(2) se A A, allora A c A; (3) se {A n } A, allora +

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1 1. Spazi di misura In questo paragrafo accenneremo alla nozione di spazio di misura. Definizione 1. Sia X un insieme non vuoto. Una famiglia A di sottoinsiemi di X è una σ-algebra se : (1) A; (2) se A A, allora A c A; (3) se {A n } A, allora A n A, cioè la famiglia A è chiusa rispetto alle unioni numerabili. La coppia (X, A) è chiamata spazio misurabile, e gli elementi di A sono chiamati insiemi misurabili. Si noti che (1) e (2) implicano che X A. Inoltre, per le leggi di De Morgan, la famiglia A è chiusa rispetto alle intersezioni numerabili. Nel seguito denoteremo con 2 X o P(X) la famiglia dei sottoisiemi di X. Esempio 1. Sia X e A = 2 X. A è una σ-algebra su X. Anche la famiglia A = {, X} è una σ-algebra su X. Esercizio 1. Siano X e {A α : α I} una famiglia di σ-algebre su X. Verificare che la famiglia A = α I A α è una σ-algebra su X. Definizione 2. Siano X e G 2 X. L intersezione di tutte le σ-algebre che contengono G è nota come la σ-algebra generata da G. Denotiamo tale σ-algebra con σ(g). Esercizio 2. La definizione precedente è ben posta? risposta. Motivare la Definizione 3. Se X è uno spazio topologico, la σ-algebra B(X) generata dagli insiemi aperti è chiamata σ-algebra di Borel. Esercizio 3. Siano X = R e G = {]a, b[: a, b R e a < b}. Verificare che σ(g) = B(R). Definizione 4. Sia (X, A) uno spazio misurabile. Una misura (positiva) su tale spazio è una funzione µ : A [0, ] tale che (1) µ( ) = 0; (2) se{a n } A con A n A m = se n m, allora µ( A n ) = n µ(a n ). La terna (X, A, µ) è chiamata spazio di misura. 1

2 2 Esempio 2. Sia X e A una σ-algebra su X. Definiamo µ : A [0, ] come { card (A) se A è finito µ(a) = se A è infinito La funzione µ è una misura nota come la misura che conta i punti di un insieme. Definizione 5. Sia X un insieme non vuoto. Una famiglia A di sottoinsiemi di X è un algebra se : (1) A; (2) se A A, allora A c A; (3) se A, B A, allora A B A, cioè la famiglia A è chiusa rispetto alle unioni finite. Esercizio 4. Sia (X, A, µ) uno spazio di misura e A, B A. Se A B verificare che µ(a) µ(b). Esercizio 5. Sia X, A = 2 X, Y X e µ : 2 X [0, ] definita da { 0 se A Y = µ(a) = 1 se A Y µ è una misura? Esercizio 6. Sia X e x 0 X. Poniamo A = {A 2 X : x 0 A} { }. A è una σ-algebra? Motivare la risposta. Esercizio 7. Sia X = R, G = {]a, b[ R} e H = {]a, b] R}. Verificare che G e H generano la stessa σ-algebra. Esercizio 8. Sia X e A 2 X un algebra su X, allora A è una σ-algebra se vale una delle seguenti condizioni: (i) se (A n ) A è crescente, allora A n A, o (ii) se (A n ) A è decrescente, allora A n A. Esercizio 9. Sia X e A 2 X tale che A A se e solo se A o A c è al più numerabile. A è una una σ-algebra? Esercizio 10. Sia (X, τ) uno spazio topologico. Determinare la σ- algebra di Borel se τ è la topologia discreta o τ = {, X}.

