Δ > 0, f(x)<0 quindi valori interni 0<x<4. Δ <0 f(x)>0 quindi sempre verificata

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1 Classe TERZA A inf. MATEMATICA : SOSPENSIONE DEL GIUDIZIO Devi svolgere su di un quaderno tutti gli esercizi di queste pagine, anche quelli già risolti come esempio e consegnarmelo il giorno della prova scritta di matematica ( primi giorni di settembre.) LA VERIFICA DI INZIO SETTEMBRE, per gli studenti con sospensione del giudizio, CONTERRA ESERCIZI SIMILI A QUELLI DEI COMPITI DELLE VACANZE RICORDA: Nelle disequazioni di primo grado a>b o a<b si capovolge il segno della disuguaglianza quando a è negativo : esempio -3> ris <-/3 oppure 5>6 ris >6/5 Nelle disequazioni di secondo grado (tenendo conto che ci si può sempre ricondurre al caso a>0) : Esempio 1 - >0 Passo all equazione = +, Δ >0 f()>0 quindi valori esterni <- U > Esempio - >0 moltiplico per -1 +<0 passo all equazione =0 ed = il Δ > 0, f()<0 quindi valori interni 0<< Esempio > 0 Δ = - = 0 1 = = -1 Δ = 0 e f() > 0, dunque la disequazione è verificata per ogni diverso da -1 Esempio + >0 Δ <0 f()>0 quindi sempre verificata

2 Esempio Pongo numeratore e denominatore > 0 : N > > 0, < -1 U > 9 D > > 0, < -5 U > 3 Costruisco il grafico Esempio Pongo numeratore e denominatore > 0 : N > > 0, < 5, > 11 D > 0-1 > 0, > > 0, < 3 il fattore (positivo) si può tralasciare Costruisco il grafico Poiché il verso della diseq. è positivo, la soluzione è data Poiché il verso della d. è negativo, la soluzione è < 1, 3 < < 5, > 11 dagli intervalli positivi : < -5, -1 < < 3, > 9 Esercizio (-1 - )( - ) < 0 Pongo ogni fattore > 0 : Esercizio > 0 moltiplico per -1 e cambio il verso : 1 + < 0 il primo membro, essendo una somma di due quadrati, è sempre positivo ; quindi MAI VERIFICATA ( - ) > 0 è una diseq. di secondo grado verificata per i valori esterni per < 0 e > costruisco il grafico : Risolvo le due disequazioni ->0 < -9<0 valori interni -3<<3 costruisco il grafico ( metto solo la linea continua dove sono verificate le due disequazioni) -3 3 Essendo un sistema considero gli intervalli in cui sono verificate entrambe le disequazioni: La soluzione è data dagli intervalli negativi : < 0 e > -3<< A)Risolvi le seguenti disequazioni 1-5>0 ris <1/5-5 8 > 3-6 ris > (-+1)<3-7 ris >3/ > (+) ris: <- U > - t + 5 < 6t ris 1<t< < 0 ris : 0<<3 (-5)(+5)>0 ris <-5 U >5 - (-7)(+) < 0 ris : -< < > 0 ris <-1 U > < 10 ris <<8 - (-1)(+)(-3)>0 ris <- U 0<<1 U >3 ( )( - + ) >0 ris <-1 U > - 3 ( -1)(-3)( -3+)<0 ris

3 1 5 ris 3 U ris ris 1U ris ris -1<<3/ ris 0<< ½ << ris -1/<</ ris 0<< ris >1/3 B) Disequazioni biquadratiche Il procedimento risolutivo e' il seguente : si pone = t cosi' sara' = t la disequazione diventa di secondo grado si risolve con le note regole quindi si sostituisce alla t la grado ottenute. e si risolvono le disequazioni di secondo ESEMPIO pongo = t l'equazione diventa t - t la risolvo t 1 = -1, t =5 (segni discordi valori interni) -1 t 5 sostituisco a t il suo valore -1 5 questa disequazione equivale al sistema : 5 5 sempreverificata sistema per 5 1 quindi sono verificate entrambe le disequazioni che compongono il 5 5 che e' il risultato della disequazione assegnata ESEMPIO pongo = t l'equazione diventa t - 6 t + 8 > 0 la risolvo t 1 =, t = (segni concordi valori esterni) t< U t> sostituisco a t il suo valore < U > risolvo le due disequazioni e unisco i risultati ( cioe' li pongo uno vicino all'altro)

