SCOMPOSIZIONE IN FATTORI DI UN POLINOMIO

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1 SCOMPOSIZIONE IN FATTORI DI UN POLINOMIO Così come avviene per i numeri ( 180 = 5 ), la scomposizione in fattori di un polinomio è la trasformazione di un polinomio in un prodotto di più polinomi irriducibili (fattorizzazione). Ad esempio y = ( + y ) ( + y) ( y) Per eseguire la scomposizione in fattori di un polinomio si applicano i seguenti metodi. 1 - Raccoglimento a fattor comune totale Questa regola si applica quando i termini del polinomio contengono un fattore comune, cioè quando il M.C.D. dei monomi che compongono il polinomio è diverso da 1. Il polinomio è scomposto in due fattori : - il primo fattore è il M.C.D. dei termini del polinomio traccia; - il secondo fattore è un polinomio costituito dai quozienti ottenuti dividendo ciascun termine del polinomio traccia per il M.C.D. trovato. 5 1a + 15a b 18a c = a ( + 5ab a c) 5 1a 15a b 18a c Calcoli : = = 5ab = a c a a a - Raccoglimento a fattor comune parziale Questa regola può, alcune volte, essere applicata quando il polinomio presenta fattori comuni solo per gruppi di monomi. Il metodo risulta applicabile se è possibile completare le seguenti due fasi: - I a fase: si applica il raccoglimento a fattor comune a gruppi di due (a volte tre) monomi; - II a fase: si raccolgono a fattor comune totale i polinomi (in parentesi) ottenuti. a 5 b 1a a + 5b 10b = a (7 ) + 5b (7 ) = ( 7 ) (a + 5b) - Prodotti Notevoli Differenza di due quadrati I ΙΙ = ( Ι + ΙΙ ) ( Ι ΙΙ ) Questa regola si applica quando il polinomio è la differenza di due monomi che hanno: - per coefficienti, numeri o frazioni quadrati perfetti: 1,, 9, 1, 5,, 9,, 81, 100, , 1,...,, 0,01 =, 0,0 =, per parte letterale, lettere con esponenti pari: a, b, y 1, a b,... 9 y = ( 7 + y ) ( 7 y ) I termini nelle parentesi si ottengono estraendo le radici quadrate dei due monomi. Es. Differenza o Somma di due cubi Ι ΙΙ = ( Ι ΙΙ ) ( Ι + Ι ΙΙ + ΙΙ ) y = y. Matematica 1

2 Ι + ΙΙ = ( Ι + ΙΙ ) ( Ι Ι ΙΙ + ΙΙ ) Queste regole si applicano quando il polinomio è la differenza (o somma) di due monomi che hanno: - per coefficienti, numeri o frazioni cubi perfetti: 1-1, 8, 7,, 15, 1,, 51, 79, 1000, ,, 0,001 = , 0,08 = per parte letterale, lettere con esponenti multipli del : a, b, y, 15 a b, y = y + y + y 7 9 I termini della I a parentesi si ottengono estraendo le radici cubiche dei due monomi. Es. I termini della II a parentesi. parentesi si ottengono effettuando il falso quadrato y = y. I ± I II + II della I a Quadrato di binomio Ι + ΙΙ ± Ι ΙΙ = ( Ι ± ΙΙ ) Questa regola si applica quando il polinomio è un trinomio contenente: - due monomi quadrati perfetti, come ad esempio: 9 11, 1, a, 9 5 y z, - un terzo monomio che risulta essere il doppio prodotto delle radici dei quadrati perfetti y + y = y I termini nella parentesi si ottengono estraendo le radici quadrate dei due monomi quadrati perfetti. 7 1 Occorre però fare la verifica del doppio prodotto: I II = ( y ) = y Cubo di binomio Ι ± Ι ΙΙ + Ι ΙΙ ± ΙΙ = ( Ι ± ΙΙ ) Questa regola si applica quando il polinomio è un quadrinomio contenente: due monomi cubi perfetti, come ad esempio: a, 1, y a b,, due monomi che risultano essere i tripli prodotti Ι ΙΙ e Ι ΙΙ delle radici dei cubi perfetti y y = ( y ) 8 I termini nella parentesi si ottengono estraendo le radici cubiche dei due monomi. Es. 9 8 =. Occorre però fare la verifica dei due tripli prodotti: I II = ( ) ( y ) = 1 y I II = ( y ) = + y. Quadrato di trinomio Ι + ΙΙ + ΙΙΙ ± Ι ΙΙ ± Ι ΙΙΙ ± ΙΙ ΙΙΙ = ( Ι ± ΙΙ ± ΙΙΙ ) Questa regola si applica quando il polinomio ha sei termini, di cui: Matematica

