Lezione 4. Gruppi di permutazioni

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1 Lezioe 4 Prerequisiti: Applicazioi tra isiemi Lezioi e Gruppi di permutazioi I questa lezioe itroduciamo ua classe ifiita di gruppi o abeliai Defiizioe 41 ia X u isieme o vuoto i dice permutazioe su X ogi applicazioe bigettiva di X i se stesso Deoteremo co ( X ) l'isieme delle permutazioi su X Proposizioe 4 L'isieme ( X ) è u gruppo rispetto alla composizioe di applicazioi Dimostrazioe: La composizioe di due permutazioi di X è acora ua permutazioe di X: ifatti se f : X X g : X X soo applicazioi bigettive bigettiva è ache l'applicazioe composta g f : X X Duque la composizioe di applicazioi è u'operazioe biaria defiita i ( X ) Verifichiamo ora che tale operazioe soddisfa le proprietà della defiizioe di gruppo (Defiizioe ) L'associatività è ota dalla teoria delle applicazioi L'elemeto eutro è l'applicazioe 1 idetica id X Ifie per ogi f ( X ) l'applicazioe iversa f appartiee ach'essa ad ( X ); 1 1 poiché f f = f f = id X essa è duque il simmetrico di f i ( X ) Defiizioe 4 ia u itero positivo ed X { } = 1 Allora il gruppo ( X ) viee detto gruppo simmetrico (oppure gruppo delle permutazioi) su elemeti e deotato ym( )) Esempio 44 Determiiamo i gruppi 1 (oppure (a) L'uica applicazioe { 1} { 1} è l'applicazioe idetica Quidi 1 è u gruppo baale (b) Vi soo esattamete due applicazioi bigettive { 1} { 1} ossia l'applicazioe idetica e l'applicazioe defiita da 1 1 Questi soo i due elemeti di Nota I geerale per idicare u elemeto σ di si può utilizzare la cosiddetta otazioe matriciale ella quale soo riportate (ella secoda riga) le immagii secodo σ degli elemeti 1 (scritti ella prima riga): 1 σ = σ (1) σ () σ ( ) I questa otazioe l'applicazioe idetica corrispode ad ua matrice co due righe uguali: 1 1 Idicheremo tale applicazioe (detta permutazioe idetica) più semplicemete co il simbolo id

2 I base a quato stabilito ell'esempio 44 possiamo duque scrivere: 1 = { id} 1 = id 1 Esercizio 45 Determiare i otazioe matriciale tutti gli elemeti di volgimeto: Le otazioi matriciali degli elemeti di si ottegoo dispoedo gli elemeti 1 1 secodo tutti gli ordii possibili ella secoda riga della matrice Il risultato è il seguete: Questi soo i 6 elemeti di Esiste ua facile formula geerale per il umero di elemeti di Proposizioe 46 (Numero di elemeti di ) Per ogi itero positivo ha! elemeti Dimostrazioe: Osserviamo prelimiarmete che il umero di elemeti di è pari al umero di disposizioi (seza ripetizioi) dei umeri iteri 1 (o più i geerale di oggetti a due a due distiti) Dimostriamo la tesi per iduzioe su I base a quato visto ell'esempio 44 (a) la tesi è vera per = 1 ia ora > 1 e suppoiamo la tesi vera per 1 Ogi disposizioe dei umeri 1 si ottiee scegliedo uo dei umeri come primo umero ed occupado le posizioi dalla secoda alla -esima co ua disposizioe dei restati 1 umeri Queste ultime per l'ipotesi iduttiva soo ( 1)! metre le possibili scelte del primo umero soo Complessivamete le possibili disposizioi dei umeri 1 soo pertato ( 1)! =! Ciò prova che ha! elemeti Esempio 47 Riportiamo i tabella i umeri di elemeti dei gruppi co = 16 Numero di elemeti di

3 Esercizio 48* Determiare tutti gli elemeti di 4 Nella Lezioe abbiamo determiato la struttura di tutti i gruppi aveti uo o due elemeti ed abbiamo costatato che questi soo tutti abeliai Da ciò deduciamo che i particolare i gruppi 1 ed soo abeliai Questa proprietà o vale però per gli altri gruppi simmetrici Proposizioe 49 (Commutatività dei gruppi simmetrici) Il gruppo è abeliao se e solo se Dimostrazioe: I base a quato osservato basta provare che per ogi o è abeliao ia e siao σ τ le permutazioi così defiite: σ (1) = σ () = 1 σ ( i) = i per ogi altro i τ (1) = τ () = 1 τ ( i) = i per ogi altro i Allora σ τ (1) = σ () = metre τ σ (1) = τ () = Duque σ τ τ σ Esercizio 410 Determiare i le permutazioi σ e τ della precedete dimostrazioe e calcolare σ τ e τ σ utilizzado la otazioe matriciale volgimeto: I otazioe matriciale 1 1 σ = τ 1 = 1 Duque σ τ = = τ σ = = Osservazioe 411 Il gruppo è il più piccolo esempio di gruppo o abeliao i può ifatti dimostrare che ogi gruppo avete al più cique elemeti è abeliao Diamo ora u criterio di classificazioe per le permutazioi ia u itero Per ogi poliomio p = p( x1 x ) elle idetermiate x1 x x poiamo σ ( p) = p( xσ (1) xσ ( ) ) che è il poliomio otteuto sostituedo i p ogi idice i co σ ( i) Cosideriamo il poliomio Allora p = ( x x ) i j 1 i< j σ ( p ) = ( x x ) σ ( i) σ ( j) 1 i< j

