Incertezze sperimentali ( errori ) Guida rapida

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1 Incertezze sperimentali ( errori ) Guida rapida I cosiddetti errori sperimentali (cioè le fluttuazioni casuali che si osservano ripetendo una misura più volte) si manifestano quando essi sono maggiori della sensibilità dello strumento usato. Se, ripetendo più volte le misure, ottengo sempre esattamente lo stesso numero, significa che lo strumento che sto usando è poco sensibile. Aumentando progressivamente la sensibilità dello strumento, le misure cominceranno a variare sull ultima cifra. Più grande è questa variazione, più misure converrà fare per aumentare la precisione della misura (la media infatti ha una precisione maggiore delle singole misure). Quante misure fare? Ci si può basare sul seguente metodo semi-empirico che è pensato per avere un valor medio con un errore dell ordine dell 1%. Naturalmente, se si vogliono raggiungere precisioni maggiori occorre fare un numero maggiore di misure. Metodo: si fanno tre misure e se ne calcola il valore medio la semi-dispersione massima, cioè metà differenza tra i due valori più distanti, e, si fa una stima dell errore relativo percentuale, e si segue questa tabella: T< 1% bastano le tre misure 1%< T < 4% 6 misure 4% < T < 8% 15 misure T > 8% almeno 50 misure Una volta fatte le misure come si stima l errore sperimentale? Misure dirette Errore associato a ogni singola misura Un unica misura Se si è fatta un unica misura, si può prendere la sensibilità dello strumento, cioè la quantità minima (o un suo multiplo) apprezzabile su quello strumento (se è ben fatto, ±½ divisione della scala). Questo tuttavia va fatto con discernimento e con molta prudenza, considerando

2 se altri fattori non possano rendere maggiore l errore (p.es. difficoltà nella lettura della scala, determinazione del valore per via grafica, ). Poche misure In questo caso si può prendere la semi-dispersione massima (vedi sopra per la definizione), detto anche errore massimo. Molte misure Si calcola lo scarto quadratico medio (o deviazione standard) σ. (cos è? Vedi Appendice) Errore associato alla media Se sono state fatte n misure, la media delle misure avrà una precisione maggiore e l errore sulla media si otterrà dividendo per l errore associato alla singola misura. Se poi si vuol dare un livello di confidenza, associato a una certa probabilità che una misura cada in quell intervallo attorno alla media, occorre moltiplicare l errore della media, a seconda del numero n di misure fatte, per i valori in tabella )cosiddetta t di Student): n 90% 95% 99% Si noti che, p.es., 2σ può essere preso come il 95% di confidenza solo se si sono fatte almeno un ventina di misure. Come scrivere media ±errore Una volta deciso cosa indicare come stima dell errore (sensibilità, σ, 2σ, D ½,.), e questa scelta deve essere indicata chiaramente, l errore va scritto con una sola cifra significativa (veid Appendice sulle cifre significativa). Questa dà infatti l ordine di grandezza dell errore che abbiamo stimato. Se questa cifra è incerta, che senso ha indicare anche la successiva? Per esempio:

3 NO SI ± cifre significative ±0.03 ± cifre significative ±0.3 ± cifre significative ±0.3 ±32 2 cifre significative ±30 ±732 3 cifre significative ±700 1 cifra significativa Il valore stesso va scritto in modo coerente all errore: l ultima cifra riportata (quella più a destra ) deve avere lo stesso ordine di grandezza dell errore (dopo aver arrotondato naturalmente). Che senso ha scrivere un numero se questo è del tutto casuale, visto che è un ordine di grandezza più piccolo della precisione che abbiamo? (o, al contrario, non scrivere cifre che abbiamo misurato precisamente). Quindi: NO SI ± ± ± ± ±30 730± ± ±700 In questi due ultimi esempi, gli zeri sugli errori non sono significativi (700 ha una sola cifra significativa). Se è possibile eliminare questi zeri (cambiando unità di misura o introducendo un 10 qualcosa ) conviene farlo. Per cui 1700±700 mm, si potrà scrivere 17±7 dm o 1.7±0.7 m. Per 1700 Km, dato che non esiste un unità di misura codificata maggiore del Km, si potrà scrivere (1.7±0.7) 10 3 Km (o 10 6 m, o ). In alcuni ambiti scientifici si usa anche la notazione 1.7(7), cioè si indica solo di quanto è l errore sull ultima cifra (quindi, il 7 fra parentesi sta per 0.7). Tutti questi modi di scrivere i valori misurati hanno lo scopo di rendere chiara e rapida la percezione dell ordine di grandezza dell errore (=della precisione della misura), che è la cosa che veramente importa in questo contesto. Infatti, ad un occhio appena un po abituato, la lettura del numero 723.2±0.3 dice subito che questa misura può variare solo sulla prima cifra decimale e che il numero è un valore del tutto equivalente ad esso, essendo contenuto nell intervallo , facilmente calcolabile. Per ricavare queste importanti informazioni, la scrittura

