del disco è collegato da una molla di costante elastica

Dettagli

; r 0 2 m = l 2 (s 2 θ + c 2 θ) = l 2

; r 0 2 m = l 2 (s 2 θ + c 2 θ) = l 2 1 Calcolo del momento d inerzia Esercizio I.1 Pendolo semplice Si faccia riferimento alla Figura 1, dove è rappresentato un pendolo semplice; si utilizzeranno diversi sistemi di riferimento: il primo,

Dettagli

Esercitazioni di Meccanica Razionale

Esercitazioni di Meccanica Razionale Esercitazioni di Meccanica Razionale a.a. 2002/2003 Dinamica dei sistemi materiali Maria Grazia Naso naso@ing.unibs.it Dipartimento di Matematica Università degli Studi di Brescia Esercitazioni di Meccanica

Dettagli

DINAMICA E STATICA RELATIVA

DINAMICA E STATICA RELATIVA DINAMICA E STATICA RELATIVA Equazioni di Lagrange in forma non conservativa La trattazione della dinamica fin qui svolta è valida per un osservatore inerziale. Consideriamo, ora un osservatore non inerziale.

Dettagli

Compito di Meccanica Razionale M-Z

Compito di Meccanica Razionale M-Z Compito di Meccanica Razionale M-Z 11 giugno 213 1. Tre piastre piane omogenee di massa m aventi la forma di triangoli rettangoli con cateti 4l e 3l sono saldate lungo il cateto più lungo come in figura

Dettagli

Esercitazioni di Meccanica Razionale

Esercitazioni di Meccanica Razionale Esercitazioni di Meccanica Razionale a.a. 2002/2003 Cinematica Maria Grazia Naso naso@ing.unibs.it Dipartimento di Matematica Università degli Studi di Brescia Esercitazioni di Meccanica Razionale - a.a.

Dettagli

MP. Moti rigidi piani

MP. Moti rigidi piani MP. Moti rigidi piani Quanto abbiamo visto a proposito dei moti rigidi e di moti relativi ci consente di trattare un esempio notevole di moto rigido come il moto rigido piano. Un moto rigido si dice piano

Dettagli

FORZE. SistemidiForze Definizione 1 Si definisce Momento di una Forza applicata in un punto P rispetto ad un polo O, la seguente quantità

FORZE. SistemidiForze Definizione 1 Si definisce Momento di una Forza applicata in un punto P rispetto ad un polo O, la seguente quantità FOZE Nozione di Forza La Forza è un ente, assunto come primitivo, atto a rappresentare l azione su un corpo da parte di altri corpi e capace di produrre sul corpo effetti meccanici quali: 5 1. Variazione

Dettagli

MOMENTI DI INERZIA. m i. i=1

MOMENTI DI INERZIA. m i. i=1 MOMENTI DI INEZIA Massa Ad ogni punto materiale si associa uno scalare positivo m che rappresenta la quantità di materia di cui è costituito il punto. m, la massa, è costante nel tempo. Dato un sistema

Dettagli

MOMENTI DI INERZIA PER CORPI CONTINUI

MOMENTI DI INERZIA PER CORPI CONTINUI MOMENTI D INERZIA E PENDOLO COMPOSTO PROF. FRANCESCO DE PALMA Indice 1 INTRODUZIONE -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3 2 MOMENTI

Dettagli

Il vettore velocità angolare (avendo scelto θ come in Figura) si scrive come:

Il vettore velocità angolare (avendo scelto θ come in Figura) si scrive come: 9 Moti rigidi notevoli In questo capitolo consideriamo alcuni esempi particolarmente significativi di moto di un sistema rigido. Quelle che seguono sono applicazioni delle equazioni cardinali di un sistema

Dettagli

Calcolo del momento d inerzia di un braccio robotico

Calcolo del momento d inerzia di un braccio robotico Calcolo del momento d inerzia di un braccio robotico Basilio Bona Dipartimento di Automatica e Informatica Politecnico di Torino basilio.bona@polito.it Internal Report: DAUIN/BB/2006/09.01 Versione: 4

Dettagli

DINAMICA. F i + Φ i = R est. + R int. + R est.+ 0 R int., m i a i = m i

DINAMICA. F i + Φ i = R est. + R int. + R est.+ 0 R int., m i a i = m i DINAMICA Principi ella inamica e equazioni carinali Principio 1 (ella inamica o Principio Inerzia) Esiste un osservatore, chiamato inerziale o Galileiano, rispetto al quale un punto materiale isolato (

Dettagli

Compito di Meccanica Razionale

Compito di Meccanica Razionale Compito di Meccanica Razionale Corso di Laurea in Ingegneria Aerospaziale 10 Gennaio 2017 (usare fogli diversi per esercizi diversi) Primo Esercizio Si consideri il sistema di riferimento Oxy. L estremo

Dettagli

VII ESERCITAZIONE - 29 Novembre 2013

VII ESERCITAZIONE - 29 Novembre 2013 VII ESERCITAZIONE - 9 Novembre 013 I. MOMENTO DI INERZIA DEL CONO Calcolare il momento di inerzia di un cono omogeneo massiccio, di altezza H, angolo al vertice α e massa M, rispetto al suo asse di simmetria.

