SOLUZIONI DEL 1 0 TEST DI PREPARAZIONE ALLA 1 a PROVA INTERMEDIA

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1 SOLUZIONI DEL 1 0 TEST DI PREPARAZIONE ALLA 1 a PROVA INTERMEDIA 1 Esercizio 0.1 Dato P (A) = 0.5 e P (A B) = 0.6, determinare P (B) nei casi in cui: a] A e B sono incompatibili; b] A e B sono indipendenti; c] P (A B) = 0.4. (a) - Se gli eventi A e B sono incompatibili si sa che (3 o assioma di Kolmogorov) P (A B) = P (A) + P (B) (1) Ma, dai dati del problema, P (A B) = 0.6 e P (A) = 0.5. Quindi si ricava, dalla (1), P (B) = = 0.1 (b) - Se A e B sono indipendenti si sa che P (A B) = P (A)P (B) Ma si sa anche dalla teoria che P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) Quindi da cui P (A B) = P (A)P (B) = P (A) + P (B) P (A B) P (A)P (B) P (B) = P (A) P (A B) [P (A) 1]P (B) = P (A) P (A B) ossia, sostituendo i valori noti dai dati del problema, (0.5 1)P (B) = P (B) = 0.2

2 2 (c) - Ora, si sa che P (A B) = 0.4. Ma, d altra parte, è noto dalla teoria che P (A B) = P (A B) P (B) Quindi, possiamo scrivere P (A B)P (B) 0.4P (B) = P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) (2) Dai dati del problema P (A) P (A B) = 0.1. Quindi segue dalla (2), 0.4P (B) = P (B) 0.1 = P (B)[1 0.4] P (B) = Esercizio 0.2 In un urna sono contenute le biglie dei numeri del lotto numerate da 1 a 90. Calcolare il numero minimo di estrazioni senza reimmissione che dobbiamo fare per avere una probabilità del 50% che esca la pallina contrassegnata dal numero 90. E quale sarebbe il numero minimo di estrazioni con reimmissione? a: senza reimmissione Osserviamo, innanzitutto, che la probabilità p che la pallina con il numero 90 esca alla generica estrazione N è sempre uguale ad 1/90 qualunque sia N. Infatti, introducendo l evento E = uscita della pallina numero 90 abbiamo che tale evento si può presentare alla prima estrazione, o alla seconda, o alla terza ecc... Supponiamo che la pallina esca alla prima estrazione. In tal caso (poichè ci sono 90 palline nell urna) p(e 1 ) = 1 90 Supponiamo che la pallina non esca alla prima estrazione ma esca alla seconda. Allora si ha la seguente sequenza di eventi E 1 E 2 con probabilità (si ricordi che siamo nel caso senza reimmissione e, quindi, alla seconda estrazione sono rimaste nell urna solo 89 biglie) P ( ) E 1 E 2 = P (E1 )P (E 2 E 1 ) = = 1 90

3 Supponiamo che la pallina non esca nè alla prima estrazione nè alla seconda ma alla terza. Si ha cioè la sequenza E 1 E 2 E 3. Quindi, anche in questo caso, ragionando come prima, P ( ) 89 E 1 E 2 E 3 = = 1 90 e così via... Da ciò si vede che la probabilità è, per ogni N, sempre uguale ad 1/90. Ora osserviamo che, in base a quanto detto, la probabilità che la pallina sia uscita nelle prime N estrazioni è pari ad (per n volte) = N 90 in quanto l evento è l unione degli eventi (incompatibili!): esce alla prima o esce alla seconda o esce alla terza,..., o esce alla N-esima estrazione. 1 Per rispondere alla domanda basta, quindi, scrivere: Osservazione. N 90 = 1 2 = N = 45 Tutto ciò che abbiamo appena detto non è altro che l applicazione del teorema della probabilità totale. Infatti, si chiede di determinare un certo evento E che può verificarsi insieme ad uno degli eventi 3 H 1, H 2,..., H n che formano un gruppo completo di eventi incompatibili. In questo caso P (E) = n P (H i )P (E/H i ) i=1 cioè la probabilità dell evento E si calcola come la somma dei prodotti della probabilità di ciascuno degli eventi H 1, H 2,...H n per la probabilità dell evento E con queste ipotesi. b: con reimmissione Se la pallina 90 esce alla k-esima estrazione questo significa che fino a quel momento non si è avuto nessun successo. La probabilità per l insieme di tutti i numeri dell urna, tranne il 90, di uscire ad ogni estrazione è (si badi che ora c è la reimmissione nell urna) p = da cui ( ) 89 k P (non estrazione della biglia 90 in k prove) = 90 1 Si noti che, per N = 90 si ha p = 1: se faccio 90 estrazioni la pallina desiderata esce sicuramente.

