VETTORI. Finora abbiamo considerato uno spazio di Hilbert H con elementi f, g,... tra i quali è definito un prodotto scalare indicato con il simbolo,.

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1 2/6 NOTAZIONE DI DIRAC 11/12 1 VETTORI Finora abbiamo considerato uno spazio di Hilbert H con elementi f, g,... tra i quali è definito un prodotto scalare indicato con il simbolo,. È possibile costruire un formalismo diverso che consente una notazione assai agile in molte situazioni. Lo spazio H Dato uno spazio di Hilbert H consideriamo i funzionali lineari complessi continui su H, χf. I χf costituiscono un nuovo spazio lineare complesso H. La corrispondenza H H Scelto un elemento χ di H, il prodotto scalare χ, f di χ con l elemento corrente f di H è un funzionale lineare complesso continuo su H, cioè a χ H corrisponde un elemento χf H : χ χf = χ, f. Viceversa, scelto un elemento χf di H, per il teorema di Riesz Fréchet esiste un elemento χ di H ovviamente unico tale che χ, f = χf, cioè a χf H corrisponde un elemento χ H : χf χ con χ, f = χf. Si verifica facilmente che, dato χf H, l espressione del corrispondente χ H è χ = χ e n n en, dove {e n } è una qualsiasi base ortonormale in H. In definitiva esiste una corrispondenza uno a uno 1 χ H χf H tale che χf = χ, f. Dalla 1 segue che la corrispondenza è antilineare, cioè 2 χ = a 1 χ 1 + a 2 χ 2 χf = a 1 χ 1f + a 2 χ 2f. Nota Ovviamente le dimensioni di H sono uguali a quelle di H. Lo spazio lineare complesso H può essere trasformato in uno spazio di Hilbert introducendo in esso il prodotto scalare definito da 3 χf, ξf = ξ, χ.

2 2/6 NOTAZIONE DI DIRAC 11/12 2 Vettori ket e vettori bra Diciamo vettori ket gli elementi di H e vettori bra gli elementi di H. Usiamo per i vettori ket il simbolo f e per i vettori bra il simbolo g, con la convenzione di usare il medesimo identificatore nei due simboli se i due elementi si corrispondono nella corrispondenza 1 descritta sopra, cioè 4 f f. L antilinearità 2 della corrispondenza si scrive ora 5 a 1 f 1 + a 2 f 2 a 1 f 1 + a 2 f 2. Prodotto scalare tra un vettore bra e un vettore ket Possiamo definire un "nuovo" prodotto scalare, tra un bra e un ket, mediante la relazione 6 g f = gf = g, f. Ovviamente 7 g f = f g. Dalla definizione 6, per la linearità nel secondo fattore del prodotto scelare g, f, risulta 8 g a 1 f 1 + a 2 f 2 = a 1 g f 1 + a 2 g f 2. Da questa, per la proprietà 7 e per l antilinearità espressa dalla 5, si ottiene 9 b1 g 1 + b 2 g 2 f = b 1 g 1 f + b 2 g 2 f. Secondo le relazioni 8 e 9 il prodotto scalare g f è lineare sia nel secondo che nel primo fattore. Da g f = g f per ogni g ovvero g f = [ f g ] per ogni g g segue f = f o, ciò che è lo stesso, f f.