Dettagli

Esercizio (tratto dal problema 7.36 del Mazzoldi 2)

Esercizio (tratto dal problema 7.36 del Mazzoldi 2) Esercizio (tratto dal problema 7.36 del Mazzoldi 2) Un disco di massa m D = 2.4 Kg e raggio R = 6 cm ruota attorno all asse verticale passante per il centro con velocità angolare costante ω = 0 s. ll istante

Dettagli

Esercizio 2 In una terna cartesiana ortogonale destra Oxyz = Oê 1 ê 2 ê 3 si considera il sistema S di vettori applicati:

Esercizio 2 In una terna cartesiana ortogonale destra Oxyz = Oê 1 ê 2 ê 3 si considera il sistema S di vettori applicati: Prova in itinere di Fondamenti di meccanica razionale e Meccanica razionale del 7.4.16 Esercizio 1 In una terna ortogonale Oxyz Oê 1 ê ê un sistema è composto da un anello circolare omogeneo γ, di massa

Dettagli

Esercitazioni di Meccanica Razionale

Esercitazioni di Meccanica Razionale Esercitazioni di Meccanica Razionale a.a. 2002/2003 Composizione di stati cinetici Maria Grazia Naso naso@ing.unibs.it Dipartimento di Matematica Università degli Studi di Brescia Esercitazioni di Meccanica

Dettagli

Meccanica. 10. Pseudo-Forze. Domenico Galli. Dipartimento di Fisica e Astronomia

Meccanica. 10. Pseudo-Forze.  Domenico Galli. Dipartimento di Fisica e Astronomia Meccanica 10. Pseudo-Forze http://campus.cib.unibo.it/2429/ Domenico Galli Dipartimento di Fisica e Astronomia 17 febbraio 2017 Traccia 1. Le Pseudo-Forze 2. Esempi 3. Pseudo-Forze nel Riferimento Terrestre

Dettagli

j B Dati: ω1=100 rad/s velocità angolare della manovella (1); l = 250 mm (lunghezza della biella 2); r = 100 mm (lunghezza della manovella 1).

j B Dati: ω1=100 rad/s velocità angolare della manovella (1); l = 250 mm (lunghezza della biella 2); r = 100 mm (lunghezza della manovella 1). j B A l 2 1 ω1 r ϑ i Piede di biella Testa di biella Biella Braccio di manovella Siti interessanti sul meccanismo biella-manovella: http://it.wikipedia.org/wiki/meccanismo_biella-manovella http://www.istitutopesenti.it/dipartimenti/meccanica/meccanica/biella.pdf

Dettagli

DEDUZIONE DEL TEOREMA DELL'ENERGIA CINETICA DELL EQUAZIONE SIMBOLICA DELLA DINAMICA

DEDUZIONE DEL TEOREMA DELL'ENERGIA CINETICA DELL EQUAZIONE SIMBOLICA DELLA DINAMICA DEDUZIONE DEL TEOREMA DELL'ENERGIA CINETICA DELL EQUAZIONE SIMBOLICA DELLA DINAMICA Sia dato un sistema con vincoli lisci, bilaterali e FISSI. Ricaviamo, dall equazione simbolica della dinamica, il teorema

Dettagli

Grandezze angolari. Lineare Angolare Relazione x θ x = rθ. m I I = mr 2 F N N = rf sin θ 1 2 mv2 1

Grandezze angolari. Lineare Angolare Relazione x θ x = rθ. m I I = mr 2 F N N = rf sin θ 1 2 mv2 1 Grandezze angolari Lineare Angolare Relazione x θ x = rθ v ω v = ωr a α a = αr m I I = mr 2 F N N = rf sin θ 1 2 mv2 1 2 Iω 2 Energia cinetica In forma vettoriale: v = ω r questa collega la velocità angolare

Dettagli

Meccanica. 5. Cinematica del Corpo Rigido. Domenico Galli. Dipartimento di Fisica e Astronomia

Meccanica. 5. Cinematica del Corpo Rigido.  Domenico Galli. Dipartimento di Fisica e Astronomia Meccanica 5. Cinematica del Corpo Rigido http://campus.cib.unibo.it/252232/ Domenico Galli Dipartimento di Fisica e Astronomia 22 febbraio 2017 Traccia 1. 2. 2 Si chiama numero dei gradi di libertà (GdL)

Dettagli

Fisica 2C. 2 a Prova Parziale 9 Gennaio 2008

Fisica 2C. 2 a Prova Parziale 9 Gennaio 2008 Fisica C a Prova Parziale 9 Gennaio 008 ˆ Leggere attentamente il testo e assicurarsi di rispondere a tutto quanto viene chiesto; se vi sono dei dati numerici ció implica che la(o le)risposta dev essere

Dettagli

Università degli Studi Mediterranea di Reggio Calabria Facoltà d Ingegneria Meccanica Razionale A.A. 2005/ Appello del 04/07/2006

Università degli Studi Mediterranea di Reggio Calabria Facoltà d Ingegneria Meccanica Razionale A.A. 2005/ Appello del 04/07/2006 Facoltà d Ingegneria Meccanica Razionale A.A. 2005/2006 - Appello del 04/07/2006 In un piano verticale Oxy, un sistema materiale è costituito da un disco omogeneo, di centro Q, raggio R e massa 2m, e da

Dettagli

M p. θ max. P v P. Esercizi di Meccanica (M6) Consegna: giovedì 3 giugno.