3 2. Misure esterne e insiemi misurabili Siano X e 2 X l insieme delle parti di X. Definizione 6. Una funzione µ : 2 X [0, ] è una misura (esterna) su X se: (i) µ( ) = 0, (ii) µ(a) µ(a n) non appena A A n. Osservazione. µ(a) µ(b). Se µ è una misura (esterna) su X e A B, allora Definizione 7. Siano µ una misura (esterna) su X e A X. La restrizione di µ all insieme A, sia essa µ A, è la misura (esterna) su X definita da: (µ A)(B) = µ(a B) per ogni B 2 X. Definizione 8. Siano µ una misura (esterna) su X e A X. L insieme A è µ - misurabile se per ogni insieme B X risulta µ(b) = µ(b A) + µ(b A c ). Se µ(a) = 0, allora l insieme A è µ-misurabile. Si noti che un insieme è µ-misurabile se e solo se lo è A c. Proposizione 1. Siano µ una misura (esterna) su X e A X. Ogni sottoinsieme C di X µ-misurabile è anche (µ A)-misurabile. Dimostrazione. B X risulta Se C X è µ-misurabile, allora per ogni insieme (µ A)(B) = µ(a B) = µ(a B C) + µ(a B C c ) = (µ A)(B C) + (µ A)(B C c ). Proposizione 2. Siano µ una misura (esterna) su X e A, B X. Se A, B sono µ-misurabili lo sono anche gli insiemi A B, A B e A \ B. Dimostrazione. A B è µ-misurabile. Fissato C X, l ipotesi che gli insiemi A, B sono µ-misurabili assicura µ(c) = µ(c A) + µ(c A c ) = µ(c A) + µ(c A c B) + µ(c A c B c ) µ(c (A B) + µ(c (A B) c ). 3

4 4 La µ-misurabilità dell insieme A B segue essendo µ(c) µ(c (A B) + µ(c (A B) c ). A B è µ-misurabile essendo (A B) c = A c B c. A \ B è µ-misurabile essendo(a \ B) = A B c. Proposizione 3. Siano µ una misura (esterna) su X e A, B X con A B =. Se A e B sono µ-misurabili, allora Dimostrazione. µ(a B) = µ(a) + µ(b). L ipotesi che A è µ-misurabile assicura µ(a B) = µ((a B) A) + µ((a B) A c ) = µ(a) + µ(b). Corollario 1. Se A e B sono µ-misurabili, con A B e µ(a) <, allora µ(b \ A) = µ(b) µ(a). Proposizione 4. Siano µ una misura (esterna) su X e (A n ) una successione di insiemi µ-misurabili a due a due disgiunti, allora µ( A n ) = n µ(a n ). Dimostrazione. La Prop. 2 assicura che l insieme n A k è µ- misurabile per ogni n N e la Prop. 3 che n n µ( A n ) µ( A k ) = µ(a k ). Ne segue e quindi la tesi. µ( A n ) µ(a n ) Proposizione 5. Siano µ una misura (esterna) su X e (A n ) una successione di insiemi µ-misurabili. (i) Se A 1 A 2 A n, allora lim µ(a n) = µ( A n ). n

5 (ii) Se A 1 A 2 A n e lim µ(a n) = µ( n µ(a 1 ) <, allora A n ). Dimostrazione. (i) Poniamo B 1 = A 1 e B k = A k \ A k 1 per k N \ {1}. Gli insiemi B k sono µ-misurabili, a due a due disgiunti e tali che La Prop. 4 assicura che lim µ(a n) = n = B k = A k. lim µ( n B k ) = n µ(b k ) = µ( lim n B k ) = µ( n µ(b k ) A k ). (ii). Per ogni n N poniamo B n = A 1 \ A n. Gli insiemi B n sono µ-misurabili e B 1 B 2 B n, utilizzando la (i) otteniamo µ(a 1 ) lim n µ(a n) = = µ( B n ) = µ(a 1 \ Dalla relazione precedente segue ed essendo µ( per ogni n si deduce la (ii). µ( lim µ(a 1 \ A n ) = n A n ) A n ) µ(a 1 ) µ( lim µ(a n) n A n ) µ(a n ) lim µ(b n) n A n ). Proposizione 6. Siano µ una misura (esterna) su X e (A n ) una successione di insiemi µ-misurabili. Gli insiemi sono µ-misurabili. A n e A n 5

