Caratterizzazione dei consumi energetici (parte 3)

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1 ESERCITAZIONE 4 Caratterizzazione dei consumi energetici (parte 3) 4.1 CuSum: elementi di analisi statistica Il diagramma delle somme cumulate dei residui in funzione del tempo (CuSum) può essere in generale schematizzato come una successione di segmenti rettilinei separati da nodi. I segmenti individuano modelli di consumo potenzialmente diversi mentre i nodi individuano gli istanti di tempo in cui si sono verificati i presunti cambiamenti nel sistema. N.B. Tratti paralleli tra loro indicano che in quei periodi il modello seguito è stato lo stesso. Concentriamoci su un caso semplice di CuSum costituito da due soli segmenti separati da un nodo. Siano n 1 i punti (settimane mesi) che si collocano sul segmento a sinistra del nodo e n quelli che cadono sul segmento a destra del nodo. Gli indizi di potenziale cambiamento forniti dal Cusum devono essere testati cioè bisogna stabilire se i due modelli (quello che interpola gli n 1 punti del periodo 1 e quello che interpola gli n punti del periodo ) siano significativamente diversi tra loro oppure no. A livello operativo: 1. si calcola l equazione del modello di regressione per il periodo 1;. per ciascuno dei punti appartenenti ai due sottoinsiemi individuati si calcolano i residui y i ŷ i ovvero le differenze tra consumo effettivo nell i-esimo mese (settimana) e consumo previsto in base al modello di caratterizzazione relativo al periodo 1; 3. volendo si diagramma il nuovo CuSum in cui i consumi previsti sono calcolati non in base al modello di caratterizzazione relativo a tutti i dati bensì in base al modello che interpola i soli dati del periodo 1: adesso per come è stato costruito deve presentare un andamento oscillante intorno allo zero durante il periodo 1 per poi deviare nel periodo. I dati di cui si dispone a questo punto sono quindi: Gestione dei Sistemi Energetici - Esercitazioni 7

2 Caratterizzazione dei consumi energetici (parte 3) un campione di numerosità n 1 di residui appartenenti alla popolazione 1 (cioè alla popolazione dei residui nel periodo 1); un campione di numerosità di residui appartenenti alla popolazione. n Il modo di procedere che adottiamo è il seguente: per decidere se sia avvenuto un cambiamento effettivo (cioè se i due modelli differiscano tra loro in modo significativo dal punto di vista statistico) o se invece si tratti soltanto di variazioni che rientrano nella variabilità normale del processo in esame si fa un indagine sui residui appena definiti. In particolare si ritiene che si sia verificato un cambiamento se le popolazioni a cui i due gruppi di residui appartengono possono essere ritenute distinte. Una delle assunzioni che è alla base dell analisi di regressione nonchè delle carte di controllo per i residui è che le popolazioni dei residui y i ŷ i seguano una distribuzione normale (gaussiana). Assumiamo che valga l ipotesi di normalità; i parametri di tali distribuzioni normali (medie µ 1 e µ varianze σ 1 e σ ) sono ignoti di essi possiamo solo conoscere delle stime ricavabili dai campioni. Per il campione estratto dalla popolazione 1 si ha: i 1 media campionaria dei residui: = = = µˆ 1 (4.1) i = 1 varianza campionaria dei residui: = = σˆ (4.) n 1 1 Analogamente per il campione estratto dalla popolazione : y 1 ( ) i 1 media campionaria dei residui: = = = µˆ (4.3) y i = 1 varianza campionaria dei residui: = = σˆ (4.4) n Riteniamo diverse due popolazioni se presentano diverse medie e/o diverse varianze. Per valutare se le medie e le varianze di due popolazioni possano essere ritenute uguali o diverse ricorriamo a test d ipotesi. Supponendo che valga l ipotesi di normalità i test che si utilizzano sono: il test F sull uguaglianza di due varianze; il test t sull uguaglianza di due medie. Poiché il test t sull uguaglianza di due medie ha procedure diverse a seconda che le varianze delle popolazioni da cui provengono i dati possano essere ritenute uguali oppure no si conduce per primo il test F sull uguaglianza delle due varianze. s 1 s n1 n n1 y i n 1 y i ŷ i [ ] ( y i ŷ i ) y 1 ( ) n n ŷ i [ ] ( y i ŷ i ) y 8 Gestione dei Sistemi Energetici - Esercitazioni