M p. θ max. P v P. Esercizi di Meccanica (M6) Consegna: giovedì 3 giugno. Esercizi di Meccanica (M6) Consegna: giovedì 3 giugno. Problema 1: Si consideri un corpo rigido formato da una sfera omogenea di raggio R e massa M 1 e da una sbarretta omogenea di lunghezza L, massa M

Dettagli

Dinamica Rotazionale

Dinamica Rotazionale Dinamica Rotazionale Richiamo: cinematica rotazionale, velocità e accelerazione angolare Energia cinetica rotazionale: momento d inerzia Equazione del moto rotatorio: momento delle forze Leggi di conservazione

Dettagli

Compito di Meccanica Razionale

Compito di Meccanica Razionale Compito di Meccanica Razionale Corso di Laurea in Ingegneria Aerospaziale 30 Gennaio 27 (usare fogli diversi per esercizi diversi) Primo Esercizio Si fissi in un piano un sistema di riferimento Oxy. In

Dettagli

P = r. o + r. O + ω r (1)

P = r. o + r. O + ω r (1) 1 5.1-MOTI RELATIVI Parte I 5.1-Moti relativi-cap5 1 5.1-Moti relativi Teorema delle velocità relative Riprendiamo l impostazione tracciata nel paragrafo 2.6 (moti relativi 2-D) e consideriamo un sistema

Dettagli

Dinamica del corpo rigido

Dinamica del corpo rigido Dinamica del corpo rigido Antonio Pierro Definizione di corpo rigido Moto di un corpo rigido Densità Momento angolare Momento d'inerzia Per consigli, suggerimenti, eventuali errori o altro potete scrivere

Dettagli

Coordinate e Sistemi di Riferimento

Coordinate e Sistemi di Riferimento Coordinate e Sistemi di Riferimento Sistemi di riferimento Quando vogliamo approcciare un problema per risolverlo quantitativamente, dobbiamo per prima cosa stabilire in che sistema di riferimento vogliamo

Dettagli

1) Per quale valore minimo della velocità angolare iniziale il cilindro riesce a compiere un giro completo.

1) Per quale valore minimo della velocità angolare iniziale il cilindro riesce a compiere un giro completo. Esame di Fisica per Ingegneria Elettronica e delle Telecomunicazioni (Parte I): 04-02-2016 Problema 1. Un punto materiale si muove nel piano su una guida descritta dall equazione y = sin kx [ = 12m, k

Dettagli

Robotica industriale. Richiami di statica del corpo rigido. Prof. Paolo Rocco

Robotica industriale. Richiami di statica del corpo rigido. Prof. Paolo Rocco Robotica industriale Richiami di statica del corpo rigido Prof. Paolo Rocco (paolo.rocco@polimi.it) Sistemi di forze P 1 P 2 F 1 F 2 F 3 F n Consideriamo un sistema di forze agenti su un corpo rigido.

Dettagli

Problema (tratto dal 7.42 del Mazzoldi 2)

Problema (tratto dal 7.42 del Mazzoldi 2) Problema (tratto dal 7.4 del azzoldi Un disco di massa m D e raggio R ruota attorno all asse verticale passante per il centro con velocità angolare costante ω. ll istante t 0 viene delicatamente appoggiata

Dettagli

v P = d OP (t) dt = OP (t) (3.1) = v = d2 OP (t) dt 2 P =

v P = d OP (t) dt = OP (t) (3.1) = v = d2 OP (t) dt 2 P = Capitolo 3 Cinematica La cinematica studia il moto di punti e corpi a prescindere dalle cause che lo determinano. La relazione tra moto e azioni sarà oggetto della dinamica. In questo capitolo si descrivono

Dettagli

1. Considerare il seguente sistema di vettori applicati:

1. Considerare il seguente sistema di vettori applicati: 1 Università di Pavia Facoltà di Ingegneria Corso di Laurea in Ingegneria Industriale Correzione prova scritta Esame di Fisica Matematica febbraio 011 1. Considerare il seguente sistema di vettori applicati:

Dettagli

Esercizi di Complementi di Matematica (L-Z) a.a. 2015/2016

Esercizi di Complementi di Matematica (L-Z) a.a. 2015/2016 Esercizi di Complementi di Matematica (L-Z) a.a. 2015/2016 Prodotti scalari e forme bilineari simmetriche (1) Sia F : R 2 R 2 R un applicazione definita da F (x, y) = x 1 y 1 + 3x 1 y 2 5x 2 y 1 + 2x 2

Dettagli

Esame di Meccanica Razionale. Allievi Ing. MAT Appello del 6 luglio 2007

Esame di Meccanica Razionale. Allievi Ing. MAT Appello del 6 luglio 2007 Esame di Meccanica Razionale. Allievi Ing. MAT Appello del 6 luglio 2007 y Nel sistema di figura posto in un piano verticale il carrello A scorre con vinco- q, R M lo liscio lungo l asse verticale. Il

