Teoremi dell'lgebra ooleana lgebra degli Insiemi Dall'insieme di postulati çe possibile dimostrare i seguenti teoremi: 2 Idempotenza: a + a = a a æ a

Transcript

1 Calcolatore come rete logica Il calcolatore puço essere visto come una rete logica cioçe come un insieme di dispositivi chiamati porte logiche opportunamente connessi. Le porte logiche sono dispositivi capaci di eseguire operazioni logiche su segnali binari. LGER OOLEN VRIILI E PORTE LOGICHE I segnali binari sono livelli di tensione. Il valore esatto della tensione del segnale non çe signiæcativo: conta l'appartenenza ad un livello contrassegnato alto e ad un livello contrassegnato basso. Questi livelli sono identiæcati tramite una coppia di simboli: 0 1 Low High False True Open Close ndrea obbio nno ccademico lgebra ooleana 3 lgebra ooleana lgebra ooleana 4 Deænizione di lgebra ooleana Le tecniche di composizione delle porte logiche in una rete sono derivate da una particolare algebra operante su variabili binarie e chiamata lgebra ooleana èo Switching lgebraè. L'algebra ooleana prende il nome dal matematico inglese George oole è è autore del testo The mathematical analysis of logic. lui çe legato lo sviluppo della logica simbolica e degli operatori binari. Nel 1938 Shannon ha dimostrato come l'algebra booleana potesse essere presa a fondamento per la progettazione di circuiti logici digitali. Un insieme = fa; b; c; : : :g e due operazioni binarie ad esso associate + e æ, formano un'lgebra ooleana se e solo se sono soddisfatti i seguenti postulati: 3 Le operazioni sono commutative: a + b = b + a a æ b = b æ a 3 Ciascuna delle due operazioni gode della proprietça distributiva rispetto all'altra: a æ èb + cè = a æ b + a æ c a + b æ c = èa + bè æ èa + cè 3 Esistono due elementi identitça: 0 e 1 èo elementi neutriè rispettivamente per le operazioni + e æ, tali che 8a 2 : 0 + a = a 1 æ a = a 3 Per ogni a 2 esiste un elemento a èdetto complemento di aè tale che: a + a = 1 a æ a = 0

2 Teoremi dell'lgebra ooleana lgebra degli Insiemi Dall'insieme di postulati çe possibile dimostrare i seguenti teoremi: 2 Idempotenza: a + a = a a æ a = a 2 Elemento nullo è forcing functionè: a + 1 = 1 a æ 0 = 0 2 Involuzione: èaè = a 2 ssorbimento: a + a æ b = a a æ èa + bè = a 2 ssociativitça: a + èb + cè = èa + bè + c = a + b + c a æ èb æ cè = èa æ bè æ c = a æ b æ c 2 De Morgan: èa + bè = a æ b èa æ bè = a + b L'lgebra degli insiemi èo Teoria degli insiemiè çe formalmente identica all'algebra booleana a condizione che: è Dato un insieme universo U, gli insiemi siano costituiti da tutti i possibili sottoinsiemi dell'insieme universo. è Il prodotto logico æ sia interpretato come l'operazione di intersezione fra insiemi. è La somma logica + sia interpretata come l'operazione di unione fra insiemi. è Il valore 1 èelemento neutro rispetto a æè sia sostituito dall'insieme universo U èelemento neutro rispetto all'intersezioneè. è Il valore 0 èelemento neutro rispetto a +è sia sostituito dall'insieme vuoto æ èelemento neutro rispetto all'unioneè. çe quindi possibile dimostrare le proprietça dell'algebra booleana ricorrendo alla rappresentazione degli insiemi medianti diagrammi di Venn. lgebra ooleana 7 Elementi dell'lgebra ooleana lgebra ooleana 8 Variabili ooleane Vengono deæniti i seguenti concetti: 3 variabili booleane 3 operatori booleani 3 funzioni booleane 3 porte logiche Una variabile booleana çe una variabile binaria che puço assumere esclusivamente due valori logici che saranno denotati con 0 e 1. Se x çe una variabile booleana, vale quindi la seguente deænizione formale: x =0 se x 6= 1 x=1 se x 6= 0

