CARICA E SCARICA DEL CONDENSATORE Studiare la scarica del condensatore della figura che è connesso

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1 CARICA E SCARICA DEL CONDENSATORE 5.1. Studiare la scarica del condensatore della figura che è connesso I(t) alla resistenza al tempo t = 0 quando porta una carica Q(0) = Q 0. C R V(t) SOLUZIONE. A interruttore chiuso il voltaggio ai capi del condensatore V ( t) Qt / C deve essere pari a quello ai capi della resistenza V( t) It R. La corrente I(t) che esce dal condensatore è pari alla diminuzione della carica sul condensatore Qt It R C dqt Qt R dqt It dt C dt Passando alla forma integrale ( ) Le grandezze variabili Q(t), I(t) e V(t) sono tra loro proporzionali e hanno lo stesso tipo di smorzamento esponenziale 1 V(t)/V(0) Q(t)/Q(0) I(t)/I(0) t/rc Il prodotto RC ha le dimensioni di un tempo: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Il prodotto RC è spesso indicato come e chiamato costante di tempo di carica/scarica del condensatore Consideriamo il circuito della figura con V g 6 V, R R 1 k, 5 k, C 1 F nel quale all istante iniziale il condensatore è scarico (Q(0) = 0) e viene chiuso il contatto V g C V(t) con la batteria. Determinare la corrente iniziale I(0) e quella asintotica I() che circola nel circuito dopo un tempo sufficientemente lungo dal collegamento con il generatore. Determinare inoltre la costante di tempo di carica del condensatore. 1

2 SOLUZIONE. Poiché Q(0) 0 la differenza di potenziale iniziale ai capi di C e di sarà V(0) 0 e dalla batteria uscirà inizialmente la corrente I(0) V g /R. Sostituendo i valori numerici si ha Quando, dopo un tempo idealmente infinito, la carica del condensatore è completata, C non assorbe più corrente; tutta la corrente uscente dalla batteria passa attraverso la serie di R e e vale perciò Sostituendo i valori numerici si ha Vg I( ) R R 1 La differenza di potenziale V(t) ai capi del condensatore passa da zero, al tempo iniziale, al valore asintotico Dal punto di vista del condensatore, le due resistenze R e sono connesse in parallelo ai suoi morsetti ; perciò la costante di tempo di carica sarà V(t) 3 3 RR C Req C 10 s 833μs 4 3 R R La legge di variazione temporale di V(t) è simile a quella della scarica, ossia si passa dal valore iniziale V(0) = 0 a quello 2 asintotico V( ) = 5 V con un processo esponenziale avente costante di tempo 0 t RR1 R t CRR1 V ( t) V ( ) 1 e Vg 1 e R R t (10 3 s) 1 Inserendo i valori assegnati ai parametri si ottiene il grafico della figura Una batteria con V 6 Ve una resistenza interna di R in 0.2 viene collegata al tempo t 0 a un circuito formato dal parallelo tra R in R C un condensatore di capacità C 2 mf e una resistenza R 10. Tra V le seguenti affermazioni segnare con NO quelle sbagliate e con SÌ quelle giuste: (A) L energia immagazzinata in C è sempre minore di (1/2)CV 2 (B) La corrente che passa in R è nulla al tempo t 0 (C) L energia complessivamente dissipata in R in nel primo secondo è maggiore dell energia immagazzinata nello stesso tempo in C (D) La corrente che passa in R in è massima a t 0 (E) La potenza dissipata in R è sempre maggiore o uguale di quella dissipata in R in SOLUZIONE. Chiamiamo V C (t) la differenza di potenziale ai capi del condensatore in un generico istante t. All istante iniziale, il condensatore è scarico e la sua energia è nulla; l energia immagazzinata in C all istante t è pari a ed è massima quando C è completamente carico (idealmente dopo un tempo ) e non assorbe più corrente. In questa situazione, V C (t = ) è pari alla caduta di potenziale ai capi di R e vale 2