4 ATTENZIONE QUANDO SI PRENDONO I VALORI INTERNI SI DEVE FARE IL SISTEMA QUANDO SI CONSIDERANO I VALORI ESTERNI LA DISEQUAZIONE E' MOLTO PIU' BREVE BASTA PORRE I RISULTATI UNO ACCANTO ALL'ALTRO,CON IL SIMBOLO DI UNIONE Svolgi sul quaderno i due esercizi precedenti e i seguenti C) Disequazioni irrazionali risolte algebricamente Se si tratta di radici cubiche ( ma analogamente se la radice ha indice dispari) basta isolare la radice ed elevare entrambi i membri al cubo : 3 3 elevo al cubo 3->8 ris. < >- 3 ris. >0 elevo al cubo Se si tratta di radice quadrata ( in modo analogo se l esponente è pari) : elevo al cubo 1-3 > <0 ris. 0<<1

5 Risolvi le seguenti disequazioni irrazionali : 3 ris <0. 3 ris <-5/. 3 0 ris <-1 U 0<< D) Disequazioni con un modulo ris 7. ris -3 < 3/. f() >K con K positivo f()< -k v f()>k f() <K con K positivo -k<f()<k che diventa un sistema

6 f ( ) k f ( ) k Risolvi sul quaderno > 3; + 1 1; 1; 5 < 7; 3 < 1; 9 < 1; + 1 > ; + 1 > 3; + > ; 7 - < 3; E) Rappresenta graficamente le seguenti rette, circonferenze e parabole ( rivedi gli appunti presi a lezione o il libro di testo vol A) PARABOLA CON ASSE PARALLELO Equazione retta // asse y = K es. y= ASSE Y Equazione retta // asse y = K es. =3 equazione cartesiana: Equazione retta per O(0,0) y = m es. y= - 5 Equazione retta generica y= m + q es y= CIRCONFERENZA DI CENTRO C (a,b) e raggio r equazione cartesiana: vertice: PARABOLA CON ASSE PARALLELO ASSE X» centro:» raggio: equazione cartesiana:» vertice: y=-+3 y= 1-3y = 0 6-5y+10 =0 y= - y= y= - +y = +y -+y = 0 +y -3 =0 Rappresenta graficamente ( si tratta di semicirconferenze o archi di parabola con asse nell asse ) y = y = y = 5 y= - Dopo aver ripassato parabola e circonferenza risolvere graficamente: 3 ; 1 1 TRIGONOMETRIA ( rivedi gli appunti presi a lezione o il libro di testo vol B) Ripassa la definizione di seno, coseno e tangente di un angolo; i valori del seno, coseno e tangente degli angoli di 30, 5, 60 ; i grafici di sinusoide, cosinusoide e tangentoide F) Risolvi le seguenti equazioni in 0<< π, in 0<<360 e in R sen=1 Ris = / ; =90 ;=/ +k sen= Ris: =/ ; 3/ ; = 5 ; 135 ; = /+k ; 3/ +k cos=-1 Ris = ; =180 ; = +k cos=1 Ris = /3; 5/3 ; = 60 ; 300 ; =/3+k; 5/3+k tg=0 Ris =0; ; ; = 0;180;360 ; =k 3tg - 3 =0 = /6;7/6 ; =30;10 ; =/6+k ; 7/6 +k; tg -3=0 ris = /3;/3;/3;5/3 = 60, 10,0,300 = +/3 +k cos cos-1=0 ris =0; ; /3; /3 ; = 0;360;10;0 =+k =+/3+k sen + sen=0 ris =0,, ; 7/6 ; 11/6 ; =0;180;360;10;330 =K ;+ 7/6+K Risolvere in 0<< sen<-1 ; cos +1 >0 ; sen<0 ; tg<1 ; 1/ sen >0 ; cos 1 >0