3 Operatori ooleani Negazione o Complementazione Si deæniscono gli operatori booleani o logici fondamentali: Trattasi di una operazione unaria che restituisce il valore logico opposto a quello della variabile di ingresso. NOT ND OR Negazione Logica Prodotto Logico Somma Logica Per rappresentare il complemento di una variabile x vengono usate varie notazioni. Fra le piçu comunemente usate ricordiamo: notèxè x x 0, x lgebra ooleana 11 Negazione o Complementazione è 2 lgebra ooleana 12 Prodotto Logico èndè Rappresentazione dell'operazione notèxè con la tavola della veritça: x notèxè L'operazione di prodotto logico fra due èo piçuè variabili fornisce il valore logico 1 se e solo se tutte le variabili assumono valore logico Per rappresentare il prodotto logico di due variabili x e y si usa la notazione: x and y x æ y xy notènotèxèè = x 1 = 1 0 = 1 = 0 =1

4 Prodotto Logico èndè è 2 Somma Logica èorè Rappresentazione dell'operazione x æ y con la tavola della veritça: x y x æ y L'operazione di somma logica fra due èo piçuè variabili fornisce il valore logico 1 se e solo se almeno una delle variabili assume valore logico Per rappresentare la somma logica di due variabili x e y si usa la notazione: xory x + y x æ 0 = 0 x æ 1 = x x æ x = x x æ x = 0 lgebra ooleana 15 Somma Logica èorè è 2 lgebra ooleana 16 Porte Logiche Rappresentazione dell'operazione x + y con la tavola della veritça: Le porte logiche sono dispositivi elettronici capaci di eseguire operazioni logiche su variabili booleane. x y x + y æ x + 0 = x x + 1 = 1 x + x = x x + x = 1

5 Porta ND Porta OR æ + lcune proprietça della porta ND. lcune proprietça della porta OR. æ 0 = 0 æ 1 = æ = æ = = + 1 = 1 + = + = lgebra ooleana 19 Teoremi dell'algebra ooleana Le proprietça degli operatori logici NOT, N D e OR, permettono di stabilire i seguenti teoremi. 3 Teorema di Idempotenza x + x = x x æ x = x lgebra ooleana 20 Reciprocitça dei Teoremi dell'algebra ooleana Le proprietça che valgono per l'operatore + valgono anche per l'operatore æ purchçe si scambino gli 1 con gli 0 èe viceversaè. 3 Elemento nullo èforcing functionè x + 1 = 1 x æ 0 = 0 3 ssociativitça x + èy + zè = èx + yè + z = x + y + z x æ èy æ zè = èx æ yè æ z = x æ y æ z

6 Teoremi dell'algebra ooleana Teoremi dell'algebra ooleana 3 Distributivitça La proprietça distributiva vale sia rispetto alla somma di prodotti ècome nell'algebra ordinariaè che rispetto al prodotto di somme. x æ y + x æ z = x æ èy + zè Veriæca dei teoremi di distributivitça mediante la tavola della veritça. x y z xy xz xy + xz y + z xèy + zè èx + yè æ èx + zè = x + y æ z x y z yz x + yz x + y x + z èx + yèèx + zè lgebra ooleana 23 Teoremi dell'algebra ooleana lgebra ooleana 24 Teoremi dell'algebra ooleana 3 Teoremi di De Morgan x æ y = x + y 3 ssorbimento Il teorema dell'assorbimento puço assumere varie forme. x + y = x æ y x + èx æ yè = x x æ èx + yè = x èx + yè æ y = x æ y x æ y + y = x + y

