Esercizio 1 Meccanica del Punto

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1 Esercizio 1 Meccanica del Punto Una molla di costante elastica k e lunghezza a riposo L 0 è appesa al soffitto di una stanza di altezza H. All altra estremità della molla è attaccata una pallina di massa M. La pallina è vincolata da delle guide a muoversi solo in verticale. 1. Si calcoli a quale distanza dal soffitto si trova la posizione di equilibrio del sistema. 2. Se la molla viene allungata di qualche centimetro e poi rilasciata, con quale periodo oscillerà la pallina M? 3. Se la molla viene allungata fino a che la pallina tocca il pavimento e poi rilasciata, con quale velocità la pallina colpirà il soffitto? 4. Si osserva che dopo aver rimbalzato sul soffitto la pallina non arriva di nuovo a toccare il pavimento ma si arresta ad un altezza h=1m da terra. Si calcoli quanta energia si è persa nell urto con il soffitto. Dati numerici: k = 39,5 N/m, L 0=0,95m, H=3,15m, M=1,25kg, h=1,15m. Esercizio 2 Meccanica dei Sistemi Una puleggia, rappresentabile come un cilindro di massa M (uniformemente distribuita) e di diametro R, è vincolata a ruotare intorno al proprio centro. Una massa m è legata con un filo inestensibile di massa trascurabile, arrotolato sul bordo esterno. Un secondo filo è invece arrotolato su una guida priva di massa, più piccola, di raggio r: questo è legato ad una molla di costante elastica K, con l altro estremo della molla fissato ad una parate. Definiamo la posizione θ=0 della carrucola come l angolo per cui la molla è a riposo. 1. Calcolare l'angolo θ 0 che, se scelto come posizione iniziale del sistema, farebbe rimanere il sistema statico; 2. Calcolare il periodo T delle oscillazioni; Poniamo ora che il sistema in t=0 sia fermo, con la puleggia ad un angolo θ 1=2 θ 0 e che in t=t 1=T/4, il filo che lega la molla alla puleggia venga reciso, 3. Calcolare la tensione del filo che lega la massa alla puleggia per t>t 1; 4. Scrivere la legge oraria della massa m per t>0 e disegnare il grafico della posizione della massa m in funzione del tempo. Dati numerici: M= 2Kg, m=1kg, r=10cm, R=25cm, K= 1300 N/m.

2 Esercizio 3 Meccanica dei Sistemi Un sistema di pulegge, di momento d inerzia I rispetto all asse di rotazione, è costituito da due cilindri di raggi R 1 e R 2 coassiali e rigidamente connessi. Il filo che scorre sul cilindro interno è collegato ad un corpo di massa m posto su un piano orizzontale scabro con coefficiente d attrito dinamico µ d; quello che scorre sul cilindro esterno è invece collegato ad un corpo di massa M appeso. I fili sono inestensibili, di massa trascurabile e non slittano sulle pulegge. Il sistema di pulegge ruota senza attrito. m M Si determini: 1. L accelerazione angolare del sistema di pulegge. 2. La velocità della massa M dopo che è scesa di h=1 m. 3. Le tensioni dei due fili durante il moto. 4. Per quali valori del coefficiente di attrito statico µ s tra la massa m e il piano orizzontale il sistema resta in equilibrio. Dati numerici: R 1 = 20 cm, R 2=50 cm, m=10kg, M=4kg, I=6 kg m 2, µ d=0.2

3 Soluzioni Esercizio 1 1. L'equilibrio fra la forza peso e la forza elastica si ottiene per una lunghezza L eq della molla data da: k(x L0)=Mg da cui L eq=l0+mg/k=1.26m 2. Se la massa M viene spostata di poco dalla posizione di equilibrio il moto che ne consegue è oscillatorio con pulsazione ω= k π e quindi il periodo sarà T =2 M ω =2π M = 1,12 s k 3. Si conserva l energia meccanica perchè le forze in gioco (gravitazionale ed elastica) sono conservative. Scegliamo come 0 dell energia potenziale gravitazionale il pavimento: nello stato g iniziale l'energia cinetica e l'energia potenziale gravitazionale ( K ini =U ini =0) hanno valore nullo, l'energia associata alla deformazione della molla è U el ini =E ini = 1 2 k ( H L 0 ) 2 =95,6J. Quando la massa M urta con il soffitto ha energia cinetica K fin = 1 2 M v 2 fin, energia potenziale elastica U el fin = 1 2 k L 2 0 ed energia potenziale gravitazionale U g ini =MgH, per cui possiamo scrivere 1 2 k (H L 0 ) 2 = 1 2 M v 2 fin+ 1 = 2 k L 2 0+MgH ed ottenere: v fin kh M (H L 0 ) 2gH = 7.91 ms Se dopo il rimbalzo la pallina si arresta all'altezza h (K stop =0) da terra vuol dire che la molla è deformata per una lunghezza pari a H-h e l'energia meccanica totale è pari a el E stop =U stop g +U stop = 1 2 k (( H h) L 0 ) 2 +MGh = 35,9 J. Quindi nell'urto con il soffitto è stata dissipata l'energia E dissipata =E ini E stop = 59,7 J. Esercizio 2 1. Le forze che hanno un momento rispetto al centro di rotazione sono le tensioni delle due corde, pari rispettivamente alla forza elastica della molla F el =K x=k r θ e alla forza peso della massa m F p =m g, da cui l equilibrio dei momenti ci dice che K r 2 θ=m g R, da cui θ 0 =m g R/ K r 2 = 0,19rad = Il momento d inerzia della puleggia, approssimata con un cilindro, è I p = 1 2 M R2, a cui va aggiunto il momento d inerzia della massa, per un totale I= ( 1 2 M +m ) R2 =. L equazione del moto è semplicemente I θ=k r 2 θ, da cui la pulsazione risulta ω= K r2 I il periodo risulta T = 2 π ω =2 π I = 0,62 s. K r 2 = 10,2 rad s -1 e 3. Le forze che agiscono sulla massa m sono la forza peso e la tensione della corda, per cui

