Appunti ed esercizi su: La rappresentazione cartesiana di funzioni, equazioni, disequazioni

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1 LEZIONI ED ESERCITAZIONI DI MATEMATICA Prof. Francesco Marchi 1 Appunti ed esercizi su: La rappresentazione cartesiana di funzioni, equazioni, disequazioni 15 aprile Per altri materiali didattici o per informazioni: Blog personale: francescomarchi.wordpress.com Indirizzo fra.marchi@yahoo.it

2 1 Lettura di grafici 1.1 Esercizio 1 In riferimento al grafico di figura 1(a), stabilire se le seguenti affermazioni sono vere o false: 1. f( 0.5) > 0; 2. f(1) < 0; 3. f(8973, 8) < 0 4. f( 456) > Esercizio 2 In riferimento al grafico di figura 1(b), stabilire il segno delle seguenti quantità: g(45698); g(1); g( 21) (a) (b) Figura 1: Grafici relativi all esercizio Esercizio 3 Dato il grafico in figura 2, stabilire se le seguenti affermazioni sono vere o false. 1. La funzione è positiva per x > 0 2. La funzione ha due asintoti 3. La funzione vale zero per x = x 1, x = x 2, x = x 5 4. La funzione non ha asintoti orizzontali 5. f(0) = x 1 6. lim x + f(x) = x 5 7. lim x x5 f(x) = + 1

3 Figura 2: Grafici relativi agli esercizi della sezione??. 1.4 Esercizio 4 Dato il grafico in figura 3, stabilire se le seguenti affermazioni sono vere o false. 1. La funzione è positiva per x > 5 2. f è negativa nel seguente insieme: (, 3) (0, x 1 ) (x 2, + ) 3. f( 2) > 0 4. x = x 2 è un asintoto verticale 5. lim x x2 f(x) = + 6. f è positiva per x > 0 7. f( 5) > 0 8. lim x x 2 f(x) = 9. La funzione ha un asintoto orizzontale Figura 3: Grafici relativi agli esercizi della sezione??. 1.5 Esercizio 5 In riferimento al grafico in figura 4(a), completa la tabella 1. 2

4 Tabella 1: Tabella relativa all esercizio 5 condizione risposta punti assegnati f(x) è crescente in... ]B; 2[ 10 f(x) 0 in... ], A[ ]0, + [ 10 f(x) < 0 in f( 2) x ]A, 0[ f(x)... f(10) 10 f(10)... f(b) 10 f(a) = f(a)... f(b) 10 B... A 10 3

5 Tabella 2: Tabella relativa all esercizio 6 condizione risposta punti assegnati 10 > 0 falso 10 f( 10) > f(0) 10 f(...) = 6 10 f(x) = 0 se x = x > a f(x) f(x) < 0 per x = f(x) > 0 x > a 10 f(x) 0 per x = Esercizio 6 In riferimento al grafico in figura 4(b), completa la tabella 2. (a) Grafico relativo all esercizio 5. (b) Grafico relativi all esercizio 6. Figura 4: Grafici relativi agli esercizi 5 e Esercizio 7 In riferimento al grafico in figura 5, completa la tabella 3. 4

6 Tabella 3: Tabella relativa all esercizio 7 condizione risposta punti assegnati 6 > b 10 f(b) > f(6) 10 f(x) = 0 in g(x) > f(x) in R 10 g(x) > 0 in R 10 f(x) 0 in f(c) = 6 10 c g(x) < f(x) in x = 0 f(x) = b 10 x [a, b] f(x) > < x < a f(x) < 0 10 f(x) < 0 0 < x < a 10 g(x) è crescente in g(x) è decrescente in < g(5) <

7 Figura 5: Grafico relativo all esercizio Esercizio 8 In riferimento al grafico in figura 10, completa la tabella 4. 6

8 Tabella 4: Tabella relativa all esercizio 8. condizione risposta punti assegnati f(4) = f( 3) = 1 10 f( 5) = f(b) = x > c f(x) < < f(4) 10 f(...) = 0 10 sia x > c; allora f(x) < f( 3) 10 la soluzione della disequazione f(x) > 0 è... ], a[ ]b, c[ 10 la soluzione della disequazione f(x) 0 è la soluzione della disequazione f(x) < 0 è la soluzione della disequazione f(x) 0 è

