ESERCIZI SVOLTI. 1) Dimostrare che l insieme. non è ricorsivo. Soluzione: Definiamo l insieme

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1 ESERCIZI SVOLTI 1) Dimostrare che l insieme Allora notiamo che π non è vuoto perché la funzione ovunque divergente appartiene all insieme avendo per dominio l insieme. Inoltre π non coincide con l insieme dei naturali, perché la funzione Identità non appartiene all insieme avendo per dominio l insieme dei naturali. Quindi, per il teorema di Rice, π non è ricorsivo. 2) Dimostrare che l insieme Allora notiamo che π non è vuoto perché la coppia (x, x) appartiene all insieme per la proprietà riflessiva dell uguaglianza di insiemi. Inoltre π non coincide con l insieme dei naturali, perché se φx è la funzione Identità e φy è la funzione ovunque divergente, sicuramente la coppia (x, y) non appartiene all insieme avendo, le funzioni, domini diversi. Quindi, per il teorema di Rice, π 3) Dimostrare che l insieme Definitivamente maggiore di un numero significa che esiste un valore di input dopo il quale la funzione è sempre maggiore del numero dato.

2 Notiamo che π non è vuoto perché la funzione Identità appartiene all insieme essendo maggiore o uguale a 3 per ogni x 3. Inoltre π non coincide con l insieme dei naturali, perché la funzione cosstante uguale a 0 sicuramente non appartiene all insieme essendo costantemente uguale a 0 e quindi minore di 3. Quindi, per il teorema di Rice, π 4) Dimostrare che l insieme Notiamo che π non è vuoto, perché se φy è la funzione Identità allora sicuramente y π, in quanto in ogni punto la funzione vale quanto l input a cui è applicata. Inoltre π non coincide con l insieme dei naturali, perché se φy è la funzione ovunque divergente allora sicuramente y non è in π, perché tale funzione diverge sempre e quindi per nessun input essa può valere quanto l input stesso. Quindi, per il teorema di Rice, π 5) Dato A N, studiare la ricorsività, al variare di A, dell insieme Per il teorema di Rice risulta che π è ricorsivo solo se π = N oppure π =. Il primo caso non è possibile, perché non tutte le funzioni possono avere lo stesso dominio. Allora π è ricorsivo solo se π =, cioè quando non esiste alcun indice i per cui Wi = A. Poiché per ogni i si ha che Wi è ricorsivamente enumerabile, allora gli insiemi A che rendono π = sono tutti quelli che non sono ricorsivamente enumerabili.

3 6) Studiare la ricorsività dell insieme Soluzione: La risoluzione di tale esercizio `e immediata se notiamo che dunque tale insieme è esattamente l insieme dei numeri naturali e, per questo, è ricorsivo. 7) Sia l insieme D il range della funzione Dire se l insieme D è ricorsivo. Soluzione: Vediamo di studiare la cardinalità dell insieme D. Consideriamo l insieme poiché esso è diverso da N sicuramente esiste m0 tale che φm0(m0) diverge (senza perdere di generalità, supponiamo che m0 sia il più piccolo punto fuori da K). A questo punto dimostriamo per induzione che vale che m > m0 ψ(m) diverge. Base: Prendiamo m = m Allora ψ(m0 + 1) = φm0(m0) ψ(m0) = c =, dove c = ψ (m0) è un valore definito in quanto abbiamo supposto che m0 sia il primo valore che incontriamo non appartenente a K e quindi φm0 1(m0 1) è definito. Passo Induttivo: Supponiamo che, preso m1, si abbia m m1. ψ (m), dimostriamo che questo succede anche in m1+1. Infatti è facile verificare che ψ (m1 + 1) = φm1(m1) ψ (m1) = c =, dove c = φm1(m1) è un valore qualunque, potenzialmente indefinito, che non conosciamo, mentre ψ (m1) diverge per ipotesi induttiva. Possiamo concludere che D = { ψ(0), ψ(1),..., ψ(m0)}, perciò D è finito e, per questo, ricorsivo.

4 8) Studiare la ricorsività del seguente insieme Soluzione: Abbiamo dimostrato che Dobbiamo allora vedere se è ricorsivamente enumerabile o meno; supponiamo che lo sia, supponiamo cioè che y0.wy0 = π. Allora notiamo che Da cui si ha un assurdo, perciò possiamo concludere che tale insieme non è ricorsivamente enumerabile. 9) Sia f una funzione ricorsiva totale e sia x N, dimostrare che l insieme è ricorsivamente enumerabile. Soluzione: Per dimostrare che un insieme è ricorsivamente enumerabile è sufficiente dimostrare che esso è uguale al range di una funzione calcolabile parziale. Per far ciò dobbiamo costruire una funzione che termini sui valori per cui la condizione di appartenenza all insieme vale. Ricordiamo che e definiamo la funzione Allora ψ è parziale calcolabile, essendo Wx ricorsivamente enumerabile per definizione; dunque, essendo dominio e codominio di ψ uguali, si ha che range(ψ) è ricorsivamente enumerabile, ma notiamo che vale l uguaglianza f 1 (Wx) = range(ψ), dunque f 1 (Wx) è ricorsivamente enumerabile.

5 10) Mostrare che l insieme delle funzioni totali da N in {0,1} non è enumerabile. Soluzione: Sia f una qualsiasi funzione da N in {0,1}, allora questa può essere rappresentata dal seguente insieme di coppie: Sia F l insieme che contiene tutti i sottoinsiemi delle coppie formati da tutte le funzioni del tipo di f. Supponiamo che F sia enumerabile: allora esiste una funzione h da N in F biettiva mediante la quale sarà possibile assegnare un indice a ciascuno degli elementi di F, e dunque costruire una tabella simile alla seguente: Poi, usando il contenuto delle celle nella diagonale della precedente tabella, costruiamo un elemento g in F tale che per ogni n naturale Riprendendo il contenuto della tabella usata come esempio, le prime tre coppie di g sarebbero {(0,0), (1,1), (2,1).}. Si osservi che, per ogni n naturale, g non può essere lo stesso elemento indicizzato da h(n), poiché differisce nella coppia che ha come primo dei due elementi il valore n. Ma allora g non è indicizzabile dalla funzione h, e dunque quest ultima non può essere suriettiva! Cadendo l ipotesi di biettività di h, concludiamo che F non è enumerabile.