4 4 Quindi, affinchè questa quantità sia minore o uguale (si noti che stiamo richiedendo che non esca il 90) al 50% deve essere: ( 89 90)k 1 2 e, passando in forma logaritmica, possiamo scrivere ( ) 89 k log log 1 = k Esercizio 0.3 Due numeri vengono scelti a caso dall insieme dei numeri {1,2,...,n}. Qual è la probabilità che uno di essi sia minore di k e l altro sia maggiore di k fissato, per un intero k assegnato nell intervallo: 1 < k < n? In questo caso usiamo la definizione classica di probabilità p = numero casi favorevoli numero casi possibili L insieme dei casi possibili è l insieme delle coppie (si osservi che vengono estratti due numeri...) ordinate di numeri (x, y) con 1 x < y n. Quante sono tali possibili scelte? Sono le combinazioni di n elementi presi 2 a 2 ossia C n,2 = ( ) n 2 = n (n 1) 2 I casi favorevoli sono quelli in cui x < k < y quindi x può assumere k 1 valori, ed y può assumere n k valori: in totale (k 1)(n k) coppie. Pertanto (k 1)(n k) p = 2 n(n 1) (3) (4) Caso particolare per capire l esercizio precedente. Supponiamo che l insieme degli n numeri sia {1, 2, 3, 4, 5, 6} e che venga assegnato k = 4. Allora le possibili coppie ordinate di numeri (x, y) con 1 x < y 6 sono 15 (in base alla formula (3)) e, cioè, (1, 2)(1, 3)(1, 4)(1, 5)(1, 6)(2, 3)(2, 4)(2, 5)(2, 6)(3, 4)(3, 5)(3, 6)(4, 5)(4, 6)(5, 6)

5 e, scelto appunto k = 4, i casi favorevoli sono quelli per cui x < 4 < y. In tal caso x può assumere solo i valori 1,2,3 e y solo i valori 5,6 e le coppie favorevoli sono ossia (k 1)(n k) = (4 1)(6 4) = 6 (1, 5) (1, 6) (2, 5) (2, 6) (3, 5) (3, 6) Allora, in questo caso particolare, la (4) fornisce p = 6/15 = 0.4 Esercizio 0.4 E noto che il daltonismo è una malattia che colpisce il 5% degli uomini e lo 0,25% delle donne della popolazione italiana. Una persona scelta a caso in un campione costituito da un uguale numero di uomini e donne soffre di daltonismo. Qual è la probabilità che sia un uomo? 5 Indichiamo con U l evento e con D l evento U: la persona estratta dal campione è un uomo D: la persona estratta dal campione è daltonica In questo caso quello che ci è richiesto è la probabilità condizionata P (U D) cioè la probabilità che la persona che si sa essere daltonica sia un uomo. Dal teorema di Bayes sappiamo che: P (D U)P (U) P (U D) = (5) P (D) Dai dati del problema sappiamo che P (U) = 1 2 = 0, 5 P (D U) = 0, 05 poichè il 5% degli uomini soffre di daltonismo essendo P (U) la probabilità che il soggetto estratto casualmente dal campione (costituito per metà di uomini e per metà di donne) sia un uomo. Dobbiamo, ancora,

6 6 trovare P (D) cioè la probabilità che il soggetto scelto dal campione sia daltonico (questa, poichè gli eventi sono incompatibili, è la somma delle probabilità che tale soggetto sia un daltonico uomo o un daltonico donna). Si ha (teorema della probabilità totale) P (D) = P (D U) + P (D U) = P (D U)P (U) + P (D U)P (U) = = Sostituendo tutti i valori trovati nella formula di Bayes (5) si trova, infine, P (U D) 0.96 Esercizio 0.5 Nella ricerca di un certo libro, uno studente può visitare tre biblioteche. Ognuna di queste, indipendentemente dalle altre, può possedere il libro con probabilità del 50%; in questo caso, il libro può essere stato preso in prestito da un altro utente con probabilità del 50%. Trovare la probabilità che lo studente riesca ad ottenere il libro. Lo studente uscirà dalla 1 a biblioteca senza il libro se a) la biblioteca non ha il libro (p = 1/2) oppure b) lo possiede ma lo ha dato in prestito. L evento b) è l intersezione dell evento h: il libro c è con l evento f: il libro è in prestito. Si noti che questi due eventi non sono indipendenti (poichè il libro può essere dato in prestito solo se c è) e quindi, si ha p (h f) = p(h)p(f h) = = 1 4 essendo (dai dati del problema) p(f h) = 1/2. Quindi la probabilità totale ( ossia che lo studente esca dalla prima biblioteca senza il libro) è l unione dei due eventi a) e b) p = = 3 4 Ragionando analogamente per le altre due biblioteche si ha che la probabilità che lo studente non trovi il libro in nessuna delle 3 biblioteche (intersezione degli eventi

