vuol dire che preso M > 0 sufficientemente grande, esiste δ = δ(m) > 0 tale per cui x 1 > M lim

Transcript

1 AMA Ing.Edile - Prof. Colombo Esercitazioni: Francesco Di Plinio - francesco.diplinio@libero.it Limiti - Soluzioni. Esercizio 5.2. ii) Dire che x 5 x + x = +, vuol dire che preso M > 0 sufficientemente grande, esiste δ = δm) > 0 tale per cui Ma siccome, per x >, 0 < x < δ = x5 x > M. x 5 x > x > M a patto che 0 < x < /M, minorando x 5 con nel secondo passaggio), basta scegliere δ = /M. iii) Dire che x = 0, vuol dire che preso comunque ε > 0, esiste M = Mε) > 0 tale che Sia quindi ε > 0. Dato che basta scegliere M = /ε. x > M = x < ε. x < ε = x > ε iv) Dato che sin x per ogni x R, x sin x non può avere modulo maggiore di. Supponiamo per assurdo che x sin x = L. Prima supponiamo L <. Vorrebbe dire allora che, per ogni ε > 0, esiste M > 0 tale per cui, x > M = sin x L < ε..)

2 2 Soluzioni Es.2 Prendiamo allora ε = L)/2. Ma allora, per ogni M > 0, esiste x = 2Mπ + π/2 > M tale per cui sin x = = sin x L = L > L 2 = ε, ma ciò va contro.). Quindi L non può essere minore di. Ma se L fosse ±, per ogni M > 0 troveremmo x = 2Mπ > M tale per cui sin x = 0, cioè sin x ± =, il che ci dice che il ite non può essere ± perché?). Questo completa la dimostrazione. Per dimostrare che x 0 + sin/x) non esiste, è sufficiente sfruttare il risultato precedente ponendo y = /x. Nota: analogamente si dimostra che non esiste x sin x. Esercizio 5.3. Si ha Dom[e x ] = R, Dom[] = 0, + ). Verifichiamo che e x è strettamente monotona crescente. Si ha, se x > y, e x = e y+x y) = e y e x y > e y, essendo e x y >, dato che x y > 0. A questo punto segue subito che è strettamente monotona crescente essendo essa l inversa di e x. Limiti agli estremi del dominio: per e x si può procedere nel modo seguente. Sia n N: la successione e n è monotona decrescente se n > m, e n < e m ) e itata inferiormente da zero. Quindi x ex e n = inf n n N e n = 0. Dato che, per x > 0, il teorema del confronto ci dice che x < e x = ex = +. Per calcolare invece i iti agli estremi del dominio di utilizziamo il teorema del cambio di variabile ponendo x = e y, allora, si ha, per quanto visto prima x 0 + = y e quindi, dato che y =, y =, x 0 + y

3 AMA Ing.Edile - Prof. Colombo 3 mentre per cui x + = y +, y = +. x 0 + y + Esercizio 5.4. Prendendo x k = /2k e x k = /2k + ), con k N, si ha sin π sin π x k x = sin 2kπ sin2kπ + π) =, k e sia x k che x k tendono a zero per k. Esercizio 5.5. Svolto in classe per la maggior parte. Se avete domande su uno dei tre punti, contattatemi. Esercizio 5.6. i) Svolto in classe. ii) Ragioniamo per x 0 +. Dato che sin π x, si ha, sostituendo x 2 + sin π ) 3 x x x, e primo e terzo membro tendono a + per x 0 +. Pertanto il teorema del confronto garantisce che 2 + sin π ) = +. x 0 + x x Per x 0 si ottiene, allo stesso modo, che 3 x 2 + sin π ) x x x, e primo e terzo membro tendono per x 0. Concludendo 2 + sin π ) = ±. x 0 ± x x iii) Il ite non può essere calcolato perché [ ] x Dom = {x R : sin x 0} = {x R : x 2kπ, k Z}. sin x

4 4 Soluzioni Es.2 Quindi + non è un punto di accumulazione del dominio di f, ossia, non esiste M > 0 tale per cui l insieme {x R : x > M} è interamente contenuto nel dominio di f. sin x Provare a calcolare invece con il teorema del confronto. x x Esercizio ottobre). Esercizio 5.8. i) iv),vii),viii) svolti in classe. v) Segue dal ite notevole Infatti, ponendo y = e x Svolto in classe in parte martedì 5, in parte mercoledì = 0, β > 0. x β e x x y α y + log y) α y /α y + log y log y y + y /α = +, ) α ) α sfruttando il ite notevole nell ultimo passaggio. vi) Ponendo prima y = x e poi t = e y, x x α e x y + yα e y log t t + t /α = 0, ancora facendo riferimento al ite notevole richiamato in precedenza. ix) Forma indeterminata:. Moltiplicando per il radicale coniugato ) α

5 AMA Ing.Edile - Prof. Colombo 5 numeratore e denominatore x2 x + x 2 ) = 2. x) Si scriva sin x 2 ) / = e logsin x2 )/. Dato che logsin x 2 ) x 0 + x 0 + log 2 x x2 x + + x 2 2 x x x + x 2 + x 2) logsin x 2 ) 2 + x 0 + ) sin x 2 x 2 = 2, in quanto il primo termine della somma ha il numeratore che tende a zero e il denominatore che tende a, quindi tende a zero l argomento del logartimo tende a, ite notevole), il ite di partenza risulta e 2. xi) Si scriva sin 2 x) tan2 x = e logsin2 x) tan 2 x. Dato che, usando un ite notevole nel primo passaggio, logsin 2 x) tan 2 sin 2 x ) sin 2 x x x π/2+ x π/2 cos 2 x cos 2 x sin 2 x x π/2 cos 2 x sin 2 x =. x π/2 Pertanto il ite di partenza risulta e. xii) Si scriva x / log+x) = e logx)/ log+x). Allora, visto che [ ] log + x) log + x) + log + x) [ log x ) ] +x log + x) + =, in quanto il primo termine dentro la parentesi tende a zero, il ite di partenza risulta e.