1 PROPRIETA' GENERALI DELLE FUNZIONI. FUNZIONE: Relazione tra due insiemi A e B che associa ad ogni elemento di A uno ed un solo elemento di B.
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1 PROPRIETA' GENERALI DELLE FUNZIONI FUNZIONE: Relazione tra due insiemi A e B che associa ad oni elemento di A uno ed un solo elemento di B.
2 6 C ; Funzione iniettiva. Una unzione - elemento di B. 6 si dice iniettiva ad oni elemento di A corrisponde uno ed un solo La deinizione equivale ad aermare che, dati due elementi distinti loro immaini condo la unzione sono tra loro distinte:, A A e A, le Funzione suriettiva. Una unzione si dice suriettiva oni elemento di B è immaine di almeno un elemento di A. La deinizione equivale ad aermare che il codominio coincide con l'insieme B. Funzione biunivoca. Una unzione si dice biunivoca è sia iniettiva che suriettiva. La equivale ad aermare che ad oni elemento di A corrisponde uno ed un solo elemnto di B e viceversa, oni elemento di B è immaine di uno ed un solo elemento di A per cui, si dice che la corrispondenza è uno a uno.
3 Funzione numerica. Una unzione : A B è numerica li insiemi A e B sono insiemi numerici. Si intende, non speciicato diversamente, che li insiemi numerici della deinizione data siano sottoinsiemi dei numeri reali e, in questo caso, si dice unzione reale di variabile reale. Quindi, ad oni valore numerico appartente ad A corrisponde un dato valore numerico appartenente a B. Variabile indipendente () : è l'insieme dei valori numerici dell'insieme di partenza A e coincide pertanto con il dominio. Variabile dipendente (y): è l'insieme dei valori corrispondenti ai valori dati alla variabile e coincide pertanto con il codominio. Notiamo qui che nella terminoloia corrente le lettere rirvate alle due variabili indicano anche i sinoli valori di volta in volta attribuiti condo una data unzione. Le unzioni comunemente e principalmente considerate in matematica sono quelle deinite da ormule esplicite, ovvero da delle equazioni al cui primo membro compare la variabile dipendente y e al condo membro la variabile indipendente che compare in espressioni analitiche che comportano vari tipi di operazioni che denominano le unzioni; queste possono esre alebriche sono prenti in numero inito operazioni di somme, prodotti, divisioni, elevamenti a potenza ed estrazioni di radice, oppure possono esre trascendenti, come potenze, esponenziali e loaritmi, comportano un numero ininito di operazioni alebriche tra quelle elencate. Inoltre, le unzioni alebriche si calssiicano al loro volta in razionali la variabile non si trova entro delle radici e irrazionali invece compaiono le radici. Inine, si distinuono le unzioni intere, come i polinomi, dalle unzioni ratte, nelle quali la è prente in almeno un denominatore.
4 Funzioni deinite per casi, sono unzioni rapprentate da più ormule, una per ciascuno dei sottointervalli la cui unione costituisce il loro dominio di deinizione. I raici delle unzioni deinite per casi sono, in enere, costituiti dall'unione di tratti di che rapprentano ciascuno deli intervalli che ormano il loro dominio e, nei punti estremi di ciacsuno deli intervalli, i tratti possono esre raccordati in modo continuo (nza salti) oppure discontinuo quando i valori numerici destro e sinisto sono diversi tra loro. La costruzione dei raici delle unzioni deinite per casi richiede la stesura di tabelle con un suiciente numero di valori attribuiti alle due variabili per onuna delle diver espressioni nei rispettivi intervalli di deinizione. Empio : Empio : y y Si noti come i due tratti, la parabola per e la retta per >, si raccordino nel punto (,) per cui la unzione si deinisce come continua per tale valore In questo empio i due tratti della unzione, quello sinistro per <0 e quello destro per 0, non si raccordano nel valore =0, dove hanno invece un salto di 8 unità per cui la unzione è detta discontinua in tale punto.