4 abbiamo m g T =m ÿ. Sulla puleggia, l unico momento è la tensione della corda, per cui R T =I p θ. Notando che ÿ=r θ, siamo di fronte a due equazioni in due incognite, da cui ÿ= 2 m g M+2m = 4,9 m s-2, e quindi T = 1 2 M ÿ= M m g = 4,9 N. M +2m 4. Fissiamo come y=0 l altezza della massa m quando il sistema è in equilibrio. E necessario scomporre l equazione del moto in due parti. Per 0<t <t 1 il moto è armonico. Visto che θ 1=2 θ 0, la posizione iniziale (e quindi l ampiezza delle oscillazioni) è y 1= -A = -2 θ 0R+ θ 0 R =- θ 0 R=0.047m. La fase, per avere in t=0 il corpo nel minimo, deve essere = π /2, da cui y (t )= A sin ( ωt π /2 )= A sin (ω(t t 1 )). Per t = t 1 =T/4=0,15 s quindi abbiamo y(t 1)=0 e ẏ ( t 1 )=A ω =. Sapendo l accelerazione, calcolata nel precedente problema, l equazione del moto in t>t 1 è semplicemente y (t )= A ω (t t 1 ) m g M+2m ( t t 1 ) 2 { y (t )=0,047 m sin (10,2 s 1 (t 0,15 s ) ) 0<t<0,15 s y (t )=0,48 m s 1 (t 0,15 s) 2,45 m s 2 (t 0,15 s) 2 t>0,15 s o { y (t )=0,047 m sin (10,2 s 1 t π/2) 0<t <0,15s y (t )= 0,13 m+1,24 ms 1 t 2,45 ms 2 t 2 t>0,15 s. Abbiamo quindi y t

5 Esercizio 3 Chiamiamo α l accelerazione angolare del sistema di pulegge, a l accelerazione del corpo di massa m e A l accelerazione del corpo di massa M. Deve essere: α= a R 1 = A R 2 Scriviamo le equazioni del moto dei due corpi e della puleggia, in cui con e T 2 indichiamo le tensioni dei due fili connessi rispettivamente con il corpo di massa m e con quello di massa M. Scegliamo positivo il verso del moto in cui M scende e otteniamo: Iα=T 2 R 2 R 1 ma= μ d mg MA=Mg T 2 Esprimendo le accelerazioni a ed A in termini di α e risolviamo rispetto ad α: 1. ( I+mR 2 1 +MR 2 2 )α=mgr 2 μ d mgr 1 da cui otteniamo per l accelerazione angolare α del sistema. α= MgR 2 μ d mgr 1 I +mr 2 =2,12 rad s MR 2 2. La massa M scende pertanto di moto uniformemente accelerato con un accelerazione A data da. A=αR 2 =1.06 m/s 2 Dopo essere scesa di h, la velocità raggiunta v(h) sarà (assumendo che il sistema parte da fermo). v(h)= 2 Ah =1,45 m/s 3. I valori delle due tensioni e T 2 durante il moto possono essere ottenuti dal sistema di equazioni impostato precedentemente. Si ottiene: =μ d mg+mαr 1 =23.9 N T 2 =Mg MαR 2 =35 N 4. La condizione di equilibrio prevede le seguenti relazioni: <μ s mg R 1 =T 2 R 2 Mg=T 2 in cui con µ s abbiamo indicato il coefficiente di attrito statico tra massa m e piano. Ricaviamo: μ s mgr 1 >MgR 2 ovvero μ s > MR 2 mr 1 =1