Dettagli

Esercitazioni di Meccanica Razionale

Esercitazioni di Meccanica Razionale Esercitazioni di Meccanica Razionale a.a. 2002/2003 Meccanica analitica II parte Maria Grazia Naso naso@ing.unibs.it Dipartimento di Matematica Università degli Studi di Brescia Esercitazioni di Meccanica

Dettagli

Meccanica. 5. Moti Relativi. Domenico Galli. Dipartimento di Fisica e Astronomia

Meccanica. 5. Moti Relativi.  Domenico Galli. Dipartimento di Fisica e Astronomia Meccanica 5. Moti Relativi http://campus.cib.unibo.it/2423/ Domenico Galli Dipartimento di Fisica e Astronomia 22 febbraio 2017 Traccia 1. Cambiamento del Sistema di Riferimento 2. Trasformazione del Vettore

Dettagli

EQUAZIONI DI LAGRANGE E STAZIONARIETÀ DEL POTENZIALE

EQUAZIONI DI LAGRANGE E STAZIONARIETÀ DEL POTENZIALE EQUAZIONI DI LAGRANGE E STAZIONARIETÀ DEL POTENZIALE Equazioni di Lagrange in forma non conservativa Riprendiamo l equazione simbolica della dinamica per un sistema olonomo a vincoli perfetti nella forma

Dettagli

ESERCIZI SULLA DINAMICA DI CORPI RIGIDI.

ESERCIZI SULLA DINAMICA DI CORPI RIGIDI. ESERCIZI SULL DINMIC DI CRPI RIIDI. Risoluzione mediante equazioni di Lagrange, equilibrio relativo (forze aarenti), stazionarietà del otenziale U; stabilità dell equilibrio e analisi delle iccole oscillazioni.

Dettagli

VETTORI E SCALARI DEFINIZIONI. Si definisce scalare una grandezza definita interamente da un solo numero, affiancato dalla sua unità di misura.

VETTORI E SCALARI DEFINIZIONI. Si definisce scalare una grandezza definita interamente da un solo numero, affiancato dalla sua unità di misura. VETTORI E SCALARI DEFINIZIONI Si definisce scalare una grandezza definita interamente da un solo numero, affiancato dalla sua unità di misura. Un vettore è invece una grandezza caratterizzata da 3 entità:

Dettagli

Esercitazione 6 - Dinamica del punto materiale e. del corpo rigido

Esercitazione 6 - Dinamica del punto materiale e. del corpo rigido Università degli Studi di Bergamo Corso di Laurea in Ingegneria essile Corso di Elementi di Meccanica Esercitazione 6 - Dinamica del punto materiale e Esercizio n. del corpo rigido Studiare la dinamica

Dettagli

Esercitazioni di Meccanica Razionale

Esercitazioni di Meccanica Razionale Esercitazioni di Meccanica Razionale a.a. 22/23 Matrici d inerzia Maria Grazia Naso naso@ing.unibs.it Dipartimento di Matematica Università degli Studi di Brescia Esercitazioni di Meccanica Razionale -

Dettagli

CAPITOLO 7: ESEMPI PRATICI: 7.1 Esempi di dinamica.

CAPITOLO 7: ESEMPI PRATICI: 7.1 Esempi di dinamica. CAPITOLO 7: ESEMPI PRATICI: 7.1 Esempi di dinamica. Questo capitolo vuole fornire una serie di esempi pratici dei concetti illustrati nei capitoli precedenti con qualche approfondimento. Vediamo subito

Dettagli

Corso di Laurea in Fisica - A.A. 2015/2016

Corso di Laurea in Fisica - A.A. 2015/2016 Corso di Laurea in Fisica - A.A. 15/16 Meccanica Analitica Tutoraggio X - 1 maggio 16 Esercizio 1 Momenti e assi principali di inerzia Dopo aver scelto un sistema di riferimento conveniente, si trovi la

Dettagli

Angolo polare, versori radiale e trasverso

Angolo polare, versori radiale e trasverso Angolo polare, versori radiale e trasverso Desideriamo descrivere il moto di un corpo puntiforme che ruota su una circonferenza attorno ad un asse fisso. Nella figura l asse di rotazione coincide con l

Dettagli

ESERCIZI SULLA DINAMICA DI CORPI RIGIDI:

ESERCIZI SULLA DINAMICA DI CORPI RIGIDI: ESERCIZI SULLA DINAMICA DI CORPI RIGIDI: risoluzione mediante le euazioni cardinali della dinamica Esercizio n.11 Siadatounpianoinclinatofisso e posto in un piano verticale. Su di esso rotola senza strisciare

Dettagli

Calcolo vettoriale. 2. Nel piano Oxy sono dati i vettori. con la direzione positiva dell asse x,

Calcolo vettoriale. 2. Nel piano Oxy sono dati i vettori. con la direzione positiva dell asse x, Calcolo vettoriale 1 Nel piano sono dati i vettori (P ) di modulo 4 e formante un angolo di π 6 (Q ) = 3i 3j, (P R) = 2 3i con la direzione positiva dell asse, Determinare Q, vers(q ), (P ) + (Q ), (P