3 2/6 NOTAZIONE DI DIRAC 11/12 3 OPERATORI Azione sui bra di un operatore lineare definito sui ket Sia A un operatore lineare limitato agente sui ket. Possiamo definire la sua azione sui bra, che scriviamo g A, mediante la relazione 10 g A f = g A f per ogni f. Le parentesi possono evidentemente essere soppresse scrivendo semplicemente g A f. Dalla definizione 10 e dalla linearità 9 nel primo fattore del prodotto scalare g f segue facilmente che A agisce linearmente anche sui bra, cioè 11 a1 g 1 + a 2 g 2 A = a 1 g 1 A + a 2 g 2 A. Viceversa, la stessa relazione 10 per ogni g definisce l azione sui ket di un operatore definito sui bra. Operatore aggiunto Nella notazione ordinaria l aggiunto A di un operatore lineare limitato A è definito dalla condizione g, Af = A g, f ovvero g, Af = [ f, A g ] per ogni f, g. Nella notazione di Dirac, di nuovo usando la definizione 10, si ottiene g A f = [ f A g ] [ = f A g ], da cui 12 A f f A. Questa può essere assunta come la definizione di aggiunto nella notazione di Dirac. Dalla 12 e dalla proprietà 7 segue 13 g A f = f A g.

4 2/6 NOTAZIONE DI DIRAC 11/12 4 L operatore h k Il simbolo h k può essere considerato un operatore lineare limitato agente sui ket mediante la definizione h k f = h k f. La sua azione sui bra è definita da [ g h k ] f = g [ h k f ] = g [ h k f ] = g h k f = [ g h k ] f e quindi è data da g h k = g h k. Si dimostra facilmente che 14 h k = k h. Regola Le espressioni costruite con vettori ket, vettori bra, numeri, operatori possono essere vettori ket o bra, come ad esempio a f + b g, oppure numeri, come ad esempio g A f, oppure operatori, come ad esempio h k. Introduciamo un operazione di coniugio definita nel modo seguente: il coniugato di un ket è il bra corrispondente e viceversa, il coniugato di un numero è il numero complesso coniugato, il coniugato di un operatore è l operatore aggiunto. Allora, dalle precedenti relazioni 5, 7, 12, 13 e 14 e dal fatto che l aggiunto di un prodotto di operatori è il prodotto degli aggiunti in ordine inverso, segue che il coniugato di un espressione qualsiasi si ottiene sostituendo a ogni elemento il suo coniugato e rovesciando l ordine dei fattori nei prodotti di ogni tipo.

5 2/6 NOTAZIONE DI DIRAC 11/12 5 Proiettori unidimensionali Se f 2 = f f = 1, l operatore f f in H è precisamente il proiettore sul sottospazio unidimensionale generato da f, in H è precisamente il proiettore sul sottospazio unidimensionale generato da f. L utilità della notazione di Dirac discende in ultima analisi da questo, dalla possibilità di scrivere in modo semplice e corretto tale proiettore in termini di f e f. Così, per un operatore autoaggiunto A che abbia un sistema completo di autovettori propri, se A u nl = a n u nl, u n l u nl = δ nn δ ll, A si può scrivere risoluzione di A 15 A = nl a n u nl u nl = n a n l u nl u nl. Se { e i } è una qualsiasi base ortonormale e i e i = δ ii, eventualmente costituita dagli autoket di un dato operatore autoaggiunto, l identità si può scrivere risoluzione dell identità 16 1 = e i e i. i Questa espressione dell identità è detta familiarmente completezza relativa alla base { e i }. Molte manipolazioni sono rese immediate dall uso della notazione di Dirac. Ad esempio, nel caso di due diverse rappresentazioni individuate dalle basi { e i } e { ẽ j }, basta inserire nelle espressioni dei rappresentativi in una base completezze relative all altra base per ottenere le relazioni e i f = e i ẽ j ẽ j f, j e i A e i = e i ẽ k ẽ k A ẽ j ẽ j e i jk tra i rappresentativi nelle due rappresentazioni.