7 indipendenti: lo studente non trova il libro nella 1 a biblioteca e nella seconda e nella terza...) risulta p = ( ) = 0, La risposta finale (ossia la probabilità che lo studente ottenga il libro) è il complemento ad 1 di quest ultima cioè = 0, alternativa Risolviamo l esercizio ragionando in positivo. Lo studente uscirà dalla 1 a biblioteca con il libro se a) la biblioteca ha il libro (p = 1/2) e b) non lo ha dato in prestito (p = 1/2). Quindi lo studente esce dalla 1 a biblioteca con il libro con probabilità p = 1/4 che rappresenta la probabilità della intersezione dei due eventi a) e b). Si noti che tale valore è il complemento ad 1 del valore 3/4 trovato nella soluzione in negativo. La probabilità che lo studente trovi il libro in una delle tre biblioteche è, ovviamente, l unione degli eventi: lo studente trova il libro nella 1 a biblioteca o nella seconda o nella terza. Cioè, indicando con B 1, B 2, B 3 tali eventi, P (B 1 B 2 B 3 ) Ora, ricordando la formula generale della probabilità della somma di più eventi compatibili si ha, nel caso attuale di 3 eventi, P (B 1 B 2 B 3 ) = P (B i ) i<j P (B i B j ) + P (B 1 B 2 B 3 ) Ossia P (B 1 )+P (B 2 )+P (B 3 ) P (B 1 B 2 ) P (B 1 B 3 ) P (B 2 B 3 )+P (B 1 B 2 B 3 ) = = = =

8 8 Esercizio 0.6 Re Artù convoca, attorno alla tavola rotonda, sei cavalieri. Essi tireranno a turno una moneta (equilibrata) e partirà per la prossima impresa il cavaliere dal cui lancio uscirà per primo croce. Si chiede: a] Calcolare la probabilità dell evento L = Lancillotto parte, se Lancillotto lancia per primo. Nel caso che Artù (arbitro) compia un lancio preliminare per stabilire se Lancillotto lancerà per primo ( testa ) o per ultimo ( croce ) si chiede: b] Calcolare la probabilità P (L) nelle nuove condizioni; c] Calcolare la probabilità, P (C L), che il lancio di Artù abbia dato il risultato croce dato l evento L (Lancillotto non parte). (a) - Se Lancillotto lancia per primo può uscire subito croce e, quindi, Lancillotto ha probabilità 1/2 di partire (si ricordi che nel lancio di una moneta l uscita della testa e della croce sono equiprobabili). Ma se non esce croce al primo lancio la mano passa agli altri cavalieri e ritornerà di nuovo a Lancillotto se a nessuno di essi esce croce (sono uscite, cioè, 6 teste..). In altri termini, la moneta ritorna nuovamente a Lancillotto al settimo turno di lancio (e così via per i successivi turni...). Tenendo conto di tale osservazione, potremo dire che la probabilità che Lancillotto parta è l unione di tutti questi eventi, cioè, P (L) = 1 ( ) 2 = = = 1 2 h=0 ( ) h = serie geometrica Osservazione - Il primo termine ( 1 ) della precedente serie è l evento esce croce al 2 1 o lancio (e, quindi, Lancillotto parte...). Il secondo termine ( ) rappresenta l evento non esce mai croce a tutti e 6 i cavalieri e il lancio ritorna a Lancillotto (ecco perchè ci sono 7 termini; si noti che le varie probabilità sono tra loro moltiplicate perchè si tratta della intersezione di 7 eventi tra loro indipendenti).

9 (b) - Si usa il teorema delle probabilità totali (gli eventi T e C costituiscono una partizione di Ω...). Allora P (L) = P (L T )P (T ) + P (L C)P (C) = 1 2 [P (L T ) + P (L C)] = 1 2 = = I termini di quest ultima si spiegano così. P (L T ) = ( ) = 63 è il risultato già trovato nella prima domanda perchè se ad Artù, nel suo lancio preliminare, è uscita testa vuol dire che Lancillotto deve fare il primo lancio e si ricade nella situazione della domanda a]. Invece P (L C) = = h=0 ( ) h = = (6) Infatti, se Lancillotto lancia per ultimo (essendo uscita croce ad Artù) vuol dire che lui lancia la moneta al sesto lancio e, quindi, ragionando come nella domanda a] si arriva alla (6). (c) - Si tratta di calcolare P (C L) usando il teorema di Bayes (infatti sapendo che Lancillotto non parte si vuole conoscere la probabilità della causa croce che ha originato tale evento). Si ha P (C L) = P (L C)P (C) P (L) = = 2 3 = 0.6 essendo P (L C) = 1 P (L C) = = P (C) = 1 2, P (L) = 1 P (L) = =