Esercitazione n. 3 - Corso di STATISTICA - Università della Basilicata - a.a. 2011/12 Prof. Roberta Siciliano

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1 Esercitazione n. 3 - Corso di STATISTICA - Università della Basilicata - a.a. 2011/12 Prof. Roberta Siciliano Esercizio 1 Una moneta viene lanciata 6 volte. Calcolare a) La probabilità che escano esattamente 2 eventi testa b) La probabilità che escano almeno 4 eventi testa c) La probabilità che l evento testa non si verifichi affatto n x n x a) P ( x = 2) = p (1 p) = 0,5 0,5 = 0, 2343 x b) P ( x = 4) + P( x = 5) + P( x = 6) = 0,5 0,5 + 0,5 0,5 + 0,5 0,5 = 0, c) P ( x = 0) = 0,5 0,5 = 0, Esercizio 2 Un dado viene lanciato 7 volte. Si supponga di vincere una scommessa se si verifica l uscita del numero 1 oppure del numero 2. Calcolare a) la probabilità di vincere esattamente 3 volte b) la probabilità di non vincere mai c) la probabilità di vincere almeno una volta n x b) P ( x = 0) = ( 1 ) ( 2 ) = 0, c) P ( x 1) = 1 P( x = 0) = 1 0,0585 = 0, 9415 x n x a) P ( x = 3) = p (1 p) = ( ) ( ) = 0, 2560 Esercizio 3 Si lancia 500 volte una moneta; determinare la probabilità che si presenti un numero di teste superiore a 260. np = 250 np(1-p) = 125 X ~ N(250,125) P ( x > 260) = P z > = P( z > 0,89) = 0,

2 Esercizio 4 Sia X un v.c. che si distribuisce come una. normale avente media 350 e varianza 0. Si calcoli la probabilità che: a) x sia minore di 328; b) x sia maggiore di 328; c) x sia compreso tra 325 e 375; d) x sia compreso tra 335 e 345; e) x sia compreso tra 360 e 379; f) x sia maggiore di 350. Quesito a. x µ z = = = 1, 2 σ Px ( < 328) = Pz ( < 1,2) = 0,1151 X~N(350,0) Svolgimento Dalla lettura delle tavole della v.c. normale standardizzata si ha che tale probabilità e pari a 0,1151. Infatti, l ordinata z = 1,2 della suddetta curva riporta un valore (compreso tra - e 1,2 ) pari a 0,8849. Dalla simmetria della v.c. normale segue che P(z < -1,2) = 1 P(z < 1,2). Infatti 1-0,8849 = 0,1151.

3 Quesito b. Dal quesito precedente segue che P(x > 328) = P(z > -1,2). Quindi, P(z > -1,2) = 1 P(z < -1,2) = 1 0,1151 = 0,8849.

4 Quesito c z1 = = 2,5 z2 = = 2,5 P(225 < x < 275) = P(-2,5 < z < 2,5) = 0,9876 Dobbiamo trovare la massa di probabilità compresa tra le ordinate di z comprese tra 2,5 e -2,5 della v.c. normale standardizzata. Dalle tavole si ha che l ordinata associata al valore 2,5 riporta il valore 0,9938 (ricordiamo che tale valore è relativo a P(z < 2,5)). A questo punto è necessario sottrarre a tal numero il valore corrispondente a P(z > -2,5) = 1 P(z < 2,5) = 0,0062. Per cui 0,9938 0,0062 = 0,9876. P(-2,5 < z < 2,5) = P(z < 2,5) P(z > -2,5) = 0,9938 0,0062 = 0,9876.

5 Quesito d z1 = = 1, 5 z2 = = 0,5 Procediamo come nel quesito precedente. P(335 < x < 345) = P(-1,5 < z < -0,5) = P(z < -0,5) P(z < -1,5) = 0,3085 0,068 = 0,2417

6 Quesito e z1 = = 1 z = = 2,9 Procediamo come nel quesito precedente. P(360 < x < 379) = P(1 < z < 2,9) = P(z < 2,9) P(z < 1) = 0,9981 0,8413 = 0,1568

7 Quesito f. Essendo il valore x uguale al valor medio della V.C. di riferimento, l ordinata z risulta pari a zero e quindi, come è noto, la probabilità risulta pari a 0,5.