3 La ddp ai capi di R è uguale a quella ai capi del condensatore ed è quindi nulla al tempo t = 0 quando il condensatore è scarico: inizialmente quindi in R non passa corrente: (B) vera. Per la stessa ragione, al tempo t = 0 la corrente I in (t = 0) che attraversa R in è I in (t = 0) = V/R in ; a un generico istante t invece deve valere Poiché la corrente che attraversa R in decresce dal suo valor massimo al suo valore asintotico mentre la corrente che attraversa R cresce dal valore 0 al suo valore asintotico, l affermazione E) è falsa. Per analizzare l affermazione (C) consideriamo prima il circuito privo della resistenza R (ovvero, poniamo R ) e indichiamo con Q a CV la carica asintoticamente raggiunta dal condensatore, tra le cui armature vi sarebbe in questo caso una differenza di potenziale esattamente pari a V. Quando il condensatore ha raggiunto una qualunque carica Q Q a, la sua energia è E C Q 2 /2C mentre il lavoro complessivamente compiuto dal generatore per erogare tale carica è E g QV. L energia complessivamente dissipata dalla resistenza R in è la differenza tra il lavoro compiuto dal generatore e l energia immagazzinata dal condensatore: 2 Q 2Q Q Q Q E E Q V Q a Q a g C 2C 2C 2C 2C che è pertanto maggiore di E C fino a quando il condensatore non raggiunge un voltaggio asintotico pari a quello del generatore. Si noti che questo ragionamento è indipendente dal valore di R in : caricare un condensatore con un generatore a voltaggio costante comporta sempre la dissipazione di metà dell energia totale fornita dal generatore. In presenza della resistenza R in parallelo a C, il generatore deve compiere lavoro sia per caricare il condensatore, sia per far circolare la corrente su R: la dissipazione su R in aumenta quindi ulteriormente, e l affermazione (C) è sempre vera A un condensatore carico si collega una resistenza R = 1 ; si osserva che dopo un tempo t 1/2 = 1 s il voltaggio ai capi del condensatore si è dimezzato rispetto al valore iniziale e che, nello stesso tempo, sulla resistenza è stata dissipata un energia E = 1 J. La capacità C del condensatore vale circa (A) 0.18 F (B) 0.36 F (C) 0.72 F (D) 1.44 F (E) F SOLUZIONE. Il condensatore si scarica secondo la legge problema con R e C in unità MKSA otteniamo:. Usando i dati del 5.5. Nel circuito della figura la forza elettromotrice del generatore è V = 10 V mentre = 20, R 2 = 5 e il condensatore di capacità C = F della figura è scarico al tempo t = 0. Tra le seguenti affermazioni, indicare con SI quelle giuste e con NO quelle sbagliate. (A) La potenza dissipata in all istante t = 0 non dipende da R 2 (B) La potenza dissipata in all istante t = 0 non dipende da C se C0 V R 2 (C) Quando il condensatore è completamente carico la potenza erogata dal generatore è W =20 W (D) Quando il condensatore è completamente carico la corrente assorbita da C è nulla. (E) Quando il condensatore è carico la sua energia vale J C 3

4 SOLUZIONE. All istante iniziale t = 0 il condensatore è scarico e pertanto la ddp ai capi di C e di R 2 è nulla; ai capi di c è una ddp esattamente pari alla fem del generatore e la potenza dissipata in R1 vale W R1 (t = 0) = V 2 / (A) vera. Anche l affermazione (B) è vera per lo stesso motivo; nel caso in cui la capacità del condensatore fosse nulla il circuito si ridurrebbe al generatore collegato a due resistenze in serie, la corrente circolante sarebbe I = V/( R 2 ), la ddp ai capi di sarebbe V = I = V/( R 2 ) e W R1 (t = 0, C = 0) = V 2 / = V 2 /( R 2 ) 2. Quando, dopo un tempo idealmente infinito, la carica del condensatore è completata, C non assorbe più corrente, quindi l affermazione (D) è vera; tutta la corrente uscente dal generatore passa attraverso la serie di e R 2 e vale perciò V I( ) R1 R2 (come nel caso in cui il condensatore avesse capacità nulla) e la potenza erogata dal generatore vale mentre la differenza di potenziale ai capi del condensatore (pari a quella ai capi di R 2 ) e l energia da esso immagazzinata valgono ( ) 5.6. Se nel circuito del problema precedente il generatore viene scollegato lasciando il circuito aperto tra la terra e l estremo sinistro di, la carica del condensatore si riduce alla metà in un tempo di circa (A) 20 ms (B) 18 ms (C) 7 ms (D) 5 ms (E) 3.5 ms SOLUZIONE. Se il generatore viene scollegato come descritto, il condensatore è collegato alla sola resistenza R 2 e la sua costante di tempo vale Usando la legge di scarica del condensatore: ( ) 5.7. Durante il processo di carica di un condensatore C, inizialmente scarico e collegato al tempo t = 0 a un generatore continuo V mediante una resistenza R, la potenza utilizzata dal condensatore per caricarsi è massima al tempo (in unità RC) (A) 0 (B) (C) (D) (E) 1 SOLUZIONE. Il condensatore si carica secondo la legge e in esso fluisce una corrente pari a ( ) ( ) La potenza W(t) utilizzata dal condensatore per caricarsi è il prodotto. Per trovare il massimo di questa funzione deriviamola rispetto al tempo e cerchiamo gli zeri della funzione derivata: [ ( )] 4

