Il Calcolo delle Probabilità è lo strumento matematico per trattare fenomeni aleatori cioè non deterministici.

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1 INTRODUZIONE L CLCOLO DELLE ROILIT Il Calcolo delle robabilità è lo strumento matematico per trattare fenomeni aleatori cioè non deterministici. Un fenomeno aleatorio o stocastico è un fenomeno i cui esiti diversi almeno 2 non sono prevedibili. opp Un fenomeno aleatorio o stocastico è non deterministico perchè il suo ripetersi sotto le medesime condizioni iniziali non produce i medesimi risultati.

2 MIENTE MTEMTICO mathematical framework SZIO DI ROILIT probability space,, spazio campionario σ-algebra misura di probabilità

3 Supponiamo di condurre un esperimento aleatorio: Lancio di due dadi Lancio di una moneta finché non esce testa Disputa di una partita di calcio Tiro a bersaglio. Definiamo l insieme dei possibili ESITI ELEMENTRI dell esperimento casuale, 2, 1 SZIO CMIONE

4 Esempio1: Esempio2 : Esempio3: Esempio4 : 1,1,1,2, 1, x,2 T, CT x, y :0, CCT x, y, CCCT 1, ESUSTIVIT : cioè contiene tutti i possibili esiti elementari dell esperimento MUTU ESCLUSIVIT : cioè si verifica uno soltanto degli esiti elementari RITRRIET NELL SCELT: i dettagli da includere sono arbitrari I modelli sono solo un approssimazione della realtàtutti i modelli sono sbagliati, alcuni sono utili. George ox

5 Evento: sottoinsieme di Ω ben definito e cioè per il quale si può stabilire con certezza se il risultato dell esperimento appartiene ad oppure no.

6 ESEMIO 1: " " 2, min 1" " 1,2,1,1 pari Y X y x primo da il ,0.77 y x ESEMIO 4: verifica si

7 Operazioni tra eventi U=E E consiste nel verificarsi di oppure E= {2,4,5,6} =uscita di un numero pari =uscita di un numero > 3 =E E consiste nel verificarsi di e E= {4,6} =Ø e sono incompatibili, cioè non si possono verificare simultaneamente =uscita di un numero pari =uscita di un numero dispari

8 Ω-=Ā Ā evento contrario o complementare ad =uscita di un numero pari >3 Ā= {1,2,3,5} ogni volta che si verifica anche si verifica =uscita di un numero dispari = {3,5}

9 Essendo gli eventi dei sottinsiemi di con le usuali operazioni tra insiemi: su di loro è possibile operare si verifica oppure si verificano e non si verifica evento impossibile evento certo

10 La famiglia degli eventi definibili su ῼ, indicata con, è una σ-algebra detta σ-lger DEGLI EVENTI i N in i

11 Definizione frequentista Von Mises Definizione classica Laplace robabilità Definizione soggettiva De Finetti

12 Definizione classica ascal 1650 definisce la probabilità di un evento come il rapporto tra il numero dei casi favorevoli all evento e il numero dei casi possibili, purché questi ultimi siano tutti ugualmente possibili Def. Operativa Supponiamo E n n E n e sia E numero di casi favorevoli numero di casi totali

13 roblemi Eventi equiprobabili??? La definizione fa uso della parola equiprobabili E per spazi campionari infiniti???? 0 E 1 NOT ENE Ω=1 e Ø=0 E 1 U E 2 =E 1 +E 2 se E 1 e E 2 incompatibili

14 Definizione frequentista Von Mises 1800 definisce la probabilità di un evento come il limite della frequenza relativa dei successi cioè delle prove in cui l evento si verifica, quando il numero delle prove tende all infinito. Def. Operativa E lim n ne con f E frequenza relativa n n numero di volte in cui E si E n numero di prove ripetute f E verifica Legge empirica del caso In una serie di prove ripetute molte volte nelle stesse condizioni, la frequenza tende ad un valore costante

15 roblemi Non tutti gli eventi sono ripetibili Ex. Qual è la probabilità che tra 50 anni il tasso di natalità in frica si dimezzi? La definizione di limite non è ben posta NOT ENE 0 E 1 Ω=1 e Ø=0 E 1 U E 2 =E 1 +E 2 se E 1 e E 2 incompatibili

16 Definizione soggettiva De Finetti 1950 definisce la probabilità di un evento E il grado di fiducia che un individuo coerente attribuisce, secondo le sue informazioni e opinioni, al suo avverarsi. Coerente = non c è interesse a barare nella valutazione e si applicano correttamente le norme di calcolo. Def. Operativa E =disponibilità del soggetto a pagare, come equa, la quota di scommessa E, per riscuotere 1, se E si verifica e 0 se E non si verifica. E=/S S=somma che si ha diritto a ricevere se E si verifica.

17 roblemi È una misura soggettiva che dipende dal grado di propensione al rischio dell individuo, però vale anche per eventi non equiprobabili!! vale anche per esperimenti non ripetuti!! Nota bene oiché non si scommette mai una cifra superiore alla possibile vincita 0 S 0 E 1 Se E = Ø = 0 e E = 0 Se E = Ω = S e E = 1 U=+ se e incompatibili

18 Definizione assiomatica!!! Kolmogorov 1933 definisce la robabilità come una funzione : i i i i con i e i j, i j Una funzione di insiemi che gode delle suddette proprietà è detta MISUR

19 La definizione assiomatica mette d accordo tutti Non ha importanza come definisco operativamente la quantità l importante è che essa soddisfi la proprietà di essere una misura unitaria sugli insiemi/eventi. In una teoria assiomatica si parte da dei postulati/assiomi, che definiscono gli oggetti trattati solo dal punto di vista matematico; si fissano cioè soltanto le relazioni matematiche a cui essi obbediscono, senza fare riferimento ad un loro contenuto sostanziale. Dagli assiomi si traggono le conseguenze, utilizzando le usuali leggi logiche; costruendo appunto la teoria assiomatica. Le interpretazioni classica, frequentista e soggettiva, quando applicabili, soddisfano gli assiomi e possono dunque essere interpretate come delle probabilità. llora per queste probabilità si potranno utilizzare i risultati della teoria assiomatica senza doverli dimostrare ogni volta.

20 Dagli assiomi seguono diverse proprietà 1 dim... 1 dim... 0 dim... dim...

21 dim.... oole dis Dis. Di oole per una successione di eventi dim.... oincarè leg Legge oincarè per n eventi q i q c