Matrice: tabella di m righe ed n colonne. A T matrice trasposta di A=(a ij ) di elementi a ijt =a ji. Serena Morigi Università di Bologna 1

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1 Matrc Matrce: tabella d m rghe ed coloe T matrce trasposta d (a j ) d elemet a jt a j Serea Morg Uverstà d Bologa

2 Matrc Matrce quadrata m sottomatrc Matrce rettagolare m Serea Morg Uverstà d Bologa

3 Matrc Matrc smmetrche T Matrc atsmmetrche - T Serea Morg Uverstà d Bologa 3

4 Operazo fra Matrc Somma d matrc Moltplcazoe per scalare Serea Morg Uverstà d Bologa 4

5 Prodotto d Matrc I geerale B B Serea Morg Uverstà d Bologa 5

6 Prodotto d matrc { a } ( m ) B { b } j j ( p) B { c } j ( m lgortmo p) c j k m akbkj j p for :m for j :p for k : m p j k (j)(j)+(k)*b(kj); ed omplesstà computazoale: mp ( per m p la complesstà è Serea Morg Uverstà d Bologa 6 3 )

7 Serea Morg Uverstà d Bologa 7 Matrc œ œ œ œ œ œ ß ø Œ Œ Œ Œ Œ Œ º Ø u u u u u u u u u u U Matrce tragolare superore (Upper) œ œ œ œ œ œ ß ø Œ Œ Œ Œ Œ Œ º Ø l l l l l l l l l L Matrce tragolare ferore (Lower) a j se >j a j se <j

8 Serea Morg Uverstà d Bologa 8 Matrc Dagoal ) ( 3 d d d dag D d d d d D Matrce dagoale Matrce dettà I

9 Serea Morg Uverstà d Bologa 9 Prodotto Scalare <> [ ] m m T m T p lgortmo p; for :m pp+()*(); ed pdot dot();

10 Serea Morg Uverstà d Bologa Prodotto Scalare Fuzoe : che verfca le seguet propreta : 3 z z z z + + b a b a b a Esemp R T H

11 Norme vettoral + Fuzoe : R { } che verfca le seguet propreta : a a a (dsuguaglaza tragolare) Serea Morg Uverstà d Bologa

12 Norme vettoral NORM Norma o orma Eucldea T ( ) Esempo Serea Morg Uverstà d Bologa

13 Norme vettoral NORM Esempo Serea Morg Uverstà d Bologa 3

14 Norme vettoral NORM INFINITO Norma fto o orma hebshev ma Esempo Serea Morg Uverstà d Bologa 4

15 rcofereze orma p ( R ) Luogo de put che soo a dstaza dal cetro orma-fto orma- - orma- { R : } { R : } { R : } - Serea Morg Uverstà d Bologa 5

16 Norme vettoral Teorema Sao ' '' due orme vettoral llora le due orme soo equvalet el seso che esstoo due costat a b R < a b tal che per og a '' ' b '' Serea Morg Uverstà d Bologa 6

17 Norme matrcal + Fuzoe : R { } che verfca le seguet propreta : a a a 3 + B + B B 4 B B B Serea Morg Uverstà d Bologa 7

18 Norme matrcal d og orma d vettore possamo assocare ua orma d matrce el modo seguete: Defzoe La orma defta da p sup p p vee detta orma matrcale dotta dalla orma vettorale o orma aturale I p sup Per le orme atural s ha: I p p Serea Morg Uverstà d Bologa 8

19 Norme matrcal dotte - esemp orma orma fto -hebshev orma -Eucldea ma j (massmo somma coloe modulo) ma ρ( T a j j ) a (massmo somma rghe modulo) j r() raggo spettrale d : massmo autovalore modulo d Serea Morg Uverstà d Bologa 9

20 Norme matrcal -esemp ma ma j T ρ( ) j a j a j orma fto orma orma - Eucldea ?? Serea Morg Uverstà d Bologa

21 Serea Morg Uverstà d Bologa Norme matrcal j j F a Norma d Frobeus o Schur (o è ua orma dotta) Tutte le orme matrcal soo equvalet j j j j a a ma ma F F

22 Norme matrcal Data ua orma d vettore ed ua orma d matrce dcamo che le due orme soo compatbl se R R Se e ua orma matrcale compatble allora ρ ( ) Sa ua matrce smmetrca allora r T ( ) r( ) r ( ) r( ) lma Sa ua matrce smmetrca defta postva allora l ma Serea Morg Uverstà d Bologa

23 Matrce defte sego Se per og o ullo l umero reale T matee lo stesso sego s dce che la matrce è defta sego partcolare: T > defta postva T semdefta postva T semdefta egatva T < defta egatva ltrmet è defta Serea Morg Uverstà d Bologa 3

24 rtero d Slvester Ua matrce smmetrca è defta postva se e solo se det( ) > k k dove det( k ) rappreseta l determate della matrce d orde k formata dalle tersezo delle prme k rghe e k coloe d Serea Morg Uverstà d Bologa 4