Dettagli

Le leggi della meccanica

Le leggi della meccanica Le leggi della meccanica ed il punto materiale Flavio DINAMICA DEL CORPO RIGIDO 1 Il I principio Il moto naturale di un punto materiale è rettilineo e uniforme quindi non circolare (le sfere celesti di

Dettagli

Momento angolare L. P. Maggio Prodotto vettoriale

Momento angolare L. P. Maggio Prodotto vettoriale Momento angolare L. P. Maggio 2007 1. Prodotto vettoriale 1.1. Definizione Il prodotto vettoriale di due vettori tridimensionali a e b è un vettore c così definito: a) Il modulo di c è pari all area del

Dettagli

CORPO RIGIDO MOMENTO DI UNA FORZA EQUILIBRIO DI UN CORPO RIGIDO CENTRO DI MASSA BARICENTRO

CORPO RIGIDO MOMENTO DI UNA FORZA EQUILIBRIO DI UN CORPO RIGIDO CENTRO DI MASSA BARICENTRO LEZIONE statica-1 CORPO RIGIDO MOMENTO DI UNA FORZA EQUILIBRIO DI UN CORPO RIGIDO CENTRO DI MASSA BARICENTRO GRANDEZZE SCALARI E VETTORIALI: RICHIAMI DUE SONO LE TIPOLOGIE DI GRANDEZZE ESISTENTI IN FISICA

Dettagli

Esercizi sulle superfici - aprile 2009

Esercizi sulle superfici - aprile 2009 Esercizi sulle superfici - aprile 009 Ingegneria meccanica 008/009 Esercizio 1. Scrivere l equazione della superficie ottenuta ruotando la retta s : x = y, y =z attorno alla retta r : x = y, x =3z. Soluzione:

Dettagli

Analisi del moto dei proietti

Analisi del moto dei proietti Moto dei proietti E il moto di particelle che vengono lanciate con velocità iniziale v 0 e sono soggette alla sola accelerazione di gravità g supposta costante. La pallina rossa viene lasciata cadere da

Dettagli

a2 Semidischi e asta sono disposti come illustrato in figura. Determinare del sistema:

a2 Semidischi e asta sono disposti come illustrato in figura. Determinare del sistema: Prova scritta di fondamenti di meccanica razionale del 5.6.1 Esercizio 1 Nel piano Oxy di una terna Oxyz si considera il sistema costituito da due semidischi omogenei uguali, D 1 e D, di massa µ, raggio

Dettagli

PROVA SCRITTA DI MECCANICA RAZIONALE (11 giugno 2005) (C.d.L. Ing. Edile - Architettura. Prof. A. Muracchini)

PROVA SCRITTA DI MECCANICA RAZIONALE (11 giugno 2005) (C.d.L. Ing. Edile - Architettura. Prof. A. Muracchini) RV SRITT DI MENI RZINLE (11 giugno 2005) (.d.l. Ing. Edile - rchitettura. rof.. Muracchini) Il sistema rappresentato in figura, mobile in un piano verticale z, è costituito di un disco circolare pesante

Dettagli

FM210 - Fisica Matematica I

FM210 - Fisica Matematica I Corso di laurea in Matematica - Anno Accademico 1/13 FM1 - Fisica Matematica I Seconda Prova di Esonero [14-1-13] SOLUZIONI Esercizio 1 (a) La coordinata del centro di massa è data da X cm = 1 (x 1 + x

Dettagli

Geometria analitica del piano pag 32 Adolfo Scimone

Geometria analitica del piano pag 32 Adolfo Scimone Geometria analitica del piano pag 32 Adolfo Scimone CAMBIAMENTI DI SISTEMA DI RIFERIMENTO Consideriamo il piano cartesiano R 2 con un sistema di riferimento (O,U). Se introduciamo in R 2 un secondo sistema

Dettagli

Figura 1: Il corpo rigido ed il sistema solidale

Figura 1: Il corpo rigido ed il sistema solidale Esercizio. onsideriamo il sistema mostrato in fiura, costituito da due aste A e B, di uual massa b ed uual lunhezza L, vincolate con cerniera nell estremo comune ed i cui estremi A e B sono vincolati a

Dettagli

approfondimento Cinematica ed energia di rotazione equilibrio statico di un corpo esteso conservazione del momento angolare

approfondimento Cinematica ed energia di rotazione equilibrio statico di un corpo esteso conservazione del momento angolare approfondimento Cinematica ed energia di rotazione equilibrio statico di un corpo esteso conservazione del momento angolare Moto di rotazione Rotazione dei corpi rigidi ϑ(t) ω z R asse di rotazione v m

Dettagli

Il moto ed i sistemi di riferimento

Il moto ed i sistemi di riferimento Consideriamo il moto di un punto materiale riferito ad un sistema cartesiano S... che chiameremo fisso o assoluto e ad un sistema S che chiameremo mobile o relativo Il sistema S si può muovere perché si

Dettagli

Prodotto scalare e prodotto vettoriale. Elisabetta Colombo

Prodotto scalare e prodotto vettoriale. Elisabetta Colombo Corso di Approfondimenti di Matematica Biotecnologie, Anno Accademico 2010-2011, http://users.mat.unimi.it/users/colombo/programmabio.html Vettori Vettori 1 2 3 4 di di Ricordiamo il in R n Dati a = (a

