Unità Didattica N 2 Le Funzioni Univoche Sintesi 1

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1 Unità Didattica N Le Funzioni Univoche Sintesi 1 Unità Didattica N Le funzioni univoche 01) Definizione di applicazione o funzione o mappa 0) Classificazione delle funzioni numeriche 03) Insieme di definizione e dominio di una funzione 04) Restrizione e prolungamento 05) pplicazione suriettiva, iniettiva, biiettiva 06) Estremi di una funzione, funzioni limitate 07) Funzioni monotone 08) Le funzioni pari e dispari e la simmetria rispetto agli assi cartesiani 09) Funzione inversa 10) Funzione composta

2 Unità Didattica N Le Funzioni Univoche Sintesi Definizione di funzione univoca Dati due insiemi non vuoti e B (eventualmente coincidenti ) definiamo funzione univoca di verso B una legge ƒ,di natura qualsivoglia, che ad ogni elemento elemento = f B. In simboli abbiamo : : : f B f = B e leggiamo : associa un solo << ƒ di verso B che associa ad ogni elemento un solo elemento = f ( ) B >>, oppure, più semplicemente, f f ( ) f : ( ƒ che porta in ) : ( ƒ che porta in ƒ() ) è detto insieme di partenza, B è detto insieme di arrivo L ' elemento f ( ) B si chiama valore di in ƒ o immagine di tramite ƒ o corrispondente di in ƒ. Si dice pure che è la controimmagine di f ( ) L ' insieme è detto dominio della funzione ƒ o ( insieme di esistenza ) e può B essere indicato con uno dei seguenti simboli : dom ƒ, D, D f, C e, E, I L'insieme delle immagini prende il nome di codominio della funzione ƒ e può essere indicato con uno dei seguenti simboli : codom ƒ, C f, ƒ(). In generale risulta : ƒ() B L ' insieme G formato dalle coppie ordinate (, ), f ( ) = tale che risulti: {(, ) : B } G = B f f = prende il nome di grafico della funzione ƒ e si indica col seguente simbolo : G( f ) Risulta : G( f ) = B Se riferiamo il piano ad un sistema ortonormale di assi cartesiani, allora il grafico della funzione f() è una linea piana avente equazione cartesiana = f(). Essa è la curva piana descritta dal punto P [, f ( ) ] quando la assume tutti i valori del dominio della funzione f(). = G f.

3 Unità Didattica N Le Funzioni Univoche Sintesi 3 Rappresentazione saggittale della funzione f f f() B =insieme di partenza B=insieme di arrivo =dominio di f f() = codominio di f OSSERVZIONE =f() Se non conosciamo l'insieme di partenza, allora diciamo dominio della funzione ƒ l'insieme di tutti gli elementi che hanno immagine o f ( ) appartenente all'insieme di arrivo B. Sia f : una funzione numerica. Dicesi dominio della funzione numerica ƒ l'insieme dei valori numerici che bisogna attribuire alla perché le corrispondenti immagini siano reali e finite. Rappresentazione sagittale di una funzione univoca f f : B: f = B 1 5 J B B f : 10 9

4 4 Unità Didattica N Le Funzioni Univoche Sintesi Il generico elemento dell'insieme prende il nome di variabile indipendente della funzione ƒ. Il corrispondente valore = f B, che rappresenta l ' immagine di tramite ƒ, è detto anche variabile dipendente. Se e B sono insiemi numerici, ƒ è detta funzione numerica. Se ƒ è data mediante una formula, allora il simbolo ƒ rappresenta il complesso delle operazioni che bisogna eseguire sulla per ottenere la corrispondente immagine f ( ) =. Dicesi dominio della funzione numerica f : f ( ) l ' insieme dei valori numerici che bisogna attribuire alla perché le corrispondenti immagini siano reali e finite f ( ) Le scritture ƒ,, = f rappresentano, rispettivamente,una funzione,l'immagine dell'elemento tramite ƒ, l ' equazione cartesiana del grafico di ƒ. Per questo motivo si parla spesso,anche se impropriamente, di funzione = f al posto di funzione ƒ. f ( ) o di funzione Classificazione delle funzioni numeriche Per le funzioni numeriche abbiamo detto che il simbolo ƒ riassume il complesso delle operazioni da eseguire sulla variabile indipendente per ottenere l'immagine ƒ(). Le operazioni da eseguire sulla possono essere algebriche o trascendenti. Sono operazioni algebriche le operazioni razionali ( addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione ) e le operazioni irrazionali ( estrazione di radice ), sono operazioni trascendenti quelle non algebriche che introducono algoritmi più complessi. Una funzione dicesi algebrica quando la variabile indipendente è assoggettata soltanto ad operazioni algebriche, in caso contrario dicesi trascendente. Le funzioni trascendenti più semplici sono : 1) la funzione esponenziale ( a con a > 0 a 1 ) ) la funzione logaritmo ( log a con > 0 e a > 0 a 1 ) 3) le funzioni goniometriche ( sin, cos, tg, cot g, sec, cosec )