5 Funzione inversa. La unzione inversa di una unzione biunivoca : A B è la unzione biunivoca : B A che associa ad oni y B il valore A tale che y (). La simboloia delle unzioni e loro inver è la uente: : A B, : A B, : y, : y, y y Data R una unzione biunivoca nell'insieme dei numeri reali, la unzione inversa si ottiene isolando la variabile al primo membro della ormula mentre al suo condo membro deve comparire la y; per potere rapprentare la unzione come raico nel sistema cartesiano insieme alla unzione di partenza, occorre scambiare le lettere delle variabili nell'equazione e, a uito di tale trasormazione, i due raici hanno la proprietà di esre simmetrici rispetto alla retta bittrice di equazione y=. Le unzioni biunivoche nel dominio intero dei numeri reali sono mpre invertibili mentre nel caso di unzioni non biunivoche, è mpre possibile considerare una restrizione del dominio ad un insieme più piccolo nel quale es siano biunivoche. Empio : y y y y Empio: la unzione uente è invertibile solo per 0: y y y y : - y : y : - y : y - y -
6 Funzione composta di due unzioni : A B e : B C è la unzione : A C che associa l'elemento A all'elemento C ue y. y, tali che, da z e y z In altri termini la unzione composta di due unzioni è una terza unzione che associa direttamente li elementi (i valori per le unzioni numeriche) del dominio della prima unzione al codominio della terza unzione. Nei casi pratici l'uso delle lettere intermedie, come la z, scompare poichè per ottenere la unzione composta di due date unzioni, espres entrambe in termini della lettera, è suiciente sostituire al posto della stessa l'intera espressione della conda unzione. Empio : si considerino le due uenti unzioni deinite nel campo dei numeri reali: e unzione vale 8. L'immaine di un dato valore, ad empio, per la prima mentre il corrispondente valore di 8 per la conda unzione vale 8 8. La unzione composta delle due unzioni è quella che associa direttamente i due valori 8 e viene così determinata: 6,
7 7 Date due unzioni qualsiasi, B A : e C B :, è mpre possibile scambiare i loro ruoli per ottenere anche a unzione composta A C : ; tuttavia, l'operazione di composizione di due unzioni non è commutativa:. Inatti, dall'empio precedente, costruiamo la unzione composta : Conermiamo quindi, che le due unzioni composte sono diver tra loro:. In alcuni casi particolari, limitatamente a dominii che rispettano le condizioni di esistenza delle unzioni, può accadere che le due unzioni composte siano uuali come nell'empio che ue. Empio. Determinare le unzioni composte delle unzioni:,. Si suppone che vala la condizione di esistenza del radicale: 0.,. Il risultato della ultima radice sono due espressioni opposte, a conda del no di :,,. Ne conue:,, Pertanto, limitatamente al caso, si ha. Empio. Determinare le unzioni composte delle unzioni:,. Si suppone che sia rispettata la condizione di esistenza della razione:.. ;
8 8
9 Funzioni potenze, esponenziali e loaritmiche La unzione elementare potenza, descritta dall'equazione a y, con a numero irrazionale e 0 è deinita nell' insieme dei numeri reali positivi: a :. Il numero irrazionale all'esponente, avendo un numero ininito di cire decimali non periodiche, può esre approssimato da due rie di numeri, per dietto e per eccesso. Ad empio:,,,,......,,,, Quindi, anche l'operazione di elevamento di un dato numero positivo ad esponente irrazionale può esre deinito da un processo di approssimazione ininito per mezzo di due rie di numeri, quelli per dietto e quelli per eccesso. Considerando ad empio =, si ha:,,,,,, Gli esponenti delle rie dei numeri approssimati sono decimali ovvero razioni e, pertanto, si, possono considerare delle radici per la proprietà dei radicali: m n n m, m, nn Ad empio:, Notiamo anche che per ottenere il valore esatto dell'operazione occorre euire un...,... numero ininto di operazioni alebriche: Le unzioni trascendenti, quali sono le potenze in campo reale, venono così classiicate in ba al numero ininito di operazioni alebriche necessarie per ottenere un risultato esatto. I due raici che uono si associano alle tabelle delle rispettive unzioni potenza con esponente e i risultati dei calcoli in es contenuti sono approssimati ad un solo decimale anche li strumenti inormatici ed i sotware per il calcolo automatico permettono numeri di cire molto alti. y 0 0 y y 0 0 y