6 6 Dimostrazione. Per provare che A n è µ-misurabile, basta verificare che l uguaglianza µ(b) = µ(b ( A n )) + µ(b ( A n ) c ) sussiste per ogni insieme B tale che µ(b) <. Poniamo B n = n A k per ogni n. Risulta µ(b ( A n )) + µ(b ( A n ) c ) = (µ B)( A n ) + (µ B)( A n ) c ) = (µ B)( B n ) + (µ B)( B n ) c ) = lim (µ B)(B n) + lim n n (µ B)(Bc n) = lim (µ B)(B n Bn) c = µ(b). n Da ( A n ) c = A c n segue la µ-misurabilità dell intersezione. Osservazione. Se µ è una misura (esterna) su X, allora la famiglia dei sottoinsiemi µ-misurabili di X è una σ-algebra. Definizione 9. Sia µ una misura (esterna) su X e A X. L insieme A è σ-finito se A = A n con A n µ-misurabile e µ(a n ) < per ogni n. Definizione 10. Sia µ una misura (esterna) su X. (i) La misura µ è regolare se per ogni A X esiste un insieme µ-misurabile B tale che A B e µ(a) = µ(b). (ii) Sia X = R n. La misura µ è di Borel se ogni insieme di Borel è µ-misurabile. (iii) Sia X = R n. La misura µ è Borel regolare se è una misura di Borel e per ogni A R n esiste un insieme di Borel tale che A B e µ(a) = µ(b). (iv) Sia X = R n. µ è una misura di Radon se è Borel regolare e µ(k) < per ogni compatto K R n. Teorema 1. Siano µ una misura regolare su X e A 1 A 2 A n..., allora lim µ(a n) = µ( A n ). n Dimostrazione. Per ogni n N esiste un insieme µ-misurabile, C n tale che A n C n e µ(a n ) = µ(c n ). Posto B n = k n C k otteniamo una successione crescente di insiemi µ-misurabili con A n B n e µ(a n ) = µ(b n ). La Prop. 5 assicura che lim µ(a n) = n lim µ(b n) = µ( n B n ) µ( A n ).

7 Per concludere basta osservare che µ(a n ) µ( A n), per ogni n, implica lim µ(a n) = µ( A n ) n e quindi la tesi. Il teorema che segue mette in evidenza come ottenere misure di Radon nota una misura regolare di Borel. Teorema 2. Sia µ una misura regolare di Borel su R n. Se A R n è µ-misurabile con µ(a) <, allora µ A è una misura di Radon. Dimostrazione. Poniamo ν = µ A. Chiaramente ν(k) < per ogni compatto K R n. La misura esterna ν è di Borel essendo ogni insieme µ-misurabile anche ν-misurabile. L ipotesi che µ è Borel regolare assicura che esiste un insieme di Borel B tale che A B e µ(a) = µ(b). Essendo A µ-misurabile segue che µ(b \ A) = 0. Di conseguenza µ A = µ B, infatti per ogni sottoinsieme C R n si ha : (µ B)(C) = µ(b C) = µ(b C A) + µ(b C A c ) µ(a C) + µ(b A c ) = µ(a C) = µ A)(C). Non è restrittivo supporre che A sia un insieme di Borel per verificare che la misura ν è Borel regolare. Per ogni sottoinsieme C di R n esiste un insieme E di Borel tale che A C E e µ(a C) = µ(e). Poniamo D = E A c ed osserviamo che D è un insieme di Borel e che C D. Risulta ν(d) = µ(a D) = µ(a E) µ(e) = µ(a C) = ν(c). Teorema 3. Sia (X, d) uno spazio metrico e µ una misura esterna finita di Borel. Allora per ogni insieme di Borel B 2 X si ha : (1) µ(b) := sup{µ(c) : C chiuso e C B}, (2) µ(b) := inf{µ(a) : A aperto e B A}. Dimostrazione. Ci limitiamo a provare la (1) in quanto la (2) si ottiene dalla (1) considerando i complementari. Definiamo F := {B : B è di Borel, B e B c verificano la (1)}. Gli insiemi chiusi verificano la (1) in modo ovvio; anche gli insiemi aperti verificano la (1) in quanto unione numerabile di insiemi chiusi in esso contenuti. (Si ricordi il teorema sulle successioni crescenti di insiemi misurabili). Segue che gli insiemi chiusi e quelli aperti sono contenuti in F. Per concludere basta mostrare che F è una σ-algebra. 7

