Dispositivi e Tecnologie Elettroniche. Esercitazione Proprietà di trasporto nei semiconduttori

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1 Dispositivi e Tecnologie Elettroniche Esercitazione Proprietà di trasporto nei semiconduttori

2 Esercizio 1: testo Si consideri un campione di Si uniformemente drogato tipo n con una concentrazione N D = cm 3, in cui si effettua un ulteriore processo di drogaggio di tipo p con una concentrazione N A = cm 3 Calcolare: la resistività del campione prima dell introduzione del drogante di tipo p la resistività del campione dopo l introduzione del drogante di tipo p Dispositivi e Tecnologie Elettroniche Esercitazione sulle proprietà di trasporto nei semiconduttori 2

3 Esercizio 1: soluzione In presenza del solo drogante di tipo n, a T = 300 K si ha n N D = cm 3 p = n2 i n = cm 3 La resistività del campione dipende dal contributo di elettroni e lacune secondo: ρ = 1 σ = 1 qnµ n + qpµ p Dispositivi e Tecnologie Elettroniche Esercitazione sulle proprietà di trasporto nei semiconduttori 3

4 Esercizio 1: soluzione Poiché p/n , si può trascurare il contributo dei portatori minoritari: ρ = 1 1 qnµ n + qpµ p qnµ n Per calcolare la resistività, è necessario valutare la mobilità degli elettroni liberi. Sulla base del drogaggio totale N = N D, si ha Infine, ρ = Ω cm µ n = 975 cm 2 V 1 s 1 Dispositivi e Tecnologie Elettroniche Esercitazione sulle proprietà di trasporto nei semiconduttori 4

5 , & ' Esercizio 1: soluzione I > E E E > = I I? = F? 8 % " $ % - A J J H E =? K A, H C = C C E J J = A?! Dispositivi e Tecnologie Elettroniche Esercitazione sulle proprietà di trasporto nei semiconduttori 5

6 > Lettura delle scale lineari La scala lineare prevede una proporzionalità diretta tra i valori e la loro distanza = Volendo leggere il valore x compreso tra due estremi a e b distanti d, si ha b a x a = d = x = a + (b a) d x d x d Dispositivi e Tecnologie Elettroniche Esercitazione sulle proprietà di trasporto nei semiconduttori 6

7 = Lettura delle scale logaritmiche La scala logaritmica prevede una proporzionalità diretta tra il logaritmo in base 10 dei valori e la loro distanza Volendo leggere il valore x compreso nella decade tra a e 10a, si ha = log 10 x = log 10 a + [log 10 (10a) log 10 a] d x d ovvero, essendo log 10 x 1 log 10 x 2 = log 10 (x 1 /x 2 ) log 10 (x/a) = d x d = x = a10d x/d Dispositivi e Tecnologie Elettroniche Esercitazione sulle proprietà di trasporto nei semiconduttori 7

8 Esercizio 1: soluzione Dopo il secondo processo di drogaggio, per compensazione il semiconduttore diviene tipo p con drogaggio efficace N A = N A N D = cm 3 A T = 300 K si ha p N A = cm 3 n = n2 i p = cm 3 Dispositivi e Tecnologie Elettroniche Esercitazione sulle proprietà di trasporto nei semiconduttori 8

9 Esercizio 1: soluzione Anche in questo caso si può trascurare il contributo dei portatori minoritari alla resistività ρ = 1 1 qnµ n + qpµ p qpµ p Per calcolare la resistività, è necessario valutare la mobilità delle lacune libere. Sulla base del drogaggio totale N = N D + N A = cm 3, si ha Infine, ρ = Ω cm µ p = 175 cm 2 V 1 s 1 Dispositivi e Tecnologie Elettroniche Esercitazione sulle proprietà di trasporto nei semiconduttori 9

10 F &, ) ' Esercizio 1: soluzione I > E E E > = I I? = F? 8 % " $ % - A J J H E =? K A, H C = C C E J J = A?! Dispositivi e Tecnologie Elettroniche Esercitazione sulle proprietà di trasporto nei semiconduttori 10