4 723.18±0.32, ci costringe ad arrotondare e/o a fare una somma e una sottrazione con più di una cifra, pur non aggiungendo nessuna informazione essenziale. Bisogna aggiungere, che il passaggio di unità di misura al fine di rendere più chiara l indicazione dell errore, può avere l effetto negativo della perdita di omogeneità tra diverse grandezze: se si passa continuamente da cm, a dm, a mm, risulta meno immediato il confronto tra questi valori. In alcuni casi quindi converrà lasciare 1700±700 mm; anche se meno elegante, questa scrittura rende comunque immediatamente evidente l ordine di grandezza dell errore. Errori relativi Gli errori di cui si è parlato sopra sono i cosiddetti errori assoluti; sono espressi nelle stesse unità di misura della grandezza misurata e danno un idea dell intervallo di confidenza della misura. Tuttavia per esprimere la precisione di una misura è molto più significativo il rapporto tra l errore assoluto e il valore misurato. Questo rapporto si chiama errore relativo e si esprime di solito come percentuale. Se ad esempio misuriamo due masse di 1 Kg e di 1g con una bilancia con sensibilità di 0.1 grammi, diremo che la prima misura è molto più precisa (0.01%), della seconda (10%). Quando si vuole determinare una grandezza in modo indiretto, facendo misure di altre grandezze (vedi sotto), è importante stimare l errore delle singole misure che facciamo per capire qual è il punto debole della nostra misura, eventualmente da migliorare (es. se volete misurare una resistenza mediante una misura di corrente e una di tensione, utilizzando la legge di Ohm R=V/i, lo strumento che usate per misurare i deve fornirvi un errore relativo su i, dello stesso ordine di grandezza dell errore su V ottenuto con il voltmetro, altrimenti perderete in precisione). E importante anche per capire quali errori (su quale grandezza) sono trascurabili e quali invece vanno tenuti in considerazione nella stima dell errore sulla grandezza derivata (questo ci può risparmiare calcoli inutili). Misure indirette (propagazione dell errore) Quando la grandezza che mi interessa F non viene misurata direttamente, bensì viene calcolata mediante una formula F(a,b, ) in cui compaiono le quantità misurate (a,b, ), come mi comporto? Per quanto riguarda il valore di F, se ho eseguito più misure delle quantità a,b,, ne calcolo le medie a, b,... e le sostituisco nella formula, cioè F = F( a, b,...). E per l errore su F?

5 Una o poche misure In questo caso conviene usare la formula: Δ F = F a a, b,... Δ a + F b a, b,... Δ b +... Δ a, Δb,... sono gli errori (sensibilità degli strumenti o semi-dispersioni) su a, b, Questa formula è la semplice somma algebrica degli errori dovuti alle singole quantità misurate, pesati dalle loro derivate parziali. La somma algebrica utilizzata in questo caso sovrastima di proposito l errore rispetto a una somma quadratica (vedi il caso di molte misure). L errore su F si otterrà sostituendo ai Δ a, Δb,... gli errori delle medie ottenuti dividendo per la radice del numero di misure corrispondente (se a,b, sono state tutte misurate n volte, questo equivale a dividere ΔF per n ). Molte misure In questo caso lo scarto quadratico medio di F si ottiene con la formula: σ F 2 2 F 2 F 2 = σ a + σ b a b +... Mentre lo scarto quadratico medio della media σ F si ottiene sostituendovi i corrispondenti σ σ,... (Di nuovo, se a,b, sono state tutte misurate n volte, questo equivale a dividere σ F per a, b n ) Metodi semplificati (si evitano le derivate) Se avete fatto tante misure e vi siete calcolati le σ, tanto vale fare l ultimo sforzo, calcolare le derivate e applicare la formula di propagazione. Se invece avete poche misure e volete una stima veloce (generalmente in eccesso) dell errore potete applicare uno dei metodi seguenti: Calcolate la semi-dispersione su F inserendo nella formula per F i valori che danno il valore più grande e più piccolo di F. Questo metodo è semplice e applicabile a qualsiasi formula. Se è possibile scomporre la formula di F nelle quattro operazioni base, potete utilizzare le regole seguenti: somme e differenze: sommate gli errori assoluti prodotti e divisioni: sommate gli errori relativi Esempio: se F=ab/(c+d) allora ΔF Δa Δb Δ( c+ d) Δa Δb Δc+ Δd = + + = + + F a b ( c+ d) a b ( c+ d)