Dettagli

Geometria delle masse

Geometria delle masse Geometria delle masse BA. Baricentri Per la trattazione riguardante i baricentri non ci è più sufficiente considerare i corpi come insiemi di punti geometrici, ma abbiamo bisogno di introdurre una nuova

Dettagli

SISTEMI DI CONTROLLO CINEMATICA E DINAMICA DEI ROBOT

SISTEMI DI CONTROLLO CINEMATICA E DINAMICA DEI ROBOT SISTEMI DI CONTROLLO Laurea Specialistica in Ingegneria Meccanica e del Veicolo SISTEMI DI CONTROLLO CINEMATICA E DINAMICA DEI ROBOT Ing. Cristian Secchi Tel. 0522 522235 e-mail: secchi.cristian@unimore.it

Dettagli

Soluzione. a) Per la bilinearità e la simmetria del prodotto scalare, b) Si sfruttano la bilinearità e la simmetria del prodotto scalare.

Soluzione. a) Per la bilinearità e la simmetria del prodotto scalare, b) Si sfruttano la bilinearità e la simmetria del prodotto scalare. Esercizi svolti 4 Problemi guida 117 IL PRODOTTO SCALARE Problema 41 a) Dimostra che (v + w) (v w) = v 2 w 2 b) Dimostra che v w = 1 4 [ v + w 2 v w 2 ] Soluzione a) Per la bilinearità e la simmetria del

Dettagli

Università del Sannio

Università del Sannio Università del Sannio Corso di Fisica 1 Lezione 9 Prof.ssa Stefania Petracca 1 Considerazioni relative al significato del momento angolare I Il momento angolare L di un sistema materiale ammette un interpretazione

Dettagli

Corso di Fisica I per Matematica

Corso di Fisica I per Matematica Corso di Fisica I per Matematica DOCENTE: Marina COBAL: marina.cobal@cern.ch Tel. 339-2326287 TESTO di RIFERIMENTO: Mazzoldi, Nigro, Voci: Elementi d fisica,meccanica e Termodinamica Ed. EdiSES FONDAMENTI

Dettagli

Geometria analitica del piano II (M.S. Bernabei & H. Thaler)

Geometria analitica del piano II (M.S. Bernabei & H. Thaler) Geometria analitica del piano II (M.S. Bernabei & H. Thaler) Equazione della retta in forma esplicita Sia data una retta r ax + by + c = 0 con b 0. Svolgendo questa equazione per y otteniamo e ponendo

Dettagli

Equazioni di Eulero del corpo rigido.

Equazioni di Eulero del corpo rigido. Equazioni di Eulero del corpo rigido. In questa nota vogliamo scrivere e studiare le equazioni del moto di un corpo rigido libero, sottoposto alla sola forza di gravità. Ci occuperemo in particolare delle

Dettagli

Limiti di funzioni di due variabili

Limiti di funzioni di due variabili Limiti di funzioni di due variabili Definizione 1 Sia f : A R 2 R e x 0 = (x 0, y 0 ) punto di accumulazione di A. Diciamo che se e solo se Diciamo che se e solo se f(x) = f(x, y) = L x x 0 (x,y) (x 0,y

Dettagli

FISICA GENERALE Ingegneria edile/architettura

FISICA GENERALE Ingegneria edile/architettura FISICA GENERALE Ingegneria edile/architettura Tutor: Enrico Arnone Dipartimento di Chimica Fisica e Inorganica arnone@fci.unibo.it http://www2.fci.unibo.it/~arnone/teaching/teaching.html Bologna 20 Maggio

Dettagli

derivando due volte rispetto al tempo:

derivando due volte rispetto al tempo: DINAMICA RELATIVA Cinematica relativa: Teorema di Galileo: derivo: utilizzando le formule di Poisson: ricaviamo che: dunque la nostra velocità assoluta risulta: Teorema di Coriolis: derivando due volte

Dettagli

Prova scritta di Fisica Generale I Corso di studio in Astronomia 16 luglio 2013

Prova scritta di Fisica Generale I Corso di studio in Astronomia 16 luglio 2013 Prova scritta di Fisica Generale I Corso di studio in Astronomia 16 luglio 013 Problema 1 Un cubo di legno di densità ρ = 800 kg/m 3 e lato a = 50 cm è inizialmente in quiete, appoggiato su un piano orizzontale.

Dettagli

Meccanica del punto materiale

Meccanica del punto materiale Meccanica del punto materiale Princìpi della dinamica. Forze. Momento angolare. Antonio Pierro @antonio_pierro_ (https://twitter.com/antonio_pierro_) Per consigli, suggerimenti, eventuali errori o altro

Dettagli

Esercizio geometria delle aree

Esercizio geometria delle aree Salvatore Trotta Università degli Studi di Napoli - Federico II 15 aprile 2014 Consideriamo la seguente figura asimmetrica: Suddivisa la figura in tre rettangoli e fissato un sistema di riferimento arbitrario

Dettagli

PROVA SCRITTA DI MECCANICA RAZIONALE (9 gennaio 2015) (C.d.L. Ing. Civile [L-Z] e C.d.L. Ing. Edile/Architettura Prof. A.

