Ma se dobbiamo trattare l elettrone come un onda occorre una funzione (che dobbiamo trovare) che ne descriva esaurientemente queste proprietà.

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1 Ma se dobbiamo trattare l elettrone come un onda occorre una funzione (che dobbiamo trovare) che ne descriva esaurientemente queste proprietà. Nell atomo l energia associata ad un elettrone (trascurando i moti nucleari) è data dalla somma dell energia cinetica e dell energia potenziale: E T V ma p = mv, ovvero p = m v, quindi: E 1 m v e r 1 m v p m E p m e r Il passaggio dalla meccanica classica alla meccanica ondulatoria fa si che mentre nella meccanica classica il momento era una quantità vettoriale, caratterizzata da un modulo ed una direzione, nella meccanica ondulatoria diventa un operatore, cioè un oggetto matematico che mi dice quale operazione devo fare su una certa funzione: p h d i dx 4 dx p h d 1

2 Gli operatori in matematica Come suggerisce il nome stesso, un operatore matematico compie una operazione matematica sulla funzione in questione. La derivata è un tipo di operazione matematica. d Per esempio: deriva una variabile rispetto ad x. dx Sia y la variabile su cui agisce il differenziale, con y = 8x. Si calcoli la derivata dy/dx: dy dx d(8x) L operatore Hamiltoniano, H, è un operatore differenziale complesso ed è uguale a: derivate parziali h 8 m x y La natura complessa di H deriva dalla necessità di descrivere la posizione dell elettrone in uno spazio cartesiano a tre dimensioni dx z 8 V ( x, y, z) termine dell energia potenziale

3 3 Detta la funzione d onda, cioè la funzione che contiene tutte le informazioni riguardanti l elettrone avremo: E r e dx d m h 8 Questa equazione vale solo per il moto nella dimensione x, per considerarla nello spazio dovremo aggiungere gli altri termini (cioè y e z). Cioè p è diventato una istruzione che deve operare sulla funzione. E Η E r e z y x m h 8 Questa è un equazione differenziale che ammette infinite soluzioni! Ma quali sono quelle fisicamente accettabili? In altre parole, le funzioni d onda, soluzioni dell equazione precedente, hanno tutte un significato fisico? Equazione di Schrödinger

4 Per definire delle soluzioni valide da un punto di vista fisico: Le funzioni devono essere finite, continue ed ad un solo valore, come pure le loro derivate in ogni punto dello spazio. La probabilità ( rappresenta proprio la probabilità di trovare l elettrone ed è ciò che ha significato fisico per il principo di indeterminazione di Heisemberg) deve corrispondere al 100% dv 1 Quindi quello che ha significato fisico è il quadrato della funzione d onda, poiché essa è in relazione alla probabilità di trovare l elettrone. La funzioni d onda Senza entrare nel merito della soluzione dell equazione di Schrödinger, possiamo affermare che le funzioni d onda possono essere classificate in base a tre numeri quantici 4

5 n, numero quantico principale n,l,m l E in relazione alla quantizzazione dell energia (cioè l energia dei livelli dipende da esso). Può assumere tutti i valori interi da 1 a infinito. n=1,, 3, 4, 5,., l, numero quantico angolare esso quantizza il momento angolare dell elettrone e può assumere tutti i valori interi da 0 a n-1. l = 0, 1,, 3,..,n-1 m, numero quantico magnetico quantizza il momento magnetico dell elettrone (una particella carica che si muove genera una corrente elettrica che avrà un campo magnetico associato). Può assumere tutti i valori che vanno da l a +l, incluso lo zero. m = -l,.., -, -1, 0, 1,,.., +l 5

6 L equazione di Schrodinger ammette soluzioni accettabili, cioè permette di definire delle funzioni d onda fisicamente appropriate a descrivere lo stato di un elettrone in un atomo d idrogeno, solo per determinati valori di energia (autovalori) caratterizzati da un numero intero (numero quantico principale n) Le funzioni d onda che per quei dati valori di energia sono soluzioni dell equazione (autofunzioni) sono funzioni matematiche alquanto complesse che contengono tre numeri quantici e restano definite dagli specifici valori di questi. Ogni autofunzione associata ad una definita terna di numeri quantici è chiamata ORBITALE. Un orbitale non ha un significato fisico ma lo ha il suo quadrato, che rappresenta la probabilità di trovare l elettrone in una data regione dello spazio. Ψ può assumere valori positivi, negativi o nulli (nodi). In questi ultimi la probabilità di trovare l elettrone è 0 6

7 Ricapitolando n 1 numero quantico principale 0 l n-1 numero quantico secondario -l m l l numero quantico magnetico 7

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9 La funzione d onda si trova risolvendo l equazione di Schrödinger della particella con i vincoli imposti dalle condizioni al contorno. Si trova che la particella è in grado di possedere solo determinate energie! 9