6 (non dimenticate poi di moltiplicare per F per ottenere l'errore assoluto). Infine: Se fate operazioni con numeri di cui non è indicato espressamente l errore (quindi implicitamente è sull ultima cifra), dovete almeno cercare di preservare nel risultato dell operazione la precisione dei numeri che avete utilizzato. Se è possibile scomporre la formula di F nelle quattro operazioni, potete usare le regole seguenti: somme e differenze: il risultato può avere solo una cifra significativa, quindi se l errore nei due numeri è su ordini di grandezza diversi, il risultato deve avere l errore sulla cifra superiore (esempio: =67.22 e non ). prodotto e quozienti: il risultato può avere solo tante cifre significative quante sono quelle della misura che ha il numero di cifre che ha il minor numero di cifre significative (esempio: 11.37x7.29=82.9). Naturalmente i numeri tipo 3, e, ½, π, eccetera vengono considerati privi di errore, ma, attenzione, eventuali valori di letteratura no (es. se dovete usare PV=nRT e trovate che la costante dei gas vale R= Jmol -1 K -1, questo valore di R ha 5 cifre significative, perché non è un numero esatto, è stato misurato da qualcuno con un errore dell ordine di Jmol -1 K -1 ; spesso questo errore è trascurabile rispetto agli errori sperimentali che avete nelle vostre misure, ma non è sempre detto che sia così, bisogna verificarlo). Queste ultime due regolette sono molto comode per renderci conto rapidamente dell ordine di grandezza dell errore di una grandezza derivata, cioè calcolata mediante una formula, tuttavia il modo corretto di calcolare l errore è utilizzando le formule per la propagazione dell errore che possono portare a risultati un po diversi (se p.es. ho tre addendi, due dei quali con una cifra dopo la virgola e il terzo due, gli errori delle due misure si sommano e quindi bisognerebbe scrivere ±0.2, mentre se non indico espressamente l errore, scrivendo solo il numero, implicitamente l errore corrisponde a ±0.1; ci sono casi analoghi per moltiplicazione e divisione). Appendice sullo scarto quadratico medio Se ripetiamo un numero molto grande di volte una misura e studiamo la frequenza con cui si ripresentano certi valori, ci accorgiamo che (nei casi più comuni) queste frequenze si distribuiscono attorno al valor medio secondo una distribuzione gaussiana (funzione a campana). Questo significa che più il valore è distante dal valor medio (in più o in meno), minore è la probabilità che quel valore si ripresenti effettuando una nuova misura. La larghezza della distribuzione gaussiana è una misura della precisione del metodo di misura utilizzato. Lo scarto quadratico medio è una quantità