5 ( ) 5.8. In un condensatore C 1 = 1 F isolato è immagazzinata un energia di 0.5 J; i suoi estremi sono collegati all istante R iniziale, mediante una resistenza R = 2, a un condensatore C 2 = 3F fra le cui armature vi è una differenza di potenziale di 700 V, polarizzato come in figura. Tra le seguenti affermazioni segnare quali sono vere e quali false: C 1 C 2 (A) l energia complessiva finale dei due condensatori è minore di quella iniziale (B) la costante di tempo relativa al raggiungimento dell equilibrio vale RC 2 (C) la corrente fluisce da C 1 verso C 2 (D) la tensione ai capi di C 1 diminuisce (E) la tensione ai capi di C 2 rimane costante SOLUZIONE. La differenza di potenziale iniziale V 1 ai capi del primo condensatore è 2 C1 V E 1( 0) 0.5 J V V Alla chiusura del circuito, poiché V 1 (0) > V 2 (0), la corrente fluisce da C 1 verso C 2 sino a che si raggiunge il potenziale di equilibrio intermedio tra 700 V e 1000 V (risposte (C) e (D) corrette, E errata). L energia finale del sistema è necessariamente minore di quella iniziale ((A) corretta) perché vi è passaggio di corrente attraverso la resistenza R con conseguente dissipazione di energia: il calcolo si potrebbe fare calcolando il voltaggio finale V fin, dall equazione di conservazione della carica complessiva: C1 V1 ( 0) C2V2 (0) C1 C2 V fin ed esprimendo le energie in funzione di C e V, ma non è necessario. La soluzione (B) è errata in quanto, durante il raggiungimento del RC1C2 potenziale di equilibrio, la corrente percorre la serie di C 1 e C 2 ; la costante di tempo sarà. C C 5.9. Quale è falsa tra le seguenti affermazioni? (A) Un condensatore che si sta caricando assorbe potenza. (B) Un condensatore che si sta caricando immagazzina energia. (C) Una resistenza elettrica percorsa da corrente produce sempre calore. (D) All'incirca, solo la metà dell energia immagazzinata da un condensatore può essere riutilizzata in forma elettrica. (E) Caricando un condensatore con un generatore a voltaggio costante, il condensatore assorbe solo la metà dell energia erogata dal generatore. SOLUZIONE. Le affermazioni (A), (B) e (C) sono certamente vere: il condensatore si carica assorbendo una potenza W(t) = I(t)V(t), immagazzina un energia E(t) = 0.5V 2 (t)c, mentre una resistenza elettrica R percorsa da una corrente I(t) dissipa in calore in ogni istante (effetto Joule) una potenza pari a W(t) = I 2 (t)r. Per valutare l affermazione E, per caricare completamente un condensatore con una carica Q tot un generatore a voltaggio costante V deve compiere un lavoro L gen = Q tot V mentre l energia finale del condensatore, tra le cui armature vi sarà alla fine una differenza di potenziale pari a V, è E cond = 0.5Q tot V. Dunque l affermazione (E) è vera e metà del lavoro compiuto dal generatore viene dissipato a causa della resistenza interna dello stesso. L affermazione (D) è invece falsa: tutta l energia immagazzinata nel condensatore può essere riutilizzata in forma elettrica (per esempio per caricare un altro condensatore): trascurando le inevitabili perdite resistive di ogni circuito, a differenza del generatore un condensatore non ha una resistenza interna e nell erogare energia non subisce perdite per effetto Joule