3 CuSum: elementi di analisi statistica La tabella che segue riassume tutti i casi che si possono verificare. Varianze uguali Varianze diverse Medie uguali 1. Nessun cambiamento. Stesso modello diversa variabilità Medie diverse 3. Modello diverso stessa variabilità 4. Modello diverso diversa variabilità Il caso ) corrisponde ad un campanello di allarme: il team di gestione dell energia non deve modificare l equazione del modello ma deve interrogarsi su cosa possa essere successo nel sistema da provocare una diversa variabilità Test d ipotesi sull uguaglianza tra le varianze di due popolazioni normali: il test F Ipotesi nulla H 0 : =. σ 1 σ Ipotesi alternativa H 1 : σ 1 σ. Si fissa l errore di prima specie α. E la probabilità che l esito del test porti a rifiutare l ipotesi nulla quando invece è vera. L errore di prima specie α è anche detto livello di significatività. Il valore più comunemente utilizzato è α pari al 5% ma nulla vieta di adottare altri valori a seconda della situazione. Il complemento a 1 del livello di significatività 1 α è detto livello di fiducia. Si calcola il valore della statistica test: s F 1 calc = --- s (4.5) F calc è una particolare determinazione di una variabile casuale che segue la distribuzione F di Fisher con n 1 e n gradi di libertà (sono i parametri della distribuzione di Fisher che coincidono con i gradi di libertà corrispondenti alla varianza posta a numeratore e a denominatore). Con un livello di fiducia pari a 1 α - o equivalentemente con un rischio pari a α - si rifiuta l ipotesi nulla se F calc è esterno all intervallo compreso tra i due valori critici cioè se: F calc F α oppure F F calc α (4.6) n1 n n n 1 Viceversa se: F α n1 n -- < F calc < F α n1 n (4.7) non si può rifiutare l ipotesi nulla con un livello di fiducia pari a 1 α. I valori F α m n 1 -- devono essere letti su apposite tavole. Ogni tavola è caratterizzata da un certo valore di α ed è una tabella a due entrate: sulle colonne ci sono i valori del primo parametro ( m) mentre sulle righe ci sono i valori del secondo ( n). Per determinare i valori di proprietà: F α m n -- che non compaiono sulle tavole si sfrutta la Gestione dei Sistemi Energetici - Esercitazioni 9

4 Caratterizzazione dei consumi energetici (parte 3) F α nm -- = F α m n 1 -- (4.8) 4.1. Test d ipotesi sull uguaglianza tra le medie di due popolazioni normali con varianze e incognite ma che possono ritenersi σ 1 σ uguali: il test t Ipotesi nulla H 0 : µ 1 = µ. Ipotesi alternativa H 1 : µ 1 µ. Si fissa α. Si calcola il valore della statistica test: y 1 y t calc = s n 1 n (4.9) dove s è la radice quadrata della miglior stima di cui si dispone al momento della varianza comune σ = σ 1 = σ. In altri termini s è la miglior stima della deviazione standard comune σ = σ 1 = σ. s s ( n 1 ) s 1 + ( n ) s = = n 1 + n 4 (4.10) t calc è una particolare determinazione di una variabile casuale che segue la distribuzione t di Student con n 1 + n 4 gradi di libertà. L ipotesi nulla viene rifiutata a favore dell ipotesi alternativa se: t calc t α oppure t t (4.11) n1 n calc + n1 + n 4 1 α --- Invece non si può rifiutare l ipotesi nulla se: t α n1 + n < t < t calc α n1 n (4.1) I valori di Student. t α gdl 1 -- devono essere letti sulla tavola della distribuzione cumulativa t 30 Gestione dei Sistemi Energetici - Esercitazioni