7 che misura questa larghezza e, per un numero molto grande di misure n posso calcolarlo in base ai valori ottenuti x i nel modo seguente: e la distribuzione gaussiana si può scrivere: A un certo intervallo di valori attorno al valor medio è associata una certa probabilità di ottenere un certo valore rifacendo la misura. P.es. nell intervallo tra x-σ e x+σ ho il 68% di probabilità che facendo una nuova misura il valore ottenuto cada in questo intervallo. Nell intervallo x-2σ e x+2σ ho il 95% di probabilità. Posso quindi utilizzare lo scarto quadratico medio per dare una stima dell errore associato a una singola misura. Mano a mano che aumentiamo il numero di misure il valor medio rispecchia sempre meglio il valor vero, perché la distribuzione gaussiana che costruiamo sulla base delle misure effettuate si definisce in modo sempre più preciso e si centra (posiziona il suo valore centrale, il valor medio) sul valore reale in modo sempre più preciso. Per questo l errore sulla media diventa sempre più piccolo all aumentare del numero di misure. Attenzione però, questo non avviene in modo lineare ma con la radice del numero di misure, per cui per migliorare di un ordine di grandezza, un fattore 10, devo aumentare il numero di misure di 100 volte. Torna al testo. Appendice sulle cifre significative Per determinare il numero di cifre significative (cs): 1. Contare tutti i numeri diversi da zero, ma contando anche quegli zeri compresi tra i numeri: 4.002=>4 cs 2. Gli zeri prima del punto (decimale), anche non scritto, non sono significativi: 57200=>3 cs, a meno che non sia indicato espressamente in qualche modo: 57200, x10 4 =>5cs 3. Gli zeri dopo il punto ma dopo un numero sono significativi 30.00=>4cs, gli altri no: =>2cs Torna al testo Appendice su precisione e accuratezza Per buona precisione di una misura si intende che ripetendo le misure più volte si ottengono valori molto vicini tra loro. Per buona accuratezza si intende invece che questi valori sono vicini al valore vero ; non sono presenti cioè errori sistematici. Se, per esempio, il mirino di un fucile di precisione

8 falsa la visione, io sparerò in punti vicini tra loro (buona precisione), ma attorno a un punto diverso centro del bersaglio (cattiva accuratezza). Appendice sulla media pesata Se le misure che si mediano non hanno tutte la stessa precisione (ottenute con strumenti diversi, risultato di un determinazione indiretta che introduce un errore variabile, ) è possibile utilizzare una media pesata che, apunto da un peso maggiore ai valori con precisione maggiore. Tale media è definita nel modo seguente: x n 1 = n 1 ω ω i x i i dove gli ω i sono appunto i pesi. Se ad ogni misura attribuiamo lo stesso peso questa definizione si riduce a quella di media normale (se mettete peso uno a tutti al denominatore troverete n). Come stabilire il peso da dare alle singole misure. Nel caso io possa associare ad ogni misura una deviazione standard σ i potrò usare questi come pesi: ω i =1/σ 2 i. Più precisa è quella misura, minore sarà il suo σ e più grande è il suo peso. Appendice sul metodo dei minimi quadrati Quando i valori y i ottenuti misurando una grandezza y si dispongono in maniera lineare se messi in funzione di un altra grandezza misurata x, si pone il problema di determinare la retta che meglio approssima i dati misurati, cioè quella che in media passa più vicina a tutti i valori misurati. Per tradurre matematicamente questa condizione, si cerca la retta y(x) che rende minima la somma dei quadrati delle differenze tra ciascun valore y i e il valore corrispondente sulla retta (cioè in corrispondenza dello stesso valore di x i ), cioè la quantità: ( y ) ) n 1 2 ( x i y i Se la retta ha equazione y(x)=a+bx, ciò corrisponde a trovare i valori di a e b che rendono minima la quantità: n 1 ( a + ) bx i y i 2 Ponendo a zero le derivate rispetto ad a e a b di questa quantità e sviluppando queste equazioni si trovano delle espressioni per a e b che dipendono da n e da vari termini quali le somme dei prodotti dei valori di x i e y i, le somme dei quadrati di x i e di y i e così via. Così pure si trovano delle espressioni per gli scarti quadratici medi di a e di b, σ a σ b. Le moderne calcolatrici e i fogli di calcolo sono in grado di calcolare per voi tutti questi valori (vedi nei libretti di istruzione, nei manuali o negli help in linea, sotto regressione lineare, linear regression, minimi quadrati, least squares, ).

9 Nota: Questo metodo dei minimi quadrati non è applicabile solo a una retta, ma a tutte le funzioni che siano lineari rispetto ai parametri (non alle variabili, cioè nel caso di una retta, la dipendenza deve essere lineare rispetto ad a e b, non x e y). Per trovare cioè i parametri che meglio rendono adatta una certa funzione ai dati sperimentali (non quindi per scegliere la funzione migliore, cosa molto più complicata). Per situazioni non lineari esistono altri metodi più complessi e che in generale non forniscono una soluzione analitica, ma vanno per tentativi mirati secondo certe strategie. (Stefano Polizzi Università Ca Foscari di Venezia aggiornato il 12/11/2007)