3 tre sono monomi quadrati perfetti, come : 9 11, y, 1, a, 9 tre sono monomi che risultano essere i doppi prodotti Ι ΙΙ, Ι ΙΙΙ, ΙΙ ΙΙΙ delle radici dei quadrati perfetti. 9a = ( ) ab ac + b + c + bc a b c I termini nella parentesi si ottengono estraendo le radici quadrate dei due monomi quadrati perfetti. Occorre però fare la verifica dei tre doppi prodotti: I II = a ( b) = ab I III = a ( c) = ac II III = ( b) ( c) = + bc 5 y z - Trinomio di II grado Questa regola si applica, in generale, in presenza di un trinomio di II grado in una data lettera. I Caso - Il coefficiente della è uguale a 1. Il polinomio si spezza nel prodotto dei due binomi: + s + p = ( + a) ( + b) dove s = a + b p = a b p = -1 s = Dato il trinomio 1 occorre trovare due numeri il cui prodotto sia uguale al termine noto p = 1 e la cui somma sia uguale al coefficiente della s =. Per fare ciò costruiamo la seguente tabella a fianco Dalla tabella si individuano i numeri cercati: + e. Pertanto il polinomio di scompone in ( + ) ( ) II Caso - Il coefficiente della è diverso da 1. Per scomporre il polinomio a + b + c occorre: - Occorre trovare due numeri h e k tali che h + k = b e h k = a c - Riscrivere il polinomio come a + h + k + c - Effettuare il raccoglimento a fattor comune parziale. Dato il trinomio occorre trovare due numeri h e k tali che h + k = 7 e h k = 5 = 10 cui somma sia uguale al coefficiente della s =. Per fare ciò costruiamo la seguente tabella a fianco. Dalla tabella si individuano i numeri cercati: e 5. Pertanto il polinomio si riscrive come Effettuando il raccoglimento parziale si ha ( 1) 5 ( 1) Raccogliendo di nuovo si ottiene ( 1) ( 5) p = s = Matematica

4 5 - Regola di Ruffini Questa regola va considerata in ultima analisi, dopo aver applicato, con successo o non, i precedenti metodi. Essa si utilizza, in generale, in presenza di un polinomio in una data lettera, come ad esempio: n n 1 a 0 + a a n 1 + a n. Per scomporre un tale polinomio occorre: - Ordinare il polinomio secondo le potenze decrescenti della lettera - Determinare i divisori del termine noto a n e del I coefficiente a 0. p - Determinare i possibili zeri del polinomio D = ± con p divisore di a n e q divisore di a 0 q - Attraverso la griglia di Ruffini, determinare uno zero α del polinomio Il procedimento si conclude scrivendo il polinomio come: ( α) (polinomio di grado n -1), dove i coefficienti del polinomio della II a parentesi si ottengono dalla griglia di Ruffini. Dato il polinomio ordinato I divisori del termine noto 1 sono: ±1, ±, ±, ±, ±, ±1 - I divisori del I coefficiente 1 sono: ±1 - I possibili zeri del polinomio sono D = {±1, ±, ±, ±, ±, ±1} - Con la griglia di Ruffini si cerca uno zero del polinomio No No Si Il polinomio viene scomposto in ( ) ( ). Matematica

5 In Sintesi Binomio La scomposizione in fattori di un binomio può avvenire con : a - Raccoglimento a fattor comune totale : a a y = a ( y) b - Differenza di due quadrati : Ι ΙΙ = (Ι + ΙΙ) (Ι ΙΙ) c - Differenza di due cubi : Ι ΙΙ = (Ι ΙΙ) (Ι + Ι ΙΙ + ΙΙ ) d - Somma di due cubi : Ι + ΙΙ = (Ι + ΙΙ) (Ι Ι ΙΙ + ΙΙ ) e- Regola di Ruffini f - L uso misto del procedimento a con uno dei procedimenti b, c, d, e. Trinomio La scomposizione in fattori di un trinomio può avvenire con : a - Raccoglimento a fattor comune totale : a a y + 8a z = a (a y + a z) b - Quadrato di binomio : Ι + ΙΙ ± Ι ΙΙ = (Ι ± ΙΙ) c - Trinomio di II grado : + s + p = ( + a) ( + b) con s = a+b e p = a b d - Regola di Ruffini e - L uso misto del procedimento a con uno dei procedimenti b, c, d. Quadrinomio La scomposizione in fattori di un quadrinomio può avvenire con : a - Raccoglimento a fattor comune totale : a ay + az ak = a ( y + z k) b - Raccoglimento parziale : a + ay + b + by = a ( + y) + b ( + y) = ( + y) (a + b) c - Cubo di un binomio : Ι ± Ι ΙΙ + Ι ΙΙ ± ΙΙ = (Ι ± ΙΙ) d - Regola di Ruffini e - L uso misto del procedimento a b con uno dei procedimenti b, c, d. Matematica 5