6 5.10. Il condensatore C 1 = 0.4 F ha inizialmente carica Q 1 = 10 C e viene chiuso all istante iniziale sulla resistenza R = 10 in serie con un condensatore di capacità C 2 = 0.2 F inizialmente scarico. L energia dissipata in R nel primo minuto dopo la connessione vale circa (A) 83 J (B) 125 J (C) 63 J (D) 42 J (E) SOLUZIONE. Il circuito chiuso è rappresentato in figura. C 1 inizierà a scaricarsi caricando C 2. La differenza di potenziale ai capi di R, V R = I(t)R, è data in ogni I(t) istante da R C 1 C 2 Inoltre, la diminuzione di carica su C 1 in ogni intervallo dt deve essere pari alla carica che attraversa R in dt: D altra parte, la somma delle cariche a ogni istante sui due condensatori deve essere pari a Q 1 : Sostituendo nella prima equazione le due relazioni precedenti si ottiene: Moltiplicando entrambi i membri per il prodotto C 1 C 2 e procedendo con i calcoli otteniamo ( ) Passando alla forma integrale otteniamo la legge di scarica del condensatore C 1 : [ ( )] [ ] ( ) Definendo possiamo scrivere la legge di scarica di C 1 come Verifichiamo che i conti tornino per t = 0: La corrente che attraversa R vale quindi 6

7 e l energia dissipata in R nel primo minuto vale ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) La costante di tempo secondo cui si spegne la corrente che passa nella resistenza R del problema precedente è C1C 2 (A) RC 1 (B) RC 2 (C) R(C 1 C 2 ) (D) R (E) C1 C2 SOLUZIONE. Vedi risoluzione problema precedente e risoluzione del problema Con riferimento al problema 10, la potenza dissipata in R al tempo t = 0 s vale circa (A) 62.5 W (B) 125 W (C) 510 W (D)775 W (E) SOLUZIONE. Al tempo t = 0 s il condensatore C 2 è scarico; su R passa una corrente pari a e la potenza dissipata in R al tempo t = 0 s vale Un alimentatore con V = 12 V e resistenza interna = 4 viene chiuso all istante iniziale su di un condensatore C scarico in parallelo con una resistenza R 2. Dopo un secondo, la differenza di potenziale ai capi del condensatore vale V AB = 1 V; dopo un minuto si ha V AB = 8 V. La resistenza R 2 vale (A) 4 (B) 8 (C) 12 (D) 20 (E) 40 V R 2 C A B SOLUZIONE. Come già visto (vedi soluzione esercizio 2) il condensatore si carica secondo la legge ( ) Utilizzando i dati del problema possiamo ricavare il valore di : Poiché il voltaggio di 8 V viene raggiunto dal condensatore dopo un tempo (un minuto) molto maggiore di, esso corrisponde in pratica al voltaggio asintotico raggiunto dal condensatore. Quindi deve essere ( ) Con riferimento al problema precedente, la capacità C del condensatore vale (A) 0.19 F (B) 0.43 F (C) 0.82 F (D) 1.23 F (E) 2.81 F 7

8 SOLUZIONE. Sostituendo i valori numerici nell espressione di troviamo Nel circuito della figura, il generatore di tensione continua V viene collegato quando C 1 e C 2 sono scarichi. Se C 1 = 2C 2, dire quali tra le seguenti affermazioni sono vere e quali false V R 2 (A) Il voltaggio su C 2 tende asintoticamente al valore V/3 (B) Il voltaggio su C 1 tende asintoticamente al valore V/3 (C) La potenza dissipata in è sempre uguale a quella dissipata in R 2 se le due resistenze sono uguali. (D) La potenza dissipata inizialmente in è maggiore di quella dissipata inizialmente in R 2 (E) La potenza dissipata su R 2 tende a un valore limite diverso da zero per tempi sufficientemente lunghi C 1 C 2 SOLUZIONE. Le affermazioni (A) e (B) ed (E) sono false: dopo un tempo sufficientemente lungo, il condensatore C 1 avrà un voltaggio V pari a quello del generatore; nel circuito non circolerà più corrente e il voltaggio su C 2 sarà quindi nullo. Consideriamo le affermazioni (C) e (D): inizialmente, il generatore carica C 1 ; su fluisce una corrente pari a dq C1 (t)/dt mentre, poiché C 2 è ancora scarico, la differenza di potenziale ai capi di C 2 e quindi di R 2 è nulla e quindi su R 2 non fluisce alcuna corrente. Quindi l affermazione (C) è falsa mentre l affermazione (D) è l unica vera È dato il circuito in figura in cui le resistenze hanno il valore = R 2 = 12, R 3 = = 20, mentre le forze elettromotrici valgono V 1 = 60 V, V 2 = 12 V e V 3 = 24 V. La potenza dissipata nella resistenza R 3 vale (A) 1.49 W (B) 192 W (C) 3.57 W (D) 5.45 W (E) SOLUZIONE. Scelti i versi di percorrenza delle maglie rappresentati in figura, deve essere: R 3 V 1 V 2 V 3 R 2 R 3 V 1 V 2 V 3 R 2 I 1 I 2 Pertanto Con riferimento al problema precedente, la potenza erogata () o assorbita () dal generatore V 2 vale (A) 13.1 W (B) 13.1 W (C) 54.5 W (D) 240 W (E) 54.5 W SOLUZIONE. Scelti i versi di percorrenza delle maglie rappresentati in figura, deve essere: 8

