nelcasodigasoliquidi,chenonpossiedonoresistenzaelasticaagli dell onda che si propaga, per cui si parla di onde longitudinali;

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1 Acustica Fondamenti

2 Definizioni L Acustica è la scienza che studia la generazione, propagazione e ricezione di onde in mezzi elastici (solidi, liquidi e gassosi). Per onda acustica si intende ogni moto oscillatorio che, generato da un corpo vibrante (sorgente), si trasmette ad un mezzo elastico. Quando l onda acustica è rilevabile dall orecchio umano essa prende il nome di suono.

3 Definizioni Il fenomeno ondulatorio, connesso con il suono, fa sì che le varie particelle del mezzo in cui esso si trasmette vibrino, propagando così la perturbazione alle particelle vicine. Mentre questa perturbazione, che trasporta sia l informazione i sia l energia, si propaga a distanza, le singole particelle, anche nel caso di fluidi (cioè gas e liquidi), rimangono sempre in prossimità della loro posizione originale. Si hanno cioè delle vibrazioni i i locali li (compressione e rarefazione) di particelle: nelcasodigasoliquidi,chenonpossiedonoresistenzaelasticaagli sforzi di taglio, tali vibrazioni sono sempre parallele alla direzione dell onda che si propaga, per cui si parla di onde longitudinali; al contrario, nel caso dei solidi, che presentano resistenza elastica anche agli sforzi di taglio, ci possono verificare vibrazioni perpendicolari alla direzione dell onda. Tali perturbazioni prendono il nome di onde trasversali.

4 Onda longitudinale

5 Velocità di propagazione del suono Le onde sonore si propagano con velocità caratteristica del mezzo di trasmissione. Mentre la frequenza delle vibrazioni locali dipende dalla sorgente, la velocità di propagazione dipende esclusivamente dal mezzo di trasmissione. Nel caso dei gas ideali, la velocità di propagazione del suono, che indicheremo con c, può essere espressa mediante la seguente relazione: Per aria alla temperatura t di 20 C, la velocità di propagazione del suono sarà pari a:

6 Velocità di propagazione del suono Una relazione semplice come quella espressa dall equazione per i gas non esiste per i liquidi. Tuttavia la velocità di propagazione del suono dipende dalla temperatura del liquido ed in maniera inferiore dalla sua pressione. Dove K, Pa -1, è il coefficiente di comprimibilità del liquido in condizioni adiabatiche. Per acqua distillata:

7 Velocità di propagazione del suono Per un solido, la velocità di propagazione del suono per onde longitudinali, è data da: dove E rappresenta il modulo di Young (o modulo di elasticità) del materiale e ρ è la sua massa volumica. Ad esempio, considerando d unacciaio i con massa volumica pari a 7850 kg/m 3 ed un modulo di Young pari a 207 GPa, la velocità di propagazione sarà pari a:

8 Forma dell onda Poiché si tratta di un fenomeno ondulatorio, il suono potrebbe contenere una sola frequenza, come nel caso di un onda sinusoidale stazionaria, o molteplici frequenze, come nel caso del rumore emesso da un motore di un autoveicolo. Il tipo più semplice di onda sonora è quella rappresentata matematicamente da una sinusoide:

9 Forma dell onda Il valore efficace dell onda è definito dalla seguente relazione: T 1 2 a eff aˆ a ( t ) dt 0 T valore efficace: per onda sinusoidale A a eff 707A 2 0.

10 Equazione delle onde Per quanto detto in precedenza, nel mezzo di propagazione si avranno dunque variazioni di densità e di pressione, entrambe funzioni del tempo e dello spazio: E importante osservare che le variazioni della pressione sonora (vale a dire della differenza tra la pressione istantanea e quella atmosferica) prodotte nel gas dall onda sonora, avvengono in generale così rapidamente da non permettere scambi di calore tra volumi adiacenti. Ecco perché, dal punto di vista termodinamico, le trasformazioni subite dal gas per effetto del fenomeno sonoro si possono considerare adiabatiche.

11 Si considerano fluidi ideali, cioè -omogenei, - isotropi - perfettamente elastici - non dissipativi Combinando opportunamente: Equazione del moto Equazione delle onde Equazione di continuità Equazione di stato (adiabatica)

12 Onde piane Una soluzione importante sono le onde piane, in cui le grandezze acustiche dipendono da un unica variabile spaziale. In tal caso: e la soluzione è la somma di due termini: in cui f e g sono due funzioni arbitrarie e rappresentano rispettivamente un onda che si muove nella direzione positiva delle x e un onda nella direzione opposta, alla velocità c.