10 Nell atomo di idrogeno: ε 0 = permettività nel vuoto 10

11 n l m ,0,0 0 0,0,0 1-1,1,-1 1 0,1,0 1 +1,1, ,0, ,1, ,1,0 s s p s p ,1,-1 3-3,, ,, ,,0 d ,, ,, 11

12 x = r sin cos y = r sin sin z = r cos Alcuni autori trovarono più conveniente esprimere la funzione d onda in funzione delle coordinate sferiche. In questo modo la funzione d onda può essere considerata il prodotto di due componenti: ( r ) (, ) 1

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14 Gli orbitali atomici. n=1. Orbitale 1s 14

15 Gli orbitali atomici. n=. Orbitali s e p 15

16 Gli orbitali atomici. n=3. Orbitali 3d 16

17 Bisogna quindi immaginare l elettrone come diffuso nello spazio attorno al nucleo in zone in cui è massima la probabilità di trovarlo. Queste zone sono delimitate da superfici limiti che racchiudono il 90 % (non si può mai escludere che l elettrone se ne trovi al di fuori) della probabilità di trovare l elettrone ed è proprio con queste superfici che i chimici ricavano informazioni sugli atomi e sulle molecole. Gli orbitali s hanno sempre una simmetria sferica, cioè la probabilità di trovare l elettrone è sempre la stessa in tutte le direzioni a partire dal nucleo. Tutti gli altri orbitali hanno proprietà direzionali, cioè la probabilità di trovare l elettrone a partire dal nucleo ha direzioni privilegiate. Come vedremo questo è la causa della formazione delle geometrie molecolari. 17

18 Funzione di distribuzione radiale Ψ (r,θ,ϕ) 18

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21 Il numero quantico di spin Facendo passare un fascio di atomi di idrogeno attraverso un forte campo magnetico, il fascio si separa in due parti che seguono traiettorie diverse : l elettrone si comporta come una carica che ruota su se stessa producendo un campo magnetico (STERN e GERLACH, Ag) N S 1

22 Stern and Gerlach

23 L atomo polielettronico Abbiamo parlato finora dell idrogeno, prendiamo in considerazione ora un atomo con due elettroni, l elio. Rispetto all atomo di idrogeno, le configurazioni 1ss e 1sp, dovrebbero avere la stessa energia. Invece la 1ss è più bassa in energia della 1sp. Perché? 3

24 Nel caso dell atomo di idrogeno, l energia dei livelli dipende solo da n! Nel caso di atomi a più elettroni l energia dei livelli dipende sia da n che dal l! L equazione quantomeccanica va corretta per i termini repulsivi degli elettroni, ed il tutto diventa più complicato. 1s s 4

25 Principio di esclusione di Pauli Un orbitale non può essere occupato da più di elettroni e quando elettroni occupano lo stesso orbitale i loro spin devono essere appaiati 5

26 Riempimento degli orbitali 1 e - = H s 1s p 6

27 Riempimento degli orbitali e - = He s 1s p 7

28 Riempimento degli orbitali 3 e - = Li s 1s p 8

29 Riempimento degli orbitali 4 e - = Be s 1s p 9

30 Riempimento degli orbitali 5 e - = B s 1s p 30

31 Riempimento degli orbitali 6 e - = C s 1s p 31

32 Riempimento degli orbitali 7 e - = N s 1s p 3

33 Riempimento degli orbitali 8 e - = O s 1s p 33

34 Riempimento degli orbitali 9 e - = F s 1s p 34

35 Riempimento degli orbitali 10 e - = Ne s 1s p 35

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39 "The law of periodicity first allowed us to perceive undiscovered elements at a distance which formerly was inaccessible to chemical vision." from Dimitri Ivanovich Mendeleev's Faraday lecture before the Chemical Society in London, twenty years after his discovery of periodic law (1889) Nel 1870 il chimico russo Mendeleev ordina gli elementi in funzione del peso atomico crescente dimostrando che le loro proprietà chimiche sono funzioni periodiche del peso atomico. Nasce così la TAVOLA PERIODICA. La rappresentazione risultante era così suddivisa in periodi orizzontali ed in gruppi verticali. Guidato dal principio della periodicità lasciò dei posti vuoti nella tavola, intuendo con sicurezza che dovevano ancora essere scoperti alcuni elementi (es. Tra Ca e Ti). Inoltre riuscì a prevedere le proprietà di alcuni elementi ancora sconosciuti, come gli elementi al di sotto Al e Si, che chiamò eka-alluminio ed eka-silicio. Tali elementi successivamente scoperti erano il Gallio ed il Germanio. Mendeleev incontrò alcune difficoltà per i metalli di transizione.

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41 gruppi e periodi elementi transizione (B)