7 Teoremi dell'algebra ooleana Teoremi dell'algebra ooleana 3 Legge di Cancellazione Nell'algebra booleana non vale la legge di cancellazione 3 Legge di Cancellazione Si dimostra la non validitça della legge di cancellazione mediante la tavola della veritça. Dall'espressione: non çe possibile dedurre: x + y = x + z y = z x y z x + y x + z x + y = x + z y = z lgebra ooleana 27 lgebra ooleana 28 Operazione di nand logico Operazione nand logico è 2 L'operazione di nand logico çe l'operazione negata dell'operazione and. Il simbolo nand çe una contrazione di not and. Quindi l'operazione di nand logico fra due èo piçuè variabili fornisce il valore logico 1 se almeno una delle variabili assume il valore logico 0. Rappresentazione dell'operazione x nand y tavola della veritça: x y x nand y con la Per rappresentare il nand logico non esiste un simbolo speciæco x nand y x nand 0 = 1 æ x nand 1 = x x nand x = x x nand x = 1 x nand y = x æ y

8 Porta NND Operazione di nor logico Con il solo operatore NND, si possono rappresentare gli operatori NOT, ND e OR. L'operazione di nor logico çe l'operazione negata dell'operazione or. æ = æ = æ æ Il simbolo nor çe una contrazione di not or. Quindi l'operazione di nor logico fra due èo piçuè variabili fornisce il valore logico 1 se nessuna delle variabili assume il valore logico 1. æ = + + Per rappresentare il nor logico non esiste un simbolo speciæco. x nor y + lgebra ooleana 31 Operazione nor logico è 2 lgebra ooleana 32 Porta NOR Rappresentazione dell'operazione x nor y con la tavola della veritça: Con il solo operatore NOR, si possono rappresentare gli operatori NOT, ND e OR. x y x nor y = = æ æ x nor 0 = x + = + + x nor 1 = 0 x nor x = x x nor x = 0 x nor y = x + y

9 Operazione di or esclusivo èexorè è 1 Operazione or esclusivo èexorè è 2 L'operazione di or esclusivo èexorè fra due èo piçuè variabili fornisce il valore logico 1 se il numero delle variabili che assumono valore logico 1 çe dispari. Rappresentazione dell'operazione x exor y con la tavola della veritça: x y x L y Per rappresentare l'operatore exor si usa comunemente la seguente notazione: x L y x exor y O x L 0 = x x L 1 = x x L x = 0 x L x = 1 x L y = x L y lgebra ooleana 35 Operazione or esclusivo èexorè è 3 lgebra ooleana 36 exor come invertitore controllato x L y = x æ y + x æ y Mettendo una variabile x come ingresso di una porta exor, si puço ottenere in uscita il valore x stesso forzando il secondo ingresso a 0, o il valore complementato çx forzando il secondo ingresso a 1. 3 l'operatore exor puço essere visto come un comparatore di uguaglianza: x x x 0 1 if x = y then x M y = 0 else x M y = 1 x 0 x L 0=x l'operatore exor puço essere visto come un invertitore controllato: if x = 0 then x M y = y else x M y = y x 1 x L 1=çx

10 exor come comparatore di uguaglianza exor come veriæcatore di paritça Si abbiano due parole di 4 bit èx 3 x 2 x 1 x 0 è e èy 3 y 2 y 1 y 0 è. La rete logica in ægura veriæca se le due parole sono uguali e diverse: in particolare se l'uscita çe 0 le parole sono uguali, se l'uscita çe 1 le parole sono diverse. Si abbia una parola di 8 bit con bit di paritça èx 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 x 0 x p è. La rete logica in ægura veriæca se il numero totale di 1 della parola çe pari o dispari: in particolare se l'uscita çe 0ilnumero di 1 çe pari, se l'uscita çe 1 il numero di 1 çe dispari. x3 y3 x7 x2 y2 x1 y1 0 uguali 1 diversi x6 x5 x4 x3 x2 U x0 x1 y0 x0 xp