PROVA SCRITTA DI MECCANICA RAZIONALE (9 gennaio 2015) (C.d.L. Ing. Civile [L-Z] e C.d.L. Ing. Edile/Architettura Prof. A. PRV SCRITT DI MECCNIC RZINLE (9 gennaio 2015) In un piano verticale, un disco D omogeneo (massa m, raggio r), rotola senza strisciare sull asse ; al suo centro è incernierata un asta omogenea (massa m,

Dettagli

UNIVERSITA DEGLI STUDI DI PAVIA REGISTRO. DELLE LEZIONI-ESERCITAZIONI- SEMINARI Anno accademico 2011/12

UNIVERSITA DEGLI STUDI DI PAVIA REGISTRO. DELLE LEZIONI-ESERCITAZIONI- SEMINARI Anno accademico 2011/12 REGISTRO DELLE LEZIONI-ESERCITAZIONI- SEMINARI Anno accademico 2011/12 Cognome e Nome BISI FULVIO Qualifica RICERCATORE CONFERMATO MAT/07 Insegnamento di FISICA MATEMATICA (500474) Impartito presso: Corso

Dettagli

Interazioni di tipo magnetico II

Interazioni di tipo magnetico II INGEGNERIA GESTIONALE corso di Fisica Generale Prof. E. Puddu Interazioni di tipo magnetico II 1 Forza magnetica su una carica in moto Una particella di carica q in moto risente di una forza magnetica

Dettagli

Traccia della soluzione degli esercizi del Capitolo 3

Traccia della soluzione degli esercizi del Capitolo 3 Traccia della soluzione degli esercizi del Capitolo 3 Esercizio 68 Sia X una v.c. uniformenente distribuita nell intervallo ( π, π, cioè f X ( = π ( π, π (. Posto Y = cos(x, trovare la distribuzione di

Dettagli

1 Cinematica del punto Componenti intrinseche di velocità e accelerazione Moto piano in coordinate polari... 5

1 Cinematica del punto Componenti intrinseche di velocità e accelerazione Moto piano in coordinate polari... 5 Indice 1 Cinematica del punto... 1 1.1 Componenti intrinseche di velocità e accelerazione... 3 1.2 Moto piano in coordinate polari... 5 2 Cinematica del corpo rigido... 9 2.1 Configurazioni rigide......

Dettagli

1 Cambiamenti di riferimento nel piano

1 Cambiamenti di riferimento nel piano 1 Cambiamenti di riferimento nel piano Siano date due basi ortonormali ordinate di V : B = ( i, j) e B = ( i, j ) e supponiamo che i = a i + b j j = c i + d j allora per un generico vettore v V abbiamo

Dettagli

Tutorato di Fisica 1 - AA 2014/15

Tutorato di Fisica 1 - AA 2014/15 Tutorato di Fisica - AA 04/5 Emanuele Fabbiani 8 febbraio 05 Quantità di moto e urti. Esercizio Un carrello di massa M = 0 kg è fermo sulle rotaie. Un uomo di massa m = 60 kg corre alla velocità v i =

Dettagli

Prodotto scalare e ortogonalità

Prodotto scalare e ortogonalità Prodotto scalare e ortogonalità 12 Novembre 1 Il prodotto scalare 1.1 Definizione Possiamo estendere la definizione di prodotto scalare, già data per i vettori del piano, ai vettori dello spazio. Siano

Dettagli

ELEMENTI DI CALCOLO VETTORIALE

ELEMENTI DI CALCOLO VETTORIALE ELEMENTI DI CALCOLO VETTORIALE Vettori liberi e vettori applicati o Vettore libero: - individuato da una direzione orientata ed una lunghezza - non ha un'ubicazione fissa nello spazio: - puo' essere traslato

Dettagli

Introduciamo il sistema di riferimento indicato in figura b) con F 1 = ( f, 0) ed F 2 = (f, 0). Se P = (x, y) la condizione (1) fornisce

Introduciamo il sistema di riferimento indicato in figura b) con F 1 = ( f, 0) ed F 2 = (f, 0). Se P = (x, y) la condizione (1) fornisce 1 L ellisse 1.1 Definizione Consideriamo due punti F 1 ed F 2 e sia 2f la loro distanza. L ellisse è il luogo dei punti P tali che la somma delle distanze PF 1 e PF 2 da F 1 ed F 2 è costante. Se indichiamo

Dettagli

(f g)(x) = f(g(x)), (f (g h))(x) = f(g(h(x))) = ((f g) h)(x).