4 I questa operazioe il fattore ( xi x j ) viee trasformato el fattore ( xσ ( i) xσ ( j) ) : essedo σ u'applicazioe iiettiva e i j si ha che σ ( i) σ ( j) Duque se σ ( i) < σ ( j) ( xσ ( i) xσ ( j) ) è uo dei fattori di p e se σ ( i) > σ ( j) ( xσ ( i) xσ ( j )) = ( xσ ( j) xσ ( i) ) è uo dei fattori di p Ioltre i virtù dell'iiettività di σ fattori distiti di p vegoo iviati i fattori distiti di σ ( ) I coclusioe i fattori di σ ( p ) soo duque a meo di cambi di sego gli stessi di p Pertato σ ( p ) = p oppure σ ( p ) = p : il primo caso si verifica se i fattori cambiati di sego soo i umero pari il secodo caso se i fattori cambiati di sego soo i umero dispari Esempio 41 Per = il poliomio da cosiderare è p = ( x x )( x x )( x x ) 1 1 p 1 ia σ = 1 Allora σ ( p ) = ( x x )( x x )( x x ) = ( x x )( ( x x ))( ( x x )) = ( x x )( x x )( x x ) = p poiché si soo effettuati due cambi di sego Ivece se τ = 1 allora τ ( p ) = ( x x )( x x )( x x ) = ( x x )( x x )( x x ) = p dove si è effettuato u solo cambio di sego Defiiamo ora l'applicazioe poedo ossia equivaletemete: { } s : 11 s( σ ) = 1 se σ ( p) = p s( σ ) = 1 se σ ( p ) = p; σ ( p) s( σ ) = p Proviamo che s è u omomorfismo di gruppi iao σ τ Allora ove σ τ ( p ) σ ( τ ( p)) σ ( τ ( p )) τ ( p) s( σ τ ) = = = p p τ ( p ) p

5 Duque σ ( p ) se τ ( p ) = p; σ ( τ ( p )) p = τ ( p) σ ( p ) σ ( p ) σ ( p) = = se τ ( p ) = p p p p σ ( p) τ ( p ) s( σ τ ) = = s( σ ) s( τ ) p p Ciò prova che s è u omomorfismo di gruppi Defiizioe 41 Ua permutazioe σ si dice (di sego o di classe) pari se σ ( p ) = p Altrimeti si dice (di sego o di classe) dispari 1 Esempio 414 Nell'Esempio 41 la permutazioe σ = 1 1 τ = 1 è dispari è pari la permutazioe Osservazioe 415 Dal fatto che s è u omomorfismo di gruppi si deduce la seguete regola di composizioe per le permutazioi pari e dispari: - se σ τ soo etrambe pari o etrambe dispari allora σ τ è pari; - altrimeti σ τ è dispari I particolare il sottoisieme delle permutazioi pari di è chiuso rispetto alla composizioe I effetti si ha: Proposizioe 416 (Gruppo altero) ia u itero positivo L'isieme delle permutazioi pari di è u sottogruppo di (detto gruppo altero su elemeti e deotato A ) i poe per covezioe A = 1 1 Dimostrazioe: L'isieme delle permutazioi pari di segue allora dal Corollario 5 è il ucleo dell'omomorfismo s La tesi 1 Esempio 417 I la permutazioe α = 1 è dispari: ifatti p = x x 1 così che α ( p) = x x1 = p Duque A = { id} Per ogi itero positivo la permutazioe idetica id è pari Quato stabilito per la permutazioe α dell'esempio 417 si può geeralizzare Esercizio 418 ia ia α la permutazioe defiita da α(1) = α () = 1 α ( i) = i per ogi i = (a) Provare che α è dispari (b) Provare che α α = id