5 Unità Didattica N Le Funzioni Univoche Sintesi 5 Le funzioni 1) razionali intere lgebriche ) razionali fratte 3) irrazionali Funzioni 1) goniometriche Trascendenti ) logaritmiche 3) esponenziali algebriche sono quelle funzioni per le quali le operazioni che agiscono sulla variabile indipendente sono : l'addizione, la sottrazione, la moltiplicazione, la divisione, l ' elevamento a potenza, l ' estrazione di radice. Le funzioni algebriche prendono il nome di funzioni razionali intere se le operazioni da eseguire sulla variabile indipendente sono solo addizioni,sottrazioni, moltiplicazioni ed elevamento a potenza. Quando in aggiunta vi è anche l ' operazione di divisione si hanno le funzioni razionali fratte. Se compaiono le estrazioni di radici abbiamo le funzioni irrazionali. Una funzione ƒ è espressa analiticamente quando le immagini f ( ) si ottengono mediante almeno una delle seguenti operazioni : addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisioni, elevamento a potenza, estrazione di radice e di logaritmo, calcolo di funzioni goniometriche o di funzioni goniometriche inverse,.. Una funzione esprimibile analiticamente e che non sia algebrica si dice funzione trascendente. = + 1 ( 1)( ) = + = funzioni razionali intere 1 l funzione razionale fratta = + = funzioni irrazionali = 5 ( 1) = ln + funzioni trascendenti

6 6 Unità Didattica N Le Funzioni Univoche Sintesi Funzioni esponenziali Funzioni algebriche Funzioni trascendenti logaritmiche Razionali irrazionali Sulla si esegue almeno una volta una operazione irrazionale. 3 = 5 + goniometriche intere fratte = + 1 La non è assoggettata alla operazione di divisione. P f ( ) è un polinomio 5 Esempio : = La è assoggettata alla operazione di divisione. f = B = è il rapporto di due polinomi Insieme di definizione e dominio di una funzione Dicesi insieme di definizione ( I.D. ) di una funzione f ( ) l'intervallo o l unione di intervalli in cui essa va studiata. Dicesi dominio o insieme di esistenza della funzione f ( ) f ( ) il sottoinsieme dell'insieme di definizione nel quale la funzione se 50 = + 1 se > 50 I.D. = R dom f = [ 0, + [ f ( ) è reale e finita. lcuni autori non fanno distinzione fra dominio di una funzione ed insieme di definizione. Per questi autori i due concetti coincidono.

7 Unità Didattica N Le Funzioni Univoche Sintesi 7 Restrizione e prolungamento Consideriamo la funzione : : f B f = B con insieme di partenza e B insieme di arrivo. Sia ' un sottoinsieme di ( ' ). La funzione g che porta ' in B dicesi restrizione di ƒ ad ' e si scrive : : : In ' risulta : g f ( ) =. g B f = B Quindi effettuare una restrizione significa considerare una nuova funzione g che, pur essendo rimasta inalterata la legge di corrispondenza che fa passare dalla alla sua immagine f ( ), differisce dalla ƒ perchè ha un dominio diverso.. Consideriamo la funzione : f : R sin Una sua restrizione è la seguente : Se g : [ 0, π ] sin, la funzione p che porta in B dicesi prolungamento di ƒ su e si scrive : p: B: f B In risulta : p = f( ) pplicazione suriettiva, iniettiva, biiettiva f f()= B 1 3 Una funzione ƒ di in B si dice suriettiva quando ogni elemento di B è immagine di almeno un elemento. In questo caso risulta : f ( ) = B

8 8 Unità Didattica N Le Funzioni Univoche Sintesi f B f ( ) B 5 6 Una applicazione ƒ di in B si dice iniettiva quando a due qualsiasi elementi distinti di corrispondono due elementi distinti di B e le immagini degli elementi di non esauriscono gli elementi di B. In questo caso risulta : f ( ) B.Questo significa che :, : f f cioè elementi distinti dell'insieme di partenza hanno immagini distinte. f f()=b Una applicazione ƒ che sia contemporaneamente iniettiva e suriettiva dicesi biiettiva. Essa dicesi anche corrispondenza biunivoca tra gli insiemi e B. In questo caso ogni elemento dell'insieme B è l'immagine di un solo elemento dell'insieme di partenza, ed ogni elemento è la controimmagine di un solo elemento dell'insieme di arrivo B. caso risulta f ( ) = B. In questo Per la funzione biiettiva ( o corrispondenza biunivoca ) si adopera il seguente simbolo : f B oppure : f : B Una funzione biietiva di in B è tale che ad ogni B è immagine di una sola. corrisponde una sola B ed ogni