7 ESPONENZIALI E LOGARITMI G) Equazioni esponenziali e logaritmiche ESERCIZI GUIDA RISOLTI 5 Ricorda: = 81 ; 3 3 1/9 1 /3 3/ Il logaritmo in base a ( numero reale positivo) di b è l esponente che si deve dare ad a per ottenere b << il log a b è se e solo se a =b >> ; log 3 9 ; log ; log ; log Calcola a mente il valore dei seguenti logaritmi log (1/5) 15= Ris -3 log 6= Ris 6 log (1/3) (1/81)= Ris log 6= Ris 3 Log (1/100)= Ris - log = Ris PROPRIETà DEI LOGARITMI logaritmi godono delle seguenti proprietà: 1) log a 1=0 ) log a a=1 3) log a y= log a + log a y ) log a /y= log a - log a y 5) log a y = ylog a Calcola la condizione di esistenza dell esercizio ->0 quindi C. E. > calcola il valore di applicando la definizione di logaritmo -=3 quindi =83 poi pero devi chiederti se il risultato trovato e accettabile. Esso e accettabile solo se appartiene al C.E. dell esercizio. Nel nostro caso il risultato e accettabile poiché 83>. 3 = 1/7 trasformo l'equazione in modo che compaiono potenze con la stessa base: 3 = 3-3 uguaglio gli esponenti: = -3 Ris: = - 3/ 5 = 1/65 trasformo l'equazione in modo che compaiono potenze con la stessa base: (5 ) = 5-5 = 5 - = - Ris : = - 0 C. E. 7 0 quindi C.E. >7/ si considerano solo gli argomenti(tolgo i log) = -7 quindi = 7 accettabile (perché 7> 7/) Log 3Log 0 ho C.E. >0 Pongo Log = t e l equazione diventa t -3t + = 0 la risolvo ed ho t=1 ed t= sostituisco t con Log ( che è il log 10 ) Log = 1 ed Log = Ricordando la definizione di logaritmo: = 10 ed = 100 accettabili - 5 = 3 Pongo = t Risolvo l'equazione t -5t -3=0 ottengo t=3 ed t= -1/ quindi ricordando che t= = -1/ ed = 3 impossibile ed = (Log 3) / (Log ) 3 - *3 +3 =0 con la sostituzione 3 = t t - t +3=0 la risolvo t=1 ed t=3 diventa

8 3 +1 = 5 non potendo trasformare l equazione in potenze con la stessa base applico il logaritmo in base 10 ad entrambi i membri Log 3 +1 = Log 5 Uso la proprieta' dei logaritmi (+1)Log 3 = Log 5 svolgo i calcoli, ricavo ed ottengo Log 3 +Log3 = Log5 = (Log 5 Log 3 ) / (Log3) quindi 3 =1 mi da = 0 3 =3 mi da = 1 SOLUZIONI =0 ED =1 Risolvi le equazioni esponenziali e logaritmiche =81 ris 3/ ; 5 1- = ris =11/ ; 1 15 ris (7 ) + 7 = 0 ris 1 e 0 ; 3 - (3 ) -3=0 ris 1 ; Log(-3)= ris 103; Log(+8) = Log ( -) ris U - ; Log 11Log +10 =0 ris 1 U ; log3 log3 0 ris 9 U 1/3 ; log 3 (5-) = 0 ris = ; log 5 (6-) = 1 ris =1/ + COMPITI DELLE VACANZE SU FOGLIO A PARTE ( scaricabile dal sito )