8 8 Supponiamo B 1, B 2 F. Fissato ε > 0 esistono due insiemi chiusi C 1 B 1, C 2 B 2 tali che µ(b 1 \ C 1 ) < ε, µ(b 2 \ C 2 ) < ε. Da otteniamo (B 1 B 2 ) \ (C 1 C 2 ) (B 1 \ C 1 ) (B 2 \ C 2 ) (B 1 B 2 ) \ (C 1 C 2 ) (B 1 \ C 1 ) (B 2 \ C 2 ) µ((b 1 B 2 ) \ (C 1 C 2 )) < 2ε, µ((b 1 B 2 ) \ (C 1 C 2 )) < 2ε. Di conseguenza B 1 B 2 e B 1 B 2 verificano la (1). Poiché F è chiusa rispetto al passaggio al complementare deduciamo che B 1 B 2, B 1 B 2, B 1 \ B 2 F. Ora supponiamo {B n } F. Al fine di mostrare che B n F, possiamo assumere che gli insiemi B n sono a due a due disgiunti (in quanto il complementare e l intersezione finita di elementi di F sono ancora element di F). In tale ipotesi sappiamo che µ( n B n) = n µ(b n). Essendo µ finita, la serie a secondo membro è convergente. Fissato ε > 0, possiamo trovare sistemi chiusi {C n } tali che C n B n e µ(b n \ C n ) < 2 n ε. Scegliamo m N in modo che risulti n>m µ(b n) < ε e consideriamo l insieme chiuso m C = C n. Con tale scelta si ha: µ(( m B n ) \ C) = µ(( (B n \ C n )) ( B n )) n n>m = m µ(b n \ C n ) + n>m µ(b n ) < ε + ε = 2ε. Ne segue che n B n verifica la (1). Se poniamo C = C n, allora µ(( B n ) \ C) µ( (B n \ C n )) = n µ(b n \ C n ) ε, e così B n verifica la (1). Da ( B n ) c = Bn c si deduce che B n F, cioè F è una σ-algebra. Corollario 2. Sia (X, d) uno spazio metrico e µ una misura esterna di Borel. Allora per ogni insieme di Borel B 2 X con µ(b) < si ha : µ(b) := sup{µ(c) : C chiuso e C B}.

9 Corollario 3. Sia (X, d) uno spazio metrico e µ una misura esterna di Borel. Se esiste una successione (X n ) di insiemi aperti tali che X = X n e µ(x n ) < per ogni n N, allora per ogni insieme di Borel B 2 X si ha : µ(b) := inf{µ(a) : A aperto e B A}. Definizione 11. Sia (X, d) uno spazio metrico e A, B 2 X. insiemi A e B si dicono separati se d(a, B) > 0. Definizione 12. Sia (X, d) uno spazio metrico. Una misura µ è additiva sugli insiemi separati se µ(a B) = µ(a) + µ(b) non appena A, B 2 X sono separati. Il teorema che segue fornisce un criterio che permette di stabilire che una misura esterna su uno spazio metrico è di Borel. Teorema 4. (Criterio di Carathéodory) Sia (X, d) uno spazio metrico e µ una misura esterna che è additiva sugli insiemi separati. Allora µ è una misura esterna di Borel. Utilizzando la nozione di lunghezza di un intervallo possiamo definire su R la misura esterna di Lebesgue. Definizione 13. Sia A R e sia C A la famiglia di tutte le successioni (I n ) di intervalli aperti tali che A n I n. La misura esterna di Lebesgue L : 2 R [0, ] su R è definita da L(A) = inf{ l(i n ) : (I n ) C A }, n dove l(i n ) denota la lunghezza di I n. Proposizione 7. La misura esterna L di Lebesgue è una misura di Radon che assegna ad ogni intervallo di R la sua lunghezza. Siano a = (a 1,..., a n ), b = (b 1,..., b n ) R n con a < b. Il volume dell intervallo ]a, b[ è dato da v(]a, b[) = (b 1 a 1 ) (b n a n ). Utilizzando la nozione di volume possiamo definire su R n la misura esterna n-dimensionale di Lebesgue. Definizione 14. Sia A R n e sia C A la famiglia di tutte le successioni (I n ) di intervalli aperti di R n tali che A n I n. La misura esterna di Lebesgue L n : 2 Rn [0, ] su R n è definita da L n (A) = inf{ n v(i n ) : (I n ) C A }. 9 Gli