(f g)(x) = f(g(x)), (f (g h))(x) = f(g(h(x))) = ((f g) h)(x). Trasformazioni geometriche di R In questo paragrafo studiamo alcune trasformazioni geometriche del piano R Per trasformazioni si intendono sempre delle applicazioni bigettive f : R R Le trasformazioni

Dettagli

Problemi aggiuntivi sulla Dinamica dei Sistemi di punti materiali: A) Impulso + conservazione quantità di moto

Problemi aggiuntivi sulla Dinamica dei Sistemi di punti materiali: A) Impulso + conservazione quantità di moto Problemi aggiuntivi sulla Dinamica dei Sistemi di punti materiali: A) Impulso + conservazione quantità di moto Problema n. 1: Un carro armato, posto in quiete su un piano orizzontale, spara una granata

Dettagli

Calcolo vettoriale. Versore: vettore u adimensionale di modulo unitario (rapporto tra un vettore e il suo modulo)

Calcolo vettoriale. Versore: vettore u adimensionale di modulo unitario (rapporto tra un vettore e il suo modulo) Grandezze scalari: caratterizzate da un valore numerico in una unità di misura scelta (ex: massa, temperatura, ecc) Grandezze vettoriali: oltre al valore numerico necessitano della definizione di una direzione

Dettagli

Rotazioni. Debora Botturi ALTAIR. Debora Botturi. Laboratorio di Sistemi e Segnali

Rotazioni. Debora Botturi ALTAIR.  Debora Botturi. Laboratorio di Sistemi e Segnali Rotazioni ALTAIR http://metropolis.sci.univr.it Argomenti Propietá di base della rotazione Argomenti Argomenti Propietá di base della rotazione Leggi base del moto Inerzia, molle, smorzatori, leve ed ingranaggi

Dettagli

EQUAZIONI CARDINALI DELLA DINAMICA E MOTO DEL CORPO RIGIDO

EQUAZIONI CARDINALI DELLA DINAMICA E MOTO DEL CORPO RIGIDO Alma Mater Studiorum Università di Bologna SCUOLA DI SCIENZE Corso di Laurea in Matematica EQUAZIONI CARDINALI DELLA DINAMICA E MOTO DEL CORPO RIGIDO Tesi di Laurea in Fisica Matematica Relatore: Chiar.mo

Dettagli

EQUILIBRIO DI UN PUNTO MATERIALE, DI UN SITEMA DI PUNTI EDIUNCORPORIGIDO

EQUILIBRIO DI UN PUNTO MATERIALE, DI UN SITEMA DI PUNTI EDIUNCORPORIGIDO EQUILIBRIO DI UN PUNTO MATERIALE, DI UN SITEMA DI PUNTI EDIUNCORPORIGIDO Equilibrio di un Punto Materiale Definizione 1 Un punto materiale è in una posizione di equilibrio quando posto in quella posizione

Dettagli

III esperimento: determinazione del momento d inerzia

III esperimento: determinazione del momento d inerzia III esperimento: determinazione del momento d inerzia Consideriamo un corpo esteso (vedi figura seguente) che possa ruotare attorno ad un asse fisso passante per il punto di sospensione PS; si immagini

Dettagli

1 Sistemi di riferimento

1 Sistemi di riferimento Università di Bologna - Corsi di Laurea Triennale in Ingegneria, II Facoltà - Cesena Esercitazioni del corso di Fisica Generale L-A Anno accademico 2006-2007 1 Sistemi di riferimento Le grandezze usate

Dettagli

Le derivate parziali

Le derivate parziali Sia f(x, y) una funzione definita in un insieme aperto A R 2 e sia P 0 = x 0, y 0 un punto di A. Essendo A un aperto, esiste un intorno I(P 0, δ) A. Preso un punto P(x, y) I(P 0, δ), P P 0, possiamo definire

Dettagli

8. Energia e lavoro. 2 Teorema dell energia per un moto uniformemente

8. Energia e lavoro. 2 Teorema dell energia per un moto uniformemente 1 Definizione di lavoro 8. Energia e lavoro Consideriamo una forza applicata ad un corpo di massa m. Per semplicità ci limitiamo, inizialmente ad una forza costante, come ad esempio la gravità alla superficie

Dettagli

Flessione deviata. A B t mm A 1. x 50 mm y mm x mm y mm

Flessione deviata. A B t mm A 1. x 50 mm y mm x mm y mm Esercizio N.1 (pag. 81) La coppia M agisce in un piano verticale passante per l asse baricentrico di una trave la cui sezione trasversale è mostrata in figura. Determinare la tensione nel punto A. Soluzione

Dettagli

0.1 Arco di curva regolare

0.1 Arco di curva regolare .1. ARCO DI CURVA REGOLARE 1.1 Arco di curva regolare Se RC(O, i, j, k ) è un riferimento cartesiano fissato per lo spazio euclideo E, e se v (t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k è una funzione a valori vettoriali

Dettagli

Università di Trieste Facoltà d Ingegneria. Esercizi sul calcolo integrale in IR N. Dott. Franco Obersnel

Università di Trieste Facoltà d Ingegneria. Esercizi sul calcolo integrale in IR N. Dott. Franco Obersnel Università di Trieste Facoltà d Ingegneria. Esercizi sul calcolo integrale in IR N. ott. Franco Obersnel Esercizio 1 Sia R = [a 1, b 1 ] [a, b ] [a 3, b 3 ] IR 3 un parallelepipedo di IR 3. Si diano le

Dettagli

Prova scritta di meccanica razionale del

Prova scritta di meccanica razionale del Esercizio 1 Una piastra quadrata L = OABC di lato a giace nel piano coordinato Oxy di una terna Oxyz = Oê 1 ê ê ad essa solidale, con i lati OA e OC posti lungo gli assi Ox e Oy rispettivamente. La densità

Dettagli