6 volgimeto: (a) Basta provare la tesi per i ha p = ( x x ) ( x x ) ( x x ) q 1 1 j j j= j= ove q è il prodotto dei restati fattori (quelli i cui x1 x o compaioo; se = o vi soo ulteriori fattori e quidi si poe q = 1) Quidi α ( p ) = ( x x ) ( x x ) ( x x ) q = ( x x ) ( x x ) ( x x ) q = p 1 j 1 j 1 1 j j j= j= j= j= Ciò prova che α è dispari (b) i ha α α(1) = α( α(1)) = α() = 1 α α() = α( α()) = α(1) = α α( i) = α( α( i)) = α( i) = i per ogi i = Ciò prova che α α ( i) = i per ogi i = 1 da cui la tesi Possiamo ora dimostrare ua formula geerale per il umero di elemeti di A Proposizioe 419 (Numero di elemeti di A ) Per ogi itero A ha! elemeti Dimostrazioe: ia ia B l'isieme delle permutazioi dispari di Allora si ha = A B ove l'uioe è disgiuta Pertato ia = A + B (1) α la permutazioe defiita ell'esercizio 418 Defiiamo u'applicazioe : A B ϕ σ = σ α per ogi σ A Notiamo che ϕ è be defiita: ifatti i base alle regole di poedo ( ) ϕ composizioe stabilite ell'osservazioe 415 se σ A (ossia se σ è pari) allora essedo α dispari ache σ α è dispari cioè σ α B Proviamo che ϕ è ivertibile ia ψ B A l'applicazioe defiita poedo ψ ( σ ) = σ α per ogi σ i verifica : aalogamete a quato appea fatto per ϕ che ache ψ è be defiita i ha per ogi σ A ψ ϕ( σ ) = ψ ( ϕ( σ )) = ψ ( σ α) = ( σ α) α = σ ( α α) = σ id = σ Ciò prova che ψ ϕ = id A Aalogamete si prova che ϕ ψ = id B i coclude che ψ è l'applicazioe iversa di ϕ Duque ϕ è ivertibile ossia è bigettiva egue che A = B Allora B

7 dalla (1) si deduce che = A ossia Proposizioe 46! A = = ove l'ultima uguagliaza segue dalla Esercizio 40 Determiare A volgimeto: Dalla Proposizioe 419 sappiamo che A ha elemeti Uo di questi è la permutazioe idetica id Cerchiamo gli altri due elemeti Ora ell'esempio 414 abbiamo 1 stabilito che A 1 Essedo A u sottogruppo di ad A appartiee ache la 1 permutazioe iversa di 1 che è 1 1 Duque 1 1 A = id 1 1 Osservazioe 41 Possiamo dare la tavola di composizioe del gruppo A che ha la stessa 1 1 struttura di tutti i gruppi aveti tre elemeti e si poe σ = τ 1 = 1 la tavola di composizioe è la seguete: id σ τ id id σ τ σ σ τ id τ τ id σ Esercizio 4 Determiare tutti gli elemeti di A 4 volgimeto: Dalla Proposizioe 419 sappiamo che A 4 ha 4! = 1 elemeti Uo di questi è id Determiiamo gli altri 11 A frote dell'esempio 414 siamo idotti a riteere che la permutazioe 1 4 σ = possa essere pari Lo potremmo verificare sulla base della Defiizioe 41 calcolado σ ( p4) cegliamo ua via diversa che sfrutta la struttura di gruppo di 4 Osserviamo che e quidi σ σ = 1 4 = σ σ σ = id 1 4 = =

8 Poiché id è pari segue che σ è pari: altrimeti i base alle regole di moltiplicazioe date ell'osservazioe 415 σ σ σ sarebbe dispari Dal fatto che σ è pari segue i virtù delle stesse regole che ache σ σ è pari Abbiamo duque trovato due uovi elemeti di A 4 : A4 A Notiamo che l'effetto di σ su 14 è quello di "ruotare" i primi tre elemeti di ua posizioe verso siistra (trasformado la sequeza 1 ella sequeza 1) lasciado fisso il quarto (4 viee iviato i se stesso) Le cosiderazioi effettuate su σ si possoo aturalmete applicare ad ogi altra permutazioe τ che ruoti tre elemeti di ua posizioe verso siistra lasciado fisso il restate elemeto Tutte queste permutazioi τ e le permutazioi τ τ soo duque pari Ciò ci forisce altri 6 elemeti di A 4 : due per ogi scelta dell'elemeto ( o 1) da lasciare fisso (i colore soo evideziati gli elemeti sottoposti a "rotazioe") A4 A A4 A () A4 A Restao da determiare elemeti Per ogi coppia di idici distiti i j { 1 4} chiamiamo τ ij 4 la permutazioe che "scambia" i e j (ossia ivia i i j e j i i) lasciado fissi gli altri due elemeti I particolare abbiamo così che τ 1 è la permutazioe α dell'esercizio 418 Calcoliamo τ 1 τ 1 i ha: τ τ ( 1) = τ () = τ τ ( ) = τ () = τ τ ( ) = τ (1) = τ τ (4) = τ (4) = Quidi τ1 τ1 è la permutazioe σ σ Quest'ultima è pari metre τ 1 è dispari egue che ache τ 1 è dispari Aalogamete si prova che τ14 è dispari: ifatti τ1 τ14 è la permutazioe che ivia 14 i 41 lasciado fisso (la secoda dell'eleco ()) empre per aalogia si deduce che τ τ = τ τ è la permutazioe che ivia 1 i 1 (ossia 1 i 1) lasciado fisso 1 1 4: questa è la permutazioe σ che è pari i coclude che τ è dispari I geerale si prova che tutte le permutazioi τ ij soo dispari Coseguetemete soo pari le segueti permutazioi:

9 τ τ τ τ 1 4 τ 1 4 τ = = = 4 1 Questi soo i restati elemeti di A 4