9 Nel generatore V 2 entra la corrente totale I tot = I 1 I 2, pertanto la potenza da esso assorbita vale ( ) E' dato il circuito in figura in cui le resistenze hanno il valore = R 2 = 20, R 3 = 30 e = 8, mentre la forza elettromotrice vale V 1 = 12 V. La corrente I 3 che circola nella resistenza R 3 vale (A) 0.18 A (B) 0.12 A (C) 96 Ma (D) 4.8 ma (E) V 1 R 2 R 3 SOLUZIONE. La resistenza equivalente del circuito è quindi la corrente erogata dal generatore vale R 2 e R 3 costituiscono un partitore di corrente: Dato il circuito in figura (ponte di Wheatstone) con V A V c = 7 V, = 2, R 2 = 1, R 3 = 0, = 4, R 5 = 4, la differenza V A V B vale (A) 1 V (B) 3 V (C) 4 V (D) 5 V (E) SOLUZIONE. Poiché R 3 = 0, i punti C e D sono allo stesso potenziale: pertanto, R 2 e R 5 sono collegate in parallelo e V B R 2 A R 5 C R 3 D Il voltaggio del generatore è V = V A V c e nel ramo del circuito costituito da in serie con il parallelo di R 2 e R 5 passa una corrente I 1 pari a La differenza V A V B vale quindi È dato il circuito in figura in cui le resistenze hanno i valori = R 2 = R 3 = = 20, R 5 = 40, mentre le forze elettromotrici valgono V 1 = 30 V, V 2 = V 3 = 60 V. L intensità della corrente I è (A) 0.25 A (B) 0.25 A (C) 0.5 A (D) 0.5 A (E) 0.75 A V 1 SOLUZIONE. Scriviamo le equazioni delle due maglie del circuito tenendo conto del fatto che tutte le resistenze tranne R 5 hanno lo stesso valore e che V 2 = V 3 : Sommandole membro a membro otteniamo: Per la conservazione della corrente ai due nodi A e B devono valere le relazioni: I 1 I 2 R 2 R 3 I I 3 V 3 V 2 A B R 5 I 4 9

10 Sostituendo l ultima relazione nella precedente eliminiamo i valori incogniti delle correnti e otteniamo I: Nel circuito della figura V G = 120 V, V AB = 112 V e R i = 1.6. Il rendimento del generatore (definito come rapporto fra potenza sul carico e potenza del generatore) vale (A) 0.5 (B) 0.8 (C) 0.93 (D) 1 (E) V G R i A R SOLUZIONE. La potenza erogata dal generatore e quella sul carico R sono rispettivamente B Il loro rapporto vale quindi Nel circuito della figura la resistenza R è variabile, V G = 200 V, R i = Nel caso in cui sul carico R si abbia la massima potenza, il generatore eroga una potenza di (A) 250 W (B) 500 W (C) 16 kw (D) 17 kw (E) 500 kw V G R i A R SOLUZIONE. Individuiamo dapprima per quale valore di R si ha sul carico la massima potenza. La corrente che circola nel circuito è B e la differenza di potenziale ai capi del carico è La potenza sul carico è quindi Deriviamo W AB rispetto a R e poniamo la derivata uguale a zero per cercare il massimo della funzione potenza: ( ) La corrente che circola nel circuito è dunque, in queste condizioni: e la potenza erogata dal generatore vale NOTA: la risposta B segnata come corretta nei testi degli esercizi è ERRATA di 3 ordini di grandezza e corrisponde a R in = 4. 10