9 Unità Didattica N Le Funzioni Univoche Sintesi 9 Estremi di una funzione ; funzioni limitate Sia ƒ una funzione numerica definita nell ' insieme. Poichè il codominio di ƒ è un insieme numerico ad esso possono riferirsi tutte le nozioni concernenti gli insiemi numerici introdotte nei paragrafi precedenti. Tuttavia invece di dire che il codominio di ƒ è limitato superiormente, il codominio di ƒ è dotato di massimo, etc.. si preferisce dire, con linguaggio più conciso, che la funzione ƒ è limitata superiormente, la funzione ƒ è dotata di massimo e parlare di maggioranti della funzione ƒ, di estremo superiore della funzione ƒ,... Si dice che la funzione ƒ è limitatata superiormente ( inferiormente ) se il suo codominio codom f = f è limitato superiormente ( inferiormente ). La funzione ƒ si dice limitata in quando il suo codominio è limitato sia inferiormente che superiormente. Se α è un numero maggiorante ( minorante ) dell ' insieme f ( ), si dice che α è maggiorante ( minorante ) della funzione ƒ, e ciò significa che : f ( ) f α ]. [ L ' estremo superiore ( inferiore ) del codominio f ( ) si α chiama l ' estremo superiore ( inferiore ) della funzione ƒ e si indica con uno dei seguenti simboli : sup f, su p, f sup f ( ) [ inf f, inf f, i n f ] f Quando l'estremo superiore ( inferiore ) della funzione ƒ è un valore da essa assunto, cioè quando esiste un punto o ( 1 ) di tale che : f ( o ) = sup f [ f ( ) 1 = inf f ] diciamo che la funzione ƒ è dotata di massimo ( di minimo ), e l'estremo superiore ( inferiore ) si chiama, più precisamente, il massimo ( il minimo ) della funzione ƒ, e si indica con uno dei seguenti simboli :, ma f ma f ( ) [ m, Ogni punto nel quale la funzione assume il suo in f min f ( ) chiama punto di massimo ( di minimo ) della funzione. massimo ( minimo ) valore si Se la funzione ƒ non è limitata superiormente ( inferiormente ) essa è sprovvista di maggioranti ( minoranti ) e pertanto qualunque sia il numero reale α esiste almeno un punto ( e quindi ne esistono infiniti ) tale che : f α > α [ f ( α ) α < α ] e si conviene di attribuire alla funzione ƒ l'estremo superiore + ( l'estremo inferiore ) e si scrive : sup f = + [ inf f = ].

10 10 Unità Didattica N Le Funzioni Univoche Sintesi Se la funzione ƒ è limitata sia superiormente che inferiormente si dice semplicemente che ƒ è limitata. La differenza ( non negativa ) ω f = sup f inf f si chiama l ' oscillazione della funzione ƒ. L ' oscillazione è finita se, e soltanto se, la funzione ƒ è limitata. Se la funzione ƒ non è limitata si dice che ha oscillazione +. La funzione ƒ ammette il massimo assoluto se essa è inferiormente limitata e se in esiste un punto 1 in cui risulta f 1 = inf f. Si dice che ƒ ammette in il massimo assoluto se essa è superiormente limitata e se in esiste almeno un punto o in cui risulta f ( ) massimo assoluto M, a volte, vengono indicati rispettivamente con : m o = sup f. Il minimo assoluto m ed il = min f M = ma f Funzioni monotone Consideriamo la funzione f : B: f ( ) B ed indichiamo con 1 ed due punti qualsiasi dell intervallo [a,b]. Una funzione ƒ() si dice : 1) strettamente crescente nell intervallo [a,b] se :, [ a, b]: > f ( ) > f ( 1 1 1) ) semplicemente crescente in [a,b] se :, [ a, b]: > f ( ) f ( ) ) strettamente decrescente in [a,b] se :, [ a, b]: > f ( ) < f ( ) ) semplicemente decrescente in [a,b] se :, [ a, b]: > f ( ) f ( ) ) strettamente monotona in [a,b] se è ivi strettamente crescente o strettamente decrescente 6) semplicemente monotona in [a,b] se è ivi semplicemente crescente o semplicemente decrescente 7) monotona in [a,b] se è ivi strettamente monotona o semplicemente monotona. f( ) P f( 1 ) P 1 O a 1 b O a b Funzione strettamente crescente Funzione semplicemente crescente

11 1 Unità Didattica N Le Funzioni Univoche Sintesi f( 1 ) P 1 f( ) P O a 1 b Funzione strettamente decrescente O a b Funzione semplicemente decrescente Le funzioni pari e dispari e la simmetria rispetto agli assi cartesiani Una funzione : : f B f = B si dice pari se risulta : f ( ) = f ( ) si dice dispari se risulta : f ( ) = f ( ). Per simmetrie evidenti intendiamo le simmetriche rispetto agli assi cartesiani ed alla loro origine, le simmetrie rispetto alle bisettrici degli angoli formati dagli assi cartesiani e le simmetriche rispetto alle rette orizzontali ed alle rette verticali. volte è utile stabilire se il G( f ) è simmetrico rispetto ad una generica retta del piano o rispetto ad un generico punto del piano. 1) f ( ) = f ( ) G( f ) simmetrico rispetto all'asse delle ordinate. f ( ) è una funzione pari. In questo caso basta studiare la funzione nell'intervallo [ 0, + [ ed estendere per simmetria i risultati ottenuti al resto del dominio. ) f ( ) = f ( ) G( f ) simmetrico rispetto all'origine degli assi cartesiani. f ( ) è una funzione dispari. nche in questo caso basta studiare la funzione nell'intervallo [ 0, + [ ed estendere per simmetria i risultati ottenuti al resto del dominio.