6 2/6 NOTAZIONE DI DIRAC 11/12 6 VETTORI IMPROPRI Generalizzazione Sia {u k } una base di vettori impropri nello spazio H, ortonormale nel senso che u k, u k GEN = δk k. Un vettore f può essere sviluppato su tale base, cioè f = dk ck u k. Convenendo di usare il simbolo di ket anche per i vettori impropri, questa si riscrive f = dk ck u k. Analogamente nello spazio H sia {ū k } una base ortonormale di vettori impropri. Convenendo di usare il simbolo di bra anche per i vettori impropri di H, qualsiasi bra g si può scrivere g = dk dk ū k. Diciamo che i bra impropri ū k e i ket impropri u k si corrispondono, u k ū k, se per ogni f f risulta f = dk c k ū k. Usiamo allora per ū k il simbolo u k. Analogamente a quanto fatto per i ket e bra propri, possiamo definire un "nuovo" prodotto scalare generalizzato u k u k GEN = u k, u k GEN = δk k. La generalizzazione delle risoluzioni 15 e 16 al caso di basi costituite in tutto o in parte da vettori impropri è immediata.

7 2/6 NOTAZIONE DI DIRAC 11/12 7 Rappresentazioni x e k Considerata una qualsiasi funzione d onda ψx di H = L 2 x; d 3 x indichiamola semplicemente con ψ ovvero con ψ nella notazione di Dirac, cioè ψx ψ ψ. In particolare, per le autofunzioni improprie dell operatore di moltiplicazione per x u x x = δ 3 x x u x u x, e per le autofunzioni improprie dell operatore i x v k x = 1 expik x 3/2 2π v k v k. Sfruttando il fatto che il simbolo di ket così come quello di bra fornisce un contenitore che di per sè indica che si sta considerando un elemento di uno spazio di Hilbert, si usa abbreviare la notazione sottintendendo i simboli di vettore u e v, cioè scrivendo per i ket u x e v k e analogamente per i corrispondenti bra u x = x, v k = k. Con questa notazione 17 x k = 1 2π expik x, k x = 1 exp ik x, 3/2 3/2 2π 18 x x = δ 3 x x, k k = δ 3 k k, 19 1 = d 3 x x x, 1 = d 3 k k k, 20 x op = d 3 x x x x, i x = d 3 k k k k, 21 ψx = x ψ = d 3 k x k k ψ, ψk = k ψ = d 3 x k x x ψ. Nota Lo stesso tipo di notazione abbreviata si usa anche in altri casi quando ciò non dia luogo a confusione.

8 2/6 NOTAZIONE DI DIRAC 11/12 8 ISOMORFISMI TRA SPAZI DI HILBERT Dato un isomorfismo H 1 2T1 H 2 tra due spazi di Hilbert, 1T2 consideriamo il seguente schema: H 1 2T1 1T2 H 2 f 1 = 1 T 2 f 2 f 2 = 2 T 1 f 1 f 1 = 1 T 2 f 2 f 2 = 2 T 1 f 1 f 1 1 f f 2 2 f Evidentemente esiste una corrispondenza biunivoca lineare tra gli elementi 1 f di H 1 e 2 f di H 2 che scriviamo H 2 2S1 H 1, cioè 1S f = 1 f 1 S 2, 1 f = 2 f 2 S 1. Poiché f 2, g 2 = f 1, g 1 si ha anche 2 f g 2 = 1 f g 1. Pertanto la corrispondenza H 2 2S1 H 1 è tale che 1S2 1 f 1 S 2 g 2 = 2 f g 2 = 1 f g 1 = 1 f 1T 2 g 2, 2 f 2 S 1 g 1 = 1 f g 1 = 2 f g 2 = 2 f 2T 1 g 1. In conseguenza di queste relazioni possiamo scrivere, invece delle 22, 23 2 f = 1 f 1 T 2, 1 f = 2 f 2 T 1. e applicare indifferentemente 2T 1 a destra a un ket di H 1 o a sinistra a un bra di H 2 e 1 T 2 a destra a un ket di H 2 o a sinistra a un bra di H 1. Con riferimento alla regola del coniugio già enunciata, il risultato ottenuto sopra può esprimersi dicendo che il coniugato di un isomorfismo è l isomorfismo inverso. In particolare 2 f 2 T 1 f 1 = 1 f 1 T 2 f 2.