Indici di Posizione. Gli indici si posizione sono misure sintetiche ( valori caratteristici ) che descrivono la tendenza centrale di un fenomeno

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1 Idc d Poszoe Gl dc s poszoe soo msure stetche ( valor caratterstc ) che descrvoo la tedeza cetrale d u feomeo La tedeza cetrale è, prma approssmazoe, la modaltà della varable verso la quale cas tedoo a gravtare, ossa l barcetro della dstrbuzoe

2 MODA È la modaltà della varable alla quale è assocata la maggor frequeza, coè quella che s è mafestata pù volte sede d rlevazoe Mo = { x : max( ) =,..., k} Può essere calcolato per qualsas tpo d varable È u dce elemetare e o molto formatvo MODA I caso d carattere raggruppato class la moda è l valore medo (cetrale) della classe a cu è assocata la destà d frequeza l (d ) pù elevata x + x+ Mo= { : max( l ) =,..., k} 2

3 ESEMPI VARIABILI QUALITATIVE SCONNESSE O RETTILINEE IES CORSO f p SAM 7 0,9 9% SPO 25 0, % ORU 86 0,25 25% IES 59 0,22 22% 7,00 00% Mo=SPO ORU SPO SAM redm f p N F P suffcete % % dscreto % % buoo % % ottmo % % % 00% 90% 80% 70% 60% 50% 0% 0% 20% 0% 0% p ottmo buoo dscreto suffcete Mo=Buoo ESEMPIO DISTRIBUZIONE BIMODALE MEDIA VOTI p N P 8,50%,50% 9,50% 22,00% ,6% 0 5,6% 2 29,96% 69 9,% ,% 6 5,8% ,2% 9 26,06% 2 05,2% 296 0,8% 25 8,6% 80 5,8% 26 05,2% 85 66,7% 27 85,60% ,76% ,82% 66 90,59% ,68% 7 97,27% ,7% 7 00,00% (vuote) 0,00% Totale complessvo 7 00,00% Dagramma a basto 6,0%,0% 2,0% 0,0% 8,0% 6,0%,0% 2,0% 0,0% meda vo Soo preset due valor modal, Mo=2 e Mo=26

4 ESEMPIO VARIABILE QUANTITATIVA RAGGRUPPATA IN CLASSI class età umero lettor ! totale 2867 Fote; ISTAT, dage sulla lettura e su altro mpego del tempo lbero, 986 class età umero lettor a l ! totale 2867 Classe modale: Mo=(20+25)/2=22.5 MEDIANA La medaa d ua varable è la modaltà che occupa la poszoe cetrale ella dstrbuzoe ordata della varable. o può essere calcolata per le varabl scoesse perché o posseggoo va aturale u orde è u dce pù formatvo della moda

5 ESEMPIO modaltà che occupa l posto cetrale ella dstrbuzoe ordata d frequeza (50% delle P) SAM/ORU SPO Gudzo Frequeza Gudzo Frequeza Freq. Cum INSUFF INSUFF 25 Freq. Cum 25 SCARSO 7 0 SCARSO 0 55 SUFF 5 5 SUFF 5 90 BUONO 0 75 BUONO 7 97 OTTIMO OTTIMO 00 MEDIANA Se l umero d utà statstche è dspar, c è ua sola poszoe cetrale P = (+)/2. Se l umero d d utà statstche è par, c soo due poszo cetral: /2 e /2+. Se le utà corrspodet a queste due poszo presetao la stessa modaltà, tale modaltà è la medaa; se presetao modaltà dverse: la medaa è determata (se la varable è ordale), la medaa è la meda delle due modaltà (se la varable è quattatva).

6 MEDIANA PER DATI RAGGRUPPATI IN CLASSI. S calcola l valore (+)/2 2a. Se l valore cade a cavallo d due class cotgue x - - x e x - x +, s scegle l valore separatore delle due calss (x ) come medaa 2b. Se la cumulata d orde (+)/2 cade ella classe d estrem x - x + la medaa è forta dalla seguete formula Me = x + 2 N l PERCENTILI (o frattl o quatl) Soo de partcolar valor della varable X che dvdoo la dstrbuzoe d frequeza 00 part tedezalmete d uguale umerostà. Cas partcolar: Percetle d orde 50 che corrspode alla medaa; Quartl che dvdoo la dstrbuzoe d frequeza quattro part tedezalmete della stessa umerostà /

