Funzioni. Definizione Dominio e codominio Rappresentazione grafica Classificazione Esempi di grafici Esercizi

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1 Funzioni Definizione Dominio e codominio Rappresentazione grafica Classificazione Esempi di grafici Esercizi Materia: Matematica Autore: Mario De Leo

2 Definizioni Una quantità il cui valore può essere cambiato continuamente, anche in modo arbitrario, è detta variabile. Una quantità il cui valore è sempre uguale è detta costante. Definiremo, in un primo momento, funzione una legge che lega due variabili in modo tale che al variare dei valori della prima variabile cambiano anche i valori della seconda (se ad ogni valore della prima variabile corrisponde uno ed un solo valore della seconda si dirà funzione ad un solo valore; in caso contrario si dirà a più valori). La variabile i cui valori cambiano arbitrariamente è detta indipendente, l altra, i cui valori cambiano in funzione di quelli assegnati alla prima, è detta dipendente. Quando tali variabili sono rappresentate per mezzo di lettere [ad esempio alla indipendente e alla dipendente] e sono legate tramite una uguaglianza si dirà che la seconda è funzione della prima e si scrive: f() [si legge uguale effe di ]

3 Le funzioni possono essere: empiriche: nel caso si ottengano per mezzo di rilevamenti successivi (ad esempio la temperatura giornaliera rilevata ogni ora); matematiche: quando esiste una formula (relazione, uguaglianza) che permette di ottenere, con calcoli più o meno semplici, il valore di una volta assegnato quello di. Ad esempio l area di un quadrato cambia in funzione della lunghezza del suo lato: l ; A Definizione di funzione matematica (Dirichlet): Dati due insieme non vuoti A e B, si chiama applicazione o funzione di A in B una relazione che fa corrispondere ad ogni elemento A B uno ed un solo elemento

4 Dominio e codominio L insieme A è detto insieme di esistenza o di definizione (oppure campo di esistenza), o anche dominio della funzione stessa, e si indica con D (oppure C.E.); è l insieme dei valori reali che si possono attribuire alla variabile indipendente affinché si ottenga un valore reale della. L insieme B è detto codominio (oppure insieme delle immagini) della funzione e si indica con f(a) o con C; è l insieme dei valori assunti dalla. Condizione di appartenenza: Un punto P appartiene a una funzione se sostituite le sue coordinate e nell uguaglianza essa risulta verificata. ESEMPIO: A (;) () (il punto appartiene alla rappresentazione grafica della funzione)

5 Rappresentazione grafica Le funzioni possono essere rappresentate nel piano per mezzo di un sistema di assi cartesiani unendo i punti dati dalle coppie ordinate di valori che hanno come ascissa i valori della variabile indipendente e come ordinata i valori della variabile dipendente. Ciò potrà essere ottenuto per mezzo di una tabella. Esempio: f (-) (-) -6 - f (-) (-) - f (0) (0) 0 f () () f () () 0

6 Classificazione (funzioni algebriche) Razionali intere (hanno la solo al numeratore): ) 6 ; ) ; ) Il loro campo di esistenza (dominio) è dato da tutti i valori reali della. Scriveremo per tutte: [ R] oppure [ ] oppure tutti i valori Razionali fratte (hanno la anche, o solo, al denominatore): ) ; ) ; ) Poiché il denominatore di una frazione deve essere sempre diverso da zero, il loro campo di esistenza (dominio) è dato da tutti i valori reali della tranne quelli, se ve ne sono, che annullano il denominatore. Scriveremo: ) 0 oppure R ) oppure R [ di ] [ ] { } 0 [ ] 0 [ R] ) (perché in questo caso il denominatore è sempre 0) [ ] [ R { ; }]

7 Irrazionali (hanno la anche, o solo, sotto radice): Distingueremo due casi: a) La è sotto una radice di indice pari: ) ) ) Poiché il contenuto di una radice di indice pari deve essere sempre maggiore o uguale a zero, il loro dominio si trova ponendo il radicando 0 e risolvendo la disequazione così ottenuta. Scriveremo: ) ) ) ) essendo per essendo analizzando ) e confron tan doli [ ] e in è complessivamente 0 sempre del un per maggiore separatamente deno min atore i grafico di segni ( 0 scopriremo ) [ ] scriveremo [ R] del positivo numeratore che per [ > ] la ( > ) e frazione positivo

8 b) La è sotto una radice di indice dispari: ) ) ) Poiché una radice di indice dispari si può sempre calcolare, anche se il valore al suo interno è negativo, tratteremo tali funzioni, per calcolarne il dominio, come le funzioni razionali. Scriveremo: ) ) ) [ R] [ R] 0 [ ]

9 Classificazione (funzioni trascendenti) Ci limiteremo a classificarle e a fare dei semplici esempi. Esponenziali (hanno la all esponente): a con a numero reale positivo (a > 0) Il loro dominio sarà sempre Logaritmiche (hanno la nell argomento del logaritmo): log con a numero reale positivo e diverso da ( a > 0 a ) a Poiché anche l argomento deve essere positivo il loro campo di esistenza si otterrà ponendolo > 0 e risolvendo la disequazione così ottenuta: Goniometriche: [ R] ( ) > 0 [ > ] Log Il loro campo di esistenza dipenderà dal tipo di funzione: ) ) sen tg [ R] ) cos [ R] π kπ...

10 Esempi di grafici

11 Esercizi Trova il dominio D (C.E.) delle seguenti funzioni: ) ) ) ) 0) 0 9 9) 8) ) 6) 6 ) 8 ) 6 ) 6 ) 8 ) 0) 6 9) 8) 6 ) 6) ) ) ) ) )

12 Soluzioni ) R ) R ) R ) ) 6) ) 8) R 9) 0) ) 8 ) 6 ) ) ) > 6) > ) 8) < 9) R 0) ) ) > ) )