10 10 Proposizione 8. La misura esterna L n di Lebesgue su R n è una misura di Radon che assegna ad ogni intervallo di R n il suo volume. Il risultato che segue mette in evidenza che gli insiemi L n -misurabili possono essere approssimati con insiemi compatti o insiemi aperti. Proposizione 9. Se A R n è misurabile, allora (1) L n (A) = inf{l n (U) : A U, U aperto}, (2) L n (A) = sup{l n (K) : K A, K compatto}. Dimostrazione. La (1) è ovvia. Per provare la (2) supponiamo che A sia limitato. Sia B un insieme chiuso limitato tale che A B. Fissato ε > 0, in virtu di (1), esiste un insieme aperto U B \ A con L n (U) < L n (B \ A) + ε. L insieme K = B \ U è compatto essendo un insieme chiuso limitato. Da K A e B K U si deduce che cioè L n (B) L n (K) + L n (U) L n (K) + L n (B \ A) + ε, 0 L n (K) L n (A) + ε. La (2) è provata nel caso che A sia un insieme limitato. Il caso A non limitato si lascia come esercizio. Lemma 1. Sia A R, se ogni sottoinsieme di A è L-misurabile, allora L(A) = 0. Dimostrazione. Sia la relazione in R definita da x y se x y Q. Denotiamo con x+q la classe di equivalenza individuata da x. Ciascuna di queste classi è numerabile e quindi ha L- misura nulla. Segue che esiste una famiglia non numerabile di classi di equivalenza distinte che costituiscono una partizione di R. Utilizzando l assioma della scelta, in ciascuna di queste scegliamo un solo elemento e formiamo l insieme E. L insieme E non è numerabile per quanto premesso. Consideriamo la famiglia numerabile di insieme {E + r : r Q}. Tale famiglia ha le seguenti proprietà: (1) (E + r) (E + s) = se r s, (2) r Q (E + r) = R. Proviamo la (1). Supponiamo z (E +r) (E +s) x E +r e y E + s tali che z = x + r = y + s x y = s r Q x = y + (x y) E + s e questo è assurdo. Fissato x R, esiste y E tale che x y Q x = y + x y E + (x y).

11 Fissato t Q poniamo A t = A (E + t). L insieme A t A è L- misurabile. Sia K A t un insieme compatto e consideriamo l insieme H = (K + r). r Q [0,1] L insieme H è limitato e L-misurabile, quindi ha misura finita. Da L(H) = r Q [0,1] L(K + r) segue che L(K + r) = L(K) = 0. Essendo A t un insieme L-misurabile, sappiamo che L(A t ) = sup{l(k) : K A t, K compatto} L(A t ) = 0. Per concludere L(A) = L( t Q A t) = t Q L(A t) = 0. Corollario 4. Esistono sottoinsiemi di R che non sono L-misurabili. Corollario 5. I sottoinsiemi numerabili di R hanno L-misura nulla. Esercizio 11. Sia f : [a, b] R una funzione integrabile secondo Riemann e A = {(x, y) R 2 : a x b, 0 y f(x)}. Verificare che l insieme A è L 2 -misurabile e mostrare che L 2 (A) = b a f(x)dx. Esercizio 12. Sia f : [0, [ [0, [ definita da f(x) = e x. Verificare che l insieme A = {(x, y) R 2 : x 0, 0 y e x } è L 2 -misurabile e trovare L 2 (A). 11

12 12 3. Teoremi di ricoprimento di Vitali e di Besicovitch. Ricordiamo che un intorno chiuso di R n è un insieme del tipo B(x, r) = {y R n : x y r}. In quanto segue poniamo B(x, r) = B(x, 5r). Definizione 15. Una famiglia F di intorni chiusi è un ricoprimento di A R n se A B F B. Se inf{r : B(x, r) F} = 0 per ogni x A il ricoprimento F è detto fine. Teorema 5. (Teorema di ricoprimento di Vitali). Sia F una famiglia di intorni chiusi (non degeneri) in R n con sup{diamb : B F} = d <. Allora esiste una famiglia al più numerabile disgiunta G F tale che B. Dimostrazione. B F B = B G Per ogni numero naturale k consideriamo l insieme F k = {B F : d/2 k < diamb d/2 k 1 }. Scegliamo G k F k come segue: (i) G 1 famiglia massimale disgiunta di intorni chiusi di F 1. (ii) Individuate le famiglie G 1,..., G k 1 consideriamo la famiglia F k = {B F k : B B = per ogni B k 1 j=1 G j } e scegliamo G k come famiglia massimale disgiunta di intorni chiusi di F k. Ciascuna famigia G k è al più numerabile e di conseguenza la famiglia G = G k è numerabile e disgiunta. Mostriamo che per ogni B F \ G esiste B G tale che B B e B B. Sia B F \ G e supponiamo che B F k, la scelta di G k assicura che esiste B k j=1 G j e x R n tale che x B B. Da diamb d/2 k 1 e diamb d/2 k deduciamo che diamb 2diamB e quindi B B(x, 2diamB ) B. Da cui segue B. B F B = B G

