In generale i piani possono essere tra loro

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1 Leione 7 - Alge e Geometi - Anno emio 9/ In genele i pini possono essee t loo Pini istinti inienti in un ett ppesentt l sistem sop sitto se. Pini plleli se istinti se, oinienti se. Eseiio tem esme) Si i pe quli vloi el pmeto ele il seguente sistem linee isult omptiile )

2 Intepetno,, ome oointe si i qul è l mutu posiione ei pini ppesentti lle equioni el sistem l vie i ele. Svolgimento Pte lgei A h ngo on /. In tl so il sistem è i Cme e mmette un sol soluione. Pe / l mtie A h ngo mente l mtie omplet h ngo A B /, / unque il sistem non mmette soluioni. Pte geometi pe /, i pini ppesentti lle equioni el sistem si inteseno in un solo Leione 7 - Alge e Geometi - Anno emio 9/

3 punto, ovveo pptengono ll stell i pini he h ento nel punto he h oointe te ll soluione el sistem. P Pe /, il sistem non mmette soluione punto omune i te pini) m i te pini si inteseno ue ue, pehè / / / / lungo te ette pllele i pmeti iettoi [5,-,-)], [5,-,-)]. Leione 7 - Alge e Geometi - Anno emio 9/

4 Eseiio tem esme) Si isut l vie i h in R e ove possiile si isolv il seguente sistem linee h h h ) h h h intepetnone geometimente i isultti ottenuti. Svolgimento pte lgei h h h h h h L mtie ei oeffiienti h ngo quno h h. In questo so il sistem è i Cme e mmette un e un sol soluione. Pe h il ngo ell mtie ei oeffiienti e il ell mtie omplet è pe entme. Il sistem mmette - soluioni. Pe h il ngo ell mtie ei oeffiienti e il ell mtie omplet è pe entme. Il sistem mmette - soluioni. Leione 7 - Alge e Geometi - Anno emio 9/

5 L ie lgei elle soluioni. Pte geometi h h i pini si inteseno in un unio punto le ui oointe sono te ll soluione el sistem. P Pe h i te pini si inteseno lungo l ett s i ui punti hnno oointe te lle soluioni el sistem s Pe h i te pini si inteseno lungo l ett 5 Eseiio tem esme) Si onsieino i pini σ 5, σ )- s Leione 7 - Alge e Geometi - Anno emio 9/ 5

6 σ -) on R. ) Pe quli vloi i esiste un pino α pllelo si σ he σ he σ? ) Pe quli vloi i inteseno σ e σ si ottiene un ett pllel σ? Svolgimento ) Pe l popietà tnsitiv el pllelismo se esiste un pino osì ftto, i te pini t i loo evono essee plleli, unque i oeffiienti i,, evono essee popoionli ossi... ) Inteseno σ e σ si eve ottenee un ett... Inolte tle ett eve essee pllel l pino σ, ioè il ngo i Leione 7 - Alge e Geometi - Anno emio 9/ 6

7 Leione 7 - Alge e Geometi - Anno emio 9/ 7 et ) ) 6) ) Il vloe ieto he soisf entme le oniioni) è. Si peviene llo stesso isultto eteminno i pmeti iettoi i σ σ ) e on ),, )) ), 8,,et et, et ρ ϕ ϕ ρ ρ Tle ett è pllel σ se i suoi pmeti iettoi soisfno on i oeffiienti el pino σ l oniione i pllelismo ett-pino l m n ) ioè.

8 Leione 7 - Alge e Geometi - Anno emio 9/ 8 ESERCIZI SULLE RETTE Si onsieino le ette in fom tesin s e inihimo on AB l mtie )Le ette, s sono sgheme se e solo se etab) ) Le ette sono omplni se etab). ) Se A) e s sono ette inienti. ) Se A) e s sono ette pllele ) oinienti se AB); ) istinte se AB). Eseiio Dte le ette e s i equione 6 s

9 Leione 7 - Alge e Geometi - Anno emio 9/ 9 Stilie l mutu posiione. Svolgimento 6 Il eteminnte i quest mtie è iveso unque le ette non si inteseno e non giiono neppue su un pino omune ette sgheme. Le ue ette giiono su ue pini t loo plleli e., m hnno ieioni iffeenti. Eseiio 5 Dte le ette e s i equioni ) s s

10 Leione 7 - Alge e Geometi - Anno emio 9/ ) etemine pe quli vloi el pmeto ele le ette sono pllele; ) pe quli vloi i ele sono sgheme. Svolgimento ) le ette isultno pllele quno il ngo i è. Uso il teoem egli olti e impongo he i ue minoi i oine he lo olno ino eteminnte ugule e ottengo. ) il eteminnte i eve isulte iveso. Pe.