9 Figura 6: Grafico relativo all esercizio 8. 2 Date alcune condizioni, abbinare il grafico che le soddisfa tutte 2.1 Esercizio 1 DIVERSI ERRORI, DA RIVEDERE Di una certa funzione f(x) si sa che: f( 4) = f(4) la retta di equazione y = 6 è un asintoto orizzontale la funzione ha nel punto x = 3 una discontinuità eliminabile Determinare quale fra i grafici proposti in Figura 7 rappresenta la funzione f(x). 2.2 Esercizio 2 DIVERSI ERRORI: DA CORREGGERE Di una certa funzione f(x) si sa che: lim x 3 + f(x) = + f(4) > 0 lim x + f(x) > lim x f(x) Determinare quale fra i grafici proposti in figura 8 rappresenta la funzione f(x). 8

10 (a) (b) (c) (d) Figura 7: Grafici relativi all esercizio Esercizio 3 Di una certa funzione f(x) si sa che: La funzione non è definita per valori positivi delle x lim x f(x) = π La retta di equazione x = 6 è un asintoto verticale destro La funzione è positiva per x ( 8, 0) Determinare quale fra i grafici proposti in Figura 9 rappresenta la funzione f(x). 9

11 (a) (b) (c) (d) Figura 8: Grafici relativi all esercizio 2. 3 Date alcune condizioni, inventare un grafico plausibile Nei seguenti esercizi si chiede di: 1. Stabilire se esiste una funzione il cui grafico soddisfa tutte le condizioni proposte. 2. Nel caso in cui tale funzione esista, disegnarne un grafico compatibile con tali condizioni. 3. Nel caso in cui tale funzione non esista, togliere il minimo numero di condizioni fra quelle richieste e disegnare un grafico che soddisfi tale insieme, ridotto, di condizioni. Nota: quando si dice, ad esempio, che la funzione deve essere positiva in ] 4, 10], si intende che deve essere positiva solo in tale intervallo (e di conseguenza, altrove, sarà negativa o nulla - o non definita). Idem quando si dice che deve essere crescente in un dato insieme, e così via. 3.1 Esercizio 1 Disegnare il grafico di una funzione che: 1. Sia positiva per x < 2 e negativa per x > 2 2. Abbia la retta di equazione x = 2 come asintoto verticale 3. Abbia un asintoto orizzontale 10

12 (a) (b) (c) (d) Figura 9: Grafici relativi all esercizio Esercizio 2 Disegnare il grafico di una funzione che: 1. Abbia per dominio R { 7; 6} 2. Sia positiva per x < 3 e per 5 < x < 7 3. Abbia la retta di equazione y = 3 come asintoto orizzontale sinistro 3.3 Esercizio 3 Disegnare il grafico di una funzione tale che: 1. Sia crescente in ], 2[ 2. f > 0 in ] 5, + [ 3. f(0) = Esercizio 4 Proporre un esempio di algoritmo o diagramma di flusso per risolvere gli esercizi della tipologia proposta in questa sezione Il diagramma di flusso Un abbozzo di soluzione, realizzata con il software yed graph editor, è proposto in figura L algoritmo Introducendo una variabile contatore, è possibile, sulla base del diagramma di flusso, ideare una procedura algoritmica per la soluzione del problema. 11

13 Figura 10: Grafico relativo all esercizio Esercizio 5 Disegnare il grafico di una funzione tale che: 1. x > 2 f(x) < < x < 5 f(x) è decrescente 3. f( 6) < f( 5) 3.6 Esercizio 6 Disegnare il grafico di una funzione tale che: 1. f(0) = f( 2) + 3 ( ) 2. x ], 4[ ]2, + [ f(x) > 0 3. f(x) = 0 se x { 4, 2} 3.7 Esercizio 7 Disegnare il grafico di una funzione tale che: 1. f è crescente in ] 2, 2[ ]4, 6[ 2. f > 0 in ]0, + [ 3. f( 3) < f(1, 976) 3.8 Esercizio 8 Disegnare il grafico di una funzione tale che: 1. Ha due asintoti verticali 2. Ha un asintoto orizzontale solo a 3. E decrescente in ] 4, π[ ] π 5, 6.174[ ]10, + [ 4. f(3) 0 12

14 3.9 Esercizio 9 Disegnare il grafico di una funzione tale che: 1. Ha la retta di equazione y = 6.5 come asintoto orizzontale 2. Non ha asintoti verticali 3. E tale che f( 2) < f(5) < f( 1) 13

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