ISTITUTO TECNICO STATALE COMMERCIALE E PER GEOMETRI A. MARTINI Castelfranco Veneto (TV) Relazioni e Funzioni n n n n

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1 0 ottobre 008 A. MARTINI Castelranco Veneto (TV) Relazioni e Funzioni. Insieme delle parti. Partizione di un insieme 3. Prodotto cartesiano 4. Deinizione di relazione 5. Deinizione di unzione 6. Funzioni monòtone 7. Classiicazione delle unzioni 8. Composizione di unzioni 9. Proprietà della composizione di unzioni 0. Funzione inversa. Insieme delle parti Si deinisce insieme delle parti di A, P ( A), l insieme di tutti i sottoinsiemi propri o impropri dell insieme A : P ( A) { X : X A}. Partizione di un insieme Si deinisce partizione dell insieme A, P( A ), l insieme dei sottoinsiemi disgiunti di A la cui unione dà l insieme A (ricoprimento di A). P i j ( A) { X : X A, X X i j, X A} P A evidentemente: ( ) ( A) 3. Prodotto cartesiano P : Si deinisce prodotto cartesiano A B l insieme delle coppie (, y ) in cui A, y B {(, ) :, } A B y A y B Il prodotto cartesiano si può estendere a n insiemi: è l insieme delle ennuple (dei vettori) i cui elementi appartengono ordinatamente agli insiemi del prodotto: A A A... A,,,..., : A, A, A,..., A {( ) } 3 n 3 n 3 3 n n 4. Deinizione di relazione Deinizione intuitiva di relazione: si dice relazione l associazione tra elementi di due o più insiemi. Detto in modo più rigoroso: si dice relazione qualsiasi sottoinsieme del prodotto cartesiano tra due o più insiemi. Se la relazione è tra due insiemi si dice binaria. Se gli insiemi sono numerici, la relazione si dice numerica. La relazione è un insieme di ennuple (n-ple) o anche un insieme di vettori. Se la relazione è binaria è un insieme di coppie. Nel seguito ci occuperemo solo di relazioni binarie numeriche. { } Es. l insieme (, )(,3)(, 6)(, )(, 3) è associato a e a 3 La relazione descritta associa gli elementi dell insieme {,, } agli elementi dell insieme {, 3,,3,6} (secondo insieme) è una relazione: è associato a e a 3, è associato a 6, (primo insieme o dominio)

2 0 ottobre 008 A. MARTINI Castelranco Veneto (TV) 5. Deinizione di unzione Dato il prodotto cartesiano A B, si dice unzione una relazione che associa ogni elemento del primo insieme A ad uno e un solo elemento del secondo insieme B. L insieme A è detto dominio e spesso indicato con D. Nel seguito ci occuperemo solo di unzioni numeriche. { } Es. l insieme (,3)(, 6)(, 3) associato solo a 3. è una unzione: è associato solo a 3, è associato solo a 6, è La relazione descritta associa gli elementi dell insieme {,, } agli elementi dell insieme { 3, 3, 6} (secondo insieme) Una unzione può essere data mediante una tabella: (primo insieme o dominio) y Oppure mediante un espressione algebrica: y ( ) 3 Dominio {,, } Oppure mediante un diagramma (graico) nel piano cartesiano i cui punti hanno come coordinate i vettori della unzione: Se il dominio è costituito dai numeri reali (o da un loro sottoinsieme) l espressione y ( ) corrisponde nel piano cartesiano a una linea continua. Esempio: sia data la unzione: y ( ) 3 Tale unzione corrisponde nel piano cartesiano alla linea: Dominio R y

3 0 ottobre 008 A. MARTINI Castelranco Veneto (TV) 3 Esempio: sia data la unzione: y ( ) Dominio R Tale unzione corrisponde nel piano cartesiano alla linea: 6. Funzioni monotòne Una unzione numerica si dice monotòna strettamente crescente se D Una unzione numerica si dice monotòna strettamente decrescente se D < ( ) < ( ) < ( ) > ( ) D è il dominio (primo insieme) della unzione. Esempio: il quadrato di un numero positivo è una unzione crescente, il quadrato di un numero negativo è decrescente. 7. Classiicazione delle unzioni Si distinguono: unzioni iniettive: ( ) y dato y ha al più una soluzione es., y Z unzioni suriettive: ( ) y dato y ha almeno una soluzione es., y R unzioni biiettive: sono sia iniettive sia suriettive es., y R 3

4 0 ottobre 008 A. MARTINI Castelranco Veneto (TV) 8. Composizione di unzioni Date le seguenti unzioni: A B : ( ) e C D g : ( ) a condizione che D A si deinisce la unzione composta g C B ( g( )) A C D B g Ad esempio possiamo comporre le unzioni g :, 0 con : +, R Si ottiene g +, 0 In questo caso il codominio di g è R + R dominio di. Nello stesso esempio la unzione composta g non sarebbe propriamente possibile perché il codominio di comprende i numeri negativi esclusi dal dominio della unzione g. Possiamo comporre le due unzioni solo se restringiamo il dominio di ponendo. Se le unzioni da comporre ossero :, e g :, R la unzione composta g non esisterebbe (perché?). 9. Proprietà della composizione di unzioni La composizione di unzioni non è commutativa, è associativa ammette l elemento neutro che è la unzione I : detta unzione identità o identica. Se le componenti e g sono unzioni biiettive, anche la composta g è biiettiva. Se e g sono entrambi monotone crescenti o decrescenti la composta g è crescente Se e g sono entrambi monotone, una crescente l altra decrescente, la composta g è decrescente 4

5 0 ottobre 008 A. MARTINI Castelranco Veneto (TV) 0. Funzione inversa L inversa di una unzione, se esiste, è tale che: e Una unzione è invertibile, cioè ammetta l inversa, se e solo se è biiettiva. ( o almeno iniettiva, considerando come secondo insieme solo il codominio). Si veriica acilmente che ( ) g g e ( ) Sia una unzione invertibile e la sua inversa, le equazioni ( ) e ( y) sono equivalenti e descrivono entrambi il graico di Invece scambiando tra loro le variabili, y (ossia eettuando una simmetria rispetto alla bisettrice ) la seconda equazione diventa ( ) e descrive il graico di. Una unzione : A A : I cioè tale che si dice involutoria. Per quanto riguarda le unzioni reali di variabile reale è immediato osservare che se una unzione è monotona, strettamente crescente o strettamente decrescente nel suo dominio essa è sicuramente invertibile: strettamente crescente (decrescente) invertibile Condizione suiciente (non necessaria) perché una unzione sia invertibile è che la unzione sia strettamente crescente o descrescente. La condizione è solo suiciente e non necessaria perché non vale anche il contrario: esistono unzioni non crescenti né decrescenti e invertibili: un esempio è ornito dalla unzione 5

6 0 ottobre 008 A. MARTINI Castelranco Veneto (TV) che non è crescente in nessun intervallo di R, eppure è invertibile in quanto biunivoca: addirittura si tratta di un esempio in cui l inversa coincide con la unzione stessa. Esercizi ) Sia g e g : determinare la unzione. Soluzione Poiché ( g) essendo g + possiamo ricavare : g + + ) Sia e g 3 : determinare la unzione g 3) Sia g e g 3 : determinare la unzione 6