13 Onde piane Esempio di onda piana progressiva che si propaga con velocita c. Esempi di onde piane progressive generate da un pistone all interno di un condotto:

14 Relazione di fase tra onde Onde piane p( t) p cos( t 0)

15 Onde sferiche Un secondo tipo di soluzione è quello delle onde sferiche, caratterizzate da simmetria radiale ed emesse da una sorgente puntiforme nello spazio illimitato. In questo caso le grandezze del campo dipendono dalla distanza r dalla sorgente. In coordinate sferiche il laplaciano si scrive: L equazione diventa: Con soluzione per onda progressiva:

16 Impedenza acustica Per un onda piana progressiva la velocità di particella può essere calcolata con l equazione di Eulero applicata alla direzione x: Ciò implica che pressione e velocità hanno lo stesso andamento.

17 Impedenza acustica Il rapporto tra pressione sonora e velocità è costante ed è chiamato impedenza acustica caratteristica del mezzo: Pas m kg 2 m s I valori più elevati si hanno nei solidi (10 7 Pa s/m) In aria a 20º si ha Z 0 = 415 Pa s/m In acqua Z 0 = 1,48x10 6 Pa s/m

18 Impedenza acustica L impedenza acustica caratteristica vale per le onde piane ed è un caso particolare dell impedenza acustica specifica (impedenza acustica per unità di superficie). L impedenza acustica specifica in generale è una quantità complessa Z=R+jX, essendo R la resistenza acustica specifica e X la reattanza acustica specifica.

19 Grandezze fondamentali Intensità sonora L intensità sonora I è la quantità di energia che attraversa una superficie di area unitaria perpendicolare alla direzione di propagazione dell onda. Si misura in W/m 2. Nell intervallo dt per effetto della pressione p le particelle vengono spostate della quantità dx = udt. Il lavoro della forza che agisce sulle particelle (cioè l energia trasferita nel mezzo) è:

20 Grandezze fondamentali Quindi il prodotto della pressione sonora p per la velocità di particella u si puo interpretare come l energia trasferita per unità di superficie e di tempo. Per un onda piana progressiva si ha: Solitamente si usa lintensità l intensità media: ˆ p 2 0 c

21 Grandezze fondamentali Densità di energia sonora In molti casi, soprattutto nella trattazione della propagazione sonora in ambienti chiusi, si fa riferimento alla densità di energia sonora definita come l energia lenergia contenuta in una unità di volume del mezzo. Essa è definita dalla seguente relazione: Essa rappresenta l energia che fluisce nell unità di tempo all interno del volume individuato dal prodotto dell area unitaria per la lunghezza percorsa nell unità di tempo (c).

22 Grandezze fondamentali Potenza sonora La potenza sonora è l integrale dell intensità sulla superficie: Nel caso in cui la sorgente irradi in modo uniforme in tutte le direzioni: Con I s pari all intensità alla distanza r.

23 Campo di udibilità Considerando la propagazione del suono nell aria in condizioni normali, è importante definire il cosiddetto campo dell udibile, ossia il campo di lunghezze d onda (o frequenze) che l orecchio umano può percepire: p si trova che la lunghezza d onda varia all incirca tra λ=17m (corrispondente alla frequenza minima di 20Hz) e λ=17mm (corrispondente alla frequenza massima di 20kHz). L intervallo di pressione sonora percepibile dall orecchio umano varia da 20 Pa (soglia di udibilità) fino a 60 Pa (soglia del dolore).

24 Livelli sonori scala dei decibel Le potenze e le intensità sonore associate ai fenomeni che l orecchio dell uomo può percepire hanno un ampia dinamica: 1 pw/m 2 (soglia dell udibile) 1W/m 2 (soglia del dolore) 20 Pa (soglia dell udibile) 20 Pa (soglia del dolore) Per questo motivo si fa uso di una scala logaritmica, nella quale, al valore della grandezza in esame, si fa corrispondere il logaritmo del rapporto tra quello stesso valore ed un valore prefissato di riferimento. Il vantaggio che deriva dall uso della scala del decibel consiste nella Il vantaggio che deriva dall uso della scala del decibel consiste nella evidente riduzione del campo di variabilità riduzione della dinamica;

25 Livelli sonori scala dei decibel Si definisce livello di pressione sonora L p la quantità: L = 2 p 10 log p /p rif if2 = 20 log p/p rif (db) p rif = 20 Pa Si definisce livello di intensità sonora L I la quantità: L I = 10 log I/I rif (db) I rif = W/m 2 Si definisce livello di potenza sonora L p la quantità L W =10logW/W rif (db) W rif =10-12 W.