7 QUARTILI Q 25% 75% Q 2 =Me 50% 50% Q 75% 25% QUARTILI 00.00% 75.00% 50.00% 25.00% 0.00% Q Q 2 Q Q =modaltà d X a cu corrspode la prma frequeza cumulata percetuale (relatva)>25% (0.25) Q 2 =modaltà d X a cu corrspode la prma frequeza cumulata percetuale (relatva)>50% (0. 5) Q =modaltà d X a cu corrspode la prma frequeza cumulata percetuale (relatva)>75% (0.75)

8 PRIMO QUARTILE Q. S calcola l valore (+) 2. S procede come per la medaa teedo come rfermeto sempre la poszoe (+). Per dat raggruppat classe la formula è Q = x + N l TERZO QUARTILE Q. S calcola l valore (+) 2. S procede come per la medaa teedo come rfermeto sempre la poszoe (+). Per dat raggruppat classe la formula è Q = x + N l

9 ESEMPI No s calcolao Medaa e Quartl delle varabl Corso e Laurea e Sesso perché soo varabl scoesse (omal) MEDIA VOTI p N P 8,50%,50% 9,50% 22,00% ,6% 0 5,6% 2 29,96% 69 9,% ,% 6 5,8% ,2% 9 26,06% 2 05,2% 296 0,8% 25 8,6% 80 5,8% 26 05,2% 85 66,7% 27 85,60% ,76% ,82% 66 90,59% ,68% 7 97,27% ,7% 7 00,00% Totale complessvo 7 00,00% 2 ( ) + = 8 ( ) + = 67 ( ) + = 550 redm f p N F P suffcete 0 0,05 5,7% 0 0,05 5,7% dscreto 5 0,2 20,52% 9 0,26 25,99% buoo 29 0,0 0,08% 85 0,66 66,07% ottmo 28 0,,9% 7,00 00,00% 7,00 00,00% Q =2 Q 2 =Me=25 Q =27 Q = dscreto Q 2 =Me= buoo Q = ottmo ESEMPI credt fi p N F P ,28 28,2% 207 0,28 28,2% ,25 2,97% 90 0,5 5,2% ,,6% 7 0,65 6,67% ,,2% 557 0,76 75,99% ,09 8,7% 62 0,85 8,72% ,06 5,7% 66 0,90 90,5% ,0,96% 692 0,9 9,% ,0,27% 76 0,98 97,68% ,02 2,2% 7,00 00,00% 7,00 00,00% 2 ( ) + = 8 ( ) + = 67 ( ) + = Q = 0 + = 7,7 207 / Q 2 2 = Me = 20 + = 7, 8/ Q = 60 + = 78,2 8/ 20 Q =8 Q 2 =Me=7 Q =78

10 MEDIA ARITMETICA La meda è l valore caratterstco pù oto e pù mpegato fra quell che rlevao la tedeza cetrale E la parte del totale delle testà che spetta a cascua utà Può essere calcolata solo per varabl quattatve ATTENZIONE: Molto spesso è comodo assocare alle modaltà qualtatve codc umerc (es. umero d matrcola, codce detfcatvo clete). Noostate la rcodfca, la varable rmae cootata secodo la caratterstca trseca del feomeo d cu essa è rlevazoe. NON HA SENSO FARE LA MEDIA DEL NUMERO DI MATRICOLA!!!!!!!!!! MEDIA ARITMETICA SEMPLICE Se s cosdera ua tabella d rlevazoe, la meda artmetca è data dalla seguete formula x = ( µ ) = x = ID VOTI CREDITI MVot ( ) = = M( Credt) = = 29 5

11 MEDIA ARITMETICA PONDERATA Se s cosdera ua tabella d frequeza, la meda artmetca è data dalla seguete formula VOTI Totale comp 200 credt x totale 200 x = ( µ ) = x k = MVot ( ) = = 2,5 200 Per le varabl raggruppate calsse s cosderao valor cetral MCredt ( ) = = ESEMPIO: MEDIA ARITMETICA (excel) Dat VOTI p N P x 8.50%.50% % 22.00% % 0 5.6% % 69 9.% % 6 5.8% % % % % % % % % % % % % % % % % 600 Totale com % 8 INDICI DI POSIZIONE Formula della meda MEDIA 25.7 artmetca semplce, 25.7 partedo dalla rlevazoe Formula della meda artmetca poderata, calcolata a partre dalla tabella d frequeza