13 Corollario 6. Sia F un ricoprimento di intorni chiusi (non degeneri) di A R n con sup{diamb : B F} = d <. Allora esiste una famiglia numerabile disgiunta G F tale che per ogni famiglia finita {B 1, B 2,..., B m } F, si ha m A \ B k B. B G\{B 1,B 2,...,B m} Dimostrazione. Scegliamo G come nella dimostrazione del teorema di Vitali e sia {B 1, B 2,..., B m } F. Se A m B k la tesi è ovvia. Supponiamo quindi che x A \ m B k, essendo m B k un insieme chiuso e F un ricoprimento fine esiste B F con x B e B B k = (k = 1, 2,..., m). Ripetendo il ragionamento fatto nella dimostrazione del teorema di Vitali, deduciamo che esiste B G tale che B B e di conseguenza la tesi. Corollario 7. Sia U R n un insieme aperto e δ > 0. Allora esiste una famiglia numerabile disgiunta G di intorni chiusi contenuti in U, con diam B δ per ogni B G, tale che L n (U \ B G B) = 0. Dimostrazione. Sia θ ]1 1/5 n, 1[ e supponimao L n (U) <. Facciamo vedere che esiste una famiglia finita {B 1, B 2,..., B n1 } F 1, dove F 1 = {B : B U e diamb δ}, tale che L n (U \ n 1 B k ) θl n (U). Il teorema di ricoprimento di Vitali assicura che esiste una famiglia numerabile disgiunta G 1 F 1 tale che U B. B F 1 Segue e quindi B G 1 L n (U) B G 1 L n ( B) = 5 n B G 1 L n (B) = 5 n L n ( L n ( B G 1 B) 1 5 n Ln (U). B G 1 B) 13

14 14 Si deduce L n (U) = L n (U \ B) + L n ( B) L n (U \ B G 1 B G 1 e quindi B G 1 B) n Ln (U) L n (U \ B) (1 1 5 n )Ln (U). B G 1 Quanto ottenuto assicura che esistono B 1, B 2,..., B n1 G 1 tali che Poniamo U 2 = U \ n 1 L n (U \ n 1 B k ) θl n (U). B k e F 2 = {B : B U 2 e diamb δ}. Ripetendo la costruzione precedente deduciamo che esistono B n1 +1,..., B n2 F 2 tali che L n (U \ n 2 B k ) = L n (U 2 \ n 2 k=n 1 +1 B k ) θl n (U 2 ) θ 2 L n (U). Ripetendo tale procedimento si costruisce una successione crescente di numeri naturali (n k ) e una famiglia numerabile disgiunta tale che {B 1,..., B n1,..., B n2,..., B nk,...} F L n (U \ n k j=1 Facendo tendere k a si ottiene B j ) θ k L n (U) k = 1, 2,... L n (U \ B k ) = 0. Se L n (U) =, si considerano gli insiemi aperti U m = {x U : m 1 < x < m} e si applica quanto provato a ciascun insieme U m per ottenere la tesi. Teorema 6. (Teorema di ricoprimento di Besicovitch). Esiste una costante N n, che dipende solo da n, con la seguente proprietà: Se F è una famiglia di intorni chiusi (non degeneri) in R n con sup{diamb : B F} = d <

15 e A è l insieme dei centri degli intorni che appartengono ad F, allora esistono G 1,..., G Nn F, tali che ogni G i è una famiglia al più numerabile disgiunta di elementi di F e A N n B. i=1 B G i Corollario 8. Sia µ una misura di Borel su R e F una famiglia di intorni chiusi (non degeneri). Sia A l insieme dei centri degli intorni che appartengono ad F. Supponiamo che µ(a) < e inf{r : B(a, r) F} = 0 per ogni a A. Allora per ogni insieme aperto U di R n esiste una famiglia numerabile disgiunta G F tale che U e µ ( B G (A U) \ B G ) = 0. 15