26 Livelli sonori scala dei decibel Relazioni tra livelli sonori L I = 10 log I/I = 10logp 2 I rif / 0 ci rif poiché per un ampio intervallo di temperatura risulta: è verificata la relazione: 0 ci rif =p 02 = 400x10-12 L I = L p

27 Livelli sonori scala dei decibel Relazioni tra livelli sonori L W = 10 log W/W rif = 10logI/I rif + 10logS/S 0 Con S 0 = 1m 2, se S = 1m 2 : L W = L I

28 Livelli sonori scala dei decibel

29 Proprietà dei logaritmi

30 Livelli sonori operazioni sui decibel Somma di due livelli: Lp 1 =10log(p 1 /p rif ) 2 Lp 2 =10log(p 2 /p rif ) 2 (p 1 /p rif ) 2 =10 Lp1/10 (p 2 /p rif ) 2 =10 Lp2/10 (p T /p rif ) 2 =(p 1 /p rif ) 2 +(p 2 /p rif ) 2 =10 Lp1/ Lp2/10 Lp T =10log(p T /p rif ) 2 =10log(10 Lp1/ Lp2/10 )

31 Livelli sonori operazioni sui decibel Somma incoerente di livelli Esempio 1: L 1 = 80 db L 2 = 85 db L T =? L T = 10 log (10 80/ /10 ) = 86.2 db. Esempio 2: L 1 = 80 db L 2 = 80 db L +10 T = 10 log (10 80/10 80/10 ) = L T = log 2 = 83 db.

32 Livelli sonori operazioni sui decibel Differenza di livelli Esempio 3: L 1 = 80 db L T = 85 db L 2 =? L 2 = 10 log (10 85/ /10 ) = dB

33 Riflessione e trasmissione Si consideri un onda piana armonica di ampiezza p che si propaga nella direzione positiva delle x da un mezzo con impedenza Z 1 =ρ 1 c 1 a un mezzo con impedenza Z 2 =ρρ 2 c 2.

34 Riflessione e trasmissione Si definiscono le seguenti quantità: Poiché all interfaccia tra i due mezzi pressione e velocità devono p avere lo stesso valore, si può scrivere:

35 Riflessione e trasmissione Ricordando che vale la seguente relazione: u i, r P i, r Z 0 si ha:, E di conseguenza per i coefficienti si ricava: L onda riflessa è in fase L onda riflessa è sfasata di 180

36 Riflessione e trasmissione Se l incidenza lincidenzanonnon è normale vale la legge di Snell:,

37 Riflessione e trasmissione,

38 Diffrazione Onda piana che attraversa un apertura in un divisorio di impedenza acustica infinita.,

39 Diffrazione Onda piana che incide su un ostacolo.,

40 Diffrazione,

41 Interferenza,

42 Interferenza,

43 Interferenza,

44 Interferenza,

45 Interferenza,

46 Interferenza,

47 Analisi in frequenza E noto, dal teorema di scomposizione in serie di Fourier, che ogni funzione periodica può essere suddivisa nella somma di funzioni elementari. Per segnali reali, come nel caso dell andamento della pressione in un mezzo, vale la relazione:, La scomposizione di un suono periodico (armonico) di frequenza f in forme d onda elementari, indica che queste avranno rispettivamente frequenze f ;2 f ;3 f ;4 f. La sinusoide di frequenza f, pari alla frequenza del suono periodico di partenza è detta fondamentale mentre le sinusoidi di frequenza multipla intera di f vengono dette parziali. Si fa riferimento alle forme d onda elementari che costituiscono un suono con il termine armoniche.

48 Analisi in frequenza Lo spettro di un segnale sonoro è la rappresentazione della sua composizione in frequenza su un diagramma energia-frequenza, o livello sonoro-frequenza., a) Onda sinusoidale b) Onda periodica c) Onda casuale

49 Analisi in frequenza In genere le perturbazioni i sonore sono segnali complessi costituiti iti da un gran numero di frequenze che in alcuni casi possono dare origine ad uno spettro continuo., a) Tono puro b) Suono complesso c) Spettro Continuo d) Rumore bianco

50 Analisi in frequenza,

51 Analisi in frequenza, La descrizione della composizione in frequenza dei segnali sonori può essere condotta valutando il contenuto di energia sonora all interno di prefissati intervalli di frequenze, le bande di frequenza. Ciascuna banda è caratterizzata t da una frequenza di taglio superiore f s e da una frequenza di taglio inferiore f. i L analisi in frequenza può essere di due tipi: analisi a banda costante; analisi a banda percentuale costante da 1/1 o 1/3 di ottava.

52 analisi a banda costante Analisi in frequenza se f =f s f i = costante, per esempio 1 Hz, 10 Hz, ecc., Tipicamente impiegata per analisi approfondite della composizione in frequenza. Solitamente viene usata per misure nel campo delle vibrazioni delle strutture o delle macchine.

53 Analisi in frequenza analisi a banda percentuale costante se la larghezza di banda f è una percentuale costante del valore della frequenza nominale fc fs fi che caratterizza la banda stessa: f , f s =2f i 1/1 ottava f c f f s =2 1/3 f i 1/3 ottava f c Tipicamente impiegata per misure acustiche.

54 Analisi in frequenza,

55 Effetto Doppler