11 Esercizio 2: testo Si considerino due campioni di Si uniformemente drogati tipo p con una concentrazione N A = cm 3, lunghi rispettivamente L 1 = 3 µm e L 2 = 200 µm Sulla superficie posta in x = 0 si assuma di aver prodotto un eccesso di portatori minoritari n p(0) = cm 3, con tempo di vita τ n = 50 ns Nell ipotesi di quasi-neutralità, calcolare la distribuzione di portatori minoritari in condizioni stazionarie Dispositivi e Tecnologie Elettroniche Esercitazione sulle proprietà di trasporto nei semiconduttori 11

12 N Esercizio 2: soluzione Nell ipotesi di quasi-neutralità n p(x) = p n(x) e E = 0 E E A E E A A J J H E Nell equazione di continuità, compare solo il termine di diffusione Poiché n p0 = N A è costante, in condizioni stazionarie si ha d 2 n p D n dx 2 = D d 2 n p n dx 2 = n p n 0 τ n = n p τ n Dispositivi e Tecnologie Elettroniche Esercitazione sulle proprietà di trasporto nei semiconduttori 12

13 Esercizio 2: soluzione È una equazione differenziale lineare a coefficienti costanti, con equazione caratteristica λ 2 = 1 D n τ n = 1 L 2 n = λ = ± 1 L n L n = D n τ n è la lunghezza di diffusione dei portatori minoritari nel campione La soluzione generale è ( ) n x p(x) = A exp L n + B exp ( xln ) Dispositivi e Tecnologie Elettroniche Esercitazione sulle proprietà di trasporto nei semiconduttori 13

14 Esercizio 2: soluzione Le costanti A e B si determinano imponendo le condizioni al contorno: n p(0) = assegnato, n p(l) = 0 contatto ohmico Si ha così il sistema n p(0) = A + B n p(l) = 0 = A exp ( LLn ) + B exp ( L L n ) Dispositivi e Tecnologie Elettroniche Esercitazione sulle proprietà di trasporto nei semiconduttori 14

15 Esercizio 2: soluzione Risolvendo il sistema lineare ( ) exp LLn A = n p(0) ( ) ( ) L exp exp LLn L n ( ) L exp B = n L n p(0) ( ) ( ) L exp exp LLn L n Dispositivi e Tecnologie Elettroniche Esercitazione sulle proprietà di trasporto nei semiconduttori 15

16 Esercizio 2: soluzione Sostituendo nella soluzione generale e ricordando che exp α exp( α) = 2 sinh α ( ) L x sinh L n n p(x) = n p(0) ( L sinh L n Dal drogaggio N A si ricava µ n = 975 cm 2 V 1 s 1, per cui a 300 K D n = V T µ n = cm/s L n = D n τ n = µm Dispositivi e Tecnologie Elettroniche Esercitazione sulle proprietà di trasporto nei semiconduttori 16 )

17 ) & ' Esercizio 2: soluzione I > E E E > = I I? = F? 8 % " $ % - A J J H E =? K A, H C = C C E J J = A?! Dispositivi e Tecnologie Elettroniche Esercitazione sulle proprietà di trasporto nei semiconduttori 17

18 F N Esercizio 2: soluzione Per il primo campione si ha L 1 /L n 1, e quindi anche (L 1 x)/l n 1 essendo 0 x L 1 Si dice che si ha un campione corto rispetto alla lunghezza di diffusione Nella soluzione, si può usare lo sviluppo asintotico sinh α α n p(x) n p(0) L 1 x L 1 La distribuzione di portatori minoritari è lineare Dispositivi e Tecnologie Elettroniche Esercitazione sulle proprietà di trasporto nei semiconduttori 18

19 F N Esercizio 2: soluzione Per il secondo campione si ha L 2 /L n 1, e quindi A 0 e B n p(0) Si dice che si ha un campione lungo rispetto alla lunghezza di diffusione Dalla soluzione generale, si ha ( ) n p(x) n p(0) exp xln La distribuzione di portatori minoritari è esponenziale Dispositivi e Tecnologie Elettroniche Esercitazione sulle proprietà di trasporto nei semiconduttori 19