8 Esercizio 5 Si supponga che i punteggi relativi ad un esame (in cui al massimo si può aspirare a 0) siano distribuiti normalmente con media 76 e scarto quadratico medio15. Il 15% degli studenti (quelli migliori) viene classificato A, ed il % (quelli peggiori) viene classificato F. Si determini: a) il punteggio minimo occorrente per essere classificati A. b) il punteggio minimo per essere promossi (cioè per non prendere un voto F ). Quesito a. Svolgimento Innanzitutto troviamo il valore della curva della v.c. normale standardizzata che lascia nella coda il 15%. Cioè dobbiamo trovare quel valore z tale per cui P(z > Z)=0,15. Dalla lettura delle tavole, si può vedere come il valore probabilità 0,85 (da cui 1 0,85 = 0,15) è associato al valore z = 1,034. x µ x 76 Dal fatto che z = segue che 1, 034 =. Risolvendo per la x (che rappresenta il punteggio σ 15 non standardizzato che lascia sulla coda il 15% di probabilità) si ottiene: 15 1, 034 = x 76 da cui 15, = x e quindi x=91,51 che approssimato all intero più vicino dà 92. Quindi il punteggio minimo richiesto per ottenere una A è 92. Quesito b. Per risolvere tale quesito si deve trovare il valore della curva della v.c. normale standardizzata che lascia nella coda il %. Si deve cioè trovare quel valore z tale per cui P(z < Z) = 0,. Dalla lettura delle tavole si vede che il valore probabilità 0,90 (da cui 1 0,90 = 0,) è associato al valore z pari a 1,289. Ovviamente, trattandosi della coda sinistra della distribuzione normale, dobbiamo prendere in considerazione il valore -1,289. x 76 Di conseguenza 1, 289 = da cui 19,335 = x 76 e quindi x = 56,665 che, approssimato 15 all intero più vicino, dà 57. Il punteggio minimo per non essere bocciati è 57.

9 Esercizio 6 Sia X una V.C. che si distribuisce come una normale con media 0 e varianza 225. Si determinino gli estremi dell intervallo centrato sulla media (0), all interno del quale vengono a trovarsi l 80% dei casi. Svolgimento Dalle tavole della V.C. normale standardizzata dobbiamo trovarci P(0 < Z < z) = 0,4. Tale valore di z è pari a 1,29. Dalla simmetria della v.c. normale segue che anche P(-1,29 < Z < 0) sia uguale a 0,4. L intervallo dei valori standardizzati, centrato sulla media 0 della v.c. normale standardizzata, e che racchiude l 80% delle osservazioni è pertanto [-1,29 1,29]. x µ A questo punto, dal fatto che z = segue che: σ x 0 a) 1,29 =, risolvendo per la x si ottiene 19,35 = x 0, da cui x = ,35 = 119,35 15 b) x 0 1, 29 =, da cui -19,35 = x 0; x = 0 19,35 = 80, L intervallo [80,65 119,65] racchiude l 80% delle osservazioni centrate sulla media 0. zσ restituisce quindi il valore 19,35 che rappresenta l ampiezza dell intervallo di valori centrati sulla media.

10 Esercizio 7 Una ditta produce cuscinetti a sfera per conto della società ABC spa. Viene estratto un campione casuale di 25 cuscinetti a sfera prodotti da un nuovo macchinario acquistato di recente e attualmente in prova. Da una accurata analisi prodotta su questi ultimi è risultato che il loro diametro medio è pari a 0,824 cm con uno scarto quadratico medio (corretto) pari a 0,042 cm. a. Costruire un intervallo di confidenza al 99% per la media incognita nella popolazione b. Supponendo che il diametro dei cuscinetti a sfera prodotti dai vecchi macchinari è pari, in media, a 0,79 cm, si può affermare sulla base dei risultati ottenuti in precedenza che il nuovo macchinario produce cuscinetti a sfera di egual diametro? Motivare la risposta. a. *** b. No, poiché il valore in questione è esterno all intervallo Esercizio 8 In un sondaggio elettorale, su 350 intervistati 133 hanno dichiarato di votare alle prossime elezioni per il partito ϡ. a) Si costruisca un intervallo di confidenza al 95% sulla probabilità di successo incognita nella popolazione; *** a) ; ;