5 CuSum: elementi di analisi statistica Test d ipotesi sull uguaglianza tra le medie di due popolazioni normali con varianze e incognite che non possono ritenersi σ 1 σ uguali: il test t Ipotesi nulla H 0 : µ 1 = µ. Ipotesi alternativa H 1 : µ 1 µ. Si fissa α. Si calcola il valore della statistica test: y t 1 y calc = s n 1 s n (4.13) L ipotesi nulla viene rifiutata a favore dell ipotesi alternativa se: t calc t α oppure t t calc (4.14) ν 1 -- ν 1 α --- dove il numero dei gradi di libertà per la variabile casuale t di Student che in precedenza era dato da n 1 + n 4 risulta calcolabile dall espressione: ν = s s n 1 n ( s 1 n 1 ) ( s n ) n n + 1 Viceversa non si può rifiutare l ipotesi nulla se: < t < t calc α ν 1 t α ν (4.15) (4.16) Gestione dei Sistemi Energetici - Esercitazioni 31

6 Caratterizzazione dei consumi energetici (parte 3) 4. Appendice A 3 Gestione dei Sistemi Energetici - Esercitazioni

7 Appendice B 4.3 Appendice B Gestione dei Sistemi Energetici - Esercitazioni 33

8 Caratterizzazione dei consumi energetici (parte 3) 4.4 Esercizi DIPARTIMENTO DI ENERGETICA - POLITECNICO DI TORINO ESERCITAZIONE N. 4 DI GESTIONE DEI SISTEMI ENERGETICI 1. La tabella che segue si riferisce ai consumi di energia elettrica del reparto lastratura scocche di un azienda automobilistica nel periodo dicembre 1999-Febbraio 00. Mese- Anno Consumo di energia elettrica (MWh/mese) Numero di scocche prodotte al mese Dec Jan Feb Mar Apr May Jun Jul Aug Sep Oct Nov Dec Jan Feb Mar Apr May Jun Jul Aug Sep Oct Nov Dec Jan Feb Il modello di caratterizzazione ottenuto con l analisi di correlazione e regressione è: Reparto lastratura scocche Consumi EE (MWh/mese) y = 0.074x R = N. scocche/mese Il team di gestione dell energia decide di approfondire l indagine energetica utilizzando la tecnica CuSum; esso mostra che nel tempo sembra essere avvenuto un cambiamento di modello di consumo. 34 Gestione dei Sistemi Energetici - Esercitazioni

9 Esercizi Diagramma CuSum (rif. tutti i dati) Dec-99 Feb-00 Apr-00 Jun-00 Aug-00 Oct-00 Dec-00 Feb-01 Apr-01 Jun-01 Aug-01 Oct-01 Dec-01 Feb-0 MWh Mesi Sapendo che il modello che interpola i dati del primo periodo (dicembre agosto 000) è: Consumo MWh pz = N scocche mese mese a) diagrammare il Cusum utilizzando come equazione per il calcolo dei consumi previsti il modello del periodo 1 e commentarlo; b) stabilire se i due modelli che sembrano emergere dal CuSum possano essere ritenuti significativamente diversi con un livello di fiducia del 95%; c) in caso affermativo stimare l impatto del cambiamento sui consumi. Quanta energia elettrica sarebbe stata risparmiata nel reparto nel periodo settembre 000-febbraio 00 se non si fosse verificato il peggioramento?. Stabilire se con un rischio di errore di prima specie α = 0.10 si può affermare che il modello di caratterizzazione energetica dell azienda in esame sia cambiato nel tempo Consumi EE (kwh/mese) y = x R = Periodo I Periodo II y = x R = Produzione (elementi/mese) Dati: n 1 = 31 y kwh = s ; mese 1 = kwh mese n = 1 y kwh = s. mese = kwh mese Gestione dei Sistemi Energetici - Esercitazioni 35

10 Caratterizzazione dei consumi energetici (parte 3) Soluzione Esercitazione 4 - Esercizio 1 - parte a) Periodo 1 Periodo Mese- Anno Consumo di energia elettrica (MWh/mese) Numero di scocche prodotte al mese Consumo previsto (rif. periodo 1) Residui Cusum Dec Jan Feb Mar Apr May Jun Jul Aug Sep Oct Nov Dec Jan Feb Mar Apr May Jun Jul Aug Sep Oct Nov Dec Jan Feb CUSUM (rif. periodo 1) MWh Dec-99 Feb-00 Apr-00 Jun-00 Aug-00 Oct-00 Dec-00 Feb-01 Apr-01 Jun-01 Aug-01 Oct-01 Dec-01 Feb-0 Mesi 36 Gestione dei Sistemi Energetici - Esercitazioni