12 ESEMPIO: MEDIA ARITMETICA (excel) credt fi p N F P a l x x % % % % % % % % % % % % % % % % % % % 820 MEDIA MEDIA calcolata dalla tebella d frequeza raggruppata class utlzzado come x valor cetral delle class Osservazoe Se s utlzza ua varable quattatva raggruppata Formula della meda artmetca poderata, calcolata a class, s perde l'formazoe umerca sulle sgole partre dalla tabella d frequeza utà statstche (class=categore), pertato gl dc d poszoe calcolat sulla tabella ragruppata class Formula della meda artmetca semplce, partedo dalla possoo dfferre da quell orgar, e dpedoo dal rlevazoe raggruppameto. MEDIA ARITMETICA: PROPRIETA. La meda artmetca d ua varable è sempre compresa tra l valore mmo e l valore massmo assut dalla varable stessa, coè xm x xmax 2. La meda d ua costate è uguale alla costate stessa, oltre se ua varable X vee moltplcata per ua costate ache la sua meda rsulta moltplcata per la stessa costate, coè M ( a + bx ) = a + bm ( X ), dove M s dce operatore meda artmetca e a e b soo due costat, vale qud M ( a) = a M ( bx ) = bm ( X )

13 MEDIA ARITMETICA: PROPRIETA. La somma algebrca degl scart de valor x dalla loro meda artmetca è uguale a zero ( ) x x = x x = x x = = =. La somma de quadrat degl scart de valor x dalla loro meda artmetca è mma (propretà de mm quadrat) 0 = ( x x) 2 = mmo ESEMPIO: PROPRIETA 2 CHIARA FRANCESCA DAVIDE STEFANO ELENA Salaro Le persoe elecate ella tabella costtuscoo u equpe d lavoro, se realzzerao u progetto rceverao u premo fsso d 000 cascuo e u cremeto del salaro del 5%. A quato ammoterà l salaro medo percepto da compoet dell equpe caso s realzzazoe? X= Salaro Y= Salaro dopo la realzzazoe =000+,05 X,05 = (salaro +cremeto) M( X) = = 90 5 M( Y) = M(000 +,05 X) = 000 +,05 M( X) = 000 +,05 90 = 6687

14 MEDIA ARITMETICA: TEOREMI Teorema La meda artmetca d u mscuglo d k grupp (o sottopopolazo), per cascuo de qual è gà oto l valore della meda artmetca, è uguale alla meda artmetca poderata delle meda de sgol grupp x = x meda artmetca dell' -esmo gruppo d umerostà j j = k = umerostà del mscuglo d k grupp = k k x x = = x j = j= = MEDIA ARITMETICA: TEOREMI Teorema 2 La meda artmetca della somma (o della dffereza) d due (o pù varabl) è uguale alla somma (o alla dffereza) della meda artmetca delle sgole varabl. Se Z= X+ Y M( Z) = M( X+ Y) = M( X) + M( Y) = x + y m = m j= j

15 ESEMPIO: TEOREMA Mscuglo d k= cors d laurea, varable X= età CORSO LAUREA MEDIA ETA' IES ORU SAM SPO S rcorda che la meda complessva della varable età calcolata sulle 7 utà o suddvse per corso d laurea era 25.7, verfchamo ora che la meda del mscuglo cocde 2, 59+ 2, , ,55 25 x = = 25,7 7 ESEMPIO: TEOREMA 2 La tabella mostra l tempo ( mut) d percorreza a ped per raggugere le sede d lavoro (X) e l tempo d percorreza co mezz (Y) d 5 dvdu. X Y Calcolare l tempo medo complessvo d percorreza per raggugere la sede d lavoro M( X) = = 9, MY ( ) = =, 5 M( Z) = M( X + Y) = M( X) + M( Y) = 9,6+,= 2

16 ESEMPIO RIEPILOGATIVO TEOREMI Nel prospetto soo rportat temp d percorreza mut relatv a 0 covogl Eurostar Itala sulle tratte Roma-Bologa e Bologa-Mlao, dcat rspettvamete co X e Y. X: tempo percorreza RM-BO Y: tempo percorreza BO-MI Sapedo che l tempo d percorreza teorco dell tero tragtto, RM-MI, è par a 270 mut, s dch co W la varable rtardo totale rportato da covogl. S calcol l rtardo medo complessvo sulla tratta RM-MI M( X) = = 6, MY ( ) = = 6,9 0 W=X+Y-270 M(W)=M(X+Y-270)=M(X)+M(Y)-270=6,2+6,9-270=,