11 5.23. Nel circuito della figura il generatore V = 84 V eroga complessivamente 140 W sulle quattro resistenze scelte in base alle seguenti esigenze: 1. la potenza dissipata su è 4 volte quella dissipata su R 2 2. la potenza dissipata su è 1.5 volte quella dissipata su R 3 V 3. la potenza dissipata su R 3 è tre volte quella dissipata su La potenza dissipata su vale (A) 4 W (B) 16 W (C) 48 W (D) 72 W (E) R 2 R 3 SOLUZIONE. La potenza erogata dal generatore deve essere uguale alla somma delle potenze dissipate sulle 4 resistenze. Scrivendo le relazioni tra queste ultime ed esprimendo tutte le potenze in funzione di W 1 si ha Quindi Con riferimento al problema precedente, la resistenza vale (A) 9 (B) 36 (C) 72 (D) 108 (E) SOLUZIONE. Chiamiamo V 12 la differenza di potenziale ai capi di e R 2. Dalla relazione tra W 1 e W 2 ricaviamo quella tra e R 2 : Dal problema precedente conosciamo la somma W 1 W 2 ; la corrente erogata dal generatore vale e attraversa il parallelo tra e R 2 cioè una resistenza equivalente pari a Deve pertanto essere ( ) ( ) Nel circuito della figura si ha un generatore rappresentabile come una sorgente di corrente costante I = 1 A con una resistenza in parallelo R P = 20. Tra le seguenti affermazioni, indicare quali sono vere e quali false: (A). Chiudendo l interruttore tra e R 2 la potenza erogata dal generatore raddoppia (B). Chiudendo l interruttore tra e R 2 la potenza erogata dal generatore si dimezza (C). La potenza dissipata in R p è massima prima della chiusura dell interruttore I=1A =10 (D). Dopo la chiusura dell interruttore la potenza dissipata in R p diventa minore di quella dissipata in (E). La potenza erogata dal generatore è uguale alla somma delle potenze dissipate in R p, e R 2 sia prima che dopo la R p =20 R 2 =10 11

12 chiusura dell interruttore SOLUZIONE. Consideriamo le affermazioni (A) e (B). Alla chiusura dell interruttore, la serie R 2 è collegata in parallelo a R P ; la resistenza del circuito a interruttore chiuso vale quindi Poiché la corrente erogata dal generatore è costante, la potenza erogata dal generatore è direttamente proporzionale alla resistenza del circuito. Quindi (B) vera, (A) falsa. L affermazione (C) è vera: prima della chiusura dell interruttore, tutta la corrente erogata dal generatore passa su R P, mentre a interruttore chiuso parte della corrente attraversa il ramo costituito da R 2. Il prodotto I 2 R P, cioè la potenza dissipata in R P, è quindi massimo a interruttore aperto. L affermazione (D) è falsa: a interruttore chiuso, R P = 20 è collegata in parallelo al ramo R 2 = 20. Ciascun ramo del circuito sarà attraversato dalla metà della corrente erogata dal generatore, quindi la potenza dissipata in R P sarà uguale alla somma delle potenze dissipate in e R 2 (in particolare, poiché = R 2, a interruttore chiuso si avrà W P = 2W 1 ). L affermazione (E) è certamente vera: si tratta della legge di conservazione dell energia! In particolare, a interruttore aperto tutta la potenza erogata dal generatore viene dissipata su R P mentre a interruttore chiuso ogni ramo del circuito dissipa metà della potenza erogata Nel circuito della figura la potenza dissipata in è la metà di quella dissipata in R 2. La potenza erogata dal generatore è W G = 2.44 W, pari a nove volte la potenza dissipata in e a cinque volte quella dissipata in R 3. Se la corrente in è I 1 = 15 ma il valore di è (A) 134 (B) 241 (C) 1245 (D) 2490 (E) SOLUZIONE. Chiamiamo V 12 la differenza di potenziale ai capi di e R 2. Dalla relazione tra W 1 e W 2 ricaviamo quella tra e R 2 : V R 2 R 3 La corrente I erogata dal generatore si ripartisce nel parallelo tra e R 2 in modo che La potenza W 12 dissipata sul parallelo tra e R 2 è la differenza tra quella erogata dal generatore e quella dissipata su R 3 e : e deve essere pari al prodotto I 2 R eq con Dunque 12