10 Le unzioni potenza con ba variabile, del tipo y a con a, hanno come comune condizione di esistenza la non neatività della ba: 0. Empio : y. CE: Empio : y. CE: 0 D,,. 0 0 D, y y y y y Le unzioni potenza con ba variabile ed esponente variabile, del tipo y hanno, come condizione di esistenza, il sistema ormato dalla positività della ba e dalle eventuali condizioni di esistenza dell'esponente quando sono prenti. Empio : y. CE: / Empio : y. CE: 0 0 D,. 0 D 0, 0 0,. y y y y 0
11 La unzione esponenziale elementare con ba positiva ed esponente reale è così deinita: a, y a, a 0 a Le unzioni esponenziali con ba a mostrano un andamento crescente: y ; le unzioni esponenziali con ba 0 a hanno un, : y andamento decrecente:, : y y. Le unzioni esponenziali, i cui raici passano tutti per il punto A(0;), per valori via via più randi della variabile tendono a valori illimitati sono crescenti con a ad conondersi con l'as orizzontale delle (asintoto orizzontale ) sono decrescenti con 0 a. Inoltre, per valori della variabile neativi e mpre pù lontani dall'oriine, le unzioni con a tendono a conondersi con l'as (asintoto orizzontale) mentre quelle con 0 a assumono valori mpre più randi. y a, a y ESPONENZIALI E POTENZE: GRAFICI A CONFRONTO y y a, 0 a y y A y A y Le unzioni esponenziali elentari esistono er oni valore reale e sono nza condizioni di esistenza. Dei due empi che uono si noti la reciproca simmetria delle rispettove unzioni rispetto all'as verticale. Empio: y D,. y y A y Empio : y D, y y A y
12 La unzione loaritmica elementare è la unzione inversa dell unzione esponenziale: Lo a y, y Loa a, a 0 a Il loaritmo Lo a al condo membro dell'equazione di deinizione è deinito solo per 0, e il suo raico mostra come la unzione assuma valori tendenzialmente illimitati (verso l'alto per a o verso il basso per 0 a ) all'avvicinarsi del valore 0 mentre mostra un andamento crescente nel primo caso e un andamento decrescente nel condo. Inoltre, entrambi i raici passano per il punto A(; 0) 0 esndo: 0 a Lo a. Inoltre, in ba all'esponente, i valori assunti dalla unzione li estremi del suo dominio sono: a y 0 a y 0 Loa 0 a 0 ; y Lo a a 0 Lo 0 a 0 ; y Lo 0 a 0 a a a Ad empio, mostriamo di uito i raici delle unzioni loaritmo in ba e in ba a /: y /8-8 Lo y y /8 8 y Lo / - / / - / A(; 0) 0 0 A(; 0) Le unzioni esponenziali composte del tipo loro esponente a y hanno come condizione di esistenza quelle relative al, mentre per le unzioni loaritmiche composte del tipo y deve esre risolta la condizione di esistenza dei loarimi: 0. Lo a 0 y CE : 0 D, Empio :. Empio : y Lo CE : D, 0,.
13 Funzione strettamente crescente : Crescenza e decrescenza è così deinita una unzione () di dominio D R in un intervallo I D, per oni, I da ue: I=[, ]. Funzione strettamente decrescente : è così deinita una unzione () di dominio D R in un I=[, ] intervallo I D, per oni., I da ue: Empio di unzione crescente in un intervallo: Empio di unzione decrescente in un intervallo: y I, y I, 0 Funzione monotona in nso stretto un intervallo I D si dice una unzione che è mpre strettamente crecente oppure strettamente decrescente in tale intervallo.
14 Esistono unzioni che hanno valori costanti della variabile dipendente y in uno o più intervalli del loro dominio e, di es si ornisono di uio le deinizioni e li empi relativi al loro andamento: Funzione non decrescente (o crescente in nso lato): Funzione non decrescente (o decrescente in nso lato): È tale una unzione () di dominio D ℝ è tale una unzione () di dominio D ℝ in un in un intervallo I D, per oni, I, da intervallo I D, per oni, I, da ue:. ue:. 0 0 Empio: y 8 Empio: 8 y 8 Non decrescente in, Non crescente in,
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